2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2. 變換的復(fù)合與矩陣的乘法 2..2 矩陣乘法的簡單性質(zhì)教學(xué)案選修-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精23。2矩陣乘法的簡單性質(zhì)1矩陣的乘法只具有結(jié)合律，即(ab）ca(bc），不滿足交換律和消去律，即abba,若abac，則一般情況下bc。2二階矩陣的冪mn矩陣乘法的性質(zhì)例1（1)設(shè)a，b，驗(yàn)證：若abba，則(ab）2a2b2；(2）求證：當(dāng)abba時(shí),（ab)2a2b2,（其中a、b均為二階矩陣）思路點(diǎn)撥(1)利用矩陣乘法法則直接驗(yàn)證；(2）依據(jù)條件,利用矩陣的乘法具有結(jié)合律進(jìn)行驗(yàn)證精解詳析（1）ab ，ba ，abba。a2 ，b2 ，a2b2 .又(ab)2 ，（ab)2a2b2.故若abba,則（ab)2a2b2.(2）abba，（ab)2(ab)（ab)

2、a(ba)ba(ab)b（aa）（bb)a2b2.（1)矩陣乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律（2）根據(jù)矩陣乘法滿足結(jié)合律可知,多個(gè)矩陣相乘時(shí),無論先進(jìn)行哪兩個(gè)相鄰矩陣的乘積均不影響最終結(jié)果1計(jì)算 .解：原式 。2設(shè)a，b，c，求a(bc）和（ab）c,并判斷它們是否滿足結(jié)合律解：因?yàn)閎c ,ab ，所以a(bc） ,（ab)c 。顯然,有a(bc）（ab）c。因此滿足結(jié)合律.二階矩陣的冪運(yùn)算例2設(shè)a,求a2，a3,猜想an(nn*)并證明你的猜想思路點(diǎn)撥先利用矩陣乘法法則求a2、a3，猜想an，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明精解詳析a2 ，a3a2a ，猜想an其中nn*，n2。下面用數(shù)學(xué)歸納法證

3、之：（1)當(dāng)n2時(shí)，由以上計(jì)算可知猜想成立（2）假設(shè)nk時(shí)猜想成立，即ak。當(dāng)nk1時(shí)，ak1aka ，故nk1時(shí)猜想也成立由（1）和(2)可知，對任意nn*（n2)，都有an。求矩陣具體數(shù)冪的運(yùn)算可依據(jù)mn求解若求矩陣一般字母冪的運(yùn)算可利用數(shù)學(xué)歸納法求之3計(jì)算4。解:4 。4已知a,求a2，a3，并據(jù)此猜想an(n2，nn），并加以證明解:a2 。a3a2a .據(jù)此猜想an。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)由以上可知當(dāng)n2時(shí)，猜想成立（2)假設(shè)nk（k2)時(shí),猜想成立即ak。當(dāng)nk1時(shí)，ak1aka .即nk1時(shí)，命題也成立由(1)（2)可知對一切n2，nn*都有an.1已知a，b，c，計(jì)算ab

4、，ac。解：ab ，ac .2已知矩陣a，求a4，a5,a9。解:因?yàn)閍2 ,所以a4a2a2 ，a5aa4 .a9a4a5 。3求使等式m成立的二階矩陣m.解：設(shè)m,則m .a1,b2，c3，d5.m。4(1）構(gòu)造兩個(gè)矩陣a，b，使它們不滿足abba；(2)構(gòu)造兩個(gè)矩陣a,b(a，b均不為零矩陣）,使ab成立；（3)構(gòu)造一個(gè)矩陣a（a既不是零矩陣，也不是單位矩陣）,使a2a成立；(4)構(gòu)造一個(gè)矩陣b(b不是零矩陣)，使得b2成立解：(1）如a，b；(2)如a，b；（3)如a；(4)如b。5設(shè)數(shù)列an,bn滿足an12an3bn,bn12bn，且滿足m，試求二階矩陣m。解：由題意得 ，令a,則

5、 a2.a4，ma4.a2 ，ma4（a2）2 .6設(shè)m，求mn（nn)解：m2 .m3mm2 .由此猜想mn.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(1）n1時(shí)顯然成立（2)假設(shè)nk(k1，kn)時(shí)成立，即k。則當(dāng)nk1時(shí)，mk1mmk .故nk1時(shí)也成立n為正整數(shù)時(shí),結(jié)論都成立故mn(nn*)7矩陣m，n,向量.(1）驗(yàn)證:（mn)m（n);(2）驗(yàn)證這兩個(gè)矩陣不滿足:mnnm.證明：（1)因?yàn)閙n ，所以（mn) 。因?yàn)閚 ，所以m（n) .故（mn）m（n）(2)因?yàn)閚m ，又mn，所以mnnm.8求滿足a2a的一切的二階矩陣解：設(shè)a，a2a，。a2bcaabbdbaccdcbcd2d由得(cd1）b0，(ad1）c0。（1)當(dāng)ad10時(shí)，由得a，由得d。故a如下或其中b、c為任意實(shí)數(shù)且bc.(2)當(dāng)ad10時(shí)，則c0且b0，再由得a0或1，d0或1,但又由ad10，ad0或ad1.此時(shí)有a或a.故滿足a2a的二階方陣為或及或(其中b、c為任意實(shí)數(shù)且bc）攀