光的色散與群速度

1、1 1.5 色散色散與群速度與群速度 根據光的微粒說，光在兩種媒質界面上折射時，根據光的微粒說，光在兩種媒質界面上折射時， sini1/sini2=2/1，而根據光波動說，而根據光波動說sini1/sini2= 1/ 2. 傅科做實驗測定空氣和水中光速之比近于傅科做實驗測定空氣和水中光速之比近于4:3，此數，此數 值與空氣到水的折射率相符，從而判定光的波動說值與空氣到水的折射率相符，從而判定光的波動說 的正確性。的正確性。 雖然在傅科實驗完成之前，光的波動說已為大量事實雖然在傅科實驗完成之前，光的波動說已為大量事實 （如干涉、衍射、偏振等）所證明，但傅科的實驗仍被（如干涉、衍射、偏振等）所證明

2、，但傅科的實驗仍被 認為是對惠斯原理最直接和最有力的支持。認為是對惠斯原理最直接和最有力的支持。 2 隨著測定光速方法的改進，問題又復雜化了，隨著測定光速方法的改進，問題又復雜化了，1885年年 邁克耳遜以較高的精度重復了傅科實驗的同時，還測邁克耳遜以較高的精度重復了傅科實驗的同時，還測 定了空氣和定了空氣和CS2光速之比為光速之比為1.758，但是用折射法測定，但是用折射法測定 的的CS2折射率為折射率為1.64，兩數相差甚大，這絕非實驗誤，兩數相差甚大，這絕非實驗誤 差所致。差所致。 瑞利對光速的概念進行了深入詳盡的研究，提出瑞利對光速的概念進行了深入詳盡的研究，提出 “群速群速”的概念之

3、后才解決這個矛盾。的概念之后才解決這個矛盾。 迄今為止，對于各向同性介質在提到波速時，都指的是迄今為止，對于各向同性介質在提到波速時，都指的是 波面波面（等位相面）（等位相面）傳播的速度，即相速度傳播的速度，即相速度 p，在惠更斯，在惠更斯 原理中如此，在波函數的表達式中也如此。原理中如此，在波函數的表達式中也如此。 一一. 相速度相速度 3 kdt dr p 理想的單色平面波的波動方程可表示為：理想的單色平面波的波動方程可表示為： )cos(krtAE 因此，相位不變的條件為：因此，相位不變的條件為： 常數 krt 兩邊微分得：兩邊微分得：0kdrdt 即即 上式上式 2，k2 / 都是不隨

4、都是不隨t和和r改變的量。改變的量。 可見，可見，相速度是嚴格單色光所特有的一種速度相速度是嚴格單色光所特有的一種速度。嚴格。嚴格 的單色光在空間延續(xù)和時間延續(xù)都是無窮無盡的余弦的單色光在空間延續(xù)和時間延續(xù)都是無窮無盡的余弦 或正弦波。但這種波是理想的極限情況。或正弦波。但這種波是理想的極限情況。 4 在真空中所有波長的電磁以同一相速在真空中所有波長的電磁以同一相速c傳播，復色傳播，復色 光可視為若干單色波列的疊加，所以復色光在真光可視為若干單色波列的疊加，所以復色光在真 空中傳播的相速度就等于單色光在真空中傳播的空中傳播的相速度就等于單色光在真空中傳播的 相速度。相速度。 在色散介質中，各單

5、色光以不同的相速度傳播，在色散介質中，各單色光以不同的相速度傳播， 因而，復色光在色散介質中的傳播問題也隨之復因而，復色光在色散介質中的傳播問題也隨之復 雜化。雜化。 二二. . 群速度群速度 為簡單起見，假設復色光由兩列單色光波組成，為簡單起見，假設復色光由兩列單色光波組成， 其振幅均為其振幅均為a，頻率分別為：，頻率分別為： d 01 d 02 5 dkkk 01 波數分別為：波數分別為： dkkk 02 則這兩列單色光波可分別表示為：則這兩列單色光波可分別表示為： )cos( 111 rktaE )cos( 222 rktaE 可以推得其合成波為：可以推得其合成波為： )cos( 000

6、 rktAE 其中其中 )cos(2 0 dkrtdaA 即合成波的振幅即合成波的振幅A0不是常數，而是隨不是常數，而是隨r和和t緩慢變化緩慢變化 的余弦函數。如圖的余弦函數。如圖 6 合成波和波包合成波和波包 1 E 2 E 合成波的速度，即波包上任一點的前移速度，也就是合成波的速度，即波包上任一點的前移速度，也就是 波包上等振幅面向前推進的速度。它代表著波包具有波包上等振幅面向前推進的速度。它代表著波包具有 的能量傳播速度。的能量傳播速度。 7 定義：定義：復色光在色散介質中，整個波包傳播的速度，復色光在色散介質中，整個波包傳播的速度， 稱為群速度。稱為群速度。 振幅不變的條件為：振幅不變

7、的條件為： constantdkrtd 因因d ，dk都是不隨都是不隨t和和r改變的量，微分上式得：改變的量，微分上式得： 0dkdrdtd 因此，群速度可表示為：因此，群速度可表示為： dk d dt dr g 8 9 三三. . 群速與相速的關系群速與相速的關系 dk kd dk d p g )( ) 1 ( dk d k p p 因因 2 k所以所以 ddk 2 2 2 2 dk d d d dk d d d dk d ppp 2 2 10 代入（代入（1）式可得：）式可得： d d p pg 稱為瑞利公式稱為瑞利公式 因為因為 n c p 所以所以 d dn n c n c g 2 )

8、1 ( d dn n pg 書書1212頁頁 11 討論：討論： d d p pg （1）當）當 時，則時，則 0 d d p Pg 正常色散正常色散 （2）當）當 時，則時，則 0 d d p Pg 反常色散反常色散 （3）當）當 時，則時，則 0 d d p Pg 無色散無色散 P c n 折射定律折射定律也是也是相速之比相速之比 2 1 2 1 sin sin i i 指相速指相速 12 通過測量光在不同介質中的速度之比來確定折射率，通過測量光在不同介質中的速度之比來確定折射率， 不論哪種測量方法，測得的光在介質中的不論哪種測量方法，測得的光在介質中的速度實際速度實際 上是群速而不是相速

9、。上是群速而不是相速。 因為因為CS2為正常色散，為正常色散， g p，因而所得折射率，因而所得折射率n 1.758大于用折射法測得的結果大于用折射法測得的結果n=1.64。 1-5 波包和群速度色散 一、頻率相近的兩個單色平面波組成的波包及其群速度一、頻率相近的兩個單色平面波組成的波包及其群速度 該等幅平面波的傳播速度：該等幅平面波的傳播速度： 此即兩個波合成后所得波包的前進速度此即兩個波合成后所得波包的前進速度群速度群速度 二、一維波群二、一維波群 一維（沿一維（沿z z方向傳播）波群方向傳播）波群單色平面波的迭加單色平面波的迭加， 即即： 假設振幅假設振幅 A() A() 只在以平均頻率

10、為中心的很窄的頻率范圍只在以平均頻率為中心的很窄的頻率范圍 內顯著不為內顯著不為 0 0，即：，即： 則有：則有： 其中：其中： 為變幅平面波。為變幅平面波。 取展開式的前兩項，得取展開式的前兩項，得： AeAe 是一維波群的包絡線函數是一維波群的包絡線函數 在在 面上面上 AeAe是一個常量，此面的傳播速度代表能量傳播的速度，即群速度：是一個常量，此面的傳播速度代表能量傳播的速度，即群速度： 群速度與相速度的關系：群速度與相速度的關系： 由由 得得： 正常色散：群速度小于相速度正常色散：群速度小于相速度 反常色散：群速度大于相速度，超過光速？反常色散：群速度大于相速度，超過光速？ 反常色散區(qū)必定存在強烈的吸收，當組成波群的大部分傅里葉分量的頻率反常色散區(qū)必定存在強烈的吸收，當組成波群的大部分傅里葉分量的頻率 落在這一區(qū)域時不可能傳很遠。群速度計算的結果超過光速不再具有物理落在這一區(qū)域時不可能傳很遠。群速度計算的結果超過光速不再具有物理 上的意義。上的意義。 三、群速度色散和脈沖展寬效應三、群速度色散和脈沖展寬效應 研究高斯型分布的窄帶脈沖在介質中傳播時包絡形狀的變化研究高斯型分布的窄帶脈沖在介質中傳播時包絡形狀的變化 = 光脈沖強度的寬度光脈沖強度的寬度: : 取取k k () () 的泰勒展開式