第三章 瞬態(tài)響應(yīng)及誤差

1、 典型輸入信號典型輸入信號 i 0 ( ) 00 at x t t i 0 ( ) 00 att x t t 2 i 0 ( ) 00 att x t t 0 0 0 0 i 0 lim0 ( ) 00 t a tt t x t ttt 或 k kk xg t n ( )x t 0 0 lim n kk n k t y txg t xg td 00 0sin )( t tta txi 3.1節(jié)小結(jié)節(jié)小結(jié) o i 1 1 Xs XsTs 3.2.1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) i ( )1x tt i 1Xss o oi i 1 11 1 111 1 T Xs XsXs XsT

2、ss T sTsss 1 o( ) 11 t T x tet o 1 lglg 1( )e tx t T 1 o( ) 11 t T x tet Lg1-xo(t) t 0 o 1 lglg 1( )e tx t T 3.2.2一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) i ( )1x ttt i 2 1 Xs s o oi 2 i 2 1 11 1 1 T Xs XsXs XsTss TT sss 1 o( ) 1 t T x tt TTet 3.2.3 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) i ( )x tt i 1Xs o oi i 1 1 1 1 1 T T Xs XsXs

3、XsTs s 1 o 1 ( )1 t T x tet T 1 o 1 ( )1 t T x tet T 3.2節(jié)小結(jié)節(jié)小結(jié) ot o1 o1 o d d d ( ) d xt xt t xt xt t 1 ot( ) 1 Tt x tt T Tet 1 o1( ) 11 Tt x tet 1 1 o( ) 1 T t T xtet n 2 on 22 inn ( ) ( )2 Xs X sss o 22 i ( )1 ( )21 Xs X sT sTs n 1T 3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) i ( )1x tt i 1Xss o oi i 2 n 22 nn 1

4、2 Xs XsXs Xs sss 1. 欠阻尼欠阻尼 01 2 on indnd ( ) ( )jj Xs X sss 2 dn 1 nn o22 22 ndnd 1s Xs s ss nn odd 2 ( )1cos()sin() 1 1 tt x tetett n 2 od 2 1 ( )1sinarctan1 1 t e x ttt d 2. 臨界阻尼臨界阻尼 1 2 on 2 i n ( ) ( ) Xs X s s nn on ( )11 tt x tteet n o2 n n 11 Xs ss s 3. 過阻尼過阻尼 1 2 on 22 i nnnn ( ) ( ) 11 Xs X

5、 s ss o oi i 2 n 22 nnnn 2222 22 nnnn 1 11 11 2(1 1)2(1 1)1 11 Xs XsXs Xs s ss s ss 22 nn 11 o 2222 11 ()11 21 121 1 tt x teet 4. 零阻尼零阻尼 0 2 on 22 in ( ) ( ) Xs X ss on ( )1 cos() 1x ttt o 22 n 1s Xs ss 5. 負(fù)阻尼負(fù)阻尼 0 o xt t 3.3.2二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) i ( )x tt i 1Xs o oi i 2 n 22 nn 1 2 Xs XsXs Xs ss

6、 n d 22 n o2 2 ndnd nd 1 jj Xs ss s 1. 欠阻尼欠阻尼 01 2 on indnd ( ) ( )jj Xs X sss 2 dn 1 n n od 2 ( )sin() 1 1 t x tett d 2. 臨界阻尼臨界阻尼 2 on 2 i n ( ) ( ) Xs X s s n 2 on ( )1 t x ttet 2 n o2 n Xs s 1 3. 過阻尼過阻尼 1 22 nn oo1 11 n 2 ( )d( ) d 1 21 tt x txtt eet 3.3.3 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) i ( )1x ttt i 2 1

7、 Xs s o oi i 2 n 222 nn 1 2 Xs XsXs Xs sss 1. 欠阻尼欠阻尼 01 2. 臨界阻尼臨界阻尼 1 3. 過阻尼過阻尼 1 3.3節(jié)小結(jié)節(jié)小結(jié) 1 01 0 0 1 2 on 22 inn ( ) ( )2 Xs X sss 1. 上升時(shí)間上升時(shí)間 r t t o ( )x t r t r t 2. 峰值時(shí)間峰值時(shí)間 p t t o ( )x t p t 3. 最大超調(diào)量最大超調(diào)量 p M t o ( )x t p M 4. 調(diào)整時(shí)間調(diào)整時(shí)間 s t t o ( )x t s t 5. 延遲時(shí)間延遲時(shí)間 d t t o ( )x t d t 6. 振蕩次

8、數(shù)振蕩次數(shù) s t t o ( )x t s t 時(shí)域性能指標(biāo)的求取時(shí)域性能指標(biāo)的求取 1,2nd js 2 dn 1 2 1 arctan r t or ( )1x t n 2 od 2 1 ( )1sinarctan1 1 t e x ttt n r 2 d r 2 1 11sinarctan 1 t e t 1. 求取上升時(shí)間求取上升時(shí)間 n r 0 t e 2 r 2 d n 111 arctanarccos 1 t 2 d r 1 sinarctan0t 2 d r 1 arctant o d 0 d xt t n pn p dn d pd p 22 sincos0 11 tt ee

9、 tt p t 2. 求取峰值時(shí)間求取峰值時(shí)間 n 2 od 2 1 ( )1sinarctan1 1 t e x ttt n p 0 t e d d p n tantant d p p 2 d n 1 t t n 2 n n 2 2 n pop - 1-2 2 - 1-1- ( ) 1 1- = 1-sinarctan-1 1- = Mx t e ee p M 3. 求取最大超調(diào)量求取最大超調(diào)量 s t4. 求取調(diào)整時(shí)間求取調(diào)整時(shí)間 n 2 od 2 1 ( )1sinarctan1 1 t e x ttt n 2 5% 1 t e 2 s n ln 0 .0 5ln1 t s nn ln

10、0 .0 24 t s nn ln 0.053 t s t n 當(dāng)允許有一定超調(diào)時(shí)，工程上一般選當(dāng)允許有一定超調(diào)時(shí)，工程上一般選 擇二階系統(tǒng)阻尼比擇二階系統(tǒng)阻尼比在在0.51之間。當(dāng)之間。當(dāng) 變小時(shí)，變小時(shí)，愈小，則調(diào)整時(shí)間愈小，則調(diào)整時(shí)間 愈長；愈長； 而當(dāng)而當(dāng)變大時(shí)，變大時(shí)，愈大，調(diào)整時(shí)間愈大，調(diào)整時(shí)間 也愈也愈 長。長。 iooo ftkxtD xtM xt 2 oi 2 n o 222 2 inn 11 1 2 M sD skXsFs k Xs kMk Dk FsM sD skss ss MM 2 1 p 0 .0 0 2 9 0 .0 3 0 .6 Me p 22 nn n 2 11

11、0 .6 1 .9 6/ t ra ds ooi 2 00 2 0 1 limlim 18.98.9 lim0.03 ss s xsXssF s MsDsk sm MsDsksk 8.9 297/ 0.03 kN m 22 n 297 77.3 kg 1.96 k M n 22 0.6 1.96 77.3 181.8/ DM Nrad s 對于一個(gè)實(shí)際的控制系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入作用的類 型(給定量或擾動(dòng)量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或拋物線)不 同，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致 或相當(dāng)，也不可能在任何形式的擾動(dòng)作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到 原平衡位置。這類由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、

12、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生 的穩(wěn)態(tài)誤差稱為原理性穩(wěn)態(tài)誤差。 此外，控制系統(tǒng)中不可避免地存在摩擦、間隙、不靈敏區(qū) 等非線性因素，都會造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差。這類由于非線性因 素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差稱為附加穩(wěn)態(tài)誤差或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差。 本節(jié)只討論原理性穩(wěn)態(tài)誤差，不討論結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差。 3.5 穩(wěn)態(tài)誤差分析與計(jì)算 顯然，只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；對于不 穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，根本不存在研究穩(wěn)態(tài)誤差的可能性。 有時(shí)，把在階躍函數(shù)作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)， 稱為無差系統(tǒng)；而把具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為有差系 統(tǒng)。 3.5 穩(wěn)態(tài)誤差分析與計(jì)算 輸出量的希望值 和實(shí)際值 之差。即 )()()( 0

13、 tctct )( 0 tc)(tc 系統(tǒng)的輸入 和主反饋信號 之差。即 )()()(tbtrte )(tr )(tb 當(dāng)t時(shí)的系統(tǒng)誤差，用 表示。即 )(limt t ss ss 當(dāng)t時(shí)的系統(tǒng)偏差，用 表示。即 )(limtee t ss ss e )(sE - )(s )( 0 sC )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sB 對單位反饋系統(tǒng) 給定作用 即為輸出量 的希望值， ，偏 差等于誤差， 。 )()( 0 tctr )(tr )()(tet 一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差： 系統(tǒng)偏差： 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差： 系統(tǒng)誤差： 偏差和誤差之間存在一定的關(guān)

14、系： )()()()()()()()()( 0 ssHsCsHsCsHsBsRsE 我們將用偏差 代替誤差進(jìn)行研究。除非特別說明，以后所說 的誤差就是指偏差；穩(wěn)態(tài)誤差就是指穩(wěn)態(tài)偏差。 )(sE )(sE- )(s )( 0 sC )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sH )(sB 對非單位反饋系統(tǒng) 給定作用 只是希望輸出 的代表值， ，偏 差不等于誤差， 。 )()( 0 tctr )(tr )()(tet 0 C )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - +)( 1 sE )(sH - )(s )( 0 sC )( 1 sH )( 1

15、 sR)(sE 這里 是基于控制系統(tǒng)在理想工作情況下 得到的。 )()()( 0 sCsHsR 0)(sE 二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - +)(sE )(sH )(sB )( 2 sG)(sH )(sR - )(sB )(sE )( 1 sG )(sC )()()(1 1 )( )( )( 21 sHsGsGsR sE s E 給定作用下的偏差傳遞函數(shù) 誤差的定義相當(dāng)于從系統(tǒng)輸出端來定義的，在系統(tǒng)性能指 標(biāo)中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無法量測，因而一般只有 數(shù)學(xué)意義； 偏差的定義相當(dāng)于從系統(tǒng)輸入端來定義的，在實(shí)際系統(tǒng)中 是可以量測的，具有

16、一定的物理意義。 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 擾動(dòng)作用下的偏差傳遞函數(shù) )( 1 sG )( 2 sG)(sH )(sC)(sB )(sN + )(sE 1 )()()(1 )()( )( )( )( 21 2 sHsGsG sHsG sN sE s NE 給定和擾動(dòng)同時(shí)作用下的偏差表達(dá)式 )()()()()(sNssRssE NEE )()()(1 )()()( )()()(1 )( 21 2 21 sHsGsG sNsHsG sHsGsG sR )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - +)(sE )(sH )(sB 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 對穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)

17、誤差 )()()(1 )()()( lim )()()(1 )( lim)(lim)(lim 21 2 0 21 00 sHsGsG sNsHssG sHsGsG ssR ssEtee ssst ss 終值定理要求 和 可拉氏變換； 存在；并且 除在原點(diǎn)處可以有極點(diǎn)外， 的所有極點(diǎn)都在s平面的左半開 平面。 )(tf dt df )(limtf t )(ssF 即只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 例1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信 號為單位斜坡函數(shù)時(shí)，求系統(tǒng)在輸入 信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能 使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？ ) 12)(1( ) 15 . 0( sss sK

18、)(sR )(sC - 解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；所以先判穩(wěn) 系統(tǒng)特征方程為0)5 . 01 (32 23 KsKss 由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：60 K ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( )()()(1 1 )( )( )( 21 sKsss sss sHsGsGsR sE s E 2 1 )( s sR 2 1 ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( )( ssKsss sss sE KssKsss sss sssEe ss ss 11 ) 15 . 0() 12)(1( ) 12)(1( lim)(lim 2 00 由穩(wěn)定的條件知： 不能滿

19、足 的要求 6 1 ss e1 . 0 ss e 穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算 三、給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析 這時(shí)，不考慮擾動(dòng)的影響。 可以寫出系統(tǒng)的誤差 ： )(sE)(sR H 2 G 1 G - )( 1 1 )( 1 1 )( 21 sR G sR HGG sE k )(1 )( lim)(lim)(lim 00 sG ssR ssEtee k sst ssr 顯然， 與輸入和開環(huán)傳遞函數(shù)有關(guān)。 ssr e 假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù) 的形式如下：)(sGk )( ) 12() 1( ) 12() 1( )( 0 1 2 1 1 2 1 21 21 sG s K sTsTsT sss s K sG n l

20、 lll n j j m k kkk m i i k 給定輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 )( ) 12() 1( ) 12() 1( )( 0 1 2 1 1 2 1 21 21 sG s K sTsTsT sss s K sG n l lll n j j m k kkk m i i k 式中： 開環(huán)放大系數(shù)； 積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；K nnnmmmG 21210 2,2, 1)0( Ks sRs sG s K ssR sG ssR e v v s v s k s ssr )( lim )(1 )( lim )(1 )( lim 1 0 0 00 可見給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)；與時(shí)間常數(shù)形式的 開環(huán)增益

21、有關(guān)；與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。 給定輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 )( 0 sG開環(huán)傳遞函數(shù)去掉積分和比例環(huán)節(jié)； 系統(tǒng)的無差度階數(shù)（開環(huán)傳遞函數(shù)的型） 通常稱開環(huán)傳遞函數(shù)中積分的個(gè)數(shù)為系統(tǒng)的無差度階數(shù)，并將系 統(tǒng)按無差度階數(shù)進(jìn)行分類。 0當(dāng) ，無積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng) 1當(dāng) ，有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為型系統(tǒng) 2 當(dāng) ，有二個(gè)積分環(huán)節(jié)，稱為型系統(tǒng) 當(dāng) 時(shí)，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當(dāng)困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外， 型及型以上的系統(tǒng)幾乎不用。 2 開環(huán)系統(tǒng)的型 式中： 稱為位置誤差系數(shù)； )(lim 0 sGK k s p K eKsKGK ssr s p 1 1 ,)(lim0 0 0 ，時(shí)當(dāng) 0,)(lim1 0 0 ss

22、r s p esG s K K ，時(shí)當(dāng) 在單位階躍作用下， 的系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，此時(shí)開環(huán)增益K 越大穩(wěn)態(tài)誤差越?。?的系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。 0 1 q當(dāng)輸入為 時(shí)（單位階躍函數(shù)） s sR 1 )( 0 0 111 lim 1( )1 lim( )1 ssr s kkp s s e G ssG sK 的大小反映了系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越 小。所以說 反映了系統(tǒng)跟蹤階躍輸入的能力。 p K p K ss e p K 單位階躍函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 q 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位斜坡函數(shù)） 2 1 )( s sR 2 0 0 111 lim 1( )lim( ) ssr s kkv s s e G

23、 sss G sK 式中： 稱為速度誤差系數(shù)； )(lim 0 sGsK k s v ssr s v essKGK,0)(lim0 0 0 ，時(shí)當(dāng) K eKsKGK ssr s v 1 ,)(lim1 0 0 ，時(shí)當(dāng) 0,)(lim2 0 0 ssr s v esG s K K，時(shí)當(dāng) 的大小反映了系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越 小。所以說 反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的能力。 v K ss e v K v K 根據(jù) 計(jì)算的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在跟蹤速度階躍輸入時(shí)位置上的 誤差。 v K 單位斜坡函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 q 當(dāng)輸入為 時(shí)（單位加速度函數(shù)） 3 1 )( s sR 2 0 0 ( )1

24、1 lim 1( )lim( ) ssr s kka s sR s e G ssG sK 式中： 稱為加速度誤差系數(shù)； )(lim 2 0 sGsK k s a ssr s a esKGsK,0)(lim10 0 2 0 ， 時(shí)當(dāng) K eKsKGK ssr s a 1 ,)(lim2 0 0 ，時(shí)當(dāng) 0,)(lim3 0 0 ssr s a esG s K K，時(shí)當(dāng) 的大小反映了系統(tǒng)在拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。 越大， 越小。所以說 反映了系統(tǒng)跟蹤拋物線輸入的能力。 a K ss e a K a K 根據(jù) 計(jì)算的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)在跟蹤加速度階躍輸入時(shí)位置上 的誤差。 a K 單位加速度函數(shù)輸入時(shí)的

25、穩(wěn)態(tài)誤差 當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號由位置，速度和加速度分量組成時(shí)，即 avp ssr K C K B K A e Ct BtAtr 12 )( 2 時(shí)，有當(dāng) 小結(jié)： 給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)。對同一系統(tǒng)加入不同 的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。 與時(shí)間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關(guān)；對有差系統(tǒng)，K，穩(wěn)態(tài)誤 差，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。 與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，穩(wěn)態(tài)誤差，但 同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性變差。所以型及型以上的 系統(tǒng)幾乎不用。 由此可見對穩(wěn)態(tài)誤差的要求往往與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性的 要求是矛盾的。 組合輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 典型一階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 s K

26、sGk)( KK eKssGK v ssrk s v 11 )(lim 2 0 斜坡輸入時(shí) 0 1 1 )(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，階躍輸入時(shí)， a ssrk s a K esGsK 1 0)(lim 3 2 0 ，拋物線輸入時(shí) )(sC - s K )(sE)(sR 典型二階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 )2( )( 2 n n k ss sG )2( 2 n n ss - )(sR)(sC )(sE nv ssr n k s v K essGK 21 2 )(lim 2 0 斜坡輸入時(shí) 0 1 1 )(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，階躍輸入時(shí)， a

27、ssrk s a K esGsK 1 0)(lim 3 2 0 ，拋物線輸入時(shí) 分別討論速度反饋控制和比例微分控制對穩(wěn)態(tài)誤差的影響。 a. 輸出量的速度反饋控制的穩(wěn)態(tài)誤差 )2( 2 n n ss s - )(sR)(sC )2( 2 2 nn n ss - )(sR )(sC)(sE )(sE 0 1 1 )(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，階躍輸入時(shí)， a ssrk s a K esGsK 1 0)(lim 3 2 0 ，拋物線輸入時(shí) )2( )( 2 2 nn n k ss sG nv ssr nn n k s v K essGK 21 2 )(lim 2 2 2

28、0 斜坡輸入時(shí) b. 誤差的比例+微分控制的穩(wěn)態(tài)誤差 )2( 2 n n ss s1 - )(sR)(sC )2( )1 ( )( 2 n n k ss s sG )(sE nv ssr n k s v K essGK 21 2 )(lim 2 0 斜坡輸入時(shí) 0 1 1 )(lim1 1 0 p ssrk s p K esGK，階躍輸入時(shí)， a ssrk s a K esGsK 1 0)(lim 3 2 0 ，拋物線輸入時(shí) 比例微分控制不改變原系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，而測速反饋控制的穩(wěn)態(tài)誤 差比原系統(tǒng)來得大。 四、擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)的誤差分析 通常，給定輸入作用產(chǎn)生的誤差為系統(tǒng)的給定誤差，擾動(dòng) 作用產(chǎn)

29、生的誤差為擾動(dòng)誤差。 0)(, 0)(sNsR 時(shí)產(chǎn)生的 稱為擾動(dòng)誤差。 )()(sHsC )(sR )(sN )(sC )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH HGG G sN sC 21 2 1)( )( HGG sNG sC 21 2 1 )( )( )( 1 )()()( 21 2 sN HGG HG sHsCsE )( 1 lim)(lim)(lim 21 2 00 sN HGG HG sssEtee sst ssn 擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 可見， 不僅與 有關(guān)，還與 和 有關(guān) （擾動(dòng)點(diǎn)到偏差之間的那部分通道傳遞函數(shù)）。 ssn e)()(sNsGk， )( 2

30、sG)(sH )( 1 lim 21 2 0 sN HGG HG se s ssn )( ) 12() 1( ) 12() 1( )( 0 1 2 1 1 2 1 21 21 sG s K sTsTsT sss s K sG n l lll n j j m k kkk m i i k 式中：nnnmmmG 21210 2,2, 1)0( HGG HGG G ssN s 21 21 1 0 1 )( lim k k s G G G ssN 1 )( lim 1 0 擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 Ks K G ssN G s K G s K G ssN e v s v v s

31、 ssn 1 0 0 0 1 0 )( lim 1 )( lim 上式中 為開環(huán)傳遞函數(shù)所具有的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)。 v s )( 1 sG )()( 2 sHsG當(dāng) ，即開環(huán)傳遞函數(shù)中無積分環(huán)節(jié)，同時(shí)假設(shè) 無純微分環(huán)節(jié)，因此 中也無積分環(huán)節(jié)。 0v K K G ssN e s ssn 1 )( lim 1 0 此時(shí)在階躍擾動(dòng)輸入時(shí)是有差系統(tǒng)，設(shè)1) 0 ()()( 101011 GsGKsG， )1 ( 1 KK K essn 2010 2010 1 2 1 1 2 1 10 ) 12() 1( ) 12() 1( )( n l lll n j j m k kkk m i i sTsTsT sss

32、 sG 當(dāng) ，即開環(huán)傳遞函 數(shù)中有積分環(huán)節(jié)，但積分 環(huán)節(jié)可在不同的地方。 0v 1 0 1 0 1 0 )( lim )( lim )( lim G ssN K K G ssN Ks K G ssN e ss v s ssn 1) 0 ()()( 1010 1 1 GsG s K sG u ，設(shè) 1 1 0 )( lim K sNs e u s ssn 設(shè) 即 無積分環(huán)節(jié)，在階躍擾動(dòng)作用下 0u)( 1 sG 1 1 K essn 設(shè) 即 有積分環(huán)節(jié)，在階躍擾動(dòng)作用下 0u)( 1 sG0 ssn e 此時(shí)，盡管開環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)，在階躍擾動(dòng)作用下 還是有差的。 )(sR )(sN )(s

33、C )( 2 sG)( 1 sG - + )(sE )(sH 擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 若 ，在階躍擾動(dòng)作用下是無差的。若 在斜坡擾動(dòng) 作用下也是無差的。 因此 環(huán)節(jié)中的積分環(huán)節(jié)決定了擾動(dòng) 作用下的無差度。 1u2u )( 1 sG 五、誤差分析與反饋環(huán)節(jié)的關(guān)系 )( 1 sG )( 2 sG)(sH )(sC)(sB )(sN + )(sE 1 )( 2 sG )(sH )(sR - )(sB )(sE )( 1 sG )(sC 由圖可見，不管是給定 還是擾動(dòng)作用產(chǎn)生的穩(wěn) 態(tài)誤差，都與圖中反饋 環(huán)節(jié)中的積分環(huán)節(jié)的個(gè) 數(shù)有關(guān)。 擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 例1：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 當(dāng) 時(shí)，求系

34、統(tǒng) 的穩(wěn)態(tài)誤差 ；若要求穩(wěn)態(tài)誤 差為零，如何改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 )( 1)()(ttntr ss e 該系統(tǒng)對給定輸入而言屬于型系統(tǒng)。所以當(dāng)給定輸入為單位階 躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差0 ssr e 但該系統(tǒng)對于擾動(dòng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 并不 等于零。根據(jù)前面的分析知，穩(wěn)態(tài)誤差與G1中的增益和積分環(huán)節(jié)的 個(gè)數(shù)有關(guān)。此時(shí)因G1無積分環(huán)節(jié)，所以 ssn e 1 1 K essn - )(sR )(sN )(sC+ 11 KG s K G 2 2 )(sE 也可這樣求 121 2 00 1 lim 1 lim KKKs K s se s NE s ssn 1 1 K eee ssnssrss 擾動(dòng)誤差

35、與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 解： 若想使穩(wěn)態(tài)誤差為零，則要 求G1中有積分環(huán)節(jié)，令 s K G 1 1 此時(shí)0lim 1 1 lim 21 2 2 0 2 21 2 0 KKs sK ssKK sK se ss ssn - )(sR )(sN )(sC+ s K G 1 1 s K G 2 2 )(sE 由于此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞，成為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng) ，直接 加一個(gè)積分環(huán)節(jié)是不可行的。若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，還必須在原G1 中引入比例+微分環(huán)節(jié) - )(sR )(sN )(sC+ s sK) 1( 1 s K2 )(sE s sK G ) 1( 1 1 0 ) 1( 2121 2 21 KKsKKs sKK

36、當(dāng)K10，K20， 0時(shí) 系統(tǒng)穩(wěn)定 對不對？ 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 由此可見當(dāng)用 時(shí)，才能在保證穩(wěn)定的前提下使 系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。 s sK G ) 1( 1 1 s sK G ) 1( 1 1 這個(gè)環(huán)節(jié)稱為比例+積分環(huán)節(jié)或比例+積分控制器(PI控制器)。 s ssK G ) 1)(1( 211 1 這個(gè)環(huán)節(jié)稱為比例+積分+微分環(huán)節(jié)或比例+積分+微分控制器 （PID控制器）。 ) 1 ( 1 s K s K K 1 1 s sKsKK 2 321 sKK s K 32 1 所謂比例+積分(PI)或比例+積分+微分 (PID)控制器的作用就是在 保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定及動(dòng)態(tài)特性的

37、前提下提高系統(tǒng)的控制精度。 擾動(dòng)誤差與積分環(huán)節(jié)的關(guān)系 例3-9速度控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。給定輸入和擾動(dòng)作 用均為單位斜坡函數(shù)。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 - + )(sR)(sE )(sN )( sN )(sC 1 k ) 1( 2 Tss k 1sT k n n 解：，、 2 1 )(,)(0)( s sRttrtn即先令1 )(sR)(sE ) 1( 21 Tss kk , )( )( )( 21 2 2 kksTs sTs sR sE s E 2 21 2 2 1 )()()( skksTs sTs sRssE E 2121 2 00 11 lim)(lim kkkksTs Ts sEse

38、 ss ssr 穩(wěn)態(tài)誤差的例子|例3-9 21 2 2 21 ) 1( 1 1 )( )( kksTs sTs Tss kk sN sC 21 2 )( kksTs sTs sC )( 1 )( 21 2 2 sN sT k kksTs sTs sN n n 21 2 21 2 2 00 1 1 lim)(lim kk k ssT k kksTs sTs ssCse n n n ss ssn 3、總的穩(wěn)態(tài)誤差為： 212121 11 kk k kk k kk e nn ss 2 1 )(, 0)( s tNsR再令2、 - + )(sR)(sE )(sN )( sN )(sC 1 k ) 1(

39、 2 Tss k 1sT k n n 穩(wěn)態(tài)誤差的例子|例3-9 q 為了減少給定誤差，可以增加前向通道上的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或 增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。 q 為了減小擾動(dòng)誤差，可以增加偏差點(diǎn)到擾動(dòng)作用點(diǎn)之間積分環(huán) 節(jié)個(gè)數(shù)或放大系數(shù)。 q 放大系數(shù)不能任意放大，積分環(huán)節(jié)也不能太多（一般2個(gè)）， 否則系統(tǒng)將會不穩(wěn)定。 結(jié)論： 復(fù)合控制系統(tǒng)：在控制系統(tǒng)中引入與給定作用和擾動(dòng)作用有 關(guān)的附加控制可構(gòu)成復(fù)合控制，可進(jìn)一步減小給定誤差和擾動(dòng) 誤差。 圖(a)的誤差： )( )()(1 1 )( 21 sR sGsG sE 按給定作用補(bǔ)償： )(sR)(sE)(tC )( 1 sG)( 2 sG 圖(a) )(s

40、R)(sE)(tC )( 1 sG)( 2 sG )( 3 sG )(sB 圖(b) 在圖(a)的基礎(chǔ)上加上環(huán)節(jié) ，就構(gòu)成了順饋控制系統(tǒng)。)( 3 sG 六、復(fù)合控制系統(tǒng)的誤差分析 復(fù)合控制系統(tǒng) 再來計(jì)算圖(b)的誤差函數(shù) 。 )(s E )(sR )(s E )(tC )( 1 sG)( 2 sG )( 3 sG )(sB )(sR)(s E )(tC )()( 31 sGsG )()(1 )( 32 2 sGsG sG )(sR)(tC )( 1 sG)( 2 sG )( 3 sG )(sB )( 3 sG )(s E )(sR)(s E )(tC )()(1 )()()( 32 231

41、sGsG sGsGsG )( 1 1 )( 21 32 sR GG GG sE )()(1 )()(1 )()(1 )()()( 1 1 )( )( 21 32 32 231 sGsG sGsG sGsG sGsGsG sR sE 即由給定引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零， 輸出完全復(fù)現(xiàn)給定輸入。該式 稱為按給定作用實(shí)現(xiàn)完全不變 性的條件。 若滿足 則 ，, 1 2 3 G G 0)( s E 復(fù)合控制系統(tǒng) 由于這種補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)G3(s)是在系統(tǒng)的回路之外，因此可以先 設(shè)計(jì)系統(tǒng)的回路，保證其有較好的動(dòng)態(tài)性能，然后再設(shè)計(jì)補(bǔ)償器以 提高系統(tǒng)對典型輸入信號的穩(wěn)態(tài)精度。 由上面分析可看出，按輸入補(bǔ)償?shù)霓k法，實(shí)際

42、上相當(dāng)于將輸入信號 先經(jīng)過一個(gè)環(huán)節(jié)，進(jìn)行一下“整形”，然后再加給系統(tǒng)的回路，使 系統(tǒng)既能滿足動(dòng)態(tài)性能的要求，又能保證高穩(wěn)態(tài)精度。 R 21G G 1 3 G G )(sC )(sR )(tC 1 G 2 G 3 G )(sB )(sR )(tC 1 G 2 G 1 3 G G )(sB 21 231 1 )( )( GG GGG s 若滿足 則 。, 1 2 3 G G 1)( s )(sE)(sR )(sN )(sC )( 1 sG)( 2 sG - + 按擾動(dòng)作用補(bǔ)償 )( 3 sG - 令 ，由于是 單位反饋系統(tǒng)，所以 誤差 。 0)(sR )()(sCsE 前饋控制系統(tǒng) 未加前饋時(shí)，

43、21 2 1)( )( )( GG G sN sC s N )( 1 )()( 21 2 sN GG G sCsE )(sN )(sC )(sE )( 3 sG )( 1 sG )( 2 sG - + 1 )(sN )(sC )()( 31 sGsG )( 1 sG )( 2 sG - + - + )( )()(1 )()()(1 )( 21 231 sN sGsG sGsGsG sC )( )()(1 )()()(1 )()( 21 231 sN sGsG sGsGsG sCsE ，0)( )( 1 )( 1 3 sE sG sG則若 這個(gè)條件就是對擾動(dòng)作用實(shí)現(xiàn)完全 不變性的條件。即系統(tǒng)的輸

44、出完全不受擾動(dòng)的影響。 但在實(shí)際的系統(tǒng)中，有時(shí) 是難以實(shí)現(xiàn)的。 )( 1 )( 1 )( 21 3 sGsG sG或 )( )()(1 )()()(1 )()( 21 231 sN sGsG sGsGsG sCsE 從結(jié)構(gòu)圖可看出，實(shí)際上是 利用雙通道原理使擾動(dòng)信號 經(jīng)兩條通道到達(dá)相加點(diǎn)時(shí)正 好大小相等，方向相反。從 而實(shí)現(xiàn)了干擾的全補(bǔ)償。 )(sR )(sN )(sC )(sE )( 3 sG )( 1 sG)( 2 sG - -+ 因?yàn)橐话阄锢硐到y(tǒng)的傳遞函數(shù)分母的階數(shù)總比分子的階數(shù)高。 可以采取近似的補(bǔ)償，以減小給定或擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。 前饋控制系統(tǒng) 例3-10如圖所示的復(fù)合系統(tǒng)。 )1

45、( )(, 1 )( 2 2 2 1 1 1 sTs K sG sT K sG 順饋補(bǔ)償環(huán)節(jié) 。試求位置誤差和速度誤差。并討論位置 誤差、速度誤差與 的關(guān)系。 ssG d )( 3 d )(sR)(sE)(tC )( 1 sG)( 2 sG )( 3 sG )(sB 解：無補(bǔ)償時(shí)誤差為： )( 1 1 )( 21 sR GG sE 有補(bǔ)償時(shí)誤差為： )( 1 1 )( 21 32 sR GG GG sE 0 )1(1 1 1 lim)(lim 2 2 1 1 00 s A sTs K sT K sssEe ss ssr 無補(bǔ)償時(shí)， q 位置誤差： s A sRtAtr)(),(1)( 0 )1

46、(1 1 )1( 1 lim)(lim 2 2 1 1 2 2 00 s A sTs K sT K s sTs K sssEe d ss ssr 有補(bǔ)償時(shí)， 復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差例子 q 速度誤差： 2 )(,)( s B sRBttr 當(dāng) 時(shí)，沒有順饋補(bǔ)償，速度誤差等于 。 0 d 21K K B essr 21 2 2 2 1 1 00 ) 1(1 1 1 lim)(lim KK B s B sTs K sT K sssEe ss ssr 無補(bǔ)償時(shí)， 21 2 2 2 2 1 1 2 2 00 )1 ( ) 1(1 1 ) 1( 1 lim)(lim KK BK s B sTs K sT K

47、s sTs K sssEe d d ss ssr 有補(bǔ)償時(shí)， 2 1 0 K d 當(dāng) 時(shí)，還有速度誤差，但比補(bǔ)償前要小。 當(dāng) 時(shí)，速度誤差為零，實(shí)現(xiàn)了完全補(bǔ)償。這是一種近 似不變性，相當(dāng)于等效單位反饋系統(tǒng)的無差度階數(shù)提高到2。這 種近似不變性較易實(shí)現(xiàn)。 2 1 K d 分析： 復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差例子續(xù) 當(dāng) 時(shí)，速度誤差為負(fù)，過度補(bǔ)償。表示輸出量大于要 求值。 2 1 K d )()(1 )()()( )( 21 231 sGsG sGsGsG s 2121 112 ) 1)(1( )1( KKsTsTs sTsKK d 設(shè)等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,令 )(1 )( )( sG sG s

48、 k k )(sGk )1)(1( )1( )(1 )( )( 221 112 d d k KsTsTs sTsKK s s sG 可見當(dāng) 時(shí)，等效單位反饋系統(tǒng)的無差度階數(shù)提高到2。 2 1 K d 若根據(jù)按給定作用實(shí)現(xiàn)完全不變性的條件，則要求 2 2 2 3 ) 1(1 K sTs G G ，這顯然比 難于實(shí)現(xiàn)。 2 3 K s sG d 此時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 復(fù)合系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差例子續(xù) 七、動(dòng)態(tài)誤差系數(shù) 前面討論的誤差系數(shù)都稱為靜態(tài)誤差系數(shù)，它們分別針對輸入為 階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)而言的。其特點(diǎn)是對于一個(gè)給定系 統(tǒng)只有一個(gè)系數(shù)為有限值，其它系數(shù)不是零就是無窮大。因而，通過 靜態(tài)誤差系數(shù)求得的穩(wěn)態(tài)誤差或是零，或是有限非零值，或是無窮大， 而不反映誤差與時(shí)間的關(guān)系。 下面介紹的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法，可以研究輸入信號幾乎為任意時(shí)間 函數(shù)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與時(shí)間的關(guān)系，因此動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)又稱廣義誤 差系數(shù)。 現(xiàn)只