2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.1 2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.1 2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)案 新人教b版必修第一冊(cè)2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.1 2.1.1 等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué)案 新人教b版必修第一冊(cè)年級(jí)：姓名：2.1等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1理解且會(huì)運(yùn)用等式的性質(zhì)(重點(diǎn))2理解恒等式的概念，會(huì)進(jìn)行恒等變形(難點(diǎn))3會(huì)求方程的解集(重點(diǎn))1借助等式的性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)2通過(guò)求方程的解集，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).有只狡猾的狐貍平時(shí)總喜歡戲弄其他動(dòng)物，有一天它遇見(jiàn)老虎，狐貍說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)了2和5可以相

2、等，我這里有一個(gè)方程5x22x2.等式兩邊同時(shí)加上2，得5x222x22，即5x2x，等式兩邊同時(shí)除以x，得52，”老虎瞪大了眼睛，一臉的疑惑你認(rèn)為狐貍的說(shuō)法正確嗎？知識(shí)點(diǎn)一等式的性質(zhì)性質(zhì)(1)：等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立用字母表示為：如果ab，則對(duì)任意的c，都有acbc.性質(zhì)(2)：等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立用字母表示為：如果ab，則對(duì)任意的不為零的c，都有acbc.1下列各式是否正確？(1)若，則xy；(2)若xy，則；(3)若xaya，則xy；(4)若xy，則axby.(5)若xmym，則xy答案(1)(5)正確，(2)(3)(4)錯(cuò)誤知識(shí)

3、點(diǎn)二恒等式1恒等式的含義一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意實(shí)數(shù)時(shí)等式都成立，則稱其為恒等式，也稱等式兩邊恒等2常見(jiàn)的代數(shù)恒等式(1)(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2.(2)a2b2(ab)(ab)(3)a3b3(ab)(a2abb2)，a3b3(ab)(a2abb2)3十字相乘法(1)給定式子x2cxd，如果能找到a和b，使得dab且cab，則x2cxd(xa)(xb)為了方便記憶，已知c和d，尋找滿足條件的a和b的過(guò)程，通常用圖來(lái)表示：，其中兩條交叉的線表示對(duì)應(yīng)數(shù)相乘后相加要等于c，也正因?yàn)槿绱?，這種因式分解的方法稱為“十字相乘法”(2)用“十字相乘法”分解因式：

4、直接利用公式x2(ab)xab(xa)(xb)進(jìn)行分解；利用公式acx2(adbc)xbd(axb)(cxd)進(jìn)行分解1十字相乘法分解因式的關(guān)鍵是什么？提示把二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分解，交叉相乘，得到兩個(gè)因數(shù)，再把兩個(gè)因式相加，看它們的和是不是正好等于一次項(xiàng)系數(shù)2.思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)計(jì)算(2a5)(2a5)2a225.()(2)因式分解過(guò)程為：x23xy4y2(xy)(x4)()(3)用因式分解法解方程時(shí)部分過(guò)程為：(x2)(x3)6，所以x23或x32.()答案(1)(2)(3)提示(1)(2a5)(2a5)(2a)2254a225.(2)x23xy4y2(xy)(x4y)

5、(3)若(x2)(x3)0，可化為x20或x30.3.(多選題)下列等式中，是恒等式的是()a(x2)(x2)x24b(ab)2a22abb2c(3m)(3m)m29d16x2924xabca中，(x2)(x2)x24，使用平方差公式化簡(jiǎn)，是恒等式；b中，(ab)2a22abb2，使用完全平方公式化簡(jiǎn)，是恒等式；c中，(3m)(3m)(m3)(m3)m29，平方差公式化簡(jiǎn)，是恒等式；d中，16x2924x是方程，不是恒等式知識(shí)點(diǎn)三方程的解集1方程(xx1)(xx2)0，當(dāng)x1x2時(shí)解集為x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)解集為x12方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值求方程解的過(guò)程叫做解

6、方程把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為這個(gè)方程的解集2.把方程通過(guò)適當(dāng)變換后，求出的未知數(shù)的值都是這個(gè)方程的解(根)嗎？提示把方程通過(guò)變換，求出的未知數(shù)的值不一定是這個(gè)方程的根，也可能是這個(gè)方程的增根4.已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和7，第三邊的長(zhǎng)是方程x217x660的根，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)6由方程x217x660得：(x6)(x11)0，解得：x6或x11，當(dāng)x6時(shí)，三邊長(zhǎng)為4,6,7，符合題意；當(dāng)x11時(shí)，以4,7,11為三邊構(gòu)不成三角形，不合題意，舍去，則第三邊長(zhǎng)為6. 類型1等式性質(zhì)的應(yīng)用【例1】已知xy, 則下列各式：x3y3；4x6y；2x2y；1；.其中正確的有()abcdcx3y3；2

7、x2y；正確，故選c等式性質(zhì)的應(yīng)用在等式變形中運(yùn)用等式的性質(zhì)時(shí)要注意，必須保證等式兩邊同乘以或除以的同一個(gè)數(shù)是不為零的數(shù)，此外，還要注意等式本身隱含的條件1設(shè)x，y，c是實(shí)數(shù)，下列正確的是()a若xy，則xcycb若xy，則xcycc若xy，則d若，則2x3yba兩邊加不同的數(shù)，故a不符合題意；b兩邊都乘以c，故b符合題意；cc0時(shí)，兩邊都除以c2無(wú)意義，故c不符合題意；d兩邊乘6c，得到3x2y，故d不符合題意故選b 類型2恒等式的化簡(jiǎn)【例2】化簡(jiǎn)：(1)(3a2)3(a5)；(2)3x2y2x2y3xy22xy2；(3)2m(mn)2(mn)；(4)(4a2b5ab2)2(3a2b4ab2

8、)解(1)(3a2)3(a5)3a23a1513.(2)3x2y2x2y3xy22xy2x2yxy2.(3)2m(mn)2(mn)2mmn2m2nmn.(4)(4a2b5ab2)2(3a2b4ab2)4a2b5ab2(6a2b8ab2)4a2b5ab26a2b8ab22a2b3ab2.恒等式化簡(jiǎn)注意事項(xiàng)去括號(hào)時(shí)，首先要弄清楚括號(hào)前究竟是“”號(hào)，還是“”號(hào)，其次要注意法則中的“都”字，都改變符號(hào)或都不改變符號(hào)，一定要一視同仁，尤其是括號(hào)前面是“”號(hào)時(shí)，容易出現(xiàn)只改變括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)符號(hào)，而其余各項(xiàng)均不變號(hào)的錯(cuò)誤2計(jì)算：(1)a23ab5a23ab7; (2)5(mn)4(3m2n)3(2m3n)；(3

9、)3(5xy)(2x4y)2(3x5y)解(1)原式(11)a2(33)ab(57)6ab2.(2)原式5m5n12m8n6m9n(5126)m(589)nm4n.(3)原式15x3y(2x4y6x10y)15x3y(4x14y)15x3y4x14y(154)x(314)y11x17y. 類型3十字相乘法分解因式【例3】十字相乘法分解因式：(1)x2x56；(2)x210x16；(3)6x211x7.解(1)因?yàn)樗裕涸?x7)(x8)(2)因?yàn)樗裕涸?x2)(x8)(3)因?yàn)樗裕涸?2x1)(3x7)如何利用十字相乘法對(duì)代數(shù)式ax2bxc進(jìn)行因式分解？提示對(duì)于ax2bxc，將二次項(xiàng)

10、的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如圖：，按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2a2c1，如果它正好等于ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2bxc就可以分解成(a1xc1)(a2xc2)3將y25y4因式分解的結(jié)果是()a(y1)(y4)b(y1)(y4)c(y1)(y4)d(y1)(y4)d因式分解，可得y25y4(y1)(y4)，故選d 類型4方程的解集【例4】(對(duì)接教材p45例2)求下列方程的解集(1)x(x2)2x4；(2)16(x5)29(x4)20.解(1)原方程可變形為x(x2)2(x2)，即 (x2)(x2)0，從而x20或x20

11、，所以x2或x2，方程的解集為2,2(2)利用平方差，將原方程變?yōu)?(x5)3(x4)4(x5)3(x4)0，整理可得(7x8)(x32)0，所以7x80或x320，所以x或x32， 故原方程的解集為.用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步驟(1)移項(xiàng)，將一元二次方程的右邊化為0.(2)化積，利用提取公因式法、公式法等將一元二次方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積(3)轉(zhuǎn)化，兩個(gè)因式分別為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程(4)求解，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解(5)將其解寫(xiě)成集合的形式4若x2是關(guān)于x的一元二次方程x2axa20的一個(gè)根，則a的值為()a1或4b1或4c1或4d1或

12、4bx2是關(guān)于x的一元二次方程x2axa20的一個(gè)根，45aa20，(a1)(a4)0, 解得a1或a4.1(多選題)若3a2b，下列各式進(jìn)行的變形中，正確的是()a3a12b1b3a12b1c9a4bdabda3a2b，3a12b1，正確，符合題意；b3a2b，3a12b1，正確，符合題意；c3a2b，9a6b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；d3a2b，正確，符合題意故選abd2(mn)2(mn)的計(jì)算結(jié)果是()a3n2mb3nmc3nmd3n2m c原式mn2m2nm3n，故選c3下列方程的解正確的是()ax31的解集是2bx2x6的解集是4 c3x4(x3)的解集是3dx2的解集是b方程x31的解是x4，x2x6的解是x4,3x4(x3)的解是x7，x2的解是x6，故選b4方程2x10的解集是_由2x10，解得x，所以方程的解集是.5因式分解：(ab)211(ab)28_.(ab4)(ab7)把a(bǔ)b看作一個(gè)整體因?yàn)樗裕涸?ab4)(ab7)回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1用因式分解法解一元二次方程的步驟是怎樣的？提示(1)將方程