材料力學(xué)-第7章 彎曲變形

1、第五周第五周 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)電測(cè)實(shí)驗(yàn)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)電測(cè)實(shí)驗(yàn) 第九周第九周 Zwick先進(jìn)力學(xué)設(shè)備演示先進(jìn)力學(xué)設(shè)備演示 材料力學(xué)材料力學(xué) 實(shí)驗(yàn)選課通知實(shí)驗(yàn)選課通知 工程力學(xué)工程力學(xué)A(4)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：實(shí)驗(yàn)內(nèi)容： 1、選課網(wǎng)址http:/ 2、選課時(shí)間 4月月3日日0：00時(shí)時(shí)4月月11日日24：00時(shí)截至。 3、學(xué)生登陸帳號(hào)和密碼均為自己的學(xué)號(hào)。 4、選課截止前一定要再次復(fù)查自己的選課結(jié)果，若發(fā)現(xiàn)“未滿未滿5人，請(qǐng)人，請(qǐng) 重選重選”的提示信息，說(shuō)明該時(shí)段未滿5人不開(kāi)課，請(qǐng)務(wù)必重新選擇其它 時(shí)段。 5、實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)電子版網(wǎng)址http:/ 指導(dǎo)指導(dǎo)，實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)頁(yè)面的表格下載表格下載中有實(shí)驗(yàn)報(bào)告可供學(xué)生下載

2、，請(qǐng)同學(xué)們 在實(shí)驗(yàn)前預(yù)習(xí)相關(guān)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)課后要認(rèn)真填寫(xiě)完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 6、由于學(xué)生自身原因未選好實(shí)驗(yàn)課程，責(zé)任自負(fù)。 材料力學(xué)材料力學(xué) 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 引言引言 上一章中，我們對(duì)梁彎曲情況下的應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并學(xué)習(xí)上一章中，我們對(duì)梁彎曲情況下的應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并學(xué)習(xí) 了如何進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)。在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲了如何進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)。在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲 成平面曲線。如果變形太大，也會(huì)影響構(gòu)件正常工作。因此，成平面曲線。如果變形太大，也會(huì)影響構(gòu)件正常工作。因此， 對(duì)機(jī)器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)機(jī)器中的零件或部件以及土木工

3、程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)， 除了滿足強(qiáng)度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變除了滿足強(qiáng)度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變 形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計(jì)算梁的變形。形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計(jì)算梁的變形。 另一方面，某些機(jī)械零件或部件，則要求有較大的變形，另一方面，某些機(jī)械零件或部件，則要求有較大的變形， 以減少機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)。汽車中的鈑簧即為一例。這以減少機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)。汽車中的鈑簧即為一例。這 種情形下也需要研究變形。種情形下也需要研究變形。 此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立補(bǔ)充方此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立

4、補(bǔ)充方 程。程。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 引言引言 美國(guó)科羅拉多大峽谷著名的美國(guó)科羅拉多大峽谷著名的U U形懸橋，距谷底形懸橋，距谷底12001200多米，橋身全長(zhǎng)約多米，橋身全長(zhǎng)約4949米，米， 寬寬3 3米多，橋體自崖壁向外伸出米多，橋體自崖壁向外伸出2121米。懸橋使用了米。懸橋使用了454454噸鋼梁，能夠抵御噸鋼梁，能夠抵御8080 公里外發(fā)生的里氏公里外發(fā)生的里氏8 8級(jí)地震以及最高速度為每小時(shí)級(jí)地震以及最高速度為每小時(shí)160160公里的大風(fēng)。公里的大風(fēng)。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 引言引言 機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過(guò)機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中

5、的齒輪軸，當(dāng)變形過(guò) 大時(shí)大時(shí)( (圖中虛線所示圖中虛線所示) )，兩齒輪的嚙合處將，兩齒輪的嚙合處將 產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這就會(huì)影響兩個(gè)產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這就會(huì)影響兩個(gè) 齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。 同時(shí)，還會(huì)加大齒輪磨損，同時(shí)將在同時(shí)，還會(huì)加大齒輪磨損，同時(shí)將在 轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生很大的噪聲。轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生很大的噪聲。 此外，當(dāng)軸的變形很大時(shí)，軸在支承此外，當(dāng)軸的變形很大時(shí)，軸在支承 處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承 的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽 命。命。 材料力

6、學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 引言引言 在工程設(shè)計(jì)中還有另外一類問(wèn)題，所考慮的不在工程設(shè)計(jì)中還有另外一類問(wèn)題，所考慮的不 是限制構(gòu)件的彈性位移，而是希望在構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)是限制構(gòu)件的彈性位移，而是希望在構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng) 度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移。例如，度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移。例如， 各種車輛中用于減振的鈑簧，都是采用厚度不大的各種車輛中用于減振的鈑簧，都是采用厚度不大的 板條疊合而成，采用這種結(jié)構(gòu)，鈑簧既可以承受很板條疊合而成，采用這種結(jié)構(gòu)，鈑簧既可以承受很 大的力而不發(fā)生破壞，同時(shí)又能承受較大的彈性變大的力而不發(fā)生破壞，同時(shí)又能承受較大的彈性變 形，吸收車輛受

7、到振動(dòng)和沖擊時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)能，收到形，吸收車輛受到振動(dòng)和沖擊時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)能，收到 抗振和抗沖擊的效果?？拐窈涂箾_擊的效果。 引言引言 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 梁彎曲問(wèn)題的近似和簡(jiǎn)化梁彎曲問(wèn)題的近似和簡(jiǎn)化 ( )q x 0 M L M 彎曲問(wèn)題中，不考慮軸向拉伸。因此，梁內(nèi)力只有彎矩和剪力彎曲問(wèn)題中，不考慮軸向拉伸。因此，梁內(nèi)力只有彎矩和剪力 下面，我們分別考慮彎矩和剪力引起的彎曲變形效果下面，我們分別考慮彎矩和剪力引起的彎曲變形效果 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 引言引言 L Q 0 Q 撓度曲線撓度曲線 彎矩引起的彎曲變形彎矩引起的彎曲變形 Q MM Q 剪力

8、引起的彎曲變形剪力引起的彎曲變形 垂直于軸線的橫截面彎曲后仍為平面，仍垂直于軸線的橫截面彎曲后仍為平面，仍 垂直于軸線，只是相互間轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度垂直于軸線，只是相互間轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度 垂直于軸線的橫截面彎曲后不垂直于軸線垂直于軸線的橫截面彎曲后不垂直于軸線 材料力學(xué)中一般考慮細(xì)長(zhǎng)梁，顧而可以忽略剪力引起的變形，只材料力學(xué)中一般考慮細(xì)長(zhǎng)梁，顧而可以忽略剪力引起的變形，只 考慮彎矩引起的變形。因?yàn)樗袡M截面始終與軸線垂直，所以，考慮彎矩引起的變形。因?yàn)樗袡M截面始終與軸線垂直，所以，梁的梁的 彎曲變形可以僅用軸線來(lái)表征彎曲變形可以僅用軸線來(lái)表征?？臻g的梁簡(jiǎn)化成一軸線?？臻g的梁簡(jiǎn)化成一軸線。 材料力學(xué)第材

9、料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 用什么物理量來(lái)描述梁的變形用什么物理量來(lái)描述梁的變形 問(wèn)題問(wèn)題1 1： 如何表征梁的彎曲變形如何表征梁的彎曲變形 問(wèn)題問(wèn)題2 2： 如何計(jì)算梁的彎曲變形如何計(jì)算梁的彎曲變形 如何將梁承受的荷載與變形聯(lián)系起來(lái)如何將梁承受的荷載與變形聯(lián)系起來(lái) MM 撓度曲線撓度曲線 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞 中性軸相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，中性軸相互轉(zhuǎn)過(guò)一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線， 這一曲線稱為梁的這一曲線稱為梁的撓度曲線撓度曲線（def

10、lection curvedeflection curve）。）。 * * 梁的撓度曲線梁的撓度曲線 ( )x ( )x x ( )w x ( )x ( )x M M 撓度曲線撓度曲線 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 w x 梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置 的改變稱為位移的改變稱為位移(displacement)(displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分： * * 彎曲變形的表征彎曲變形的表征 1. 1. 橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflect

11、iondeflection），用），用w w表示；表示； 2. 2. 變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱為轉(zhuǎn)變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，稱為轉(zhuǎn) 角（角（slopeslope），用），用 表示；表示； ( )x ( )x 撓度曲線撓度曲線 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 w x ( )x x ( )w x 梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置 的改變稱為位移的改變稱為位移(displacement)(displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分： * * 彎曲

12、變形的表征彎曲變形的表征 3. 3. 橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移 （horizontal displacementhorizontal displacement），用），用u u表示。表示。 # 在小變形情形下，上述位移中，水在小變形情形下，上述位移中，水 平位移平位移u u與撓度與撓度w w相比為高階小量，故相比為高階小量，故 通常不予考慮。通常不予考慮。 撓度曲線撓度曲線 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 ( )x ( )x w x ( )x x ( )w x * * 撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系撓度與轉(zhuǎn)角的相互

13、關(guān)系 在在OxwOxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在關(guān)系：坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在關(guān)系： 在在小變形條件下小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即，撓度曲線較為平坦，即 很小，因而上式中很小，因而上式中 tantan。于是有。于是有 d tan d w x d d w x w w w w（x x），）， 稱為撓度方程（稱為撓度方程（deflection equationdeflection equation）。）。 撓度曲線撓度曲線 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 ( )x ( )x w x ( )x x ( )w x * * 梁的曲率與彎矩、剛度之間的關(guān)系梁的曲率與彎矩、剛度之間的關(guān)系 根

14、據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一 點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存 在下列關(guān)系：在下列關(guān)系： 1M EI 0 ML M 撓度曲線撓度曲線 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 w x ( )x ( )x 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 2 2 3 22 d d1 d 1 d w x w x 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 1M EI 2 d 1 d w x 2 2 3 22 d d1 d

15、1 d w xM EI w x 2 2 d d wM xEI 7-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 w xO w x O 2 2 d 0,0 d w M x 2 2 d 0,0 d w M x 2 2 d d wM xEI 2 2 d d wM xEI 7-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 采用向上的采用向上的w w坐標(biāo)系，有坐標(biāo)系，有 w xO 2 2 d d wM xEI 各物理量的正負(fù)方向：各物理量的正負(fù)方向： 撓度：撓度：坐標(biāo)軸正向?yàn)檎ㄏ蛏希?，?fù)向?yàn)樨?fù)（向下）坐標(biāo)軸正向?yàn)檎ㄏ?/p>

16、上），負(fù)向?yàn)樨?fù)（向下） 轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：向撓度正方向偏轉(zhuǎn)為正（向上），負(fù)向偏轉(zhuǎn)為負(fù)（向下）向撓度正方向偏轉(zhuǎn)為正（向上），負(fù)向偏轉(zhuǎn)為負(fù)（向下） 彎矩：彎矩：使微段產(chǎn)生凹變形為正，凸變形為負(fù)使微段產(chǎn)生凹變形為正，凸變形為負(fù) 7-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 2 2 d d wM xEI d d d l M x w xC xEI dd ll M x wxxCxD EI 7-2 撓曲軸近似微分方程撓曲軸近似微分方程 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7-3 7-3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 撓度曲線微分方程的積分與積分常數(shù)的

17、確定撓度曲線微分方程的積分與積分常數(shù)的確定 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 d d d l M x w xC xEI dd ll M x wxxCxD EI 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 撓度方程撓度方程 積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指 約約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：約約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 在固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座處在固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座處 約束條件為撓度等于零：約束條件為撓度等于零：w = 0; 材料力學(xué)第材料力學(xué)

18、第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 F 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指 約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 在固定端處在固定端處 撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，0。 積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指 約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制： 連續(xù)條件連續(xù)條件 梁在

19、彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因 此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、 轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：w1= w2，12等等。等等。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 F x 梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角 方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn) 角。角。 左端固定、右端自左端固定、右端自 由的懸臂梁承受均布載荷。均由的懸臂梁承受均布載荷。均 布載荷集度為布載荷集度為q ，梁

20、的彎曲剛，梁的彎曲剛 度為度為EI 、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為l。q、EI 、l 均已知。均已知。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 建立建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分 布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即 無(wú)需分段。無(wú)需分段。 O x w 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 從坐標(biāo)為從坐標(biāo)為x的任意截面處截開(kāi)，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，的任意截面處截開(kāi)，因?yàn)楣潭?/p>

21、端有兩個(gè)約束力， 考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮 右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程： 21 ( )0 2 M xq lxxl x M(x) FS(x) 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 21 ( )0 2 M xq lxxl 將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得 2 1 2 EIwMq lx O x w 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 積分后

22、，得到積分后，得到 2 1 2 EIwMq lx 31 6 EIwEIq lxC 41 24 EIwq lxCxD O x w 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 31 6 EIwEIq lxC 41 24 EIwq lxCxD 00 xw， d 00 d w x x ， = 3 4 , 6 24 ql C ql D 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 31 6 EIwEIq lxC 41 24 EIwq lxCxD 3 4 , 6

23、24 ql C ql D 3 3 6 q lxl EI 4 34 4 24 q wlxl xl EI 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 3 3 6 q lxl EI 4 34 4 24 q wlxl xl EI 從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和 轉(zhuǎn)角均為最大值。轉(zhuǎn)角均為最大值。 于是，將于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到： 3 max 6 B ql EI 4 max 8 B ql ww EI 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲

24、變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 加力點(diǎn)加力點(diǎn)B的撓度和的撓度和 支承支承A、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。 簡(jiǎn)支梁受力如簡(jiǎn)支梁受力如 圖所示。圖所示。FP、EI、l均為已均為已 知。知。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 因?yàn)橐驗(yàn)锽處作用有集中力處作用有集中力FP，所以需要分為，所以需要分為AB和和BC兩段兩段 建立彎矩方程。建立彎矩方程。 首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得 梁在支承梁在支承A、C二處的約束力分別二處的約束力分別 如圖中所示。如圖中所示。 在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在在圖示坐標(biāo)系中，

25、為確定梁在0l/4范圍內(nèi)各截面上的范圍內(nèi)各截面上的 彎矩，只需要考慮左端彎矩，只需要考慮左端A處的約束力處的約束力3FP/4；而確定梁在；而確定梁在l/4 l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力處的約束力 3FP/4和荷載和荷載FP。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 AB和和BC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P 3 0 44 l MxF xx 2PP 3 444 ll MxF xFxxl 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移

26、的積分法 2 1 1P 2 d3 0 d44 wl EIMxF xx x 1P 3 0 44 l MxF xx 2PP 3 444 ll MxF xFxxl 2 2 2PP 2 d3 d444 wll EIMxF x Fxxl x =- 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 2 1 1P 2 d3 0 d44 wl EIMxF xx x 2 2 2PP 2 d3 d444 wll EIMxF x Fxxl x - 積分后，得積分后，得 2 1P1 3 8 EIF xC 2 2 2PP2 31 824 l EIF xFxC - 3 1P11

27、 1 8 EIwF xC xD 3 3 2PP22 11 864 l EIwF xFxC xD 其中，其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和 AB段與段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。段梁交界處的連續(xù)條件確定。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 2 1P1 3 8 EIF xC 2 2 2PP2 31 824 l EIF xFxC - 3 1P11 1 8 EIwF xC xD 3 3 2PP22 11 864 l EIwF xFxC xD - 在支座在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即

28、兩處撓度應(yīng)為零，即 x0， w10; xl， w20 因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以因?yàn)?，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與段與BC 段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 2 1P1 3 8 EIF xC 2 2 2PP2 31 824 l EIF xFxC - 3 1P11 1 8 EIwF xC xD 3 3 2PP22 11 864 l EIwF xFxC xD - x0， w1

29、0; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2 D1D2 =0 2 12P 7 128 CCF l 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后,得得 到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為： 22 P 37 8128 F xxl EI 32 P 17 8128 F w xxl x EI 2 22 P 317 824128 Fl xxxl EI 3 32 P 117 864128 Fl w xxxl x EI 據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處處的撓度

30、和支承處A和和C的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 分別為分別為 3 P 3 256 B F l w EI 2 P 7 128 A F l EI 2 P 1 32 B F l EI 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 分段寫(xiě)出彎矩方程分段寫(xiě)出彎矩方程 材

31、料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 3 計(jì)算梁位移的積分法計(jì)算梁位移的積分法 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 q F ( ) , ( ) qq w xx ( ) , ( ) FF wxx ( )( )( ) , ( )( )( ) qFqF w xw xwxxxx q F 查表查表 查表查表 在很多工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在很多工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的

32、靜定梁， 在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱 為撓度表。為撓度表。 附錄附錄E 根據(jù)疊加原理根據(jù)疊加原理 在若干載荷作用下，梁上任一截面的在若干載荷作用下，梁上任一截面的 應(yīng)力、撓度、轉(zhuǎn)角分別等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面的應(yīng)力、應(yīng)力、撓度、轉(zhuǎn)角分別等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面的應(yīng)力、 撓度、轉(zhuǎn)角之和。撓度、轉(zhuǎn)角之和。 可利用若干已知的、簡(jiǎn)單的梁變形結(jié)果得到較復(fù)雜載荷作可利用若干已知的、簡(jiǎn)單的梁變形結(jié)果得到較復(fù)雜載荷作 用下的梁的變形結(jié)果用下的梁的變形結(jié)果 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊

33、加法計(jì)算梁位移的疊加法 小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，撓曲軸近小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，撓曲軸近 似微分方程為線性微分方程：似微分方程為線性微分方程： 2 2 ( )d wM x dxEI 同時(shí)，小變形情況下，由于橫截面形心的軸向位移可以忽略不計(jì)，同時(shí)，小變形情況下，由于橫截面形心的軸向位移可以忽略不計(jì)， 因而梁內(nèi)任一截面的彎矩和荷載成線性齊次關(guān)系，例如：因而梁內(nèi)任一截面的彎矩和荷載成線性齊次關(guān)系，例如： q F Me 2 2 e x MMFxq 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 求解圖示懸臂梁

34、在分布載荷求解圖示懸臂梁在分布載荷q q作用下自由端截面的撓度。作用下自由端截面的撓度。 其中，抗彎剛度其中，抗彎剛度EIEI為常數(shù)，為常數(shù)， 。 例題例題3： 解：解： ( )q x w A l 由附錄知，在固定端由附錄知，在固定端x處的微載處的微載 荷荷 作用下，梁自由端撓作用下，梁自由端撓 度為：度為： ( )q x dx 2 ( ) (3) 6 B q x dx x dwlx EI 0 ( )cos 2 x q xq l 2 0 0 (3)cos 62 ll BB o qx wdwxlxdx EIl 因此，分布載荷在自由端引起的因此，分布載荷在自由端引起的 撓度為：撓度為： 材料力學(xué)第

35、材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 dxx x ( )q x dx x l w x A F Q M=Fa 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 F 1 wa 2 w 12 www自由端總的撓度：自由端總的撓度： 如圖懸臂梁，同時(shí)承受均布載荷如圖懸臂梁，同時(shí)承受均布載荷q q和集中載荷和集中載荷F F的作用，的作用， 且且F Fqaqa，試求自由端，試求自由端C C處撓度，彎曲剛度處撓度，彎曲剛度EIEI為常數(shù)。為常數(shù)。 例題例題4： 解：解： x w A F a q a BC ,C F w

36、根據(jù)疊加原理，根據(jù)疊加原理，C C處撓度是載荷處撓度是載荷F F和和q q 分別單獨(dú)作用時(shí)的撓度之和分別單獨(dú)作用時(shí)的撓度之和 ,CC FC q www 查表，載荷查表，載荷F F單獨(dú)作用時(shí)，截面單獨(dú)作用時(shí)，截面C C撓度為撓度為 33 , (2 )8 ( ) 33 C F FaFa w EIEI 載荷載荷q q單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮B B點(diǎn)的撓度和點(diǎn)的撓度和 轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷q q引起引起C C 處的撓度處的撓度 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 A w F w A B q

37、 載荷載荷q q單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮B B點(diǎn)的撓度和點(diǎn)的撓度和 轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷q q引起引起C C 處的撓度處的撓度 BCBC單元不受載荷，仍保持直線。但由連單元不受載荷，仍保持直線。但由連 續(xù)性條件知，其左端的撓度和轉(zhuǎn)角必須續(xù)性條件知，其左端的撓度和轉(zhuǎn)角必須 和和ABAB單元右端單元右端B B點(diǎn)一致。點(diǎn)一致。 B C B w A CB 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 w A B C w A + 如左圖，進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)分解。如左圖，進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)分解。 BBC q q 根

38、據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，載荷根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，載荷q q在在C C點(diǎn)引起的撓度為：點(diǎn)引起的撓度為： , 43 ( ) 86 C qB qB q wwa qaqa a EIEI w A B C ,B q ,B q w ,BCB q wa ,C qB qBC www ,Cq ww A q B 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，C C點(diǎn)總點(diǎn)總 的撓度為：的撓度為： , 433 8 ( ) 863 CC qC FB qB qC F wwwwaw qaqaFa a EIEIEI 材料力

39、學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 x w A F a q a BC ,C F w ,C q w A w F w A B q 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 懸臂梁受力懸臂梁受力 如圖所示，如圖所示，q、l、 EI均為已知。均為已知。 C截面的撓度截面的撓度 wC和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 C。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 1. . 首先，將梁上的載荷首先，將梁上的載荷 變成有表可查的情形變成有表可查的情形 為了利用撓度表中關(guān)于梁

40、為了利用撓度表中關(guān)于梁 全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果， 計(jì)算自由端計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，處的撓度和轉(zhuǎn)角， 先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)， 為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效 果，在果，在AB段還需再加上集度段還需再加上集度 相同、方向相反的均布載荷。相同、方向相反的均布載荷。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 分別畫(huà)出這兩種情形下的分別畫(huà)出這兩種情形下的 撓度曲線大致形狀。于是，由撓度曲線大致形狀。于是，由 撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸

41、 臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情 形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別 為為 再將處理后的梁分解再將處理后的梁分解 為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算 各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn) 角角 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn) 角分別為角分別為 4 1 43 222 1 8 11 2128482 C CBB ql w EI lqlqll ww EIEI , , 3 1 3 2 1 , 6 1 48 C C q

42、l EI ql EI 再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)再將處理后的梁分解為簡(jiǎn) 單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單 載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果 疊加疊加 4 2 1 41 , 384 CCi i ql ww EI 3 2 1 7 48 CCi i ql EI 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 Q q ab 2 2 qa M 1 wa 2 w 12 www自由端總的撓度：自由

43、端總的撓度： 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 q F l a A B C F A Fa B w B 1B wa 2 w 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 B C F A F l F Fx Fy 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 5 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 疊加法可以是荷載的疊加、結(jié)構(gòu)的疊加疊加法可以是荷載的疊加、結(jié)構(gòu)的疊加 疊加法中可施加相互抵消的荷

44、載將結(jié)構(gòu)所承受的荷載變?yōu)榀B加法中可施加相互抵消的荷載將結(jié)構(gòu)所承受的荷載變?yōu)?可查表的情況可查表的情況 使用使用疊加法的前提是小變形假設(shè)，梁彎矩與外力成線性關(guān)系疊加法的前提是小變形假設(shè)，梁彎矩與外力成線性關(guān)系 疊加法將復(fù)雜的荷載情況分解為簡(jiǎn)單的可查表求解的疊加法將復(fù)雜的荷載情況分解為簡(jiǎn)單的可查表求解的 荷載情況，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。荷載情況，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 靜定問(wèn)題與靜定結(jié)構(gòu)靜定問(wèn)題

45、與靜定結(jié)構(gòu) F q 平衡方程平衡方程 （三個(gè)）：（三個(gè)）： 0, 0, 0 xy FFM 未知約束力（三個(gè)）未知約束力（三個(gè)） FAy FAx FByFAy FAx M(x) 平衡方程平衡方程 （三個(gè)）：（三個(gè)）： 0, 0, 0 xy FFM 未知約束力（三個(gè)）未知約束力（三個(gè)） 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 靜不定問(wèn)題與靜不定結(jié)構(gòu)靜不定問(wèn)題與靜不定結(jié)構(gòu) F q 平衡方程平衡方程 （三個(gè)）：（三個(gè)）： 0, 0, 0 xy FFM 未知約束力（四個(gè)）未知約束力（四個(gè)） FAy FAx FBy FAy FAx M(x) 平衡方程平衡方程

46、（三個(gè)）：（三個(gè)）： 0, 0, 0 xy FFM 未知約束力（四個(gè)）未知約束力（四個(gè)） FBy FBx 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 多余約束多余約束 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 F q FAy FAx FBy FAy FAx M(x) FBy FBx 靜不定次數(shù)：靜不定次數(shù)：1 靜不定次數(shù)：靜不定次數(shù)：1 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 1. 1. 分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定，分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定， 靜不

47、定次數(shù)？靜不定次數(shù)？ 2. 2. 找出多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)找出多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng) 3. 3. 通過(guò)變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充通過(guò)變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)，結(jié) 合合平衡方程平衡方程和和物理方程物理方程求解求解 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 l A B q 3-3=0 4-3=1 MA FAy FAx FB 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 A B l MA FAy FAx q 第第1 1步步. . 分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定，分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定， 靜不定次數(shù)？靜不定次數(shù)？

48、532 633 FBx MB B FBy FBx FBy 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 A l MA FAy FAx q A l MA FAy FAx q 第第1 1步步. . 分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定，分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定， 靜不定次數(shù)？靜不定次數(shù)？ 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 FBx B FBy A l MA FAy FAx q FBy 第第2 2步步. . 找出多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)找出多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng) ( )()0 BBBBy wwqwF 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 第第3 3

49、步步. . 通過(guò)變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充通過(guò)變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)，結(jié) 合合平衡方程平衡方程和和物理方程物理方程求解求解 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 MB FBy A l MA FAy FBx FAx q 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 MB A l MAq MB 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 B A l q B A l q FAy+FBy - ql=0 FAx=0 MA+FByl-ql/2=0 wB=wB(q)+

50、wB(FBy)=0 MA FAy FAx FB 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 wB=wB(q)+wB(FBy)=0 wB(q) wB(FBy) l B A MA FAy FAx FB 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單的靜不定梁 B A l q FAy+FBy - ql=0 FAx=0 MA+FByl-ql/2=0 wB=wB(q)+wB(FBy)=0 wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 6 簡(jiǎn)單的靜不定梁簡(jiǎn)單

51、的靜不定梁 B A l q MA FAy FAx FB 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu)對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu) 件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過(guò)大會(huì)影響齒輪的件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過(guò)大會(huì)影響齒輪的 嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過(guò)大嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過(guò)大 會(huì)影響加工精度；由軸承支

52、承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過(guò)大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過(guò)大 會(huì)增加軸承的磨損等等。會(huì)增加軸承的磨損等等。 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m， l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的處的 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角 =0.5。 根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑

53、根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 B 例例 題題 7 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度， 以保證軸承以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步處的轉(zhuǎn)角不超過(guò)許用數(shù)值。為此，需按下列步 驟計(jì)算。驟計(jì)算。 B EI laF B 3 P 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表

54、中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 B EI laF B 3 P B 根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 B 根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有 B 其中，其中， 的單位為的單位為rad（弧度），而（弧度），而 的單位為（的單位為（）（度），）（度）， 考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 111mmm10111m 100.52063 10180212064 3- 4 9 3 d 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 7- 7 梁的

55、剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 材料力學(xué)第材料力學(xué)第7章章 彎曲變形彎曲變形 EI laF B 3 P 1. 1. 合理選用材料（合理選用材料（E） 2. 2. 合理選取截面形狀（合理選取截面形狀（I） 3. 3. 梁跨度的選?。嚎缍鹊倪x取（l,a） 4. 4. 梁的合理加強(qiáng)，合理安排梁的約束和加載方式梁的合理加強(qiáng)，合理安排梁的約束和加載方式 （綜合以上三點(diǎn)）（綜合以上三點(diǎn)） 7- 7 梁的剛度問(wèn)題梁的剛度問(wèn)題 提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位 移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長(zhǎng)和梁的彎曲剛度（移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長(zhǎng)和梁的彎曲剛度（EI）有）有 關(guān)。關(guān)。 對(duì)于梁，其長(zhǎng)度對(duì)彈性位移影響較大，例如對(duì)于集