2020-2021學年數學第四冊教案：第11章11.1.4　棱錐與棱臺含解析

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年數學新教材人教b版必修第四冊教案：第11章 11.1.4棱錐與棱臺含解析11.1。4棱錐與棱臺學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1。了解棱錐、棱臺的定義和結構特征(重點)2掌握棱錐、棱臺平行于底面的截面的性質（難點)3知道棱錐、棱臺的表面積計算公式，能用公式解決簡單的實際問題（重點、難點)1。通過棱錐、棱臺的定義及結構特征的學習,培養(yǎng)數學抽象的核心素養(yǎng)2借助棱錐、棱臺中的有關計算問題，提升數學運算的核心素養(yǎng).我們見到的很多建筑物呈棱錐形狀思考：觀察棱錐的結構，你能給出一個幾何體是棱錐的充要條件嗎？1棱錐（1)棱錐的定義、分類、圖形及表示棱錐圖形及表示定

2、義如果一個多面體有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，則稱這個多面體為棱錐如圖棱錐可記作：棱錐sabcd或棱錐s。ac相關概念底面（底）：是多邊形的那個面;側面:有公共頂點的各三角形；側棱：相鄰兩側面的公共邊；頂點:各側面的公共頂點；高：過棱錐的頂點作棱錐底面的垂線，所得到的線段（或它的長度）;側面積：所有側面的面積之和分類依據：底面多邊形的邊數；舉例：三棱錐（底面是三角形）、四棱錐(底面是四邊形)(2）正棱錐的有關概念及其特征如果棱錐的底面是正多邊形,且棱錐的頂點與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐，可以看出，正棱錐的側面都全等，而且都是等腰三角形,這些等腰三角形

3、底邊上的高也都相等，稱為棱錐的斜高2棱臺（1）棱臺的定義、分類、圖形及表示棱臺圖形及表示定義一般地，用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，所得截面與底面間的多面體稱為棱臺如圖棱臺可記作:棱臺abcd.abcd相關概念上底面:原棱錐的截面；下底面:原棱錐的底面；側面:其余各面；側棱：相鄰兩側面的公共邊；頂點:側面與上（下）底面的公共頂點；高：過棱臺一個底面上的任意一個頂點，作另一個底面的垂線所得到的線段(或它的長度）；側面積：所有側面的面積之和分類依據:由幾棱錐截得；舉例：三棱臺(由三棱錐截得)、四棱臺(由四棱錐截得）（2）正棱臺的有關概念及其特征由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺，不難看出,正棱臺上、下底

4、面都是正多邊形，兩者中心的連線是棱臺的高；而且，正棱臺的側面都全等，且都是等腰梯形,這些等腰梯形的高也都相等，稱為棱臺的斜高1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”）(1)有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體是棱錐（）(2)棱臺的側棱長都相等 （)（3)棱臺的側面展開圖是由若干個等腰梯形組成的（)答案（1)（2）（3）2下面四個幾何體中，是棱臺的是()abcdc棱臺的側棱延長后相交于同一點，故c正確3下面描述中，不是棱錐的結構特征的為()a三棱錐的四個面是三角形b棱錐都是有兩個面互相平行的多邊形c棱錐的側面都是三角形d棱錐的側棱相交于一點b根據棱錐的結構

5、特征，知棱錐中不存在互相平行的多邊形，故b錯4已知正四棱錐的底面邊長是2，高為，則這個正四棱錐的全面積是_84如圖所示，由題意,得ao，ob1，則ab2，又qr2,所以saqr222，則這個正四棱錐的全面積為242284.棱錐的結構特征【例1】有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？解不一定如圖所示，將正方體abcd。a1b1c1d1截去兩個三棱錐a。a1b1d1和c。b1c1d1，得如圖所示的幾何體，其中有一個面abcd是四邊形，其余各面都是三角形，但很明顯這個幾何體不是棱錐，因此有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐棱錐的三個本質特征(1）有一個面是多邊形(

6、2)其余各面是三角形（3）這些三角形有一個公共頂點1觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是()a是棱柱b不是棱錐c不是棱錐 d是棱臺b顯然是棱錐棱臺的結構特征【例2】下列關于棱臺的說法中,正確說法的序號是_（1)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；(2)棱臺的側面一定不會是平行四邊形；（3)棱臺的各側棱延長后必交于一點；(4）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐(2）（3)(1)錯誤，若平面不與棱錐底面平行,用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺;（2）正確,棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3)正確，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的,故棱

7、臺的各側棱延長后必交于一點；(4)錯誤,如圖所示四棱錐被平面pbd截成的兩部分都是棱錐棱臺結構特征問題的判斷方法（1）舉反例法結合棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱臺結構特征的某些說法不正確（2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點2判斷圖中的幾何體是不是棱臺？并說明為什么？解對于(1）（3)，幾何體的“側棱”不相交于一點，不是棱臺；對于（4),幾何體不是由平行于棱錐底面的平面截得的幾何體，從而（4）不是棱臺；對于（2）,符合棱臺的定義幾何體的計算問題探究問題1計算正三棱錐中底面邊長、斜高、高時,通常是將所求線段轉化到直角三

8、角形中，常用到的直角三角形有哪些？提示常用到的直角三角形有:由斜高、高、底面中心到邊的距離構成的三角形；由高、側棱和底面中心與底面頂點的連線構成的三角形2其他正棱錐的計算是否與正三棱錐計算用同樣的方法？提示是3正棱臺中的計算呢？提示根據正棱錐與正棱臺的關系，轉化到直角梯形中求解【例3】正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為2，求正三棱錐的高思路探究正三棱錐側棱、高和底面三角形外接圓半徑組成直角三角形勾股定理求解解作出正三棱錐如圖,so為其高，連接ao，作odab于點d，則點d為ab的中點在rtado中,ad，oad30,故ao。在rtsao中，sa2，ao，故so3，其高為3.1將本例中“側棱長為2

9、”，改為“斜高為2”，則結論如何？解連接sd(圖略）,在rtsdo中，sd2，doao，故so.2將本例中“三棱錐改為“四棱錐”,如何解答?解如圖正四棱錐s。abcd中，so為高,連接oc則soc是直角三角形,由題意bc3，則oc,又因為sc2，則so。故其高為.正棱錐、正棱臺中的計算技巧(1)正棱錐中的直角三角形的應用已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例)，其高po，底面為正方形，作pecd于e，則pe為斜高斜高、側棱構成直角三角形，如圖中rtpec斜高、高構成直角三角形，如圖中rtpoe.側棱、高構成直角三角形，如圖中rtpoc(2）正棱臺中的直角梯形的應用已知正棱臺如圖（以正四棱臺為例）,o1

10、，o分別為上、下底面中心，作o1e1b1c1于e1,oebc于e,則e1e為斜高，斜高、側棱構成直角梯形，如圖中梯形e1ecc1.斜高、高構成直角梯形，如圖中梯形o1e1eo.高、側棱構成直角梯形，如圖中梯形o1occ1.知識：1棱柱、棱臺、棱錐關系圖2棱柱、棱錐、棱臺的結構特征比較幾何體結構棱柱棱錐棱臺底面全等的多邊形多邊形相似的多邊形側面平行四邊形三角形梯形側棱平行且相等相交于頂點延長線交于一點平行于底面的截面與兩個底面全等的多邊形與底面相似的多邊形與兩個底面相似的多邊形過不相鄰兩側棱的截面平行四邊形三角形梯形方法:棱錐、棱臺中的計算問題的處理方法(1)求解此類問題的關鍵有兩點：一是轉化思

11、想的應用；二是構造直角三角形、直角梯形立體幾何問題的求解一般都是將問題轉化為平面幾何問題，用求解平面幾何常用的方法進行求解(2）正棱錐、正棱臺的側面積和表面積問題，經常涉及側棱、高、斜高、底面邊心距和底面外接圓半徑五個量之間的關系,即由側棱、高、底面外接圓半徑所組成的直角三角形、直角梯形或由高、斜高、底面邊心距所組成的直角三角形、直角梯形求出所需要的量，從而使問題得以解決. 1在三棱錐a。bcd中,可以當作棱錐底面的三角形的個數為（)a1個 b2個 c3個 d4個d在三棱錐a.bcd中,任何一個三角形都可作為棱錐的底面,所以有4個2下列說法正確的是（)a底面是正多邊形的棱錐是正棱錐b各側棱都相等的棱錐為正棱錐c各側面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐d底面是正多邊形,且各側面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐d對于a,不能保證頂點在底面上的射影為底面正多邊形的中心,故a說法錯誤；對于b，不能保證底面為正多邊形,故b說法錯誤;對于c,不能保證這些全等的等腰三角形的腰都作為側棱,故c說法錯誤只有d說法正確3如圖，在三棱臺abc.abc中，截去三棱錐a.abc，則剩余部分是(）a三棱錐 b四棱錐c三棱柱 d三棱臺b剩余幾何體為四棱錐a.bccb。4已知正四棱錐底面邊長為6,側棱長為5，則此棱錐的側面積為_48正四棱錐的斜高h4，s側46448。5畫一個三棱臺,再把它分成：（1）一個三棱