平行線的判定和性質(zhì)(綜合篇)

1、平行線的判定和性質(zhì)（綜合篇）一、重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：平行線的判定性質(zhì)。難點(diǎn)：平行線的性質(zhì)與平行線的判定的區(qū)分 掌握推理論證的格式。二、例題：這部分內(nèi)容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認(rèn)出對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角。解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關(guān)鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時(shí)還需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。上述類型題目大致可分為兩大類。一類題目是判斷兩個(gè)角相等或互補(bǔ)及與之有關(guān)的一些角的運(yùn)算問(wèn)題。其方法是“由線定角”，即運(yùn)用平行線的性質(zhì)來(lái)推出兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。另一類題目主要是“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補(bǔ)關(guān)系來(lái)判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握

2、好平行線的判定方法。例1如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若1=2，2+3=180，求證：1=7分析：運(yùn)用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系。1與7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a/c。法（一）證明：d是直線（已知）1+4=180（平角定義）2+3=180，1=2（已知）3=4（等角的補(bǔ)角相等）a/c（同位角相等，兩直線平行）1=7（兩直線平行，同位角相等）法（二）證明：2+3=180，1=2（已知）1+3=180（等量代換）5=1，6=3（對(duì)頂角相等）5+6=180（等量代換）a/c （同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）1=7（兩直線

3、平行，同位角相等）。例2已知如圖，1+2=180，a=c，ad平分bdf，求證：bc平分dbe。分析：只要求得ebc=cbd，由1+2=180推出1=bdc，從而推出ae/fc，從而推出c=ebc而c=a于是可得a=ebc。因此又可得ad/bc，最后再運(yùn)用平行線性質(zhì)和已知條件便可推出ebc=dbc。證明：2+bdc=180 （平角定義）又2+1=180（已知）bdc=1（同角的補(bǔ)角相等）ae/fc（同位角相等兩直線平行）ebc=c（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）又a=c（已知）ebc=a（等量代換）ad/bc（同位角相等，兩直線平行）adb=cbd（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）adf=c（兩直線平行，同位

4、角相等）又da平分bdf（已知）adb=adf（角平分線定義）ebc=dbc（等量代換）bc平分dbe（角平分線定義）說(shuō)明：這道題反復(fù)應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)，這是以后在證題過(guò)程中經(jīng)常使用的方法，見(jiàn)到“平行”應(yīng)想到有關(guān)的角相等，見(jiàn)到有關(guān)的角相等，就應(yīng)想到能否判斷直線間的平行關(guān)系。把平行線的判定與性質(zhì)緊密地結(jié)合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應(yīng)手，靈活自如。三、小結(jié)：證明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已學(xué)過(guò)的關(guān)于兩個(gè)角相等的命題：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的補(bǔ)角相等；（3）對(duì)頂角相等；（4）兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)。以

5、上四個(gè)命題是我們目前論證兩個(gè)角相等的武器，但是何時(shí)用這些武器，用什么武器，怎樣使用，這是遇到的一個(gè)具體問(wèn)題，需要認(rèn)真進(jìn)行分析。首先必須分析，在題設(shè)中給出了哪些條件，與其相關(guān)的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個(gè)角在圖形的具體位置，與已知條件有什么關(guān)聯(lián)，怎樣運(yùn)用一次推理或幾個(gè)一次推理的組合而來(lái)完成題設(shè)到結(jié)論的過(guò)渡。例3，如圖1=2=c，求證b=c。分析：題設(shè)中給出三個(gè)相等的角，其中2和c是直線de和bc被ac所截構(gòu)成的同位角，由2=c則de/bc。再看題中要證明的結(jié)論是b=c，由于c=1，所以只要證明1=b，而1與b是兩條平行直線de，bc被直線ab所截構(gòu)成的同位角，1=b是很顯然的，這樣我們

6、就理順了從已知到求證的途徑：證明：2=c（已知），de/bc（同位角相等，兩直線平行），1=b（兩直線平行，同位角相等），又1=c（已知），b=c（等量代換）。例4、已知如圖，ab/cd，ad/bc，求證：a=c，b=d。分析：要證明a=c，b=d，從這四個(gè)角在圖中的位置來(lái)看，每一組既不構(gòu)成同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，由此不可能利用題設(shè)中的平行關(guān)系，經(jīng)過(guò)一次推理得到結(jié)論，仍然如同例10一樣通過(guò)等角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從題設(shè)條件出發(fā)，由ab/cd，且ab與cd被直線bc所截，構(gòu)成了一對(duì)同旁內(nèi)角，b、c，因此b+c=180o，同時(shí)b又是另一對(duì)平行線ad、bc被直線ab所截，構(gòu)成的一對(duì)同旁內(nèi)角b、a，b+

7、a=180o，通過(guò)b的中介，就可以證明得a=c。同理，也可得到b=d，整個(gè)思路為：證明：ad/bc（已知），a+b=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），ab/cd（已知），b+c=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），a=c（同角的補(bǔ)角相等），同理可證b=d。例5、已知如圖，adbc于d，egbc于g，e=3，求證：1=2。分析：要證明1=2，而從圖中所示的1和2的位置來(lái)看，根據(jù)題設(shè)或?qū)W過(guò)的定義、公理、定理無(wú)法直接證明這兩個(gè)角相等，因我們可將視野再拓廣一下，尋找一下1、2與周邊各角的關(guān)系，我們看到直線ad與ge被直線ae所截，形成同位角1、e；被ab所截，形成內(nèi)錯(cuò)角2、3；而題設(shè)明確告訴我們

8、3=e，于是目標(biāo)集中到證明ad/ge，根據(jù)題設(shè)中adbc，egbc，我們很容易辦到這一點(diǎn)，總結(jié)一下思路，就可以得到以下推理程序：證明： adbc于d（已知），adc=90o（垂直定義），egbc于g（已知），egd=90o（垂直定義），adc=egd（等量代換），eg/ad（同位角相等，兩直線平行），1=e（兩直線平行同位角相等），2=3（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），又e=3（已知），1=2（等量代換）。四、兩條直線位置關(guān)系的論證。兩條直線位置關(guān)系的論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點(diǎn)在同一直線上。1、學(xué)過(guò)證明兩條直線平行的方法有兩大類（一）利用角；（1）同位角相等，兩條直線平行

9、；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。（二）利用直線間位置關(guān)系：（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；*（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。例6、如圖，已知be/cf，1=2，求證：ab/cd。分析：要證明ab/cd，由圖中角的位置可看出ab與cd被bc所截得一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角abc和dcb，只要證明這對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，而圖中的直線位置關(guān)系顯示，abc=1+ebc，bcd=2+fcb，條件中又已知1=2，于是只要證明ebc=bcf。 證明： be/cf（已知），ebc=fcb（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）1=2（已知），1+ebc=2+fcb（等量加等量其和相等），即abc=b

10、cd（等式性質(zhì)），ab/cd（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。例7、如圖cdab，efab，1=2，求證：dg/bc。分析：要證明dg/bc，只需證明1=dcb，由于1=2，只需證明2=dcb，2與dcb又是同位角，只需證明cd/ef。根據(jù)題設(shè)cdab，efab，cd/ef，很容易證得，這樣整個(gè)推理過(guò)程分成三個(gè)層次。（1）（平行線的判定） （2）cd/ef2=dcb（平行線的性質(zhì)）（3）1=dcbdg/bc（平行線判定）在這三個(gè)推理的環(huán)節(jié)中，平行線的判定和性質(zhì)交替使用，層次分明。證明：cdab于d（已知），cdb=90o（垂直定義），efab于f（已知），efb=90o（垂直定義），cdb=efb（

11、等量代換），cd/ef（同位角相等，兩直線平行），2=dcb（兩直線平行，同位角相等）又1=2（已知），1=dcb（等量代換），dg/bc（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。說(shuō)明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個(gè)角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩直線平行。因此，交替使用平行線的判定方法和平行線的性質(zhì)就成為證明兩直線平行的常用思路。2、已經(jīng)學(xué)過(guò)的證明兩直線垂直的方法有如下二個(gè)：（1）兩直線垂直的定義（2）一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線

12、也和另一條垂直。（即證明兩條直線的夾角等于90o而得到。）例8、如圖，已知efab，3=b，1=2，求證：cdab。分析：這是一個(gè)與例14同樣結(jié)構(gòu)的圖形，但證明的目標(biāo)卻是兩條直線垂直。證明cdab，根據(jù)“一條直線垂直于兩條平行線中的一條，必垂直于另一條。”又由于已知條件efab，只要證明ef/cd，要證ef/cd，結(jié)合圖形，只要證明2=dcb，因?yàn)?=2，只需證明dcb=1，而dcb與1是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因而根據(jù)平行線的性質(zhì)，就需證明dg/bc，要證明dg/bc根據(jù)平行線的判定方法只需證明3=b，而這正是題設(shè)給出的條件，整個(gè)推理過(guò)程經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)層次：3=bdg/bcdcb=2（1）平行線判定 （2

13、）平行線性質(zhì) cdab（3）平行線判定性質(zhì) （4）垂直定義證明：3=b（已知），dg/bc（同位角相等，兩直線平行）1=dcb（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），1=2（已知），dcb=2（等量代換），dc/ef（同位角相等，兩直線平行），有括號(hào)部分的五步也可以用以下證法：接dc/ef（同位角相等，兩直線平行），又efab（已知），cdab（一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直。）3、已經(jīng)學(xué)過(guò)的證明三點(diǎn)共線的方法在前面的幾講中已分析過(guò)，若證明e、o、f三點(diǎn)共線，通常采用eof=180o，利用平角的定義完成三點(diǎn)共線證明。此方法不再舉例。五、一題多解。例9、已知如圖，bed=b+d。求

14、證：ab/cd。法（一）分析：要證明ab/cd，從題設(shè)中條件和圖形出發(fā)考慮，圖形中既不存在“三線八角”，又不存在與ab、cd同時(shí)平行的第三條直線或與ab、cd同時(shí)垂直的直線，這樣就無(wú)法利用平行線公理的推理或平行線的判定方法來(lái)證明兩條直線平行。能不能為此創(chuàng)造條件呢？如果我們能夠在圖中添置一條直線，使這條直線和ab、cd中的一條平行，那么我們就有可能證明它也平行于另一條，從而得到ab/cd。根據(jù)平行公理，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，所以這樣的直線是存在的。接下來(lái)的問(wèn)題是：過(guò)哪一點(diǎn)作這條平行線，考慮題設(shè)中的已知條件，三個(gè)角的關(guān)系圍繞著e點(diǎn)展開的，因而選擇e點(diǎn)作ab的平行線是較為理

15、想的位置。證明：過(guò)點(diǎn)e作ef/ab，b=1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），bed=1+2（全量等于部分之和），2=bed-1（等式性質(zhì)），又bed=b+d（已知），d=bed-b（等式性質(zhì)）2=d（等量代換）ef/cd（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），ef/ab（作圖），ab/cd（平行于同一直線的兩直線平行）。說(shuō)明：在光憑題設(shè)條件無(wú)法直接證得結(jié)論時(shí)，在圖中添置新的線，以構(gòu)成一個(gè)條件充分的圖形，從而得出所求證的結(jié)論，像這樣添置的線叫做輔助線，在畫圖時(shí)，輔助線用虛線畫出。法（二）分析：如果在e點(diǎn)的另一側(cè)添置ab的平行線（如圖），同樣可以憑此證得結(jié)論，但是由于所取的角的位置不同，推理的依據(jù)過(guò)程也有所不同。證明：過(guò)點(diǎn)e作ef/ab（如圖），b+1=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），1+2+bed=360o（周角定義），bed=b+d（已知），b+d+1+2=360o（等量代換），d+2=360o-（b+1）（等式性質(zhì)）=360o-180o（等量代換）=180oef/cd（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），ef