備戰(zhàn)2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2. 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和問(wèn)題等綜合問(wèn)題教學(xué)案 文

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和問(wèn)題等綜合問(wèn)題數(shù)列在高考中占重要地位,每年都考，應(yīng)當(dāng)牢記等差、等比的通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及常見(jiàn)求數(shù)列通項(xiàng)的方法,如累加、累乘、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法、取倒數(shù)等。數(shù)列求和問(wèn)題是數(shù)列中的重要知識(shí),在各地的高考試題中頻頻出現(xiàn)，對(duì)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式；而非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問(wèn)題,一般用倒序相加法、通項(xiàng)化歸法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等數(shù)列的求和問(wèn)題多從數(shù)列的通項(xiàng)入手,通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,屬中檔題一、數(shù)列的通項(xiàng)公式

2、數(shù)列的通項(xiàng)公式在數(shù)列中占有重要地位，是數(shù)列這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)之一，在高考中，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及它們的性質(zhì)是必考內(nèi)容，一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題，若數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、向量、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)交融，難度就較大，也是近幾年命題的熱點(diǎn). 1.由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般的思想,由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的,要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化,可用（1)n或(1）n1來(lái)調(diào)整例1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（1）-1,7，-13,19，;(2)0.

3、8，0.88，0。888，;（3)；思路分析:歸納通項(xiàng)公式應(yīng)從以下四個(gè)方面著手：(1）觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系;（2)符號(hào)與絕對(duì)值分別考慮；（3)規(guī)律不明顯，適當(dāng)變形 ，原數(shù)列化為,， an（1)n.點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2）相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；（4）各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想2。由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)若一個(gè)數(shù)列首項(xiàng)確定，其余各項(xiàng)用an與an1的關(guān)系式表示（如an2an11，（n1）,則這個(gè)關(guān)系式稱(chēng)為數(shù)列的遞推公式 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)的基本思想是轉(zhuǎn)化,常用的方法:(1)an1anf(n）型，采用疊加法(2)f

4、（n)型，采用疊乘法(3)an1panq（p0，p1）型，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決例2.對(duì)于數(shù)列 。(1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;（2）令,求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析:(1）由化簡(jiǎn)得，利用累加法求得,對(duì)利用配湊法求得通項(xiàng)公式為；（2）化簡(jiǎn)，這是等差數(shù)列除以等比數(shù)列,故用錯(cuò)位相減求和法求得前項(xiàng)和為.（2), 則， -得.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法，考查了累加法和配湊法,考查了錯(cuò)位相減求和法.對(duì)于來(lái)說(shuō)，化簡(jiǎn)題目給定的含有的表達(dá)式后，得到，這個(gè)是累加法的標(biāo)準(zhǔn)形式，故用累加法求其通項(xiàng)公式，對(duì)于來(lái)說(shuō)，由于，則采用配湊法求其通項(xiàng)公式，對(duì)于來(lái)說(shuō)，由于它是等差數(shù)列除以等比數(shù)列，故用錯(cuò)位相減求和法求和。3。由與

5、的關(guān)系求通項(xiàng)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此,在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)，即要注意函數(shù)方法的普遍性,又要考慮數(shù)列方法的特殊性sn與an的關(guān)系為：an例3. 【安徽省淮南市2018屆第四次聯(lián)考】已已知數(shù)列為數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足 .（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的通項(xiàng)公式思路分析：（1）由的關(guān)系得相減得檢驗(yàn)時(shí), 適合上式即得數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）,兩邊同時(shí)除以得累加法即得解。點(diǎn)評(píng)：已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系,求數(shù)列通項(xiàng)公式,常用將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式。注意：

6、利用ansnsn1求通項(xiàng)時(shí)，注意n2這一前提條件，易忽略驗(yàn)證n1致誤，當(dāng)n1時(shí)，a1若適合通項(xiàng),則n1的情況應(yīng)并入n2時(shí)的通項(xiàng);否則an應(yīng)利用分段函數(shù)的形式表示4。等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值等差數(shù)列的單調(diào)性與的最大或最小的關(guān)系.（1)若,則等差數(shù)列中有，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),有，所以的最小值為。當(dāng)時(shí)，有則一定存在某一自然數(shù)，使或，則的最小值為。 （2）若，則等差數(shù)列中有，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，有則一定存在某一自然數(shù)，使或，則的最大值為。當(dāng)時(shí)，有，所以的最大值為。例4。數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）（1）為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？（2）在（1）的條件下，若等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，又，等比

7、數(shù)列，求思路分析:(1)先由求出。再利用數(shù)列為等比數(shù)列，可得，就可以求出的值；(2）先利用求出,再利用公差把和表示出來(lái)，代人成等比數(shù)列，求出公差即可求。 點(diǎn)評(píng)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法;(1）先求an，再利用或求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),最后利用單調(diào)性確定最值(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得前n項(xiàng)和的最值利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和snan2bn（a，b為常數(shù)）為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值二 數(shù)列的求和數(shù)列求和是高考的熱點(diǎn)，主要涉及等差、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和與并項(xiàng)法求和，題目呈現(xiàn)方式多樣，在選擇題、填空題中以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，在解答題中以考查錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相

8、消法求和為主，求解的關(guān)鍵是抓住通項(xiàng)公式的特征,正確變形，分清項(xiàng)數(shù)求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和常見(jiàn)類(lèi)型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解;（2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；（3)anbncn,數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和（4) anbncn，數(shù)列bn,cn分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列,采用錯(cuò)位相減法求和1公式求法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:sn；(2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：例5. 【四川省內(nèi)江市2018屆高

9、三第一次模擬】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和.已知， .（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析：(）由可得時(shí)， ，兩式相減，即可得出是等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;（)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而用等比數(shù)列求和公式求出數(shù)列的前項(xiàng)和。點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的求和公式，利用方程組思想求解。本題屬于基礎(chǔ)題,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.應(yīng)用基本量法是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法，應(yīng)熟練掌握。根據(jù)等差，等比數(shù)列的性質(zhì)探尋其他解法,可以開(kāi)闊思路，有時(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 2分組求和法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開(kāi)或變形,可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的

10、數(shù)列，可先分別求和，然后再合并例6.【四川省內(nèi)江市2018屆高三第一次模擬】設(shè)數(shù)列滿足。(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析: 根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)， ，求出的表達(dá)式，然后驗(yàn)證當(dāng)時(shí)是否成立（2）先給出通項(xiàng)，運(yùn)用分組求和法求前項(xiàng)和點(diǎn)評(píng)：分組求和的解題策略：數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前項(xiàng)和的數(shù)列求和，即將一般數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和問(wèn)題，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是通項(xiàng)變形3。裂項(xiàng)相消求和法利用通項(xiàng)變形,把數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的差，在求和過(guò)程中，中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和，從而求得數(shù)列

11、的和。這種求數(shù)列和的方法叫做裂項(xiàng)相消求和法.常見(jiàn)拆項(xiàng)：；nn!=（n+1)!n！；loga （1）loga（n1）logan;等等例7。已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，,且成等比數(shù)列。(）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析：（1)由等差數(shù)列性質(zhì)，所以，設(shè)公差為，則，解得或,由此即可求出通項(xiàng)公式； (2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),，然后再根據(jù)裂項(xiàng)相消即可求出結(jié)果.點(diǎn)評(píng):裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使這些裂開(kāi)的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)從而達(dá)到求和的目的要注意的是裂項(xiàng)相消法的前提：數(shù)列中的每一項(xiàng)均可分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，且在求和過(guò)程中能夠前后相互抵消.

12、4. 錯(cuò)位相減求和法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法 例8.已知等差數(shù)列滿足：，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1,1，3后成等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。思路分析:（1） 用基本量法，即用為等差數(shù)列的公差與表示已知條件，列出方程,解出,即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；由可得，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)因?yàn)?，所以用錯(cuò)位相減法求即可.點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題；錯(cuò)位相減法適合于一個(gè)由等差數(shù)列及一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列考生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，都知道利用錯(cuò)位相減法求

13、解，也都能寫(xiě)出此題的解題過(guò)程,但由于步驟繁瑣、計(jì)算量大導(dǎo)致了漏項(xiàng)或添項(xiàng)以及符號(hào)出錯(cuò)等兩邊乘公比后,對(duì)應(yīng)項(xiàng)的冪指數(shù)會(huì)發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項(xiàng)對(duì)齊,這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另外一個(gè)式子后面就會(huì)多了一項(xiàng)，兩項(xiàng)相減,除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的項(xiàng)是一個(gè)等比數(shù)列三. 數(shù)列的探索性問(wèn)題處理探索性問(wèn)題的一般方法是：假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或其中的一部分結(jié)論成立,然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè),否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用還可以根據(jù)已知條件建立恒等式，利用等式恒成立的條件求解例9。 【江西省南昌市2018屆復(fù)習(xí)訓(xùn)練題】在數(shù)列中， （）求數(shù)列的通項(xiàng)

14、；（）若存在成立，求實(shí)數(shù)的最大值思路分析：()由可得，兩式相減整理得到 ,故數(shù)列 為等比數(shù)列,求得通項(xiàng)后再驗(yàn)證是否滿足即可得到所求（)由條件可得存在成立，設(shè)，則然后根據(jù)的單調(diào)性求出最值即可(）存在成立，存在成立令，則由（)可知當(dāng), 當(dāng)，則，所以當(dāng)時(shí),數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)， 故所求實(shí)數(shù)的最大值為 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的恒成立或能成立的問(wèn)題是函數(shù)問(wèn)題在數(shù)列中的具體體現(xiàn)，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)仍要轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題處理解題中通過(guò)分離參數(shù)在不等式的一端得到關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，然后通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值,從而可求得參數(shù)的值或其范圍解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列,要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來(lái)單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過(guò)運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開(kāi)，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解從上面三方面可以看出，解答數(shù)列綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和