第三章信號(hào)分析

1、第三章第三章 信號(hào)分析信號(hào)分析 3.1 引言引言 信號(hào)分析就是要研究如何將信號(hào)表示為各分量的 疊加，并從信號(hào)分量的組成情況去考察信號(hào)的特性。 在上一章中我們?yōu)榱饲笙到y(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)將信號(hào)分解 為階躍或者沖激，這種分解對(duì)于求解零狀態(tài)響應(yīng)是有 效的，但對(duì)分析信號(hào)的特性顯然不夠理想。 在這一章中我們將專門研究信號(hào)的分解問(wèn)題，看 看除了上一章中的分解方法外還有沒(méi)有其它的分解方 法。其實(shí)同學(xué)們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)過(guò)一個(gè)周期信號(hào) 可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)，這樣就將信號(hào)和頻率聯(lián)系起 來(lái)，就可以在頻域中研究信號(hào)的頻率特性，另外我們 在第二章中還提到信號(hào)也可以分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)，這 將在第五章中討論。 n主要內(nèi)容: 1、

2、信號(hào)表示為正交函數(shù)集 2、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)及頻譜 3、非周期信號(hào)的傅里葉變換及頻譜 3.2 信號(hào)表示為正交函數(shù)集信號(hào)表示為正交函數(shù)集 信號(hào)的分解與矢量的分解十分相似，所 以我們先從矢量的分解談起。 一、矢量的分量和矢量的分解矢量的分量和矢量的分解 在中學(xué)的物理中同學(xué)們學(xué)過(guò)力的分解與合 成（平行四邊形法則），有兩個(gè)平面上不同方 向上的力F1,F2它的合力就是F?；蚍催^(guò)來(lái)力F 可以分解為不同方向上的兩個(gè)分力F1,F2 。 則表示 現(xiàn)在將力抽象成矢量，那么 一個(gè)平面上的矢量 0 A 21 ,AA 可以在兩個(gè)方向 分解。在不同方向上分解其結(jié)果也是不一樣的。 這里 上 21 ,AA 在 上的分量分別

3、用 0 A 202101 ACAC 和 其中C01,C02反映了矢量 0 A 在 21 ,AA 的大小稱分量系數(shù)分量系數(shù)它們?yōu)闃?biāo)量，而 方向上分量 21 ,AA 了分量的方向。 我們知道平面上的一個(gè)矢量必須在兩個(gè) 不同的方向上分解為兩個(gè)分量才能完全代表 原來(lái)的矢量。那么如果是三維空間中的矢量 則必須分解為三個(gè)分量，推廣到n維空間就要 分解為n個(gè)分量。 21 ,AA 321 ,AAA n AAA , 21 在平面中的 ，在三維空間中的 ，在n維空間中則是，如它們是線性無(wú)關(guān) 的則可作為一組基基。如果在n維空間中的任意一 個(gè)矢量都可以用 n AAA , 21 這組基的線性組合來(lái) 表示，那么稱這組基是

4、完備的完備的。如果這組基相 互之間是正交的則稱正交基稱正交基。 如果這組基既正交 又完備則稱正交完備基正交完備基或正交完備矢量集正交完備矢量集。 這樣在n維空間中的一個(gè)矢量就要用n個(gè)分量 來(lái)精確地表示，但是在解決工程問(wèn)題時(shí)只需要達(dá) 到一定精度就可以了，因此并不需要取所有的n 個(gè)分量，特別是當(dāng)n非常大時(shí)。 當(dāng)我們?nèi)〉姆至繑?shù)比空間的維數(shù)要小時(shí)就 不可避免地產(chǎn)生誤差。雖然誤差是不可避免的， 但我們可以使誤差最小。那么怎樣才能使誤差 最小呢？我們還是以平面（二維空間）上的矢 量分解為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。 21 ,AA 1 A 2 A 假定平面上的兩個(gè)矢量它們的夾角 在上的分量來(lái)近似地表示 ，那么就會(huì)產(chǎn)生

5、誤差 為，我們用 1 A E 。 cos2 2112 2 2 2 12 2 1 2 2121 AACACAE ACAE 要使誤差的平方最小，只要令: 2 12 122 12 2 cos 0 AAE C C A 得 1212 2 222 cosAAAA AAA 注意到 為矢量的點(diǎn)積點(diǎn)積，或稱內(nèi)積內(nèi)積。 22 21 12 AA AA C 1 A 2 A cos 1212 AAC 所以在上的分量的模為 ，這正是上的垂直投影，由此得出結(jié) 1 A 2 A 在 論當(dāng)取上的垂直投影時(shí)平方誤差最小。 1 A 2 A 在 所以在矢量分解時(shí)通常采用正交分解。 由矢量?jī)?nèi)積的定義可以看出當(dāng)兩個(gè)矢量相互 正交時(shí)內(nèi)積為0

6、或分量系數(shù)為0，而當(dāng)兩個(gè)矢 量相等時(shí)內(nèi)積最大等于該矢量模的平方或分 量系數(shù)為1。 0090 1 1221 12 2 2 2 12121 CAA CAAAAAA 或若 或若 所以，兩個(gè)矢量是否正交就是看它們的內(nèi)積是 否為零，而C12與兩個(gè)矢量的相似程度有關(guān)。 設(shè) , 21n VVV 如果它們滿足如下的條件我們就稱它為正交正交 為n維矢量空間中的矢量集， 矢量集矢量集。 mlnml VV KVV ml mmm , 2 , 1, 0 顯然它也是完備的，因?yàn)閚維空間中的任一 矢量都可用它們的線性組合來(lái)表示。例如二 維空間（平面）上的x,y軸和三維空間中的 x,y,z軸，它們都是正交完備矢量集正交完備矢

7、量集。 有時(shí)我們常常用歸一化的正交矢量集 , 21n UUU 作為n維空間中的基。則它們滿足 下面的關(guān)系。 mlnml UU UU ml mm , 2 , 1, 0 1 小結(jié)： 1、n維矢量空間中的任一矢量可分解為n個(gè)分量； 2、如果分量小于n個(gè)則產(chǎn)生誤差，如要平方誤差 最小則應(yīng)取它的垂直投影； 3、矢量的分解一般采用正交矢量集，即正交分 解。 二、信號(hào)分解為正交函數(shù)集信號(hào)分解為正交函數(shù)集 把n維矢量空間的概念推廣到函數(shù)，即函數(shù) 空間。設(shè) 是定義在區(qū)間)(),(),( 21 tgtgtg n t1,t2上的n個(gè)函數(shù)，定義兩個(gè)函數(shù) )(),(tgtg ml 的內(nèi)積為： dttgtgtgtg t

8、t mml 2 1 )()()(),( * 1 如果函數(shù)集)(),(),( 21 tgtgtg n 滿足以下條件 則稱為正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 mlnmlK dttgtg Kdttgtg mt t ml t t mmm , 2 , 1, 0)()( )()( 2 1 2 1 * * 為常數(shù)， 若Km=1則稱歸一化正交函數(shù)集。如果在該函 數(shù)空間中的任意函數(shù)f(t)可表示為： )()()()( 2211 tgCtgCtgCtf nn 那么稱函數(shù)集 )(),(),( 21 tgtgtg n 完備函數(shù)集完備函數(shù)集。即它們構(gòu)成一個(gè)n維的函數(shù)空間。 為正交正交 其中的C1,C2,Cn稱為f(t)在)(),

9、(),( 21 tgtgtg n 上的分量系數(shù)，對(duì)于函數(shù)集與矢量一樣有類似 的結(jié)論： 1、n維函數(shù)空間中的任一函數(shù)可分解為n個(gè)分 量； 2、如果分量小于n個(gè)則產(chǎn)生誤差，如要均方誤 差最小則應(yīng)取它的垂直投影； 3、函數(shù)的分解一般也采用正交函數(shù)集，即正 交分解。 現(xiàn)在我們來(lái)看兩個(gè)函數(shù)的情況，假定f1(t),f2(t) 是定義在區(qū)間t1,t2上的兩個(gè)函數(shù)，取f1(t)在f2(t) 上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也將產(chǎn)生誤差 (t)。 )()()( 2121 tfCtft 進(jìn)一步定義均方誤差（方均誤差） dttfCtf tt dttt tt t t t t t 2 1 2 1 2 21

10、21 12 * 12 2 )()( 1 )()( 1 )( 與矢量的分解相似，要使均方誤差最小應(yīng) 取它的垂直投影，所以分量系數(shù) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 * 21 * 22 * 21 22 21 12 )( )()( )()( )()( )(),( )(),( t t t t t t t t dttf dttftf dttftf dttftf tftf tftf C 這個(gè)結(jié)論也可仿照前面的做法，令均方誤 差對(duì)分量系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于0來(lái)推出。顯然也有 類似的結(jié)論當(dāng)f1(t),f2(t)正交時(shí)C12=0，當(dāng)f1(t)=f2(t) 時(shí)C12=1，C12也與兩個(gè)函數(shù)的的相似程度有關(guān)。 但一

11、般不直接將它作為相關(guān)系數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng) f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交時(shí) 1 )(),( )(),()(),( )(),( )(),()( )(),( )(),( 22 2322 22 232 22 21 12 tftf tftftftf tftf tftftf tftf tftf C 所以相關(guān)系數(shù)定義為：121221 C C 這樣，只有當(dāng)f1(t)=f2(t)時(shí)12=1 。 3.3 信號(hào)表示為傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)表示為傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角傅里葉級(jí)數(shù)三角傅里葉級(jí)數(shù) 容易驗(yàn)證三角函數(shù)滿足下面的關(guān)系 為任意非負(fù)整數(shù)。為公共周期，其中nmT T dttntm nmdttnt

12、mdttntm n T dttndttn Tt t Tt t Tt t Tt t Tt t , 2 0)cos()sin( 0)sin()sin()cos()cos( 0 2 )(sin)(cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 以上關(guān)系顯示函數(shù)集 1,cost, cos2t,sint,sin2t, 在區(qū)間t1,t1+T內(nèi)相互正交。而且當(dāng)所取函數(shù) 為無(wú)窮多個(gè)時(shí)，它是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。 于是周期為T的函數(shù)f(t)可以展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)。 1 0 21 21 0 )sincos( 2 sin2sinsin cos2coscos 2 )( n nn n n tnbtna a tnbtb

13、tb tnatata a tf Tt t Tt t Tt t n Tt t Tt t Tt t n Tt t Tt t Tt t Tt t tdtntf T tdtn tdtntf b tdtntf T tdtn tdtntf a dttf T adttf T dt dttf a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin)( 2 sin sin)( cos)( 2 cos cos)( )( 2 )( 1 )( 2 2 2 0 0 或 幾點(diǎn)說(shuō)明： 1、一個(gè)周期為T的信號(hào)f(t)可展開(kāi)成三角傅里葉級(jí)數(shù)，其 物理意義是將f(t)分解為許多分量：a0 /2

14、直流分量， 基波分量，2 二次諧波分量，nn次諧波 分量，反之這些分量疊加起來(lái)就得到原信號(hào)f(t) 。 2、f(t)還必須滿足狄里赫萊(Dirichlet)條件 、在一個(gè)周期內(nèi)絕對(duì)可積； 、在一個(gè)周期內(nèi)極值數(shù)目有限； 、f(t) 在一個(gè)周期內(nèi)或連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) （當(dāng)t從較大和較小時(shí)間趨近與間斷點(diǎn)時(shí)函數(shù)f(t)趨于不 同的有限極值有限極值），在電子技術(shù)中信號(hào)一般都滿足狄里赫 萊條件。 3、當(dāng)n時(shí)正交函數(shù)集完備，諧波分量無(wú)限多，均方 誤差為0；當(dāng)n有限時(shí)正交函數(shù)集不完備，諧波分量有限， 有誤差，但取an，bn為分量系數(shù)時(shí)均方誤差最小。 三角傅里葉級(jí)數(shù)還可以表示為 0 1 221 ( )c

15、os() 2 , cos,sin nn n n nnnn n nnnnnn a f tAn t b Aabtg a aAbA 其中 或 有上式可以看出An，an為n的偶函數(shù)，bn，n為n 的奇函數(shù)。（這個(gè)關(guān)系在三角級(jí)數(shù)中用不到， 因?yàn)轭l率不會(huì)是負(fù)的，但在今后會(huì)用到） 例：將圖示信號(hào)f(t)用傅里葉級(jí)數(shù)表示。 f(t)顯然不是一個(gè)周期信號(hào)，但我們可以對(duì)它 進(jìn)行周期延拓，使它成為一個(gè)周期信號(hào)。于 是就可以展開(kāi)成三角傅里葉級(jí)數(shù)了。 解： 0 2 )( 2 2 2 00 0 T T T T dtdt T dttf T a 0coscos 2 cos)( 2 2 2 00 T T T T n tdtnt

16、dtn T tdtntf T a 2 00 2 22 00 22 00 22 ( )sin sinsin 2 sinsin() 2 2 sinsin() 4 0 T TT n T TT TT bf tn tdtn tdtn tdt TT T n tdtntdt T n tdtnn t dt T n n n 為奇數(shù) 為偶數(shù) )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 1 ttttf 顯然當(dāng)0tT時(shí)f(t)=f1(t)所以f(t)可表示為： Tt n tn ttttf n 0 12 ) 12sin(4 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( 1 該式表明只有在(0,

17、T)的范圍內(nèi)f(t)等于此級(jí)數(shù)， 而在區(qū)間之外是不等的。本例告訴我們不僅周 期信號(hào)可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)通 過(guò)周期延拓也可展開(kāi)，但在結(jié)果中應(yīng)標(biāo)明t的取 值范圍。 )( , 3 , 2 , 1 4 所取的項(xiàng)數(shù) m m T m mm n mm n m m n m n n m T n f m n m n m n m 1 11 ) 2 ( ) 2 sin( 2 2 2 ) 12( 2 ) 12sin( 4 12 4 ) 12sin( 4 )( 最終的取值就是極限 )(lim m m f ,t m ndt m m 時(shí)當(dāng) 1789. 1)( 2sin2 )(lim 0 Sidt t t f m

18、m x dy y y xSi 0 sin )(為正弦積分其中 在間斷點(diǎn)上會(huì)產(chǎn)生過(guò)沖，這 種現(xiàn)象稱為吉伯斯吉伯斯(Gibbs)現(xiàn)現(xiàn) 象象。過(guò)沖量為 %9 2 11789. 1 二、指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 容易驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)滿足下面的關(guān)系 1 1 1 1 * * ()() ()()0 2 , tT jn tjn t t tT jm tjn t t eedtT eedtmn T T m n 其中為指數(shù)函數(shù)的公共周期， 為任意整數(shù)。 所以，指數(shù)函數(shù)集 ,為任意整數(shù)ne tjn 在區(qū)間t1,t1+T內(nèi)也相互正交。而且當(dāng)所取函 數(shù)為無(wú)窮多個(gè)時(shí)，它也是一個(gè)完備的正交函數(shù) 集。于是周期為T的任意函數(shù)f(t

19、)可以展開(kāi)成指 數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)。 n tjn n tjn n tjtj tjn n tjtj eC eCeCeC eCeCeCCtf 2 21 2 210 )( dtetf T C Tt t tjn n 1 1 )( 1 在實(shí)際應(yīng)用中少用上面的形式，而常用另外一 種指數(shù)級(jí)數(shù)形式，它可以從三角級(jí)數(shù)直接導(dǎo)出。 n tjn n eAtf 2 1 )( 1 1 000 , 12 ( ) 2 n j nn nn tT jn t nnn t AAe A AAa CAAf t edt T 其中 與三角級(jí)數(shù)中的相同 而 顯然 n tjn ne Ctf)( 小結(jié)： 1、三角級(jí)數(shù)、指數(shù)級(jí)數(shù)兩者形式不同實(shí)質(zhì)卻 相同。

20、實(shí)用中指數(shù)級(jí)數(shù)更方便，只要求一個(gè)分 量系數(shù)。 2、指數(shù)級(jí)數(shù)中有n和- n項(xiàng)，并不意味著有負(fù) 頻率，而是ejnt和ejnt兩者一起構(gòu)成一個(gè)n次諧 波分量。 3、分量系數(shù) n j nn AAe 的模An為n的偶函數(shù)， 相位n為n的奇函數(shù)。 4、不管是三角級(jí)數(shù)還是指數(shù)級(jí)數(shù)，在求分 量系數(shù)時(shí)積分下限t1可任取，只要積分區(qū)間 為T即可。為計(jì)算方便通常取 T TT 到或到0 22 5、周期函數(shù)可展成傅里葉級(jí)數(shù)；非周期函數(shù) 通過(guò)周期延拓也可展開(kāi)，但要注明適用的時(shí)間 范圍。 三、函數(shù)的奇偶性與諧波含量函數(shù)的奇偶性與諧波含量 研究函數(shù)的奇偶性與諧波含量的關(guān)系可以幫 助我們?cè)谟?jì)算之前確定傅里葉級(jí)數(shù)中的諧波 結(jié)構(gòu)，

21、這樣可以減小計(jì)算工作量，同時(shí)用于 檢驗(yàn)結(jié)果的正確性 1、偶函數(shù)偶函數(shù) 函數(shù)的波形關(guān) 于縱軸對(duì)稱 f(t)=f(-t) 2 0 2 2 2 2 cos)( 4 cos)( 2 0sin)( 2 TT T n T T n tdtntf T tdtntf T a tdtntf T b 結(jié)論：偶函數(shù)的三角傅里葉級(jí)數(shù)中bn=0。所以， 只含余弦項(xiàng)（可能含直流分量），不含正 弦項(xiàng)。求an時(shí)只要在 2 , 0 T 的區(qū)間內(nèi)積分。 2、奇函數(shù)奇函數(shù) 函數(shù)的波形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 f(t)=-f(-t) 2 0 2 2 2 2 sin)( 4 sin)( 2 0cos)( 2 TT T n T T n tdtntf

22、T tdttf T b tdtntf T a 結(jié)論：奇函數(shù)的三角傅里葉級(jí)數(shù)中an=0。所以， 只含正弦項(xiàng)（不含余弦項(xiàng)和直流分量）。 求bn時(shí)也只要在 2 , 0 T 的區(qū)間內(nèi)積分。 3、奇諧函數(shù)奇諧函數(shù) 相鄰兩個(gè)半周期對(duì)橫軸成鏡象關(guān)系) 2 ()( T tftf 我們將它用指數(shù)級(jí)數(shù)的形式表示 2 0 0 2 2 2 )( 2 )( 2 )( 2 T tjn T tjn T T tjn n dtetf T dtetf T dtetf T A 為偶數(shù) 為奇數(shù) 第一項(xiàng)作變量代換，令 n ndtetf T dtetf T dtetf T deef T dtetf T de T f T T tjn T

23、tjnn TT tjnjnjn TT tjn T jn T t 0 )( 4 )() 1(1 ( 2 )( 2 )( 2 )( 2 ) 2 ( 2 2 0 2 0 1 2 0 2 0 2 0 2 0 ) 2 (2 4、偶諧函數(shù)偶諧函數(shù) 相鄰兩個(gè)半周期完全重疊 結(jié)論：奇諧函數(shù)只含有奇次諧波，但可有正 弦也可有余弦。 注意不要與奇函數(shù)混淆。奇函數(shù)時(shí)只含正弦， 可有奇次、偶次諧波； ) 2 ()( T tftf 如全波整流信號(hào)就是偶諧函數(shù)，顯然這種函數(shù)雖 然它的周期記為T但實(shí)際上它的周期為 。所以 只要將偶諧函數(shù)的周期用 代入前面的傅里葉 2 T 2 T 級(jí)數(shù)式中就可看出它只含有偶次諧波只含有偶次諧

24、波。 這是四種基本的奇偶關(guān)系，有些函數(shù)可能 包含雙重奇偶關(guān)系，還有些函數(shù)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖?標(biāo)變換可改變它的奇偶性。另外對(duì)于一個(gè)非奇 非偶的函數(shù)f(t)總可分解為一個(gè)奇分量fo(t)和一 個(gè)偶分量fe(t)的疊加。 ( )( )( ) eo f tftft ( )()( )() ( ),( ) 22 eo f tftf tft f tf t 其中 t 3.4 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 從周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中可以 看出，信號(hào)包含哪些頻率分量，以及每個(gè)分 量的幅度和相位。如果將它們用圖形表示出 來(lái)，就是信號(hào)的頻譜圖。這樣可以更直觀地 了解信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)。下面以周期性方波信 號(hào)為例說(shuō)明怎樣作周

25、期信號(hào)的頻譜圖。 例：周期性方波的頻譜 解：該周期信號(hào)既是一個(gè)奇函數(shù)又是一個(gè)奇諧 函數(shù)，因此在傅里葉展開(kāi)式中只有正弦分量， 并且只有奇次諧波。 在求bn時(shí)只須在0到 2 T 之間積分。 為偶數(shù) 為奇數(shù) n n n n n tn n tndtn Tn tdtntf T b T TT n 0 4 )cos1 ( 2 cos 2 )()sin( 4 sin)( 4 2 0 2 0 2 0 )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )(tttttf 從上式可以看出周期性方波含有、3、 5、等奇次諧波，每個(gè)分量的幅度就是正弦 函數(shù)的振幅。相位則是三角級(jí)數(shù)中的n或 從指數(shù)級(jí)數(shù)中

26、的 n j nn AAe 就是-90。 。以角頻率（或頻率f）為橫坐標(biāo)， An為縱坐標(biāo)作出的圖形稱為振幅譜振幅譜，若以n為 縱坐標(biāo)作出的圖形稱為相位譜相位譜。一般相位譜比 較簡(jiǎn)單可以不必另外作圖，可以將它標(biāo)在振幅 譜圖旁。 中得到。在本例中 3、收斂性，諧波的振幅隨諧波的次數(shù)增高而 減小，諧波次數(shù)無(wú)限增高則其振幅無(wú)限趨小。 周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)： 1、離散性，頻譜由一些 離散的線條構(gòu)成，是離 散譜。 2、諧波性，每條譜線表 示信號(hào)的一個(gè)分量，其 頻率都是基波頻率的整 數(shù)倍。 這些結(jié)論雖然由這個(gè)特殊的例子得出，但它具 有普遍性。下面再看一個(gè)例子，這是一個(gè)典型 的例子，應(yīng)當(dāng)牢記。

27、 例：周期性矩形脈沖的頻譜。 解： ) 2 ( 2 2 2 sin 2 ) 2 ( 4 )( 2 )( 22 )( 2 22 22 2 2 2 2 2 2 n Sa T A n n T A j ee Tn A ee Tjn A tjnde Tjn A dtAe T dtetf T A n j n j n j n j tjntjn T T tjn n tjn n e n Sa T A tf ) 2 ()( x x xSa sin )( 稱抽樣函數(shù) 1、 0)(lim,1)(lim 0 xSaxSa xx 2、 函數(shù)都為奇函數(shù)，相乘為偶和為偶函數(shù)，x x xSasin 1 )( 3、)0(sin

28、1 )(xx x xSa衰減的的圖形可以看作振幅以 對(duì)于周期性矩形脈沖 T AA n Sa T A A n Sa T A A nn 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 0 直流分量為 其相位比較簡(jiǎn)單可根據(jù)抽樣函數(shù)的符號(hào)變化標(biāo) 在振幅譜旁邊。頻譜結(jié)構(gòu)與比值/T有關(guān)，下面 是以 T=5，T=10，T=20為例作出的頻譜圖。 5T 5T 10T 相位也可以不標(biāo)直接根據(jù)抽樣函數(shù)作圖，稱復(fù) 數(shù)振譜。 20T 也可以根據(jù)指數(shù)級(jí)數(shù)的系數(shù)作出它的雙邊譜。 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜在信號(hào)分析中十分 重要，現(xiàn)通過(guò)討論來(lái)加深認(rèn)識(shí)，加深印象。 1、離散譜，譜線間隔 T 2 （與其他信號(hào)周期 信號(hào)一樣也具有離散性、諧波性

29、） 2、包絡(luò) 2 2 2 2 sin 2 n Sa T A n n T A A n ， 周期矩形脈沖信號(hào)頻譜的包絡(luò)為抽樣函數(shù)， 零點(diǎn)出現(xiàn)在： , 3 , 2 , 1 , 6 , 4 , 2 f或 ,雖然An不是單調(diào)收斂但總的趨勢(shì)是收 斂的，這符合周期信號(hào)頻譜的第三個(gè)特點(diǎn)，收 斂性。 0lim n n A 3、相位譜不必另作，可參照抽樣函數(shù) x x xSa sin )( 的符號(hào)變化標(biāo)在幅度譜上，也可以干脆作復(fù)數(shù)譜 或雙邊譜。 4、脈沖參數(shù)與頻譜結(jié)構(gòu)的關(guān)系。 在周期矩形脈沖信號(hào)中有三個(gè)脈沖參數(shù)A , , T。 其中A只影響各次諧波分量幅度的大小，不影 響頻譜的結(jié)構(gòu)和形狀。所以，我們討論T和 的影響

30、。 .T 改變， 不變 T 譜線間隔 T 2 （信號(hào)的頻帶寬度不變）。T : 周期脈沖 非周期脈沖；離散譜連續(xù)譜；各次諧波分量 幅度無(wú)窮小。 各次諧波分量的幅度An。 譜線密集， 但包絡(luò)的零點(diǎn)位置不變 . 改變，T不變 譜線間隔不變。 包絡(luò)零點(diǎn)（信號(hào)的頻帶寬度） 收斂變慢。 5、信號(hào)的頻帶寬度 前面我們講過(guò)三角函數(shù)集和指數(shù)函數(shù)集都要取 無(wú)窮多個(gè)時(shí)才是完備的，所以對(duì)于一般的周期信號(hào) 其分量一般都有無(wú)窮多個(gè)，這樣說(shuō)來(lái)這種信號(hào)的頻 帶寬度無(wú)限。但考慮到周期信號(hào)頻譜的“收斂性”， 諧波次數(shù)n 諧波的幅度An，因此信號(hào)的能量主要 集中在頻率較低的分量中。 在工程應(yīng)用中可忽略一部分幅度較小的分量，而把 能

31、量主要集中的頻率范圍稱信號(hào)的頻帶寬度頻帶寬度（有時(shí) 也稱有效帶寬，帶寬有效帶寬，帶寬等）。頻帶寬度有多種定義方 法，例如同學(xué)們熟悉的通頻帶以信號(hào)功率衰減到一 半為準(zhǔn)，所以有時(shí)稱半功率點(diǎn)，或3dB帶寬。 在信號(hào)處理中：在信號(hào)處理中： 一般取到基波幅度的十分之一一般取到基波幅度的十分之一。 特別地，對(duì)于周期矩形脈沖信號(hào)一般將它的第 一個(gè)零點(diǎn)定義為它的帶寬。即： sRad / 2 Hz 1 或 3.5 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜 在周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜中我們?cè)?經(jīng)提到當(dāng)周期T 趨于無(wú)窮大時(shí)，周期信號(hào)就變 為非周期信號(hào)，頻譜由離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。 但每個(gè)頻譜分量的幅度趨于無(wú)窮小，因此直 接用A

32、n來(lái)描述非周期信號(hào)的頻譜就不合適。 一、傅里葉變換傅里葉變換 An 趨于無(wú)窮小的原因是T 趨于無(wú)窮大，而T只 是一個(gè)系數(shù)它對(duì)頻譜的結(jié)構(gòu)沒(méi)有影響。所以， 定義非周期信號(hào)的頻譜為： 2 2 )(lim 2 lim T T tjn T n T dtetfA T T時(shí)：表示無(wú)窮小，用 d T 2 。 n由連續(xù)，用表示。所以 dtetfjF tj )()( 稱為f(t)的傅里葉變換 也稱頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。 tjn n T T tjntjn n n edtetf T eAtf 2 2 )( 2 2 1 2 1 )( d T 2 2 2 1 , 22 T nT d T T時(shí)： 。 n dejF d

33、edtetftf tj tjtj )( 2 1 )( 2 1 )( 這樣我們得到一對(duì)傅里葉正變換和反變換公式： )()( 2 1 )( )()()( 1 jFdejFtf tfdtetfjF tj tj F F F F 傅里葉反變換，記為 記為傅里葉正變換， 傅里葉變換是信號(hào)分析中的重要工具，常用記 號(hào) f(t)F(j)表示它們是一個(gè)傅里葉變換對(duì) 二、傅里葉變換的物理意義二、傅里葉變換的物理意義 1、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：我們知道是將一 個(gè)非正弦的周期信號(hào)分解為一系列的正弦分 量。An表示每個(gè)正弦分量的幅度，n則表示 每個(gè)分量的相位。 2、非周期信號(hào)：、非周期信號(hào)：是將

34、f(t)分解為無(wú)限多個(gè)連續(xù) 指數(shù)函數(shù)e jt分量，從-連續(xù)變化，每 個(gè)分量的幅度為無(wú)窮小量 。 djF)( 2 1 每個(gè)e jt分量在時(shí)域中存在于-t，而信 號(hào)本身不一定存在于-t。每一對(duì)e jt和 e- jt構(gòu)成一個(gè)正弦分量。 3、在頻域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)就是求系統(tǒng)對(duì) 每一個(gè)頻率分量的響應(yīng)，然后將它們疊加起 來(lái)。 4、對(duì)f(t)進(jìn)行傅里葉變換一般要求f(t)滿足絕 對(duì)可積 dttf)( 這個(gè)條件是充分條件并不必要，有些函數(shù)雖 然非絕對(duì)可積，但也可有傅里葉變換存在。 三、傅里葉變換的奇偶性三、傅里葉變換的奇偶性 1、對(duì)于任意一個(gè)實(shí)函數(shù)f(t)其頻譜函數(shù)一般是 復(fù)函數(shù) () ()( )( )co

35、s( )sin( )( ) () j t j F jf t edtf ttdtjf ttdtajb F je 221 ( )( )cos, ( )( )sin ( ) ()( )( ) ,( ) ( ) af ttdt bf ttdt b F jabtg a 其中 可見(jiàn)a()，|F(j)| 是的偶函數(shù)，b()，() 是的奇函數(shù)，或者用數(shù)學(xué)式子表達(dá)F(- j)=F*(j) 2、f(t)為實(shí)偶函數(shù)，f(-t)=f(t) 則 b()=0，F(xiàn)(j)=a() 所以，時(shí)域中的實(shí)偶函數(shù)，它的頻譜函數(shù)也 是頻域中的實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)。 3、f(t)為實(shí)奇函數(shù)，f(-t)=-f(t) 則 a()=0，F(xiàn)(j)=-

36、jb() 所以，時(shí)域中的實(shí)奇函數(shù)，它的頻譜函數(shù)是 頻域中的虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)。 4、若 f(t) F(j) 則 f(-t)F(-j) )()( )()()()( )( jFdef defdtetftf j j t tj 令 證明： F F 如果f(t)是實(shí)函數(shù)，則 f(-t)F*(j) 例:求幅度為A寬 度為的門函數(shù)的 頻譜函數(shù)。 ) 2 ( 2 2 sin 2 2 )()( 22 2 2 2 2 SaAA j eeA e j A dtAedtetfjF jj tjtjtj 與周期脈沖信號(hào)對(duì)比： 共同點(diǎn)： 1、包絡(luò)形狀相同，都是抽樣函數(shù)； 2、零點(diǎn)位置相同，信號(hào)帶寬不變； 3、幅度也具有收斂性。

37、 不同點(diǎn)： 1、從離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜； 2、 2 ()() 2 nnn T AF jF jnA T 或 脈沖參數(shù)對(duì)F(j)的影響： 零點(diǎn)頻率 信號(hào)帶寬 當(dāng)0 零點(diǎn)頻率 （信號(hào)帶寬） )() 2 ()(門函數(shù)的面積 ASaAjF 有此可以推知(t)的頻譜函數(shù) F F (t)=1 3.6 幾種常用函數(shù)的頻譜幾種常用函數(shù)的頻譜 1、單位沖激函數(shù)(t) 1)( 1)()( t dtett tj F F 2、單邊指數(shù)函數(shù)、單邊指數(shù)函數(shù) 0)()( tetf t 顯然函數(shù)絕對(duì)可積，傅里 葉變換存在。 j te j dte dteedtetfjF t tj tjttj 1 )( 1 )()( 0 )( 0 2

38、2 1 1 () ( ) F j tg 這是一個(gè)非常重要 的變換對(duì)，由它出 發(fā)可以推出許多變 換對(duì)。 3、雙邊指數(shù)函數(shù)、雙邊指數(shù)函數(shù) 0)( | | t etf )()( 1 tetf t 記 22 * 1111 11 211 )()()()()( )()()( jj jFjFtftfjF tftftf F FF F 則 f(t)是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，F(xiàn)(j)也是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)。 前面幾個(gè)函數(shù)都符合絕對(duì)可積條件，所以，根 據(jù)定義求頻譜函數(shù)都沒(méi)有問(wèn)題。 4、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)(t) 這個(gè)函數(shù)顯然不符合絕對(duì)可積條件，所以， 根據(jù)定義直接計(jì)算是有困難的。但我們可以 通過(guò)單邊指數(shù)函數(shù)的變換對(duì)來(lái)推演。

39、)(te t 2222 1 j j 0 )(t )()(jba 0 0 00 lim)( 1 lim)( 22 0 22 0 a b其中 可見(jiàn)a()為頻域中的沖激函數(shù)，須求出它的 沖激強(qiáng)度，即a()下的面積。 1 0 22 00 limlim)(limtgdda j jt 1 )( 1 )()( 這也是一個(gè)重要的基本變換對(duì)，由它可以推 出其它變換對(duì)。例如符號(hào)函數(shù)的頻譜，符號(hào) 函數(shù)定義為： )()()sgn( 0 0 1 1 )sgn( ttt t t t 或 jjj ttt 2 1 )( 1 )( )()()sgn( * F FF FF F 5、指數(shù)函數(shù) tj c e 這個(gè)函數(shù)也不符合絕對(duì)可積

40、條件，直接計(jì)算 也是有困難的。可以用沖激函數(shù)的變換對(duì)來(lái) 推出。 dett tj 2 1 )(1)( 交換變量和t的位置 )(2 dte tj )(2)(2 )( cc tjtjtj dtedtee cc 由上面的變換對(duì)立即可以推出下面的變換對(duì)。 )()( 2 1 2 1 sin )()( 2 1 2 1 cos cc tjtj c cc tjtj c je j e j t eet cc cc F FF FF F F FF FF F 綜合上述，凡符合絕對(duì)可積條件的函數(shù)可通過(guò) 定義直接求出頻譜函數(shù)；若不符合絕對(duì)可積條 件則不能直接計(jì)算，但可通過(guò)其它變換對(duì)推出， 并且一般含有沖激函數(shù)。 6、周期性沖

41、激序列的頻譜、周期性沖激序列的頻譜 一個(gè)間隔為T的均勻沖 激序列，記為T(t)，是 一個(gè)周期函數(shù)。因此可 以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)： T eAnTtt tjn n n n T 2 2 1 )()( T dtet T A T T tjn n 2 )( 2 2 2 n tjn T e T t 1 )( )()( 2 1 )( nn tjn T n T e T tF FF F 一個(gè)在時(shí)域上間隔為T 的均勻沖激序列，在 頻域中也是一個(gè)均勻 沖激序列，周期為， 強(qiáng)度。 以上列舉了6個(gè)函數(shù)的傅里葉變換對(duì)，加上前 面的門函數(shù)共7個(gè)變換對(duì)稱常用變換對(duì)，應(yīng)當(dāng) 牢記。 3.7 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 一個(gè)信號(hào)

42、在時(shí)域上用f(t)表示，在頻域中 用F(j)表示。它們有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，是對(duì) 同一個(gè)信號(hào)的兩種不同表示形式。下面要介 紹的傅里葉變換的性質(zhì)將進(jìn)一步闡明信號(hào)時(shí) 域和頻域之間的關(guān)系。熟練掌握這些性質(zhì)不 僅可以對(duì)信號(hào)時(shí)域和頻域特性有更深的理解， 而且可以使復(fù)雜函數(shù)求變換、反變換時(shí)簡(jiǎn)便 易行。 一、線性一、線性 為常數(shù)則 若 2122112211 2211 ,)()()()( )()(,)()( aajFajFatfatfa jFtfjFtf 二、延遲特性二、延遲特性 0 )()()()( 0 tj ejFttfjFtf 則若 信號(hào)在時(shí)域延遲t0，在頻域中所有頻率分量都 產(chǎn)生t0的相移，而振幅譜沒(méi)有變

43、化。 例：求f(t)的頻譜函數(shù)。 22 ) 2 ()()( ) 2 ()( jj eSaAetGAjF tAGtf F F 解： 與門函數(shù)相比，幅度譜完全相同，相位譜則產(chǎn) 生了一個(gè) 2 的線性相移。 0 )( 0 tj ett 又如： 三、移頻特性三、移頻特性 )()(, )()( c tj jFetfjFtf c 則若 )()(jFtf ttf c cos)(例：已知求 的頻譜。 解： )( 2 1 )( 2 1 2 )(cos)( cc tjtj c jFjF ee tfttf cc F FF F 以門函數(shù)為例，可以畫(huà)出它的示意圖。 這就是通信中調(diào)制的概念。信號(hào)f(t)被載波 cosct調(diào)

44、幅，則調(diào)幅信號(hào)的頻譜就是將f(t)的頻 譜一分為二向左右兩邊各搬移c。 例：求 0sin)()( ttetf c t 的頻譜函數(shù) 。 解： j te j ee tetf t tjtj t cc 1 )( 2 )()( 2 2 )( )( 1 2 1 )( 1 2 1 )( c c cc j jjjj jF 四、尺度變換特性（時(shí)域頻域成反比）四、尺度變換特性（時(shí)域頻域成反比） 擴(kuò)展 擴(kuò)展 壓縮 壓縮 ) 2 (SaA)(2SaA ) 4 ( 2 Sa A 以上畫(huà)出了門函數(shù)在時(shí)域上的壓縮與擴(kuò)展及其 頻譜函數(shù)在頻域的變化，可見(jiàn)有一個(gè)比例關(guān)系。 )( 1 )()()( a jF a atfjFtf 則

45、若： 例1：已知f(t)的頻譜函數(shù) ) 2 ()( 2 SajF 求f1(t)的頻譜函數(shù)F1(j) 例：已知f(t)的頻譜函數(shù) 3 )(2)( j eSajF 求f1(t)的頻譜函數(shù)F1(j) 壓縮 延遲1.5 35 . 1 1 1 ) 2 () 2 ( 2 1 )( ) 2 ( 2 1 )2()5 . 1(2()( jj eSaejFjF jFtftftf 解： 五、對(duì)稱特性五、對(duì)稱特性 )(2)()()(fjtFjFtf則若 defdefjtF tdtetfjF tjtj tj )(2 2 1 )()( ,)()(得交換變量證明： )(2)(fjtF 例如: )(2 c tj c e 1)

46、(t)(21 )sgn( 1 )sgn(2 22 )sgn( j t jtj t )() 1 )( 2 1 )(2 1 )(, 1 )()( jt t jt t j t 例： t t tSatf sin )()( 求頻譜函數(shù)。 )(2) 2 ( ) 2 ()( G t Sa SatG 由對(duì)稱性質(zhì) 解： )()( 2, 1 2 2 GtSa 所以為合題意，令 2 sin ()( ) a at Sa atG ata 一般地： 六、微分性質(zhì)六、微分性質(zhì) 1、時(shí)域微分性質(zhì)、時(shí)域微分性質(zhì) )( )( )()(jFj dt tdf jFtf則若 證明： dejFtf tj )( 2 1 )( )( )(

47、)( 2 1 )( 2 1)( jFj dt tdf dejFjd dt de jF dt tdf tj tj 這個(gè)性質(zhì)可重復(fù)使用而推廣到n階導(dǎo)數(shù)： )()( )( jFj dt tfd n n n 2、頻域微分性質(zhì)、頻域微分性質(zhì) () ( )()( ) dF j f tF jjtf t d 若則 證明： dtetfjF tj )()( d jdF tjtf dtetjtfdt d de tf d jdF tj tj )( )( )()( )( 這個(gè)性質(zhì)同樣可重復(fù)使用而推廣到n階導(dǎo)數(shù)： n n n d jFd tfjt )( )()( 七、卷積定理七、卷積定理 1、時(shí)域卷積 )()()()(

48、)()(),()( 2121 2211 jFjFtftf jFtfjFtf 則： 若： 時(shí)域中二信號(hào)的卷積，在頻域中等效于二信號(hào) 頻譜函數(shù)的乘積。 證明： )()()()( )()( )( )( )()()()( 2112 21 21 2121 jFjFdefjF dejFf ddtetff dtedtfftftf j j tj tj F F 2、頻域卷積、頻域卷積 )()( 2 1 )()( )()(),()( 2121 2211 jFjFtftf jFtfjFtf 則： 若： 時(shí)域中二信號(hào)的乘積，在頻域中等效于二信號(hào) 頻譜函數(shù)的卷積。 證明： 1 12 12 12 12 2112 1 ()

49、() 2 11 ()( () 22 11 ()( () 22 1 ()( ) 2 1 ( )()( )( ) 2 F F - j t j t j t j t F jFj F jFjded F jFjedd F jf t ed f tF jedf tf t 22 ) sin ()()( t t tSatf )()( 2 GtSa 例： 解：前面已求得 求頻譜函數(shù)F(j)。 2 2 0 )2( 2 )()( 2 )()( 2 1 )()( 22 22 2 GG GGtSajFF F 又如三角脈沖的頻譜 ) 2 () 2 () 2 ( 1 )( )()( 1 )( 2 SaSaSajF tGtGtf

50、 八、積分性質(zhì)八、積分性質(zhì) 1、時(shí)域積分性質(zhì)、時(shí)域積分性質(zhì) 0)0( )( )( 0)0( )( )()0()()()( F j jF df F j jF FdfjFtf t t 則若 )()()(ttfdf t j jF F j jFdf t )( )()0( 1 )()()( 證明： 2、頻域積分性質(zhì)、頻域積分性質(zhì) 0)0( )( )( 0)0( )( )()0()()()( f jt tf djF f jt tf tfdjFjFtf 則若 )()()()()( jFdjFdjF )( )()0( 2 1 1 )( 2 1 )()( 2 1 jt tf tf jt ttfdjF 證明： j

51、t tf tfdjF )( )()0()( 例：求f(t)的頻譜函數(shù)。 解：對(duì)f(t)進(jìn)行兩次微分，變?yōu)?三個(gè)沖激，而沖激的傅里葉變 換最容易求。然后再用時(shí)域積時(shí)域積 分性質(zhì)分性質(zhì)求出f(t)的頻譜函數(shù)。 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 (sin ) 2 (sin 4 )( 0)(0 ) 2 (sin 4 )cos1 ( 2121 )( )( 1 )( 2 )( 1 )( j j tf tf eetf ttttf jj F F F F F F 時(shí)由于 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (sin )( 0)(0 2 2 2 SajF tf F F時(shí)由于 ()() 2 FjSa 1 ( )()

52、t gtfd 1 1 ()()() 2 F F t GjfdSa j 2 1 ( )() 2 t gtfd 2 1 ()() 2 11 ()() 22 F FF F t Gjfd sasa jj 3 1 ( )() 2 t gtfd 3 1 ()() 2 1 ()() 2 1 2() 2 F FF F t Gjfd sa j sa j ( ) ( ),( )() () ()( )()( ) dg t f tf tF j dt F j g jgg j 若且 則 證明： ( ) ( )( )() tt dg fddg tg d ()()() () (0)()2()() F FF F t Gjfdg

53、 Fj Fg j 0 (0)( )( )( )() j t Ff t edtdg tgg 而 小結(jié)：小結(jié)： 傅里葉變換的性質(zhì)列舉了線性、延遲、移頻、 尺度變換、對(duì)稱性質(zhì)、微分（時(shí)域、頻域）、 卷積定理（時(shí)域、頻域）、積分性質(zhì)（時(shí)域、 頻域）八個(gè)重要性質(zhì)，再加上前面的奇偶性 共九個(gè)。掌握這些性質(zhì)至關(guān)重要。在解題時(shí) 一般很少直接使用傅里葉變換和反變換公式， 而是記住少數(shù)幾個(gè)常用變換對(duì)再結(jié)合這些重 要性質(zhì)來(lái)求傅里葉變換和反變換。 P157p162頁(yè)上的傅里葉變換表，不需要大 家死記，而要靈活地記。 3.8 帕色伐爾（帕色伐爾（Parseval）定理與能量譜）定理與能量譜 前面學(xué)習(xí)了周期信號(hào)和非周期信

54、號(hào)的頻譜（包 括振幅譜和相位譜），這是在頻域中描述信號(hào)的一 種方法，它反映信號(hào)所含分量的幅度和相位在頻域 中的分布情況。 在頻域中還可以用功率譜和能量譜來(lái)描述信號(hào) 的特性。它反映信號(hào)的功率或能量在頻域中的分布 情況，這又是一種在頻域中描述信號(hào)的方法。 對(duì)于確定信號(hào)可表示為一個(gè)確知的函數(shù)，可用 頻譜函數(shù)也可用能量譜或功率譜，但一般用頻譜比 較多。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)無(wú)法表示為確知的函數(shù)，也就 無(wú)法用頻譜描述，因此，一般用功率譜或能量譜。 在本課程中，主要討論確知信號(hào)，故對(duì)能量譜作一 簡(jiǎn)單介紹。 一、瞬時(shí)功率和平均功率一、瞬時(shí)功率和平均功率 瞬時(shí)功率是在某一時(shí)刻的信號(hào)功率，與 時(shí)間有關(guān)，而平均功率是瞬時(shí)功

55、率對(duì)時(shí)間的 平均，一般功率信號(hào)為周期信號(hào)，因此平均 是在信號(hào)一周內(nèi)平均。 瞬時(shí)功率 R tu Rtitp )( )()( 2 2 平均功率 R V RIdttp T P T 2 2 0 )( 1 其中I，V稱有效值。對(duì)于正弦電流或電壓則: 為正弦信號(hào)的振幅 mmmm VIVVII, 2 1 , 2 1 對(duì)于一般的信號(hào)f(t)功率或能量一般是指在 單位電阻上消耗的功率或能量。所以 非周期信號(hào)的能量 周期信號(hào)的功率 dttfW dttf T tf T )( )( 1 )( 2 0 22 上面兩個(gè)公式是時(shí)域中計(jì)算信號(hào)能量和功率的 計(jì)算公式，我們并不陌生。下面我們來(lái)推導(dǎo)計(jì) 算功率和能量公式的另外一種頻

56、域表現(xiàn)形式。 二、周期信號(hào)的平均功率二、周期信號(hào)的平均功率 dteA T dteA T tf T T n tjn n T Tn tjn n 2 2 2 2 2 22 )( 4 1 ) 2 1 ( 1 )( 被積函數(shù)是和式的平方運(yùn)算，展開(kāi)后包含 nmeAeAeA tjm m tjn n tjn n )()( ,)( 2 因指數(shù)函數(shù)在 ) 2 , 2 ( TT 內(nèi)正交，所以它們的 積分為零。而只有 )()( tjn n tjn n eAeA * )()( tjn n tjn n eAeA 即積分不等于零。 等于 TA n 2 nn n n A AA tf 1 22 0 22 2 1 ) 2 ()

57、2 ()( 用分量系數(shù)表示的功率計(jì)算公式，該式說(shuō)明信 號(hào)的功率等效于各頻率分量功率之和。 三、非周期信號(hào)的能量譜三、非周期信號(hào)的能量譜 djFdjFjF ddtetfjF dtdejFtfdttfW tj tj 2 * * 2 )( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )( 2 1 )()( 該式為用頻譜函數(shù)表示的能量公式。若要研 究信號(hào)能量在頻域中的分布情況，可定義一 個(gè)能量譜密度函數(shù)，其意義為單位頻帶中的 能量，用G()表示。則： 2 0 22 0 )( 1 )( )( 1 )( 2 1 )( jFG djFdjFdGW 能量譜的形狀與幅度譜的平方相同，而與相位 無(wú)關(guān)?？梢?jiàn)信號(hào)在時(shí)

58、間上的移位也不影響能量 譜的形狀。 3.9 調(diào)幅波及其頻譜調(diào)幅波及其頻譜 現(xiàn)在我們來(lái)分析一種常見(jiàn)信號(hào)的頻譜，即調(diào) 幅波的頻譜。 一、調(diào)制調(diào)制 由聲音、圖象等消息轉(zhuǎn)換成的電信號(hào)是 不能直接以電磁波的形式輻射到空間進(jìn)行遠(yuǎn) 距離傳輸?shù)模驗(yàn)檫@些信號(hào)的頻率較低，我 們常稱這些信號(hào)為基帶信號(hào)基帶信號(hào)。 音頻信號(hào)：20Hz20KHz 視頻信號(hào)：06MHz 為了利用電磁波傳輸信號(hào)，無(wú)線電技術(shù)中 采用了“調(diào)制”技術(shù)。即利用一個(gè)輻射能力強(qiáng) 的高頻振蕩信號(hào)作為運(yùn)載工具，將基帶信號(hào)調(diào) 制到這個(gè)高頻信號(hào)上。所謂調(diào)制就是使高頻信 號(hào)中的參數(shù)隨基帶信號(hào)的變化而變化。常見(jiàn)的 調(diào)制一般采用正弦信號(hào)作為運(yùn)載工具。 )cos()

59、( 000 tAta c 載波： 可見(jiàn)其中有三個(gè)參數(shù)：A0振幅，c載頻， 0初相位。分別對(duì)其中的一個(gè)參數(shù)進(jìn)行調(diào) 制就導(dǎo)致了不同的已調(diào)波。 調(diào)幅（AM: Amplitude Modulation） 調(diào)頻（FM: Frequency Modulation） 調(diào)相（PM: Phase Modulation） 二、調(diào)幅波調(diào)幅波 若高頻振蕩的振幅隨調(diào)制信號(hào)的變化而變化 就成為調(diào)幅波。 )cos()()( 0 ttAta c 其中 A(t)=A0+ke(t) , k為比例系數(shù) , e(t)為 調(diào)制信號(hào)。 1、調(diào)幅系數(shù)、調(diào)幅系數(shù) 調(diào)幅系數(shù)反映了受調(diào)制程度的深淺，用m表 示。對(duì)于對(duì)稱調(diào)制定義為： 0 max

60、| A A m m一般應(yīng)小于1，若大于1則稱為過(guò)調(diào)制，調(diào)幅波 的包絡(luò)將與調(diào)制信號(hào)的包絡(luò)不同而產(chǎn)生失真。 假定調(diào)制信號(hào)是單一的正弦信號(hào)，即 )cos()(tEte 0 00 0 0 0 00 00 )cos()cos(1 )cos()cos(1 )cos()cos( )cos()()( A kE m ttmA tt A kE A ttkEA ttkeAta c c c c 如果調(diào)制信號(hào)是非 正弦信號(hào)，即e(t)是 有許多頻率分量組 成的信號(hào)，可表示 為： 1 )cos()( n nnnm tEte 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 00 )cos( )cos(1 )cos( )cos(