大學(xué)物理第14章

1、 第十四章 電 磁 感 應(yīng) 法拉第（法拉第（Michael Faraday, 1791-1867） 英國偉大的物理學(xué)家和化學(xué)家。他創(chuàng)造性地英國偉大的物理學(xué)家和化學(xué)家。他創(chuàng)造性地 提出場的思想，磁場這一名稱是法拉第最早引入提出場的思想，磁場這一名稱是法拉第最早引入 的。他是電磁理論的創(chuàng)始人之一，于的。他是電磁理論的創(chuàng)始人之一，于1831年發(fā)現(xiàn)年發(fā)現(xiàn) 電磁感應(yīng)現(xiàn)象，后又相繼發(fā)現(xiàn)電解定律，物質(zhì)的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，后又相繼發(fā)現(xiàn)電解定律，物質(zhì)的 抗磁性和順磁性，以及光的偏振面在磁場中的旋抗磁性和順磁性，以及光的偏振面在磁場中的旋 轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)。 自奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效自奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效 應(yīng)后，許多物理學(xué)家致力

2、于其應(yīng)后，許多物理學(xué)家致力于其 逆效應(yīng)的研究，逆效應(yīng)的研究，1831年英國物年英國物 理學(xué)家法拉第經(jīng)過十年研究，理學(xué)家法拉第經(jīng)過十年研究， 終于發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。終于發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象。 G N G 1 14-1 4-1 法法 拉拉 第第 實實 驗驗 A B 當(dāng)穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，當(dāng)穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時， 回路中會產(chǎn)生回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。感應(yīng)電動勢。 G 1 2 K R 1 14-2 4-2 電磁感應(yīng)的基本定律電磁感應(yīng)的基本定律 導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動勢等于通過回路的磁導(dǎo)體回路中的感應(yīng)電動勢等于通過回路的磁 通量隨時間的變化率的負(fù)值。通量隨時間的變化率

3、的負(fù)值。 t B d d N匝回路中感應(yīng)電動勢匝回路中感應(yīng)電動勢 tt N t N BB d d d d d d 單位：韋伯（單位：韋伯（Wb） B N磁通匝數(shù)（磁鏈）磁通匝數(shù)（磁鏈） 回路內(nèi)感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是企圖阻止回路內(nèi)感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是企圖阻止 或補(bǔ)償回路中磁通量的變化?；蜓a(bǔ)償回路中磁通量的變化。 vv N N 1).確定回路中的磁感應(yīng)強(qiáng)度確定回路中的磁感應(yīng)強(qiáng)度 B ； S B SB d2).由由求回路中的磁通量求回路中的磁通量 ； 求出求出 。3).由由 t N t N BB d d d d 例例 在通有電流為在通有電流為 I = I0cost 的長直載流導(dǎo)線旁，的長直載流導(dǎo)線

4、旁， 放置一矩形回路，如圖所示，回路以速度放置一矩形回路，如圖所示，回路以速度v 水平向水平向 右運動，求回路中的感應(yīng)電動勢。右運動，求回路中的感應(yīng)電動勢。 解解 x I B 2 0 如圖所示取一窄帶如圖所示取一窄帶dx， cosdddSBSB B 1cos I L a b x dx x o v SB B ddxL x I d 2 0 BB dx x IL tb ta d 1 2 0 v v ta tbIL v v ln 2 0 t B d d ta tbtLI tv v ln 2 cos d d 00 t tatbta tb t LI cos)(ln)sin( 2 00 v v v v v

5、v xL x I B d 2 d 0 非靜電力非靜電力 E + + + - - - R I + k E k FqE 非 _ dd k WFlqEl 非 lE q lEq q W l k l k d d 若整個閉合回路都有非靜電力，則若整個閉合回路都有非靜電力，則 電動勢的定義：單位正電荷繞閉合回路運動一周電動勢的定義：單位正電荷繞閉合回路運動一周, 非靜電力所做的功。非靜電力所做的功。 非靜電力做功非靜電力做功 l k l k lEqlEEqW dd)( 1 14-3 4-3 動生電動勢動生電動勢 lBlE B e F E FF BeF k d)(d k m em m v v v 棒內(nèi)電子所受

6、洛倫茲力棒內(nèi)電子所受洛倫茲力 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + v B - m F - - + e F 平衡時平衡時 若運動導(dǎo)體構(gòu)成回路，則若運動導(dǎo)體構(gòu)成回路，則 lB d)(v 討論：討論： （1）洛倫茲力恒與電荷運動方向垂直，因而不做）洛倫茲力恒與電荷運動方向垂直，因而不做 功，而動生電動勢是由于洛倫茲力移動單位正電荷產(chǎn)功，而動生電動勢是由于洛倫茲力移動單位正電荷產(chǎn) 生的，似乎又做功。如何解釋這對矛盾？生的，似乎又做功。如何解釋這對矛盾？ + + + + + + + + + + +

7、 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + v B v F u F - vu u F + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + v B v F u F - vu u F （2）動生電動勢的功率）動生電動勢的功率 由于洛倫茲力垂直于電子的由于洛倫茲力垂直于電子的 速度，所以速度，所以 0v uF 即即 0v v uFF u v v u FuF 0vv

8、vv FuFFuF uu 動生電動勢動生電動勢 的功率的功率 外力所提供外力所提供 的功率的功率 解解 lBdv L llB 0 d L lB 0 dv 2 2 1 LB lB d)(d v 例例1 一長為一長為L的銅棒在磁感強(qiáng)度為的銅棒在磁感強(qiáng)度為B的均勻磁的均勻磁 場中，以角速度場中，以角速度 在與磁場方向垂直的平面上在與磁場方向垂直的平面上 繞棒的一端轉(zhuǎn)動，求銅棒兩端的感應(yīng)電動勢。繞棒的一端轉(zhuǎn)動，求銅棒兩端的感應(yīng)電動勢。 O P B + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

9、+ + + + + + + + v l d 例例2一導(dǎo)線矩形框的平面與磁感強(qiáng)度為一導(dǎo)線矩形框的平面與磁感強(qiáng)度為B的均勻的均勻 磁場相垂直。在此矩形框上，有一質(zhì)量為磁場相垂直。在此矩形框上，有一質(zhì)量為m長為長為l 的的 可移動的細(xì)導(dǎo)體棒可移動的細(xì)導(dǎo)體棒MN; 矩形框還接有一個電阻矩形框還接有一個電阻 R， 其值較之導(dǎo)線的電阻值要大得很多。若開始時，其值較之導(dǎo)線的電阻值要大得很多。若開始時， 細(xì)細(xì) 導(dǎo)體棒以速度導(dǎo)體棒以速度v0沿如圖所示的矩形框運動，試求棒沿如圖所示的矩形框運動，試求棒 的速率隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。的速率隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。 解解 如圖建立坐標(biāo)。如圖建立坐標(biāo)。 棒所受安培力棒所受

10、安培力 R v 22l B IBlF + + + + + + l R v B M N F ox vBl I 棒的運動方程為棒的運動方程為 R vv 22 d dlB t m 則則 計算得棒的速率為計算得棒的速率為 tlB)( 22 e mR 0 vv F + + + + + + l R B v ox M N t t lB 0 22 d d mRv v v v0 例例3 在勻強(qiáng)磁場中在勻強(qiáng)磁場中, 置有面積為置有面積為 S 的可繞的可繞 軸轉(zhuǎn)動的軸轉(zhuǎn)動的N 匝線圈。若線圈以角速度匝線圈。若線圈以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動。作勻速轉(zhuǎn)動。 求線圈中求線圈中 的感應(yīng)電動勢。的感應(yīng)電動勢。 R N o o i

11、B n 設(shè)設(shè) 時時,0t 與與 同向同向 , 則則B n t tNBSNBcos tNBS t sin d d 令令NBS m tsin m 則則 R N o o i B n tsin m tIt R i sinsin m m R I m m 可見，在勻強(qiáng)磁場中可見，在勻強(qiáng)磁場中 勻速轉(zhuǎn)動的線圈內(nèi)的感應(yīng)勻速轉(zhuǎn)動的線圈內(nèi)的感應(yīng) 電流是時間的正弦函數(shù)。電流是時間的正弦函數(shù)。 這種電流稱交流電。這種電流稱交流電。 R N o o i B n O O B 練習(xí)練習(xí) 如圖，要使線圈中感應(yīng)電流的幅值增加到原來如圖，要使線圈中感應(yīng)電流的幅值增加到原來 的兩倍（導(dǎo)線的電阻不能忽略），則應(yīng)（的兩倍（導(dǎo)線的電阻不

12、能忽略），則應(yīng)（ ） A.把線圈的匝數(shù)增加到原來的兩倍；把線圈的匝數(shù)增加到原來的兩倍； B.把線圈的匝數(shù)增加到原來的兩倍，而把線圈的匝數(shù)增加到原來的兩倍，而 形狀不變；形狀不變； C.把線圈切割磁感線的兩條邊增長到原把線圈切割磁感線的兩條邊增長到原 來的兩倍；來的兩倍； D.把線圈的角速度增大到原來的兩倍。把線圈的角速度增大到原來的兩倍。 1 14-5 4-5 感生電動勢感生電動勢 在電磁感應(yīng)在電磁感應(yīng) 現(xiàn)象的實驗中現(xiàn)象的實驗中, ,當(dāng)當(dāng) 電鍵電鍵 K 閉合時閉合時, , 左線圈中要產(chǎn)生左線圈中要產(chǎn)生 感應(yīng)電流。感應(yīng)電流。 麥克斯韋提出：在變化的磁場周圍存在一個變化麥克斯韋提出：在變化的磁場周

13、圍存在一個變化 的電場，這個電場就是的電場，這個電場就是感生電場。感生電場。 此電流產(chǎn)生的原因是什么呢？此電流產(chǎn)生的原因是什么呢？ K S B SB d 回路中的磁通量為回路中的磁通量為 S B r SB tt d d d d d 則則 L rr lE d因為因為 t lE B L r d d d 所以所以 0 d d t B B r E Er為為渦旋電場。渦旋電場。 靜電場靜電場 E感生電場感生電場 Er 起源起源由靜止電荷激發(fā)由靜止電荷激發(fā)由變化的磁場激發(fā)由變化的磁場激發(fā) 電電 力力 線線 形形 狀狀 電力線為非閉合曲線電力線為非閉合曲線電力線為閉合曲線電力線為閉合曲線 0 d d t B

14、 Er 靜電場為散場（保守場）靜電場為散場（保守場）感生電場為有旋場感生電場為有旋場(左旋場左旋場) 靜電場靜電場E感生電場感生電場Er 電電 場場 的的 性性 質(zhì)質(zhì) 保守場，作功與路徑無關(guān)保守場，作功與路徑無關(guān) 非保守場，作功與路徑有關(guān)非保守場，作功與路徑有關(guān) 0dlE 0 d d d t lE B r 0 d q SE S 靜電場為有源場靜電場為有源場感生電場為無源場感生電場為無源場 0d S r SE 計算感生電動勢有兩種方法計算感生電動勢有兩種方法 1). . 用法拉第電磁感應(yīng)定律，重點掌握添輔助線用法拉第電磁感應(yīng)定律，重點掌握添輔助線 的方法；的方法； 2). .先求渦旋電場強(qiáng)度，再

15、求感生電動勢，這種方先求渦旋電場強(qiáng)度，再求感生電動勢，這種方 法僅適用于磁場分布具有高度對稱性的情況。法僅適用于磁場分布具有高度對稱性的情況。 o R B B 例例1 圓形均勻分布的磁場半徑圓形均勻分布的磁場半徑 為為R，磁場隨時間均勻增加，磁場隨時間均勻增加， k t B d d 求空間的感生電場的分布情況。求空間的感生電場的分布情況。 o R B B 解解 圓形磁場區(qū)域內(nèi)、外圓形磁場區(qū)域內(nèi)、外 E感 感 線為一系列同心圓。 線為一系列同心圓。 作半徑為作半徑為 r 的環(huán)形路徑的環(huán)形路徑， 1. r R 區(qū)域區(qū)域 作半徑為作半徑為 r 的環(huán)形路徑的環(huán)形路徑，E E感 感 r E感 感分布曲線

16、 分布曲線 R E感 感 r o o R B B t BR d d 2 t Br E d d 2 感 r t B r R E d d 2 2 感 r 1 例例2 圓形均勻分布的磁場圓形均勻分布的磁場 半徑為半徑為 R，磁場隨時間均磁場隨時間均 勻增加，勻增加， k t B d d 在磁場中放置一長在磁場中放置一長 為為 L 的導(dǎo)體棒，求棒中的導(dǎo)體棒，求棒中 的感生電動勢。的感生電動勢。 o R B B L 解法一解法一 E感 感作用在導(dǎo)體棒上， 作用在導(dǎo)體棒上， 使導(dǎo)體棒上產(chǎn)生一個向右使導(dǎo)體棒上產(chǎn)生一個向右 的感生電動勢。的感生電動勢。 沿沿 E感 感 線作半徑為 線作半徑為r 的環(huán)路，分割導(dǎo)

17、體元的環(huán)路，分割導(dǎo)體元 d dl。 cosddlE感 d cosdlE感 在在 d dl 上產(chǎn)生的感生上產(chǎn)生的感生 電動勢為電動勢為 E E感 感 h o o R r dl l t Br E d d 2 感 由上題結(jié)果，圓形區(qū)由上題結(jié)果，圓形區(qū) 域內(nèi)部的感生電場域內(nèi)部的感生電場 cosd d d 2 0 l t Br L 其中其中 r h cos 則則l r h t Br L d d d 2 0 t BhL d d 2 E E感 感 h o o R r dl l t BhL d d 2 其中其中 2 2 2 L Rh 2 2 2d d 2 L R t BL 方向向右。方向向右。 E E感 感

18、h o o R r dl l R h ab o 解法二解法二 作假想回路作假想回路aboa, , 回路總感應(yīng)電動勢為回路總感應(yīng)電動勢為 S B S t B t d d d d d 由于感生電場方向與半徑由于感生電場方向與半徑oa和和ob垂直垂直, ,故有故有 t BhL S t B S d d 2 d d d o b a o b aaboa lElElElE dddd 感感感感 t BhL ab d d 2 00 ab E E感 感 例例3 如圖所示，在均勻磁場中有一金屬框架如圖所示，在均勻磁場中有一金屬框架aOba， ab邊可無摩擦自由滑動，已知邊可無摩擦自由滑動，已知aOb= = ， ab

19、Ox， 磁場隨時間變化規(guī)律為磁場隨時間變化規(guī)律為B( (t)= )= t 2 2/2/2。若若 t=0=0時，時，ab邊邊 由由 x = 0= 0處開始以速率處開始以速率v 作平行于作平行于x軸的勻速滑動。軸的勻速滑動。 試求任意時刻試求任意時刻 t 金屬框中感應(yīng)電動勢的大小和方向。金屬框中感應(yīng)電動勢的大小和方向。 解解由于由于B 隨時間變化，同隨時間變化，同 時時ab導(dǎo)線切割磁場線，故回導(dǎo)線切割磁場線，故回 路中既存在感生電動勢，又路中既存在感生電動勢，又 存在動生電動勢。存在動生電動勢。 t時刻金屬框中感應(yīng)電時刻金屬框中感應(yīng)電 動勢的大小為動勢的大小為 O b a v B l x 感動 )

20、 2 1 ( d d 2 1 ) 2 1 ( d d d d d d d )(d d d 2 t t lxlx t B t B S t S B t BS t 動 動 的方向從 的方向從b指向指向a， 感 感的方向為逆時針方向。 的方向為逆時針方向。 將將x= =vt，l= =xtan = =vttan 代人上式，則代人上式，則 tan ) 2 1 ( d d tan 2 1 )tan 2 1 ( d d 2 1 3 2222 t t t tt t t 2 22 v vv O b a v B l x R B 1 L 2 L a b c d 練習(xí)練習(xí)均勻磁場被限制在半徑為均勻磁場被限制在半徑為R的

21、無限長圓柱內(nèi)，的無限長圓柱內(nèi)， 磁場隨時間作線性變化?，F(xiàn)有兩個閉合曲線磁場隨時間作線性變化?，F(xiàn)有兩個閉合曲線L1（圓（圓 形）與形）與L2（扇形）。討論：（扇形）。討論：（1）L1與與L2上每一點的上每一點的 是否為是否為0？（2）渦旋電場渦旋電場E旋 旋是否為 是否為0？（3） 與與 是否為是否為0？lE L d 2 旋 lE L d 1 旋 tB dd 熱效應(yīng)熱效應(yīng) 電磁阻尼電磁阻尼 趨膚效應(yīng)趨膚效應(yīng) 當(dāng)電鍵當(dāng)電鍵 K閉合時，燈泡閉合時，燈泡1 立刻點亮，而燈泡立刻點亮，而燈泡 2 為漸亮為漸亮 過程。這是由于電鍵過程。這是由于電鍵 K 閉合閉合 瞬間，電路中電流發(fā)生變化，瞬間，電路中電流

22、發(fā)生變化， 在線圈在線圈 L 中產(chǎn)生自感電動勢，中產(chǎn)生自感電動勢， 阻止支路中的電流變化，電流阻止支路中的電流變化，電流 是漸變的。是漸變的。 當(dāng)線圈中電流發(fā)生變化時，當(dāng)線圈中電流發(fā)生變化時， 線圈中的磁通量發(fā)生變化，在線圈中的磁通量發(fā)生變化，在 線圈中產(chǎn)生線圈中產(chǎn)生自感電動勢。自感電動勢。 R L K 1 2 1 14-7 4-7 自自 感感 線圈的磁鏈與線圈中的電流線圈的磁鏈與線圈中的電流 I 成正比。成正比。 I寫成等式寫成等式LI 定義自感系數(shù)定義自感系數(shù) I L 單位：亨利，單位：亨利，H; 1H= =103mH 自感系數(shù)與線圈的大小、形狀、磁介質(zhì)、線自感系數(shù)與線圈的大小、形狀、磁介

23、質(zhì)、線 圈密度有關(guān)，而與線圈中電流無關(guān)。圈密度有關(guān)，而與線圈中電流無關(guān)。 由法拉第電磁感應(yīng)定律可知由法拉第電磁感應(yīng)定律可知 tt N t N BB d d d )(d d d 而而LI, ,當(dāng)線圈自感系數(shù)不變時，自感電動勢當(dāng)線圈自感系數(shù)不變時，自感電動勢 t I L L d d 自感系數(shù)的計算自感系數(shù)的計算 假設(shè)線圈中的電流假設(shè)線圈中的電流 I ； 求線圈中的磁通量求線圈中的磁通量 B ； 由定義求出自感系數(shù)由定義求出自感系數(shù) L。 VnL S l N I L IS l N N NBSN nIHB lNn 2 0 2 0 0 00 l S 解解 例例1 如圖的長直密繞螺線管如圖的長直密繞螺線管

24、, ,已知已知l、S、N、 ， 求其自感求其自感L。（。（忽略邊緣效應(yīng)）忽略邊緣效應(yīng)） 練習(xí)練習(xí) 在一個紙筒上均勻密繞兩個相同的線圈在一個紙筒上均勻密繞兩個相同的線圈ab和和 ab，每個線圈的自感都是，每個線圈的自感都是0.05H。求下列情況下，。求下列情況下， 整個線圈中的自感整個線圈中的自感L。（1）a和和a相接時，相接時，b、b接入接入 電路；（電路；（2）a和和b相接時，相接時，a、b接入電路。接入電路。 a b a b 1 R I 解解 兩圓筒之間兩圓筒之間 r I B 2 0 如圖在兩圓筒間取一長為如圖在兩圓筒間取一長為 l的面的面PQRS, , 并將其分成許并將其分成許 多小面元

25、。多小面元。 則則 SBB ddrBld rl r I R R BB d 2 d 2 1 0 S P R Q 2 R l I r rd 例例 2 有兩個同軸圓筒形導(dǎo)體有兩個同軸圓筒形導(dǎo)體 , , 其半徑分別為其半徑分別為R1 1和和 R2 2 , , 通過它們的電流均為通過它們的電流均為I , ,但電流的流向相反。設(shè)但電流的流向相反。設(shè) 在兩圓筒間充滿磁導(dǎo)率為在兩圓筒間充滿磁導(dǎo)率為 的均勻磁介質(zhì)的均勻磁介質(zhì) , , 求其自求其自 感感L。 即即 1 20 ln 2R RIl B 由自感定義可求出由自感定義可求出 1 20 ln 2R Rl I L B 單位長度的自感為單位長度的自感為 1 20

26、 ln 2R R 1 R I S P R Q 2 R l I r rd rl r I R R BB d 2 d 2 1 0 1 14-8 4-8 電路電路 L L K R 1 2 t I L L d d IR t I L L d d IR t I L d d t L R I R I d d tI t L RI I R 00 d d )e1 ( t L R R I R L 令 / (1e) t I R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(ms) I 0.63I0 I0 R/ 0 63. 063. 0) e 1 1 (I RR I :時當(dāng) R L t L L K R 1 2 / (1

27、e) t I R L L K R 1 2 IR t I L d d 0 d d I L R t I t L R I I d d 0 / 0 e e e R t L R t L t I R I I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(ms) I 0. 37I0 I0 由于自感的存在使電路中具有保持原有電由于自感的存在使電路中具有保持原有電 流不變的特性，它使電路在接通或斷開后，電流不變的特性，它使電路在接通或斷開后，電 路中的電流要經(jīng)歷一個過程才能達(dá)到穩(wěn)定值，路中的電流要經(jīng)歷一個過程才能達(dá)到穩(wěn)定值， 這個過程稱為這個過程稱為LR電路的電路的暫態(tài)過程。暫態(tài)過程。 解解 （1）K接通的

28、瞬間，電接通的瞬間，電 感感L中的電流不能突變。中的電流不能突變。 例例 如圖如圖， R1 1 、 、R2 2 、 、L和和都已知，電源和線圈都已知，電源和線圈L的的 內(nèi)阻可略去不計。（內(nèi)阻可略去不計。（1）求）求K接通的瞬間，接通的瞬間，a、b間的間的 電壓及電壓及 R1 1 、 、R2 2上的電流；（上的電流；（2）電路穩(wěn)定后，突然）電路穩(wěn)定后，突然 打開打開K的瞬間，問的瞬間，問a、b間間 的電壓與電流是多少？的電壓與電流是多少？ K 2 R 1 R L a b （2）突然打開）突然打開K的瞬間，電感的瞬間，電感L中的電流不能突變。中的電流不能突變。 但此時但此時R2 2 支路已被切斷，

29、電流全部經(jīng)過支路已被切斷，電流全部經(jīng)過R1 1 。 21 2 21 21 1 RR R RR RR R Uab 2 21 R RR U ab 1 B 2 B 2 I 1 I MMM 2112 I1 1在在 I2 2電流回路中所產(chǎn)生的磁通量電流回路中所產(chǎn)生的磁通量 21 21=M2121I1 1 ； ； I2 2在在 I1 1電流回路中所產(chǎn)生的磁通量電流回路中所產(chǎn)生的磁通量 12 12=M1212I2 2 。 。 互感系數(shù)僅與兩個線圈形狀、大小、匝數(shù)、相對互感系數(shù)僅與兩個線圈形狀、大小、匝數(shù)、相對 位置以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)（無鐵磁質(zhì)時為常量）。位置以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)（無鐵磁質(zhì)時為常量）。 1

30、14-8 4-8 互互 感感 t I M t t I M t d d d d d d d d 121 21 212 12 1 B 2 B 2 I 1 I 例例1有兩個長度均為有兩個長度均為l，半徑分別為，半徑分別為r1和和r2（r1 r2）, , 匝數(shù)分別為匝數(shù)分別為N1和和N2的同軸長直密繞螺線管，求它們的同軸長直密繞螺線管，求它們 的互感的互感M。 解解設(shè)半徑為設(shè)半徑為r1的線圈中通的線圈中通 有電流有電流I1，則，則 1101 1 01 InI l N B 則穿過半徑為則穿過半徑為r2的的 線圈的磁通匝數(shù)為線圈的磁通匝數(shù)為 1 2 1210 2 112 2 112212 )()()(Ir

31、lnnrlBnrBNN )( 2 1210 1 212 12 rlnn I N M )ln( 2 )ln( 2 d 2 2 0 0 0 0 d dbl I M d dbIl xl x I x I B bd d 解解設(shè)長直導(dǎo)線通電流設(shè)長直導(dǎo)線通電流I b d l I x o xd x 例例2 在磁導(dǎo)率為在磁導(dǎo)率為 的均勻無限大的磁介質(zhì)中，一的均勻無限大的磁介質(zhì)中，一 無限長直導(dǎo)線與一寬長分別為無限長直導(dǎo)線與一寬長分別為 b和和 l 的矩形線圈的矩形線圈 共面，直導(dǎo)線與矩形線圈的一側(cè)平行共面，直導(dǎo)線與矩形線圈的一側(cè)平行, ,且相距為且相距為d。 求二者的互感系數(shù)。求二者的互感系數(shù)。 練習(xí)練習(xí) 問：

32、下列幾種情況互感是否問：下列幾種情況互感是否 變化？變化？ 1 1）線框平行直導(dǎo)線移動；）線框平行直導(dǎo)線移動； 2 2）線框垂直于直導(dǎo)線移動；）線框垂直于直導(dǎo)線移動； 3 3）線框繞）線框繞 OC 軸轉(zhuǎn)動；軸轉(zhuǎn)動； 4 4）直導(dǎo)線中電流變化。）直導(dǎo)線中電流變化。 O C 1 14-10 4-10 磁場的能量磁場的能量 在右面的電路中，燈泡在右面的電路中，燈泡 與電感線圈并聯(lián)后，接在電與電感線圈并聯(lián)后，接在電 源上，當(dāng)電鍵源上，當(dāng)電鍵K從閉合狀態(tài)，從閉合狀態(tài)， 變?yōu)榇蜷_狀態(tài)時，燈泡并不變?yōu)榇蜷_狀態(tài)時，燈泡并不 是立即就熄滅，而是閃亮一是立即就熄滅，而是閃亮一 下才熄滅。下才熄滅。 載流線圈具有能

33、量。載流線圈具有能量。 L K 自感線圈磁能自感線圈磁能 2 m 2 1 LIU 回路電回路電 阻所放阻所放 出的焦出的焦 耳熱耳熱 RI t I L d d tt tRILItI 0 22 0 d 2 1 d tRIILItIddd 2 電電 源源 作作 功功 電源反電源反 抗自感抗自感 電動勢電動勢 做的功做的功 l r2 R nIBVnL 0 2 0 , 2 0 2 0 2 m )( 2 1 2 1 n B VnLIU V B 0 2 2 1 Vum 磁場能量密度磁場能量密度BHH B u 2 1 2 1 2 2 0 0 2 m 磁場能量磁場能量 VV V B VuUd 2 d 0 2

34、mm 自感線圈磁能自感線圈磁能 2 m 2 1 LIU L I I I 1 2R 解解 由安培環(huán)路定律可求由安培環(huán)路定律可求 H r I HRrR 2 , 21 0, 1 HRr 0, 2 HRr 2 0m 2 1 Hu 2 0 ) 2 ( 2 1 r I 則則 21 RrR 2 R 1 R 例例1 如圖同軸電纜如圖同軸電纜, ,中間充以磁介質(zhì)中間充以磁介質(zhì), ,芯線與圓筒上芯線與圓筒上 的電流大小相等、方向相反。的電流大小相等、方向相反。已知已知R1 1 、 、R2 2 、 、I 、 , , 求單位長度同軸電纜的磁能和自感求單位長度同軸電纜的磁能和自感。 設(shè)金屬芯線內(nèi)設(shè)金屬芯線內(nèi) 的磁場可忽

35、略。的磁場可忽略。 I I 1 2R m u 2 0 ) 2 ( 2 1 r I 22 2 0 8r I 21 RrR V r I VuU VV d 8 d 22 2 0 mm 2 R 1 R rd r 單位長度殼層體積單位長度殼層體積 1d2drrV r r I U R R d 4 2 1 2 0 m 1 2 2 0 ln 4R RI 2 m 2 1 LIU 1 20 ln 2R R L 例例2 設(shè)電子是一個半徑為設(shè)電子是一個半徑為 R的小球，并假定電荷的小球，并假定電荷 均勻分布于其表面，當(dāng)電子以速度均勻分布于其表面，當(dāng)電子以速度v（ v c） 運動時，在電子周圍無限大空間內(nèi)建立電磁場。運動時，在電子周圍無限大空間內(nèi)建立電磁場。 試計算電磁場中的總磁能。試計算電磁場中的總磁能。 A B D C dV r v x y z O 解解 因為因為vc，所以離電所以離電 子瞬時位置子瞬時位置r處的磁感應(yīng)處的磁感應(yīng) 強(qiáng)度仍是強(qiáng)度仍