九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 1.1《銳角三角函數(shù)》教案 北師大版

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（北師版）數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第一章第一節(jié)內(nèi)容，本章主要研究直角三角形的邊角關(guān)系；本節(jié)要求經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系能夠用tana表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。；所以本節(jié)的重點(diǎn)是理解tana的數(shù)學(xué)含義和公式.【知識(shí)與能力目標(biāo)】1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程。理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系2。能夠用tana表示直角三角形中兩邊的比,表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算?！具^(guò)程與方法目標(biāo)】1.經(jīng)歷觀

2、察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力,能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3。體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2。形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.【教學(xué)重點(diǎn)】理解tana的數(shù)學(xué)含義和公式?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】現(xiàn)實(shí)情境中理解tana的數(shù)學(xué)含義,以及公式的應(yīng)用。課前準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備課件、多媒體；學(xué)生準(zhǔn)備；練習(xí)本；教學(xué)過(guò)程第一課時(shí)創(chuàng)設(shè)情境 引入課題問(wèn)題1在直角三角形中,知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎?從而引出課

3、題在活動(dòng)1中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注:(1） 學(xué)生是否能從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。(2)學(xué)生的審美意識(shí)及對(duì)演示圖片傾注的情感。通過(guò)熟悉的物體（梯子），不僅讓學(xué)生感受到生活中數(shù)學(xué)無(wú)處不在，也為后面的探究活動(dòng)作好了情感準(zhǔn)備.梯子是日常生活常見(jiàn)的物體,讓學(xué)生比較如何比較梯子的傾斜度，有哪些辦法?“陡”或“平緩”是用來(lái)描述梯子什么的? 教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論，通過(guò)步步設(shè)問(wèn),引發(fā)學(xué)生思考。定義 在在rtabc中，銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的正切，記作tana,即tana=a的對(duì)邊/a的鄰邊從而引出正切的定義利用這個(gè)梯子模型引入，可以幫助學(xué)生直觀理解正切的概念。同時(shí)，通過(guò)學(xué)生主動(dòng)的活動(dòng)，讓學(xué)生親眼目睹數(shù)

4、學(xué)過(guò)程形象而生動(dòng)的性質(zhì)，親身體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)”，從中感受到數(shù)學(xué)的力量,促使學(xué)生樂(lè)于學(xué)習(xí)。讓學(xué)生在討論過(guò)程中學(xué)會(huì)與他人交流，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)?；顒?dòng)3判斷對(duì)錯(cuò)：圖1， (1) tana=bc/ac （ )tana=ac/bc （ )圖1圖2， tana=0.7m ( ) tana=0.7 （ ) 圖2注意： 1.tana是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示a的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“”。 2.tana沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值,即直角三角形中a的對(duì)邊與鄰邊的比。 3.tana不表示“tan”乘以“a”。 4。初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中,a是銳角的正切。5tana的大小只與a的大小有關(guān)，而與直角三角

5、形的大小無(wú)關(guān)。通過(guò)這組練習(xí)，既復(fù)習(xí)了正切的定義，又以探究的形式將知識(shí)進(jìn)一步延伸,拓廣了學(xué)生的思維,同時(shí)為以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)埋下了伏筆。板書(shū)設(shè)計(jì)：1。1 從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.2。正切的定義：在rtabc中，銳角a確定，那么a的對(duì)邊與鄰邊的比隨之確定，這個(gè)比叫做a的正切，記作tana，即tana。注:（1)tana的值越大。梯子越陡。 （2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.（3）tana是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示a的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“.3。例題講解(略）4.隨堂練習(xí)5。課時(shí)小結(jié)第二課時(shí) .創(chuàng)

6、設(shè)情境,提出問(wèn)題，引入新課 師我們?cè)谏弦还?jié)課曾討論過(guò)用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比來(lái)刻畫(huà)梯子的傾斜程度,并且得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與斜邊之比隨之確定.也就是說(shuō)這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無(wú)關(guān)。并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對(duì)邊與鄰邊之比定義了正切. 現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問(wèn)題: 問(wèn)題1當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎? 問(wèn)題2梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎？如果有,是怎樣的關(guān)系? .講授新課 1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義 多媒體演示如下內(nèi)容：想一想:如圖（1)直角三角形ab1c1和直角三角形ab2c2有什么關(guān)系？（2) 有什么關(guān)系? 呢？（3）如果改變a2在梯子a

7、1b上的位置呢？你由此可得出什么結(jié)論？(4)如果改變梯子a1b的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論?請(qǐng)同學(xué)們討論后回答. 生a1c1bc1，a2c2bc2,a1c1/a2c2。rtba1c1rtba2c2。 (相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）。 由于a2是梯子a1b上的任意-點(diǎn)，所以,如果改變a2在梯子a1b上的位置，上述結(jié)論仍成立。 由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對(duì)邊.與斜邊的比值,傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說(shuō)，這一比值只與傾斜角有關(guān),而與直角三角形大小無(wú)關(guān). 生如果改變梯子a1b的傾斜角的大小，如虛線的位置,傾斜角的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變。

8、 師我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過(guò)程。對(duì)邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對(duì)邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢？ 生函數(shù)關(guān)系。 師很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類(lèi)比正切還可以有如下定義：（用多媒體演示） 在rtabc中，如果銳角a確定，那么a的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定。如圖，a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的正弦(sine），記作sina,即 sina a的鄰邊與斜邊的比叫做a的余弦（cosine），記作cosa，即 cosa= 銳角a的正弦、余弦和正切都是a的三角函數(shù) （trigon

9、ometric function). 師你能用自己的語(yǔ)言解釋一下你是如何理解“sina、cosa、tana都是之a(chǎn)的三角函數(shù)”呢? 生我們?cè)谇懊嬉延懻撨^(guò)，當(dāng)直角三角形中的銳角a確定時(shí).a的對(duì)邊與斜邊的比值，a的鄰邊與斜邊的比值，a的對(duì)邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“a的三角函數(shù)概念中，a是自變量，其取值范圍是0a90；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)a變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng). 2.梯子的傾斜程度與sina和cosa的關(guān)系 師我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tana有關(guān)系:tana的值越大,梯子越陡。由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sina、cosa有關(guān)系呢?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系

10、？19生如圖所示,aba1b1，在rtabc中，sina=,在rta1b1c中,sina1=. , 即sinasina1,而梯子a1b1比梯子ab陡， 所以梯子的傾斜程度與sina有關(guān)系.sina的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度。 生同樣道理cosa= cosa1， ab=a1b1 即cosacosa1, 所以梯子的傾斜程度與cosa也有關(guān)系。cosa的值越小，梯子越陡。 師同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉！從理論上講正弦和余弦都可以刻畫(huà)梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切。 3.例題講解 多媒體演示。例1如圖，在rtabc中，b=90,ac200.sina0。6，

11、求bc的長(zhǎng)。 分析:sina不是“sin”與“a”的乘積，sina表示a所在直角三角形它的對(duì)邊與斜邊的比值,已知sina0。6,0。6。 解：在rtabc中,b90，ac200。 sina0.6，即=0.6，bcac0。62000.6=120。 思考:（1)cosa？ (2）sinc? cosc？ （3)由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論？ 解：根據(jù)勾股定理，得 ab=160。 在rtabc中，cb90。 cosa0.8， sinc= =0.8， cosc 0.6， 由上面的計(jì)算可知 sinacosco.6, cosasinc0。8。 因?yàn)閍+c90，所以,結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”

12、“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”。例2做一做：如圖，在rtabc中，c=90,cosa，ac10，ab等于多少?sinb呢?cosb、sina呢?你還能得出類(lèi)似例1的結(jié)論嗎？請(qǐng)用一般式表達(dá).分析:這是正弦、余弦定義的進(jìn)一步應(yīng)用,同時(shí)進(jìn)一步滲透sin(90a)cosa，cos（90-a)=sina. 解：在rtabc中，c90，ac=10，cosa，cosa,ab=,sinb根據(jù)勾股定理，得bc2ab2ac2（）2102=bc.cosb，sina可以得出同例1一樣的結(jié)論.a+b=90，sina：cosb=cos（90-a）,即sinacos(90a）； cosasinbsin（90a）,即co

13、sasin（90-a）。 。隨堂練習(xí) 多媒體演示 1。在等腰三角形abc中，ab=ac5，bc=6，求sinb，cosb，tanb. 分析：要求sinb，cosb，tanb，先要構(gòu)造b所在的直角三角形。根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可過(guò)a作adbc，d為垂足. 解：過(guò)a作adbc，d為垂足。 ab=ac,bd=dc=bc=3。 在rtabd中，ab5，bd=3， ad4. sinb cosb, tanb=。 2。在abc中，c90，sina，bc=20，求abc的周長(zhǎng)和面積。 解：sina= ,sina=，bc20， ab25. 在rtbc中,ac=15， abc的周長(zhǎng)ab+ac+bc25

14、+15+2060， abc的面積:acbc=1520150。3。（2003年陜西）(補(bǔ)充練習(xí)）在abc中。c=90，若tana=,則sina= 。 解：如圖,tana=。設(shè)bc=x，ac=2x，根據(jù)勾股定理，得ab=。sina=。.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們類(lèi)比正切得出了正弦和余弦的概念,用函數(shù)的觀念認(rèn)識(shí)了三種三角函數(shù)，即在銳角a的三角函數(shù)概念中,a是自變量，其取值范圍是0a90；三個(gè)比值是因變量。當(dāng)a確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)a變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng).類(lèi)比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. 。課后作業(yè) 習(xí)題1、2第1、2、3、4題 .活動(dòng)與探究已知：如圖，cd是rtabc的斜邊ab上的高，求證：bc2abbd。（用正弦、余弦函數(shù)的定義證明) 過(guò)程根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在rtabc中，cdab.所以圖中含有三個(gè)直角三角形