第5章-彎曲變形1

1、F撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程 F按疊加原理求梁的按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角 F梁的剛度計算梁的剛度計算 F簡單超靜定簡單超靜定梁的求解方法梁的求解方法 第五章、彎曲變形 F梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 研究范圍：梁在對稱彎曲時位移的計算。研究范圍：梁在對稱彎曲時位移的計算。 研究目的：研究目的：對梁作剛度校核；對梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。 1.1.撓度：撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移線位移。用用 y 表示。表示。 與與 y 軸同

2、向為正，反之為負。軸同向為正，反之為負。 2.2.轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動的角度動的角度。用。用 表示，逆時表示，逆時 針轉(zhuǎn)向為正，針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。反之為負。 二、二、撓曲線：撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。 其方程為：其方程為： y = y(x) 三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系： 一、度量梁變形的兩個基本位移量一、度量梁變形的兩個基本位移量 d tg d y y x 小變形小變形 第5-1節(jié)、撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程撓度和轉(zhuǎn)角梁的基本方程 F x y C C1 y y 梁的撓曲線近似

3、微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分 1( ) ( ) M x xEI 一、撓曲線近似微分方程一、撓曲線近似微分方程 () () Mx yx E I 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 y x M0 ( )0y x y x M0 ( ) 0y x () () Mx yx EI 適用：線彈性、小變形、平面彎曲適用：線彈性、小變形、平面彎曲 )(xyy 撓曲線撓曲線: : 曲曲 率率: : 2/32 )1 ( )(1 y xy )( 1 x y 小變形小變形1 y 撓曲線方程的其它形式撓曲線方程的其它形式 )(xMyEI S( ) EIyF x (4) ( )EIyq x 梁的（梁的（

4、2階）彎矩方程階）彎矩方程 梁的（梁的（3階）剪力方程階）剪力方程 梁的（梁的（4階）載荷方程階）載荷方程 求解以上微分方程分別需要幾個邊界條件？求解以上微分方程分別需要幾個邊界條件？ () () Mx yx EI 等截面直梁等截面直梁 EI = 常數(shù)常數(shù) )()(xFxM S )()(xqxM 二、求撓曲線方程（彈性曲線）二、求撓曲線方程（彈性曲線） ( )( )EIy xM x 1 ( )( )dEIy xM xxC 12 ( )( ( )d )dEIy xM xx x C x C 1.1.微分方程的積分微分方程的積分 2.2.位移邊界條件（變形的幾何相容條件）位移邊界條件（變形的幾何相容

5、條件） F AB C F D 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 撓度方程撓度方程 兩兩 次次 積積 分分 法法 支座位移約束條件：梁的某些截面位移已知支座位移約束條件：梁的某些截面位移已知 連續(xù)條件：連續(xù)條件： 光滑條件：光滑條件： 0 A y0 B y0 D y0 D CC yy CC 右左 或?qū)懗?CC CC yy 左右 或?qū)懗?連續(xù)光滑性：連續(xù)光滑性：相鄰梁段的相鄰梁段的交接處交接處，相鄰兩截面應(yīng)具有，相鄰兩截面應(yīng)具有相同的撓相同的撓 度和轉(zhuǎn)角度和轉(zhuǎn)角。 F AB C F D 積分常數(shù)積分常數(shù)C1、C2的確定的確定 在固定端，在固定端，撓度撓度和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角都等于零。都等于零。 y x x0，y=0， 0

6、 在鉸支座上，撓度等于零。在鉸支座上，撓度等于零。 y x0， ，y=0 x 在彎曲變形的對稱點上，轉(zhuǎn)在彎曲變形的對稱點上，轉(zhuǎn) 角等于零。角等于零。 xa， 0 y x 討論：討論： 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件的平面彎曲。 可應(yīng)用于求解承受各種載荷的可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面等截面或或變截面梁的位移變截面梁的位移。 積分常數(shù)積分常數(shù)由撓曲線變形的由撓曲線變形的幾何相容條件幾何相容條件( (邊界條件邊界條件) )確定。確定。 優(yōu)點：優(yōu)點：使用范圍廣，直接求解，較精確；使用范圍廣，直接求解，較精確； 缺點：缺點：計算較繁。計算

7、較繁。 例例 求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。 建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程 ( )()M xF xL 寫出梁的寫出梁的微分方程并積分微分方程并積分應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù) ( )()EIyM xF xL 2 1 1 () 2 EIyF xLC 3 12 1 () 6 EIyF xLC xC 3 2 1 (0)0 6 EIyFLC 2 1 1 (0)(0)0 2 EIEIyFLC 23 12 11 ; 26 CFLCFL 解：解： F L x y 寫出彈性曲線方程并畫出曲線寫出彈

8、性曲線方程并畫出曲線 232 3 ( )()(3) 6266 FFLFLFx y xxLxLx EIEIEIEI 3 max ( ) 3 FL yy L EI 2 max ( ) 2 FL L EI 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角 x y F L 3 12 1 () 6 EIyF xLC xC 23 12 11 ; 26 CFLCFL 2 )2( 2 )( 2 22 2 xLxFFL Lx F EIy 解：解：建立坐標系并寫出彎矩方程建立坐標系并寫出彎矩方程 () (0) ( ) 0 () F xaxa M x axL 寫出梁的寫出梁的微分方程并積分微分方程并積分 2 1 1 1 ()

9、2 F xaC EIy D 3 12 12 1 () 6 F xaC xC EIy D xD () (0) 0 () F xaxa EIy axL x y F L a 例例 求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。求圖示等截面直梁的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。 應(yīng)用位移邊界條件應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)求積分常數(shù) 3 2 1 (0)0 6 EIyFaC 2 1 1 (0)0 2 EIFaC 23 1122 11 ; 26 CDFaCDFa ()()y ay a )()( aa 11 DC 2121 DaDCaC y F L a 2 1 1 1 () 2 F xaC EIy D 3

10、 12 12 1 () 6 F xaC xC EIy D xD 寫出撓曲線方程并畫出曲線寫出撓曲線方程并畫出曲線 323 32 ()3 (0) 6 ( ) 3 () 6 F xaa xa xa EI y x F aa x axL EI 2 max ( )3 6 Fa yy LLa EI 2 max ( ) 2 Fa a EI 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角最大撓度及最大轉(zhuǎn)角 F L a x y 3 12 12 1 () 6 F xaC xC EIy D xD 2 1 1 1 () 2 F xaC EIy D 例：求均布載荷作用下簡支梁的撓度和轉(zhuǎn)角。例：求均布載荷作用下簡支梁的撓度和轉(zhuǎn)角。 2 1 22 q

11、l EIyM xxqx 34 1224 qlq EIyxxCxD q max y A B 2 ql 2 ql l 23 46 qlq EIyxxC 寫出梁的寫出梁的微分方程并積分微分方程并積分 3 :0 24 ql xlyC 0:00 xyD 由邊界條件求積分常數(shù)由邊界條件求積分常數(shù) 3 (0) 24 A ql y EI 4 max 5 ( ) 2384 lql yy EI 令( )0yx ，得 2 l x ，即 max () 2 l yy 34 1224 qlq EIyxxCxD 23 46 qlq EIyxxC q max y A B 2 ql 2 ql l 3 23 ( ) 4624 q

12、lqql y xxx EIEIEI 3 34 ( ) 122424 qlqql y xxxx EIEIEI 3 ( ) 24 B ql y l EI ax 1 0 23 222222 1 26 Fa EIyFaxxC xD l lxa 2 1111 Fb EIyMxx l 2 111 2 Fb EIyxC l 3 111 11 6 Fb EIyxC xD l 2 2222 2 Fa EIyFaxxC l max y Fb l Fa l l ab 1 x 2 x A B CD F x 222 )(x l Fa FaaxFx l Fb IE 例、集中力作用下梁的變形分析例、集中力作用下梁的變形分析

13、 1、列出平衡方程，求出支反力、列出平衡方程，求出支反力 2、列出梁的撓度的微分方程并積分、列出梁的撓度的微分方程并積分 待定常數(shù)待定常數(shù) 22, D C 21 , CC 邊界條件邊界條件： 1 0:x 1 0y 2 :xl 2 0y 連續(xù)條件：連續(xù)條件： 12 :xxa 12 yy 12 :xxa 12 yy 解出：解出： 22 12 1 2 () 6 0 0 Fb CClb l D D max y Fb l Fa l l ab 1 x 2 x A B CD F x ba 若 求最大撓度和轉(zhuǎn)角求最大撓度和轉(zhuǎn)角 max 0 6 B Fab la EIl 令 1 0y 即 222 1 1 0 2

14、6 FbFb xlb EIll 3 22 1 bl x 3 22 max 9 3 Fblb y EIl 當(dāng) 2 l ba 3 max 48 Fl y EI 時時 由 0 3 0 6 22 ba EIl Fab bl EIl Fb C A 在中間必有極值 y max y Fb l Fa l l ab 1 x 2 x A B CD F x 積分法求梁的變形關(guān)鍵點： 分段列彎距方程 尋找邊界條件 分段分段 : AB、BC、CD三段，共六個積分常數(shù)三段，共六個積分常數(shù) 邊界條件邊界條件 0 ; 0 AA y ; 右左右左cccc yy P D A B C 右左BB yy 0 D y 邊界條件：邊界條件

15、：BCBA lyy , 0 集中力集中力作用點，作用點，集中力偶集中力偶作用點，作用點，分分 布力布力的起、終點，的起、終點，鉸接點鉸接點為分段點。為分段點。 支承條件支承條件、連續(xù)條件連續(xù)條件、光滑條件光滑條件。有。有 多少積分常數(shù)就需要多少邊界條件。多少積分常數(shù)就需要多少邊界條件。 A B C 第第5-25-2節(jié)、按疊加原理求梁的節(jié)、按疊加原理求梁的撓度與轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角 積分法優(yōu)點：積分法優(yōu)點：可得到撓度方程可得到撓度方程y(x)和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 方程方程 (x) 。因而可求出任意。因而可求出任意 截面的撓度和轉(zhuǎn)角。截面的撓度和轉(zhuǎn)角。 積分法缺點：積分法缺點： 疊加原理疊加原理：多個載荷同時作

16、用于結(jié)構(gòu)而引起的變形多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和 121122 ()()()() nnn FFFFFF 121122 ()()()() nnn y FFFy Fy FyF 適用：線彈性、小變形適用：線彈性、小變形 若干類荷載所引起的變形若干類荷載所引起的變形( (撓度或轉(zhuǎn)角撓度或轉(zhuǎn)角) ) 各單一類荷載引起的變形各單一類荷載引起的變形( (查表查表) )之和之和 z B EI qL y 3 3 z B EI qL 2 2 L A P B A B L q z B EI qL y 8 4 z B EI qL

17、 6 3 A P B z C EI PL y 48 3 z A EI PL 16 2 z C EI qL y 384 5 4 z A EI qL 24 3 A B q L/2L/2 C L/2L/2 C 幾種常見梁的撓度和轉(zhuǎn)角（附錄幾種常見梁的撓度和轉(zhuǎn)角（附錄C） 例例6 6 按疊加原理求按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和點轉(zhuǎn)角和C點點 撓度。撓度。 解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖 由梁的簡單載荷變形表，由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。查簡單載荷引起的變形。 3 6 FC Fa y EI 2 4 FA Fa EI 4 5 24 qC qL y EI 3 3 qA qa EI q q F F

18、 =+ A A A B B B C aa q F AB C q F =+ A A B B aa 疊加疊加 AFAqA 2 (34) 12 a Fqa EI 43 5 246 C qaFa y EIEI 3 6 FC Fa y EI 2 4 FA Fa EI 4 5 24 qC qL y EI 3 3 qA qa EI 例例 求 B y ? ? EI aP yBP 3 2 3 BM y?ay CMCM EI aM y C CM 2 2 EI aMC CM EI aM y C BM 2 3 2 EI Pa EI aM y C B 3 8 2 3 32 aa P C M A B C P BP y C M CM y BM y CM BMBPB yyy 求圖示梁截面求圖示梁截面B B的撓度的撓度 解：為了利用附錄C的結(jié)果，可將原荷載視為圖(1)和圖 (2)兩種情況的疊加 AB C a L q EIz AB c L q AB c L q a (1)(2) z B EI qL f 8 4 1 AB c L q 圖（圖（1 1） 圖圖(2) CB段段M=0，所以所以CB為直線為直線 z C EI qa f 8 4 2 z C EI qa 6 3 2 )( 222 aLff CCB )( 68