2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2 2.2.1 第1課時 不等式及其性質(zhì)學(xué)案 新人教B版必修第一冊

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2 2.2.1 第1課時 不等式及其性質(zhì)學(xué)案 新人教b版必修第一冊2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2 2.2.1 第1課時 不等式及其性質(zhì)學(xué)案 新人教b版必修第一冊年級：姓名：2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)第1課時不等式及其性質(zhì)學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1會用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系(一般) 2會用比較法比較兩實數(shù)的大小(重點)3掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.1 借助實際問題表示不等式，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)2. 通過大小比較，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇睡美人序曲

2、奏響了，一名女演員雙手撫摸著舞裙，眼里閃爍著倔強(qiáng)和自信的目光只見她踮起腳尖，一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn)，輕盈地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境她為什么要踮起腳尖呢？因為一般的人，下半身長x與全身長y的比值在0.570.6之間設(shè)人的腳尖立起提高了m，則下半身長與全身長度的比由變成了，這個比值非常接近黃金分割值0.618.這便是不等式在實際生活中的應(yīng)用，不等式還有哪些重要的性質(zhì)呢？知識點一不等關(guān)系與不等式1不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式2比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)的大小

3、作差法的理論依據(jù)：ab0ab；ab0ab；ab0ab.1(1)已知ta4b，sab24，則t和s的大小關(guān)系是()atsbtsctsdts(2)設(shè)a，b0，p，q，則p與q的大小關(guān)系是()apqbpqcpqdpq(1)d(2)c(1)stab24(a4b)b24b4(b2)20，ts.(2)p2()2ab2，q2()2ab.a，b0，p2q2.pq.知識點二不等式的性質(zhì)1不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1(可加性)：abacbc.(2)性質(zhì)2(可乘性)：acbc.(3)性質(zhì)3(可乘性)：acbc.(4)性質(zhì)4(傳遞法)：ab，bcac.(5)性質(zhì)5(對稱性)：abba.2不等式性質(zhì)的推論(1)推論1(移項

4、法則)：abcacb.(2)推論2(同向可加性)：acbd.(3)推論3(同向同正可乘性)：acbd.(4)推論4(正數(shù)乘方性)：ab0anbn(nn，n1)(5)推論5(正數(shù)開方性)：ab0.利用不等式性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題？提示在使用不等式時，一定要弄清不等式(組)成立的前提條件不可強(qiáng)化或弱化成立的條件如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符號”等都需要注意2.已知ab，可以推出()abac2bc2cd(ac)2(bc)2bc20，ab，ac2bc2.3.思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若ab，cd，則acbd.()(2)若ab，則.()(3

5、)若ab0，cd0，則.()(4)已知ab，ef，c0，則facebc.()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)因為cd，所以cd，又ab.所以acbd.(2)因為ab，若a0，b0，則，故錯誤(3)因為cd0，所以0，又因為ab0，所以.(4)因為ab，c0，所以acbc，故acbc，又因為ef，即fe，所以facebc. 類型1比較兩數(shù)(式)的大小【例1】(對接教材p60例1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大小解3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)x1，x10，而3x210，(3x21)(x1)0，3x33x2x1把本例中“x1”改為

6、“xr”，再比較3x3與3x2x1的大小解3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)(3x21)(x1)3x210，當(dāng)x1時，x10，3x33x2x1；當(dāng)x1時，x10，3x33x2x1；當(dāng)x1時，x10，3x33x2x1作差法比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的基本步驟 類型2利用不等式性質(zhì)判斷命題真假【例2】對于實數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是()a若ab，則ac2bc2b若ab0，則c若ab0，則d若ab，則a0，b0思路點撥本題可以利用不等式的性質(zhì)直接判斷命題的真假，也可以采用特殊值法判斷d法一：c20，c0時，有ac2bc2，故a為假命題；由ab0，有ab0，故b為假命題；ab0ab0

7、0，故c為假命題；ab0.ab，a0且b0，故d為真命題法二：特殊值排除法取c0，則ac2bc2，故a錯；取a2，b1，則，1有，故b錯；取a2，b1，則，2，有，故c錯故選d運用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的技巧(1)運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能隨意捏造性質(zhì)(2)解有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算1下列命題正確的是()a若a2b2，則abb若，則abc若acbc，則abd若，則abda錯，例如(3)222；b錯，例如；c錯，例如當(dāng)c2，a3，b2時，有acbc，但a

8、b.故選d2若a，br，則使ab與同時成立的條件是_ab0或0ab由得0，即0，又ab，故ba0，由得所以ab0或0ab. 類型3不等式性質(zhì)的應(yīng)用1由6a8，4b2，兩邊分別相減得2ab6，你認(rèn)為正確嗎？提示不正確因為同向不等式具有可加性，但不能相減，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質(zhì)2你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.這怎么與2ab2矛盾了呢？提示利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形本題中將2ab4與2ab2兩邊相加得0a3，又將4

9、ba2與2ab2兩邊相加得出3b0，又將該式與0a3兩邊相加得出3ab3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了ab范圍的擴(kuò)大【例3】已知1a4,2b8，試求ab與的取值范圍思路點撥依據(jù)不等式的性質(zhì)，找到b與的范圍，進(jìn)而求出ab與的取值范圍解因為1a4,2b8，所以8b2，所以18ab42，即7ab2.又因為，所以2，即2.求含字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.3已知，求，的取值范圍解，兩式相加，得.又，又知，0.故0.1設(shè)m(a1)(a3)，n2a(a2)，則()amnbmncmndmncnm2a(a2)(a1

10、)(a3)2a24a(a22a3)a22a3(a1)220，即mn，故選c2如果ab0，cd0，則下列不等式中不正確的是()aadbcbcadbcdacbdc由已知及不等式的性質(zhì)可得acbd，即adbc，所以a正確；由cd0，得0，又ab0，所以，即b正確；顯然d正確，因此不正確的選項是c3若11，則下列各式中恒成立的是()a20b21c10 d11a由11，11，得1122，但，故知20.故選a4(多選題)已知a，b，c為非零實數(shù)，且ab0，則下列結(jié)論正確的有()aacbcbabca2b2dabd因為ab0，所以ab.根據(jù)不等式的性質(zhì)可知a，b正確；因為a，b的符號不確定，所以c不正確；0.

11、可得，所以d正確5已知60x84,28y33，則xy的取值范圍是_，的取值范圍是_(27,56)由28y33得33y28，則6033xy8428，即27xy56，則，即3.回顧本節(jié)知識，自我完成下列問題：1作差比較法的四個步驟是什么？提示(1)作差：對要比較大小的兩個式子作差(2)變形：對差式通過通分、因式分解、配方、有理化等方法進(jìn)行變形(3)判斷符號：對變形后的結(jié)果結(jié)合題設(shè)條件判斷出差的符號(4)作出結(jié)論上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤有哪2種方法？提示(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；

12、對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性實際問題中的不等關(guān)系糖水跟煲湯一樣，具有滋補(bǔ)養(yǎng)生的功效可以作為糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清涼性，有的具有燥熱性根據(jù)不同的主料來配搭不同輔料，可以達(dá)到相輔相成的效果專家稱，喝糖水可緩解煩躁失眠在煩躁而不容易入眠時，喝糖水可使體內(nèi)產(chǎn)生大量血清素，亦可助眠下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的

13、淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了提示(1)設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克糖，即證明不等式(其中a，b，m為正實數(shù)，且ba)成立不妨用作差比較法，證明如下：.a，b，m為正實數(shù)，且ab，bm0，ba0，0，即.(2)設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為，且，求證：(其中ba0，dc0)證明：，且ba0，dc0，adbc，即bcad0，0，即，0，即.(3)設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為，加入m克水，求證：(其中ba0，m0)證明：0，.結(jié)論(1)如果一個分式(ba0)的分子分母同時增大相同的值，則該分式的值變大(2)兩個分式中分子與分母分別相加所得的分式的大小介于這兩個分