高中數(shù)學(xué)論文：應(yīng)用三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解題

1、應(yīng)用三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解題函數(shù)是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)中的一條主線，每年高考對(duì)函數(shù)的考查所占比例都相當(dāng)大?，F(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材增加了導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，各地高考及其模擬試題中，頻頻出現(xiàn)了以三次函數(shù)為背景，考查導(dǎo)數(shù)在三次函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問(wèn)題中的應(yīng)用。下面就對(duì)一元三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行研究，并解決這類問(wèn)題。一元三次函數(shù)的圖像可分為兩類：（一）在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的無(wú)極值的，其形狀與類似；（二）在整個(gè)定義域內(nèi)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間（兩增一減或兩減一增）必有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值。具體分析如下：設(shè)方程的判別式為，時(shí)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根記為（1） 當(dāng)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為，在處取極大值；在處取極小值。大致圖像如下面

2、幾種情形：xxyx1x2yxxx2x1yx1x2oxoxoxx（2）當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值。圖象與相類似， xxyxox，當(dāng)即時(shí)，圖象都有一個(gè)對(duì)稱中心，其中xxyxoxxxyxoxxx（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，在處極小值，在處取極大值。圖為：xxyxoxxxyxoxxxyxox xxyxoxxxyxox(4)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無(wú)極值，圖象與相類似，同理也有一個(gè)對(duì)稱中心，其中。xxyxox例題選講例1已知其中，試判斷a，b，s，t的大小 stabxxyxox解：由可知它的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)且的系數(shù)大于0，又由且，根據(jù)結(jié)論，可知的簡(jiǎn)圖為由圖可知：例2方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)

3、（ ）（a）3 （b）2 （c）1 （d）0 yxxxox解析：，令又的系數(shù)大于0 1 3 由結(jié)論可知，函數(shù)的圖象是先增后減的，且在取得極大值為，在處取得極小值為所以，方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，其中所以實(shí)根范圍為。例3已知實(shí)數(shù)滿足，則解析：，則，方程，的系數(shù)大于0，由結(jié)論可知函數(shù)在r上都是增函數(shù)，而由結(jié)論可知（1，3）是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心。x13yo為圖象上兩點(diǎn)，即xyo例4已知函數(shù)若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)的連線的斜率小于2，求a的取值范圍yox解：，方程（i）時(shí)，函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖：其中（0，b）是圖象的對(duì)稱中心，滿足題意（ii）時(shí)，函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖：恒成立，即恒成立，綜合（i）（ii），a的取

4、值范圍為。例5直線與函數(shù)的圖象有相異的三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍解：是一條平行于x軸（a=0時(shí)x軸重合）的直線，所以只需研究的圖象變化即可，因?yàn)?，由的方程的兩根?1，1，的系數(shù)大于0，由結(jié)論可以知，在上遞增，在-1，1上遞減，在上遞增。，簡(jiǎn)圖如下：-1-22xy1o 因?yàn)橐古c函數(shù)的圖象有相異的三個(gè)交點(diǎn)，必須有也容易看出：若無(wú)交點(diǎn)，； 若有一個(gè)交點(diǎn)或；若有兩個(gè)交點(diǎn)或。例6若函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，試求：實(shí)數(shù)a的取值范圍解：方程的兩個(gè)根為，若a=2時(shí)，在整個(gè)定義域的單調(diào)增，所以不符合題意，故，又的系數(shù)大于0，函數(shù)圖象應(yīng)有3個(gè)單調(diào)區(qū)間且先增后減再增，由已知在（1，4）內(nèi)減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，可知在x=1時(shí)取極大值，在x=a-1處取極小值。從而得到的簡(jiǎn)圖a-1yxo 1由圖可知：，所以a的取值范圍為5，7。例7已知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一根是，（1）求c的值（2）求證：還有不同于的實(shí)數(shù)根，且成等差數(shù)列（3）若方程恰有一解，求的取值范圍解：（1），由題意，函數(shù)在0處取到極大值，即c0（2） 方程的一個(gè)根為，故， ，方程的判別式為，且不是此方程的根，所以還有兩個(gè)根，且，故成等差數(shù)