第5講 一維勢(shì)場(chǎng)中能量本征態(tài)的一般性質(zhì)

1、1 量子力學(xué) 光電子科學(xué)與工程學(xué)院光電子科學(xué)與工程學(xué)院 王可嘉王可嘉 第五講 一維勢(shì)場(chǎng)中能量本征態(tài)的一般性質(zhì) 有限深對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài) 2 第5講目錄 一、一、三論正交、歸一、完備態(tài)三論正交、歸一、完備態(tài) 二、二、 一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì) 三三、有限深對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài)有限深對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài) 3 一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（1 1） 態(tài)疊加原理：態(tài)疊加原理：任意量子態(tài)可按任意一組任意量子態(tài)可按任意一組正交、歸正交、歸 一、完備態(tài)一、完備態(tài)矢量來(lái)分解，即：矢量來(lái)分解，即： n n n c n 態(tài)矢量，也稱(chēng)基矢 量子

2、態(tài), n c 展開(kāi)系數(shù) mnnm rdrr 3* )()( 1, 0, mn mn mn 歸一 正交 4 一、一、三三論正交、歸一、完備態(tài)（論正交、歸一、完備態(tài)（2 2） 以一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)為例：以一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)為例： ., 0, 0 ;0),sin( 2 )( axx ax a xn a x n , 3 , 2 , 1 n 由由, 2 )(sin 0 2 dxnx)( , 0)sin()sin( 0 nmdxmxnx ,)()( mnnm dxxx 1, 0, mn mn mn 歸一 正交 由傅里葉級(jí)數(shù)可知：在由傅里葉級(jí)數(shù)可知：在 內(nèi)，任意奇函數(shù)可展開(kāi)為：內(nèi)，任

3、意奇函數(shù)可展開(kāi)為：),0(a 11 )(sin 2 )( n nn n n xc a xn c a x 完備完備 5 一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（3 3） 數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上： 為為完備性完備性。 11 )(sin 2 )( n nn n n xc a xn c a x 物理上：物理上： 是無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)，為是無(wú)限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)，為態(tài)疊加原態(tài)疊加原 理理的體現(xiàn)。的體現(xiàn)。 )(x n )(x n 由能量本征方程確定，構(gòu)成了體系的由能量本征方程確定，構(gòu)成了體系的基矢量基矢量。 如何確定如何確定 ？ n c * ( ) ( )(,) nnn cxx dx (,)

4、nnn c 和 的內(nèi)積 6 一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（4 4） dxxxc nnn )()(),( * 證明：由證明：由 1 )()( m mm xcx 1 * )()()()( m mmnn dxxcxdxxx n m mnm m mnm ccdxxxc 11 * )()( mnmn dxxx )()( * 其中：其中： 7 一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（5 5） 處于諧振子勢(shì)中的粒子，由能量本征方程確定的分立處于諧振子勢(shì)中的粒子，由能量本征方程確定的分立 波函數(shù)：波函數(shù)： 構(gòu)成一組構(gòu)成一組正交、歸一、正交、歸一、 完備完備的基矢。這是

5、由的基矢。這是由 的正交、歸一性得到的。的正交、歸一性得到的。 ),()( 2/ 22 axHeAx n xa nn )(xH n 可以證明：可以證明： 具有完備性，即可將任意函數(shù)用具有完備性，即可將任意函數(shù)用 展開(kāi)：展開(kāi)： 即：即： mnmn dxxx )()( * )(x n )(x n 1 )()( n nn xcx 根據(jù)根據(jù)態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理： 就是粒子在諧振勢(shì)就是粒子在諧振勢(shì) 下的態(tài)。下的態(tài)。 )(x2)( 2 KxxV 8 一、三論正交、歸一、完備態(tài)（一、三論正交、歸一、完備態(tài)（6 6） 結(jié)論：由能量本征方程解出的結(jié)論：由能量本征方程解出的 ，通常被稱(chēng)為態(tài)，通常被稱(chēng)為態(tài) 矢量，也

6、稱(chēng)矢量，也稱(chēng)基矢基矢，它們是，它們是正交、歸一、完備正交、歸一、完備的。無(wú)論在無(wú)的。無(wú)論在無(wú) 限深方勢(shì)阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài)限深方勢(shì)阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài) 都可以用都可以用 這一組這一組正交、歸一、完備正交、歸一、完備的基矢展開(kāi)：的基矢展開(kāi)： )(x n )(x 1 )()( n nn xcx 其中展開(kāi)系數(shù)：其中展開(kāi)系數(shù)：dxxxc nnn )()(),( * 粒子處于某一態(tài)矢粒子處于某一態(tài)矢 的的概率概率為：為：)(x n 22 ),( nn c 同時(shí)要同時(shí)要注意注意：也是粒子具有態(tài)矢：也是粒子具有態(tài)矢 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的能量能量 的的概率概率。 )(x n n E 9 二、一維勢(shì)場(chǎng)中

7、粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(1)(1) 1 1、定態(tài)：、定態(tài)： 薛定諤方程：薛定諤方程：),(),( 2 ),( 2 2 trtrV m tr t i 若若 不顯含不顯含 ，則有，則有),(trV t)/exp()(),( iEtrtr E 若已知若已知 時(shí)體系處于某一個(gè)能量本征態(tài)時(shí)體系處于某一個(gè)能量本征態(tài) ， 則在則在 后，體系狀態(tài)為后，體系狀態(tài)為 通常稱(chēng)這樣的態(tài)為通常稱(chēng)這樣的態(tài)為定態(tài)定態(tài)。由定態(tài)描述的粒子狀態(tài)，測(cè)量其由定態(tài)描述的粒子狀態(tài)，測(cè)量其 能量時(shí)，得到確定值能量時(shí)，得到確定值 。 0t )(r E 0t)/exp()(),( iEtrtr E 2

8、2、簡(jiǎn)并：、簡(jiǎn)并： 如果系統(tǒng)的能級(jí)是分立的，即如果系統(tǒng)的能級(jí)是分立的，即 ，若對(duì)同一個(gè)能，若對(duì)同一個(gè)能 級(jí)，有兩個(gè)及其以上的本征函數(shù)與其對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)能級(jí)級(jí)，有兩個(gè)及其以上的本征函數(shù)與其對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)這個(gè)能級(jí) 是是簡(jiǎn)并簡(jiǎn)并的。的。 n EE )/exp()( )/exp()( : 1 1 1 1 1 tiEr tiEr E E E E 10 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)( (2)2) ., 0, 0 ;0),sin( 2 )( axx ax a xn a x n 2 222 2ma n EE n , 3 , 2 , 1 n 例一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒

9、子的能量本征值和本征態(tài)為：例一、一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能量本征值和本征態(tài)為： 一個(gè)能量本征值一個(gè)能量本征值 對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài) ：非簡(jiǎn)并：非簡(jiǎn)并 n E)(x n 例二、一維諧振子的能量本征值和本征態(tài)為：例二、一維諧振子的能量本征值和本征態(tài)為： ,)2/1(nEE n ),()( 2/ 22 axHeAx n xa nn , 3 , 2 , 1 , 0 n 一個(gè)能量本征值一個(gè)能量本征值 對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征態(tài) ：非簡(jiǎn)并：非簡(jiǎn)并 n E)(x n 11 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)( (3)3) 3 3、宇稱(chēng)：、宇稱(chēng)：函數(shù)在函數(shù)在

10、空間反演空間反演下表現(xiàn)出的特性。下表現(xiàn)出的特性。 定義空間反演算符定義空間反演算符 ：P )()( xxP 若：若： 則稱(chēng)則稱(chēng) 具有確定的具有確定的 )()()( )()()( xxxP xxxP )(x 偶宇稱(chēng)偶宇稱(chēng) 奇宇稱(chēng)奇宇稱(chēng) 例：例： cos( )cos()cos( )Pxxx 偶宇稱(chēng)偶宇稱(chēng) 奇宇稱(chēng)奇宇稱(chēng))sin()sin()sin( xxxP 注意：注意：一般的函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱(chēng)！一般的函數(shù)沒(méi)有確定的宇稱(chēng)！ 12 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)( (4)4) 4 4、定態(tài)薛定諤方程、定態(tài)薛定諤方程 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 的粒子沿的粒子沿 軸運(yùn)

11、動(dòng)，勢(shì)能為軸運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為m),(txV 一般情況下：一般情況下： 若若 ，則，則 時(shí)，粒子時(shí)，粒子 處于定態(tài)處于定態(tài) ： 則有：則有： x 粒子波函數(shù)所滿(mǎn)足的方程為：粒子波函數(shù)所滿(mǎn)足的方程為： ),(),( 2 ),( 2 22 txtxV xm tx t i * VV )(),(xVtxV0t )/exp()(),(iEtxtx )()()( 2 2 22 xExxV dx d m 稱(chēng)其為定態(tài)薛定諤方程，也就是能量本征方程。稱(chēng)其為定態(tài)薛定諤方程，也就是能量本征方程。 13 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(5)(5) 七個(gè)定理：七個(gè)定理： 定理定理

12、1 1：設(shè)設(shè) 是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的 能量本征值為能量本征值為 ， 則則 也是能量本征方程的一個(gè)解，也是能量本征方程的一個(gè)解， 其對(duì)應(yīng)的能量本征值為其對(duì)應(yīng)的能量本征值為 。 )(x E )( * x E 【證證】對(duì)能量本征方程取復(fù)共軛，并注意到對(duì)能量本征方程取復(fù)共軛，并注意到 ，有：，有： * VV )()()( 2 * 2 22 xExxV dx d m 所以所以 也是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的也是能量本征方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的 能量本征值為能量本征值為 。 )( * x E 14 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征

13、態(tài)的一般性質(zhì)(6)(6) 推論推論: : 對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值對(duì)應(yīng)于能量的某個(gè)本征值 ，若對(duì)應(yīng)的能量本，若對(duì)應(yīng)的能量本 征方程的解征方程的解 不簡(jiǎn)并，則這個(gè)解可取為實(shí)函數(shù)。不簡(jiǎn)并，則這個(gè)解可取為實(shí)函數(shù)。)(x E 【證證】： 是能量本征方程對(duì)應(yīng)是能量本征方程對(duì)應(yīng) 的一個(gè)解，根據(jù)定理的一個(gè)解，根據(jù)定理 1， 也是對(duì)應(yīng)也是對(duì)應(yīng) 的一個(gè)解，若能級(jí)不簡(jiǎn)并，則的一個(gè)解，若能級(jí)不簡(jiǎn)并，則 和和 對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)量子態(tài)：對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)量子態(tài)： )(x )( * x E E )(x )( * x )()()()()( * 2 * xCxCxxCx )()(101 * 2 xxCeCC i 令 所以所以 為實(shí)函

14、數(shù)。為實(shí)函數(shù)。)(x 15 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(7)(7) 定理定理2 2：設(shè)設(shè) 是能量本征方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)于能是能量本征方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)于能 量的某個(gè)本征值量的某個(gè)本征值 ，總可以找到能量本征方程的一組實(shí)解，總可以找到能量本征方程的一組實(shí)解， 凡是屬于的凡是屬于的 任何解，均可表示為這一組實(shí)解的線性疊任何解，均可表示為這一組實(shí)解的線性疊 加。加。 )(x E E 【證證】設(shè)設(shè) 是能量本征方程屬于是能量本征方程屬于 的解，的解， 如果如果 實(shí)數(shù)域，實(shí)數(shù)域， 不談。不談。 )(x E )(x)( 2 1 )( 2 1 )(xxx 如果

15、如果 復(fù)數(shù)域，由定理復(fù)數(shù)域，由定理1， 也是能量本征也是能量本征 方程屬于方程屬于 的解。的解。 )(x)( * x E 16 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(8)(8) 根據(jù)線性微分方程的疊加原理，這兩個(gè)函數(shù)也是方程根據(jù)線性微分方程的疊加原理，這兩個(gè)函數(shù)也是方程 屬于屬于 的解，即：的解，即： )()()( ),()()( * 2 * 1 xxixxxx E )()( 21 xx和 )( 2 1 )( 21 ix)( 2 1 )( 21 * ix 得證。得證。 令：令： 均為實(shí)數(shù)函數(shù)，從中可得到：均為實(shí)數(shù)函數(shù)，從中可得到： ),()()( 2 1

16、1 2 22 xExxV dx d m )()()( 2 22 2 22 xExxV dx d m 17 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(9)(9) 定理定理3 3：設(shè)設(shè) 具有確定的偶宇稱(chēng)，即具有確定的偶宇稱(chēng)，即 如果如果 是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值 的解，的解， 則則 也是方程對(duì)應(yīng)于也是方程對(duì)應(yīng)于 的解。的解。 )(xV)()(xVxV )(x E )( xE 【證證】 是方程是方程 的解，令的解，令 注意到注意到 ， )(x)()()()( 2 2 22 xExxVx dx d m xx)()(xVxV 2 2

17、 2 2 )(dx d xd d 有：有： )()()()( 2 2 22 xExxVx dx d m 也是方程對(duì)應(yīng)于也是方程對(duì)應(yīng)于 的解。的解。)( xE 18 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(10)(10) 推論推論 : :設(shè)設(shè) 是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值是能量本征方程對(duì)應(yīng)于能量本征值 的解，如果的解，如果 ，若，若 無(wú)簡(jiǎn)并，則無(wú)簡(jiǎn)并，則 具有具有 確定的宇稱(chēng)。確定的宇稱(chēng)。 )(x E )()(xVxV )(x)(x 【證證】由定理由定理3，若，若 ，則，則 和和 都都 是方程是方程 屬于屬于 的解，的解， )()(xVxV)(x)( x

18、)()()()( 2 2 22 xExxVx dx d m E 無(wú)簡(jiǎn)并，則無(wú)簡(jiǎn)并，則 和和 必然對(duì)應(yīng)同一量子態(tài)，必然對(duì)應(yīng)同一量子態(tài)，)(x )(x)( x 即：即： 另一方面，另一方面，)()(xcx)()()( xcxxP )()( )( 22 xcxPcxP但但)()( )( 2 xxPxP 1, 1 2 cc即 具有確定的宇稱(chēng)。具有確定的宇稱(chēng)。)(x 19 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(11)(11) 定理定理4 4：設(shè)設(shè) ，則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征，則對(duì)應(yīng)于任何一個(gè)能量本征 值值 。總可以找到能量本征方程的一組解，其中的每個(gè)解?？偪梢哉业?/p>

19、能量本征方程的一組解，其中的每個(gè)解 都有確定的宇稱(chēng)，而屬于都有確定的宇稱(chēng)，而屬于 的任何解，都可用它們來(lái)展開(kāi)。的任何解，都可用它們來(lái)展開(kāi)。 )()(xVxV )(x E )( x E E 【證證】設(shè)設(shè) 是能量本征方程屬于是能量本征方程屬于 的解，的解， 由定理由定理3 3， 也是方程屬于也是方程屬于 的一個(gè)解。的一個(gè)解。 E)()(xVxV E 令：令： )()()( ),()()(xxxgxxxf )( x 則則 和和 也是方程屬于也是方程屬于 的解，且的解，且)(xf)(xgE)()(xfxf )()(xgxg 具有確定的具有確定的宇稱(chēng)宇稱(chēng)。屬于。屬于 的解的解 和和 )(x 可以用可以用

20、 和和 來(lái)展開(kāi)：來(lái)展開(kāi)：)(xf )(xg )()( 2 1 )(xgxfx)()( 2 1 )(xgxfx 20 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(12)(12) 處是連續(xù)的在處是連續(xù)的，因而在 有限）（ 的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)求積分： 程在發(fā)生跳變，此時(shí)可對(duì)方處，在 必定是連續(xù)的。和連續(xù)的區(qū)域，在 【證】對(duì)方程 axxaxx xxVEaa dxxxVE m dxx dx d axxxVax xxxV xxVE m x dx d x dx d a a a a )()( )()(0)0()0( )()( 2 )( )()( )()()( ),()( 2 )()

21、( 2 00 22 2 limlim 定理定理5 5： )(xV a 1 V 2 V x 0 點(diǎn)必定是連續(xù)的。在及其導(dǎo)數(shù)則能量本征函數(shù) 有限，若設(shè) axx VV axV axV xV )()( , ;, )( 12 2 1 21 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(13)(13) 處是連續(xù)的。在 處是連續(xù)的在，若 處是連續(xù)的在和，【證】由定理 處是連續(xù)的。在時(shí)則當(dāng) 為能量本征函數(shù)，有限，若設(shè) ax axxxx axxx axx xVV axV axV xV /)(ln )(/ )(0)( )()(5 )(ln ,0)( )( , ;, )( 12 2

22、1 推論推論 : 22 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(14)(14) 定理定理6 6： 22121 211221 122121 21 12211221 122121 2 2 2 1 2 1 00)()( 6 0)( 0) 1 ()2( )2(, 0)(2 ) 1 (, 0)(2 常數(shù)束縛態(tài)，則 是和常數(shù)，又，有【證】由定理 。都是束縛態(tài)，則和解，若 的同一能量均為能量本征方程屬于和推論：設(shè) 常數(shù) ，得到 【證】按假設(shè) E VEm VEm 常數(shù)。則 的解，同一能量均為能量本征方程屬于和設(shè) 1221 21 )()( Exx 23 二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能

23、量本征態(tài)的一般性質(zhì)二、一維勢(shì)場(chǎng)中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(15)(15) 定理定理7 7：設(shè)粒子在無(wú)奇點(diǎn)勢(shì)場(chǎng)設(shè)粒子在無(wú)奇點(diǎn)勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，若存在束縛中運(yùn)動(dòng)，若存在束縛 態(tài)，則必定不簡(jiǎn)并。態(tài)，則必定不簡(jiǎn)并。 另行討論。有奇點(diǎn)，則在奇點(diǎn)處要如果 級(jí)不簡(jiǎn)并。代表同一量子態(tài)，即能和 ，得到 ，兩邊同除推論，有束縛態(tài)，由定理 的兩個(gè)量是能量本征方程屬于能和【證】設(shè) )( /ln/ln 0)/(ln/ 6 21 212121 21221121 1221 21 xV CCC E )(xV 24 三三、有限深對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài)有限深對(duì)稱(chēng)方勢(shì)阱中的束縛態(tài)(1)(1) 設(shè)：設(shè)： . 2/|, ; 2/|, 0 )( 0 axV ax xV 2 a )(xV x 0 0 V 0 V 2 a E 粒子能量；條件粒子能量；條件E 0 0VE 2/|ax 阱外區(qū)域阱外區(qū)域 ， 能量本征方程寫(xiě)為：能量本征方程寫(xiě)為： 0)()( 2 )( 0 22 2 xEV m x dx d . 2/, ; 2/, )( axBe axAe x