變換域圖像增強(qiáng)

1、 2 頻率域圖像處理頻率域圖像處理 線性移不變系統(tǒng) 向量基礎(chǔ) 基向量及坐標(biāo) 多維空間無限維空間 基函數(shù)合成任意函數(shù) 傅立葉變換 幅度譜和相位譜 傅立葉變換性質(zhì) 頻率域圖像濾波處理 3 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng) 系統(tǒng)是一個(gè)能接受輸入并進(jìn)行輸出的處理 裝置 輸入信息與輸出信息之間的關(guān)系決定了系 統(tǒng)的特性 線性移不變系統(tǒng)： 線性系統(tǒng) 位移不變系統(tǒng) 4 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng) 時(shí)不變（移不變）系統(tǒng) 如果一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入信號(hào)有一個(gè)時(shí)移時(shí)，輸出 響應(yīng)也產(chǎn)生同樣的時(shí)移。除此之外，輸出響應(yīng) 無任何其它變化，則稱該系統(tǒng)是時(shí)不變的 ( time-invariant system ) 否則該系統(tǒng)就是時(shí)變的(

2、 time-varying ) 5 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng) 時(shí)不變（移不變）系統(tǒng) ( )( ),x ty t 00 ()()x tty tt t t x(t)y(t) t t x(t-t0) y(t-t0) t0t0 6 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng) 線性系統(tǒng) 如果一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)輸入信號(hào)的疊加和成比例變化， 導(dǎo)致輸出相應(yīng)呈現(xiàn)成比例和疊加的變化，則稱 該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)（linear system） 7 線性移不變系統(tǒng)線性移不變系統(tǒng) 線性系統(tǒng) 11 ( )( )x ty t 22 ( )( )x ty t 1212 ( )( )( )( )ax tbx tay tby t 如果 得到 其中a，b

3、都是常數(shù)，則稱該系統(tǒng)是線性的 令b=0,以及a=b=1,得到另外一種定義形式 8 向量基礎(chǔ)向量基礎(chǔ) 三維空間：原點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)軸 OX Y Z P: ( x,y,z) 9 向量基礎(chǔ)向量基礎(chǔ) 三維空間：原點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)軸 OX Y Z P: ( x,y,z) P的三個(gè)坐標(biāo)值分別是 該點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的 投影長(zhǎng)度 10 向量基礎(chǔ)向量基礎(chǔ) 三維空間：原點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)軸 OX Y Z 矢量是只有大小和方向， 沒有起點(diǎn)的量，圖中矢 量也使用三個(gè)坐標(biāo)值來 表示，但是它可以平移 到任何一點(diǎn)開始 矢量可以按照平行四邊形 法則進(jìn)行合成，見矢量p x y z p pxyz 11 基向量及坐標(biāo)基向量及坐標(biāo) 基向量 OX

4、Y Z (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)xyz xyzpxyz (x,y,z)p x, y, z, p x p y p z , xxyyzz a ba ba ba b 其中 稱為向量點(diǎn)積，也叫內(nèi)積 , a b 12 基向量及坐標(biāo)基向量及坐標(biāo) 對(duì)于上述點(diǎn)積定義，容易得出如下式子 由 構(gòu)成的基稱為單位正交基，三維空 間中的任意向量都可以由這組基的線性組 合得到 ,1 ,0 x xy yz z x yy zz x , ,x y z 13 多維空間多維空間無限維空間無限維空間 推廣1：n維空間向量 基向量個(gè)數(shù)n個(gè) 點(diǎn)積： 任意向量可以表示成基向量的線性組合 1 122 1 , n nni

5、i i a baba ba bab 12 ( ,) n vv vv 12 (1,0,0), (0,1,0), (,0,1) n eee 121 12 2 (,) nnn p p ppp ep ep e 14 多維空間多維空間無限維空間無限維空間 推廣1：無限維空間向量 取實(shí)數(shù) 推廣2：基向量個(gè)數(shù)無限個(gè) 取實(shí)數(shù) 點(diǎn)積： 任意向量可以表示成基向量的線性組合 ,( ) ( )a ba u b u du ( )vv u ( )( ) r p up u e dr u r er 15 基函數(shù)合成任意函數(shù)基函數(shù)合成任意函數(shù) 底部的周期函數(shù)由 四個(gè)不同頻率的波 函數(shù)線性組合而成 圖中可以看出不同 頻率的波函數(shù)

6、決定 了最終函數(shù)的不同 尺度細(xì)節(jié)信息 16 基函數(shù)合成任意函數(shù)基函數(shù)合成任意函數(shù) 17 基函數(shù)合成任意函數(shù)基函數(shù)合成任意函數(shù) 18 基函數(shù)合成任意函數(shù)（二維情況）基函數(shù)合成任意函數(shù)（二維情況） 19 圖像變換圖像變換 將空域中的信號(hào)變換到另外一個(gè)域，即使用該域 中的一組基函數(shù)的線性組合來合成任意函數(shù) 單位正交基函數(shù)（相同基函數(shù)內(nèi)積為1，不同基 函數(shù)的內(nèi)積為0） 使用這組基函數(shù)的線性組合得到任意函數(shù)f，每 個(gè)基函數(shù)的系數(shù)就是f與該基函數(shù)的內(nèi)積 20 圖像變換圖像變換 圖像變換的目的在于： 1. 使圖像處理問題簡(jiǎn)化 2.有利于圖像特征提取 3. 有助于從概念上增強(qiáng)對(duì)圖像信息的理解 21 圖像變換圖

7、像變換 圖像變換通常是一種二維正交變換。要求： 1. 正交變換必須是可逆的； 2. 正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜； 3. 正交變換的特點(diǎn)是在變換域中圖像能量將集中分布 在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分 上，有利于圖像處理 因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像恢復(fù)、 特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面 22 圖像變換圖像變換 23 傅立葉變換傅立葉變換 一個(gè)周期為T的函數(shù)f(t)在-T/2,T/2上滿足狄利克 雷（Dirichlet)條件，則在-T/2,T/2可以展成傅立 葉級(jí)數(shù) )sincos( 2 )( 1 0 nwtbnwta a tf n n nT cos()sin(

8、) j ej 歐拉公式 24 傅立葉變換傅立葉變換 其復(fù)數(shù)形式為 其中 傅立葉級(jí)數(shù)清楚地表明了信號(hào)由哪些頻率分量組 成及其所占的比重，從而有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析 與處理 2 2 )( 1 T T dtetf T c jnwt Tn ( ) jnw t Tn n ftc e 25 連續(xù)函數(shù)傅立葉變換連續(xù)函數(shù)傅立葉變換 令f(x)為實(shí)變量x的連續(xù)函數(shù)，f(x) 的傅立 葉變換用F(u)表示，則定義式為 若已知F(u)，則傅立葉反變換為 2 ( )( ) jux F uf x edx 2 ( )( ) jux f xF u edu 26 傅立葉譜傅立葉譜 這里f(x)是實(shí)函數(shù)，它的傅立葉變換F(u)通

9、 常是復(fù)函數(shù)。F(u)的實(shí)部、虛部、振幅、 能量和相位分別表示如下： ( )( )cos(2)R uf xux dx ( )( )sin(2)I uf xux dx 1 22 2 ( )( )( )F uRuIu 實(shí)部實(shí)部 虛部虛部 振幅振幅 27 傅立葉譜傅立葉譜 2 22 ( )( )( )( )EuF uR uI u 1( ) ( ) ( ) tan I u u R u 2 cos2sin2 jux euxjux 傅立葉變換中出現(xiàn)的變量u 通常稱為頻率變量 能量能量 相位相位 28 1)()(dtetF tj 1 t 0 )(t )(F 2 1 )( 2 1 )( 1 de FT tj

10、1)(tf 1 0 t 2)( 2 0 0 沖激函數(shù)傅立葉變換對(duì)沖激函數(shù)傅立葉變換對(duì) 29 二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果f(x， y)是連續(xù)和可積的，且F(u，v)是可積的，則二維 傅立葉變換對(duì)為 2 () 2 () ( , )( , ) ( , )( , ) jux vy jux vy F u vf x y edxdy f x yF u v edudv 30 傅立葉譜傅立葉譜 |F(u，v) =R2(u，v)+I2 (u，v)1/2 (u，v)=tan-1 I(u，v)R(u，v) E(u，v)=R2(u，v)+I2(u，v) 31

11、 例：例： 32 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 原圖像原圖像 幅度譜相位譜 33 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 原圖像原圖像 幅度譜相位譜 34 35 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 幅度譜告訴我們圖像中某種頻率的成份有多少 相位譜告訴我們頻率成份位于圖像的什么位置 通常我們只關(guān)心幅度譜 下面兩個(gè)圖對(duì)應(yīng)的幅度 譜是一樣（這里只顯示 了其幅度譜，當(dāng)然相位 譜是不一樣的） 36 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 從幅度譜中我們 可以看出明亮線 反映出原始圖像 的灰度級(jí)變化， 這正是圖像的輪 廓邊 37 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 從幅度譜中我們 可以看出明亮線 和原始圖像中對(duì) 應(yīng)的輪廓線是垂 直的。如

12、果原始 圖像中有圓形區(qū) 域那么幅度譜中 也呈圓形分布 38 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 圖像中的顆粒狀對(duì) 應(yīng)的幅度譜呈環(huán)狀， 但即使只有一顆顆 粒，其幅度譜的模 式還是這樣。 39 幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜 這些圖像沒有特定 的結(jié)構(gòu)，左上角到 右下角有一條斜線， 它可能是由帽子和 頭發(fā)之間的邊線產(chǎn) 生的 兩個(gè)圖像都存在一 些小邊界 40 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 假定取間隔x單位的抽樣方法將一個(gè)連續(xù) 函數(shù)f(x)離散化為一個(gè)序列f(x0)， f(x0+x)，fx0+(N-1)x 41 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 將序列表示成f(x)=f(x0+xx) 即用序

13、列f(0)，f(1)，f(2)，f(N-1)代替f(x0) ，f(x0+x)，fx0+(N-1)x 42 被抽樣函數(shù)的離散傅立葉變換定義式為 式中u=0，1，2，N1。反變換為 式中x=0，1，2，N-1。 1 2/ 1 0 ( ) N juxN N x Fufx e 1 2/ 0 () N ju xN x fxFu e 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 43 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 例如：對(duì)一維信號(hào)f(x)=1 0 1 0進(jìn)行傅立葉 變換 1 0 /2 1 )()( N x Nuxj N exfuF 44 u u=0=0時(shí)時(shí) u u=1=1時(shí)時(shí) 2/ 1 ) 3 (

14、 ) 2( ) 1 ( ) 0 ( 1111 )()() 0 ( 4 1 3 0 4 1 3 0 4/02 4 1 f f f f xfexfF xx x 3 / 2 11 44 0 (0) (1) (1)( )110 (2) ( (3) jx x f f Ff x ejj f f 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 45 2/1 )3( )2( ) 1 ( )0( 1111 )()2( 4 1 3 0 4 1 f f f f exfF j x u u=2=2時(shí)時(shí) 0 ) 3( )2( ) 1 ( )0( 11 )() 3( 4 1 2/3 3 0 4 1 f f f f jjexfF

15、xj x u u=3=3時(shí)時(shí) 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 46 在在N=4時(shí)，傅立葉變換以矩陣形式表示為時(shí)，傅立葉變換以矩陣形式表示為 x y 1 -1 j -j 1 4 11111 110 11111 110 jj F uAf x jj 離散函數(shù)的傅立葉變換離散函數(shù)的傅立葉變換 47 在二維離散的情況下，傅立葉變換對(duì)表示為在二維離散的情況下，傅立葉變換對(duì)表示為 式中u=0，1，2，M-1；v=0，1，2，N-1。 f(x，y)= 式中 x=0，1，2，M-1；y=0，1，2，N-1。 11 2(/) 1 00 ,( ,) MN juxMvyN MN xy Fu vfx y e

16、1 0 1 0 )/(2 ),( M u N v NvyMuxj evuF 二維離散函數(shù)的傅立葉變換二維離散函數(shù)的傅立葉變換 48 二維離散函數(shù)的傅立葉變換二維離散函數(shù)的傅立葉變換 例如例如 數(shù)字圖像的傅立葉變換數(shù)字圖像的傅立葉變換 原圖 傅立葉變換后的頻域圖 49 二維離散函數(shù)的傅立葉變換二維離散函數(shù)的傅立葉變換 50 Sinusoidal 51 Rectangle 52 離散傅立葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率 域之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在數(shù)字圖像處理中，經(jīng) 常要利用這種轉(zhuǎn)換關(guān)系及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，下面 將介紹離散傅立葉變換的若干重要性質(zhì) 二維離散傅立葉變換的若干性質(zhì) 53 周期性和共軛對(duì)稱性周期性和共軛

17、對(duì)稱性 若離散的傅立葉變換和它的反變換周期為 N，則有 傅立葉變換存在共軛對(duì)稱性 這種周期性和共軛對(duì)稱性對(duì)圖像的頻譜分 析和顯示帶來很大益處 F(u，v)=F(u+M，v)=F(u，v+N)=F(u+M， v+N) F(u，v)=F*(-u，-v) 54 1 0 1 ( , )( , )exp2/ N y F x vf x yjvy N N 1 0 1 ( , )( , )exp2/, ,0,1,.,1 N x F u vF x vjux Nu vN N 分離性分離性 一個(gè)二維傅立葉變換可由連續(xù)兩次 一維傅立葉變換來實(shí)現(xiàn) 55 56 x y xx v ,F u v 1-D離散傅 立葉變換 ,F

18、 u v 57 對(duì)圖像的每一行施行一維離散傅立葉變換對(duì)圖像的每一行施行一維離散傅立葉變換f(x,y) F(u,y) 再對(duì)每一列施行一維離散傅立葉變換再對(duì)每一列施行一維離散傅立葉變換F(u,y) F(u,v) 58 平面直角坐標(biāo)改寫成極坐標(biāo)形式：平面直角坐標(biāo)改寫成極坐標(biāo)形式： sin cos ry rx sin cos v u ,Frfyxf 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì) 做代換有：做代換有： 59 如果 被旋轉(zhuǎn)，則 被旋轉(zhuǎn)同一角 度 ，即有傅立葉變換對(duì) yxf, 0 ,F u v 00 ,Frf 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì) 60 旋轉(zhuǎn)性質(zhì) 原圖像及其 傅里葉變換 旋轉(zhuǎn)后圖像及 其傅里葉變換 61 線性疊加線性疊加

19、k1 f(x,y) + k2 g(x,y) k1 F(u,v) + k2 G(u,v) a)Image A; b)Image B; c)0.25 * A + 0.75 * B a)spectrum A; b)spectrum B; c)0.25 * A + 0.75 * B 62 卷積定理 時(shí)域（或空域）中的卷積等價(jià)于頻域的乘積。 2 2 2 jut jut jux F f tg tf x g tx dxedt f xg tx edtdx f x eG u dx F u G u 1 因?yàn)槿魏魏瘮?shù)沖激函數(shù)的卷積保持不變， 因此可證明沖激函數(shù)的傅立葉變換是單位 2 2() 22 () jut ju

20、 t xx juxjur g tx edt g tx ed tx eg r edr 63 頻譜的圖像顯示 譜圖像加深對(duì)圖像的視覺理解，如一幅遙感圖像 受正弦網(wǎng)紋的干擾，從譜圖像中可看出干擾的空 間頻率并有效去除。 , ,log 1, ,log 1, F u v D u vF u v K D u vK F u v 譜圖象：就是把作為亮度顯示出來。 人的視覺可分辨灰度有限： 實(shí)用公式常用 系數(shù)調(diào)整： 64 頻譜的頻域移中 2）頻譜的頻域移中）頻譜的頻域移中 ,F u v 傅立葉變換以零點(diǎn)為中心，導(dǎo)致譜圖象最亮點(diǎn) 在圖象的左上角。 為符合正常習(xí)慣，將的原零點(diǎn)從左上角 移到顯示屏的中心。 f x yj

21、u xv yN( , )exp() /2 00 F uu vv(,) 00 f xxyy(,) 00F u vjuxvyN( , )exp() /2 00 65 頻譜的頻域移中 2）頻譜的頻域移中）頻譜的頻域移中 f x yju xv yN( , )exp() /2 00 F uu vv(,) 00 f xxyy(,) 00F u vjuxvyN( , )exp() /2 00 yxyxjNyvxuj ee ) 1( )(/ )(2 00 yx yxf ) 1)(,() 2 , 2 ( N v N uF 設(shè)：u0=v0=N/2 66 頻譜的頻域移中 67 68 頻率域圖像濾波處理頻率域圖像濾波

22、處理 簡(jiǎn)單的濾波器 通過將傅立葉變換的原點(diǎn)設(shè)為0，達(dá)到去除 圖像平均值的效果 0, ( , )(/2, /2) ( , ) 1, u vmn H u v 其他 69 頻率域圖像濾波處理頻率域圖像濾波處理 70 頻率域圖像濾波處理頻率域圖像濾波處理 71 頻率域圖像濾波處理頻率域圖像濾波處理 圖像增強(qiáng)的目的主要包括： 消除噪聲，改善圖像的視覺效果； 突出邊緣，有利于識(shí)別和處理 72 圖像的頻率域增強(qiáng)圖像的頻率域增強(qiáng) 假定原圖像為f(x，y)，經(jīng)傅立葉變換為F(u， v)。頻率域增強(qiáng)就是選擇合適的濾波器 H(u,v)對(duì)F(u,v)的頻譜成分進(jìn)行處理，然后 經(jīng)逆傅立葉變換得到增強(qiáng)的圖像g(x,y),

23、頻 率域增強(qiáng)的一般過程如下： DFT H(u，v) IDFT f(x，y) F(u，v) F(u，v)H(u，v) g(x，y) 73 圖像的頻率域增強(qiáng)圖像的頻率域增強(qiáng) 74 圖像的頻率域增強(qiáng)圖像的頻率域增強(qiáng) 75 圖像的頻率域增強(qiáng)圖像的頻率域增強(qiáng) 76 圖像的頻率域增強(qiáng)圖像的頻率域增強(qiáng) 77 頻率域平滑頻率域平滑 圖像的平滑除了在空間域中進(jìn)行外，也可 以在頻率域中進(jìn)行。 由于噪聲主要集中在高頻部分，為去除噪 聲改善圖像質(zhì)量，濾波器采用低通濾波器 H(u,v)來抑制高頻成分，通過低頻成分， 然后再進(jìn)行逆傅立葉變換獲得濾波圖像， 就可達(dá)到平滑圖像的目的 78 頻率域平滑頻率域平滑 常用的頻率域低

24、通濾波器H(u,v)有四種： 理想低通濾波器 巴特沃斯低通濾波器 指數(shù)低通濾波器 梯形低通濾波器 79 理想低通濾波器理想低通濾波器 理想低通濾波器 設(shè)傅立葉平面上理想低通濾波器離開原點(diǎn) 的截止頻率為D0，則理想低通濾波器的傳 遞函數(shù)為 0 0 1( , ) ( , ) 0( , ) Du vD H u v Du vD 80 理想低通濾波器理想低通濾波器 由于高頻成分包含有大量的邊緣信息，因 此采用該濾波器在去噪聲的同時(shí)將會(huì)導(dǎo)致 邊緣信息損失而使圖像邊模糊 81 振鈴現(xiàn)象振鈴現(xiàn)象 83 使用半徑5，15，30，80 和230的截止頻率 84 85 Butterworth低通濾波器低通濾波器 n

25、階Butterworth濾波器的傳遞函數(shù)為： (, ) 2 0 1 1 ( , ) D u vn D H u v 它的特性是連續(xù)性衰減，而不象理想濾波器那樣陡峭變化， 即明顯的不連續(xù)性。因此采用該濾波器濾波在抑制噪聲的 同時(shí)，圖像邊緣的模糊程度大大減小，沒有振鈴效應(yīng)產(chǎn)生 86 87 指數(shù)低通濾波器指數(shù)低通濾波器 指數(shù)低通濾波器是圖像處理中常用的另一 種平滑濾波器。它的傳遞函數(shù)為： D(u,v) D0 - H(u,v) e n 采用該濾波器濾波在抑制噪聲的同時(shí)，圖像邊緣 的模糊程度較用Butterworth濾波產(chǎn)生的大些， 無明顯的振鈴效應(yīng) 88 梯形低通濾波器梯形低通濾波器 梯形低通濾波器是理想低通濾波器和完全 平滑濾波器的折中。它的傳遞函數(shù)為： 它的性能介