2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 3.2.1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案 北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 3.2.1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案 北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 3.2.1 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教案 北師大版必修5年級(jí)：姓名：3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第1課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中涉及哪些量?2.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q1時(shí),其前n項(xiàng)和公式可化為sn=-aqn+a的形式,其中的a是什么?等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.辨析記憶(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”).(1)1+x+x2+x3+x4+xn

2、=.()(2)若sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則sn=a1+qsn-1.()(3)若sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則sn,s2n-sn,s3n-s2n一定也成等比數(shù)列.()提示:(1).當(dāng)x=1時(shí),1+x+x2+x3+x4+xn=n.(2).sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qsn-1.(3).當(dāng)q=-1時(shí)sn可能為0.2.等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,公比q=2,則s6=() a.-63b.31c.-31d.63【解析】選d.s6=26-1=64-1=63.3.數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=3n+a,要使an是等比數(shù)列,則a的值為()a.0b.1c.-1d.2【解

3、析】選c.因?yàn)閍n=要使數(shù)列an成等比數(shù)列,則3+a=231-1=2,即a=-1.4.(教材二次開(kāi)發(fā):習(xí)題改編)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=k3n+1,則k的值為()a.全體實(shí)數(shù)b.-1c.1d.3【解析】選b.當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=3k+1;當(dāng)n2時(shí),an=sn-sn-1=k3n-k3n-1=2k3n-1.令3k+1=2k得k=-1.關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為sn,已知s3=,s6=,則a8=.【解析】設(shè)an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則解得所以a8=27=25=32.答案:322.設(shè)sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,且滿(mǎn)足

4、3s9=7s6,ms6=ns3,則=【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若q=1,則3s9=27a1,7s6=42a1,3s9=7s6,則a1=0,顯然不成立;故q1,因?yàn)?s9=7s6,ms6=ns3,所以3=7,m=n,所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),解得q3=2或-.所以=1+q3=3或.答案:3或3.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,sn為an的前n項(xiàng)和.若sn=126,則n=.【解析】因?yàn)閍1=2,an+1=2an,所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,又因?yàn)閟n=126,所以=126,所以n=6.答案:64.等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通

5、項(xiàng)公式.(2)記sn為an的前n項(xiàng)和.若sm=63,求m.【解析】(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則sn=.由sm=63得(-2)m=-188,此方程沒(méi)有正整數(shù)解.若an=2n-1,則sn=2n-1.由sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算技巧(1)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先要對(duì)公比q=1或q1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類(lèi)討論.(2)在等比數(shù)列an的五個(gè)量a1,q,an,n,sn中,a1與q是最基本

6、的元素,在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí),均可以用a1與q列方程組求解.特別提醒:等比數(shù)列的公比q一定不為0.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列an中,a1,a2,a3,an,構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列:a1,(a2-a1),(an-an-1),此數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng).(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn.【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+=.(2)sn=a1+a2+a3+an=+=n-=(2n-1)+.類(lèi)型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(邏輯推理)【典例】(1)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,若sn=2,s3n=14,則s4n=()a.8

7、0b.30c.26d.16(2)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)的和為85,偶數(shù)項(xiàng)的和為170,則此數(shù)列的公比為,項(xiàng)數(shù)為.(3)若an是等比數(shù)列,且前n項(xiàng)和為sn=3n-1+t,則t=.【思路導(dǎo)引】(1)應(yīng)用sm,s2m-sm,s3m-s2m,成等比數(shù)列求解;(2)根據(jù)所給等式列方程組求解;(3)利用a1,a2,a3是等比數(shù)列求解.【解析】(1)選b.由題意知:sn,s2n-sn,s3n-s2n,s4n-s3n成等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則s3n=sn+(s2n-sn)+(s3n-s2n)=2(1+q+q2)=14,解得q=2,所以s4n-s3n=2q3=28=16,s4n=s3n+(

8、s4n-s3n)=14+16=30.(2)設(shè)數(shù)列為an,其公比為q,項(xiàng)數(shù)為2n,則奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別組成以q2為公比的等比數(shù)列,又a1=1,a2=q,q1,所以由,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故項(xiàng)數(shù)為8.答案:28(3)由題目條件sn=3n-1+t得a1=s1=1+t,a2=s2-s1=2,a3=s3-s2=6,因?yàn)閍n是等比數(shù)列,故=a1a3,即4=6(1+t),解得t=-,經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)t=-時(shí),an是等比數(shù)列.答案:-等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)在涉及奇數(shù)項(xiàng)和s奇與偶數(shù)項(xiàng)和s偶時(shí),常考慮其差或比進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算.若項(xiàng)數(shù)為2n,則=q(s奇0);若項(xiàng)數(shù)為2n+1,則=q

9、(s偶0).(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為sn(且sn0),則sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn(q-1).(3)等比數(shù)列an的公比為q,則sn+m=sn+qnsm.(4)若sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且sn=aqn-a(a0,q0且q1),則數(shù)列an是等比數(shù)列.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足sn=1-a3n,數(shù)列bn是遞增數(shù)列,且bn=an2+bn,則a=,b的取值范圍為.【解析】因?yàn)槿我庖粋€(gè)公比不為1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和sn=-qn,而等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足sn=1-a3n,所以a=1,于是bn=n2+bn,又因?yàn)閿?shù)列bn是遞增數(shù)列,所以bn+1-bn=(n+1)2+

10、b(n+1)-n2-bn=2n+1+b0恒成立,所以b-(2n+1)恒成立,所以b-3,即b的取值范圍為(-3,+).答案:1(-3,+)類(lèi)型三錯(cuò)位相減法(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=an3n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.【思路導(dǎo)引】通過(guò)錯(cuò)位相減方式把數(shù)列變?yōu)榈缺葦?shù)列的求和問(wèn)題.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a1+a2+a3=3a1+3d=12,又a1=2,所以d=2,所以an=2n.(2)由bn=an3n=2n3n,得sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n,3sn=232+43

11、3+(2n-2)3n+2n3n+1.-得-2sn=2(3+32+33+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1,所以sn=+n3n+1.1.錯(cuò)位相減法求和的適用范圍錯(cuò)位相減法求和主要適用于:如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列且公比為q(q1),求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和.2.錯(cuò)位相減法求和的注意事項(xiàng)(1)利用錯(cuò)位相減法時(shí),在寫(xiě)出sn與qsn的表達(dá)式時(shí),應(yīng)注意兩式的對(duì)齊方式,以便于相減,正確寫(xiě)出(1-q)sn的表達(dá)式.(2)利用錯(cuò)位相減法時(shí)要注意討論公比q是否等于1.在等差數(shù)列an中,a3=4,a7=8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)令bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.【解析

12、】(1)因?yàn)閐=1,所以an=a3+(n-3)d=n+1.(2)bn=,tn=b1+b2+bn=2+.tn=+,由-得tn=2+-=+1-=+1-=2+1-=3-,所以tn=6-.課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.(2019全國(guó)卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)的和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=() a.16b.8c.4d.2【解析】選c.設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因?yàn)閍10且q0,則可解得q=2,又因?yàn)閍1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,則a3=a1q2=4.2.公元前5世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論.他提

13、出讓烏龜在阿基里斯前面1 000米處開(kāi)始,和阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了1 000米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然領(lǐng)先他10米;當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí),烏龜仍然領(lǐng)先他1米所以阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10-2米時(shí),烏龜爬行的總距離(單位:米)為()a.b.c.d.【解析】選b.由題意知,烏龜每次爬行的距離(單位:米)構(gòu)成等比數(shù)列,且首項(xiàng)a1=100,公比q=,易知a5=10-2,則烏龜爬行的總距離(單位:米)為s5=.3.(教材二次開(kāi)發(fā):習(xí)題改編)在等比數(shù)列an中,s3=,s6=,則an=.【解析】因?yàn)閟62s3,所以q1,又s3=,s6=,所以得1+q3=9,所以q=2.將q=2代入中得a1=,所以an=a1qn-1=2n-1=2n-2,即an=2n-2.答案:2n-24.在等比數(shù)列an中,a1=2,s3=26,則