2021-2022學年高中數(shù)學 第一章 數(shù)列 3.2.1 等比數(shù)列的前n項和教案 北師大版必修5

1、2021-2022學年高中數(shù)學 第一章 數(shù)列 3.2.1 等比數(shù)列的前n項和教案 北師大版必修52021-2022學年高中數(shù)學 第一章 數(shù)列 3.2.1 等比數(shù)列的前n項和教案 北師大版必修5年級：姓名：3.2等比數(shù)列的前n項和第1課時等比數(shù)列的前n項和 學習目標1.掌握等比數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用(數(shù)學抽象)2.會用錯位相減法求數(shù)列的和(數(shù)學運算)必備知識自主學習導思1.等比數(shù)列的前n項和公式中涉及哪些量?2.當?shù)缺葦?shù)列的公比q1時,其前n項和公式可化為sn=-aqn+a的形式,其中的a是什么?等比數(shù)列的前n項和公式1.辨析記憶(對的打“”,錯的打“”).(1)1+x+x2+x3+x4+xn

2、=.()(2)若sn是等比數(shù)列an的前n項和,則sn=a1+qsn-1.()(3)若sn是等比數(shù)列an的前n項和,則sn,s2n-sn,s3n-s2n一定也成等比數(shù)列.()提示:(1).當x=1時,1+x+x2+x3+x4+xn=n.(2).sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qsn-1.(3).當q=-1時sn可能為0.2.等比數(shù)列an的首項a1=1,公比q=2,則s6=() a.-63b.31c.-31d.63【解析】選d.s6=26-1=64-1=63.3.數(shù)列an的前n項和sn=3n+a,要使an是等比數(shù)列,則a的值為()a.0b.1c.-1d.2【解

3、析】選c.因為an=要使數(shù)列an成等比數(shù)列,則3+a=231-1=2,即a=-1.4.(教材二次開發(fā):習題改編)等比數(shù)列an的前n項和sn=k3n+1,則k的值為()a.全體實數(shù)b.-1c.1d.3【解析】選b.當n=1時,a1=s1=3k+1;當n2時,an=sn-sn-1=k3n-k3n-1=2k3n-1.令3k+1=2k得k=-1.關(guān)鍵能力合作學習類型一等比數(shù)列前n項和的基本計算(數(shù)學運算)1.等比數(shù)列an的各項均為實數(shù),其前n項和為sn,已知s3=,s6=,則a8=.【解析】設(shè)an的首項為a1,公比為q,則解得所以a8=27=25=32.答案:322.設(shè)sn是等比數(shù)列的前n項和,且滿足

4、3s9=7s6,ms6=ns3,則=【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若q=1,則3s9=27a1,7s6=42a1,3s9=7s6,則a1=0,顯然不成立;故q1,因為3s9=7s6,ms6=ns3,所以3=7,m=n,所以3(1+q3+q6)=7(1+q3),解得q3=2或-.所以=1+q3=3或.答案:3或3.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an,sn為an的前n項和.若sn=126,則n=.【解析】因為a1=2,an+1=2an,所以數(shù)列an是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,又因為sn=126,所以=126,所以n=6.答案:64.等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通

5、項公式.(2)記sn為an的前n項和.若sm=63,求m.【解析】(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則sn=.由sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.若an=2n-1,則sn=2n-1.由sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.等比數(shù)列前n項和的運算技巧(1)在解決與前n項和有關(guān)的問題時,首先要對公比q=1或q1進行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.(2)在等比數(shù)列an的五個量a1,q,an,n,sn中,a1與q是最基本

6、的元素,在條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時,均可以用a1與q列方程組求解.特別提醒:等比數(shù)列的公比q一定不為0.【補償訓練】已知數(shù)列an中,a1,a2,a3,an,構(gòu)成一個新數(shù)列:a1,(a2-a1),(an-an-1),此數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項.(2)求數(shù)列an的前n項和sn.【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+=.(2)sn=a1+a2+a3+an=+=n-=(2n-1)+.類型二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(邏輯推理)【典例】(1)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為sn,若sn=2,s3n=14,則s4n=()a.8

7、0b.30c.26d.16(2)一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,則此數(shù)列的公比為,項數(shù)為.(3)若an是等比數(shù)列,且前n項和為sn=3n-1+t,則t=.【思路導引】(1)應(yīng)用sm,s2m-sm,s3m-s2m,成等比數(shù)列求解;(2)根據(jù)所給等式列方程組求解;(3)利用a1,a2,a3是等比數(shù)列求解.【解析】(1)選b.由題意知:sn,s2n-sn,s3n-s2n,s4n-s3n成等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則s3n=sn+(s2n-sn)+(s3n-s2n)=2(1+q+q2)=14,解得q=2,所以s4n-s3n=2q3=28=16,s4n=s3n+(

8、s4n-s3n)=14+16=30.(2)設(shè)數(shù)列為an,其公比為q,項數(shù)為2n,則奇數(shù)項,偶數(shù)項分別組成以q2為公比的等比數(shù)列,又a1=1,a2=q,q1,所以由,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故項數(shù)為8.答案:28(3)由題目條件sn=3n-1+t得a1=s1=1+t,a2=s2-s1=2,a3=s3-s2=6,因為an是等比數(shù)列,故=a1a3,即4=6(1+t),解得t=-,經(jīng)驗證,當t=-時,an是等比數(shù)列.答案:-等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)在涉及奇數(shù)項和s奇與偶數(shù)項和s偶時,?？紤]其差或比進行簡化運算.若項數(shù)為2n,則=q(s奇0);若項數(shù)為2n+1,則=q

9、(s偶0).(2)等比數(shù)列前n項和為sn(且sn0),則sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn(q-1).(3)等比數(shù)列an的公比為q,則sn+m=sn+qnsm.(4)若sn表示數(shù)列an的前n項和,且sn=aqn-a(a0,q0且q1),則數(shù)列an是等比數(shù)列.已知等比數(shù)列an的前n項和滿足sn=1-a3n,數(shù)列bn是遞增數(shù)列,且bn=an2+bn,則a=,b的取值范圍為.【解析】因為任意一個公比不為1的等比數(shù)列前n項和sn=-qn,而等比數(shù)列an的前n項和滿足sn=1-a3n,所以a=1,于是bn=n2+bn,又因為數(shù)列bn是遞增數(shù)列,所以bn+1-bn=(n+1)2+

10、b(n+1)-n2-bn=2n+1+b0恒成立,所以b-(2n+1)恒成立,所以b-3,即b的取值范圍為(-3,+).答案:1(-3,+)類型三錯位相減法(邏輯推理、數(shù)學運算)【典例】已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)令bn=an3n,求數(shù)列bn的前n項和.【思路導引】通過錯位相減方式把數(shù)列變?yōu)榈缺葦?shù)列的求和問題.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a1+a2+a3=3a1+3d=12,又a1=2,所以d=2,所以an=2n.(2)由bn=an3n=2n3n,得sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n,3sn=232+43

11、3+(2n-2)3n+2n3n+1.-得-2sn=2(3+32+33+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1,所以sn=+n3n+1.1.錯位相減法求和的適用范圍錯位相減法求和主要適用于:如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列且公比為q(q1),求數(shù)列anbn的前n項和.2.錯位相減法求和的注意事項(1)利用錯位相減法時,在寫出sn與qsn的表達式時,應(yīng)注意兩式的對齊方式,以便于相減,正確寫出(1-q)sn的表達式.(2)利用錯位相減法時要注意討論公比q是否等于1.在等差數(shù)列an中,a3=4,a7=8.(1)求數(shù)列an的通項公式an;(2)令bn=,求數(shù)列bn的前n項和tn.【解析

12、】(1)因為d=1,所以an=a3+(n-3)d=n+1.(2)bn=,tn=b1+b2+bn=2+.tn=+,由-得tn=2+-=+1-=+1-=2+1-=3-,所以tn=6-.課堂檢測素養(yǎng)達標1.(2019全國卷)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項的和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=() a.16b.8c.4d.2【解析】選c.設(shè)該等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因為a10且q0,則可解得q=2,又因為a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,則a3=a1q2=4.2.公元前5世紀,古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論.他提

13、出讓烏龜在阿基里斯前面1 000米處開始,和阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當比賽開始后,若阿基里斯跑了1 000米,此時烏龜便領(lǐng)先他100米;當阿基里斯跑完下一個100米時,烏龜仍然領(lǐng)先他10米;當阿基里斯跑完下一個10米時,烏龜仍然領(lǐng)先他1米所以阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10-2米時,烏龜爬行的總距離(單位:米)為()a.b.c.d.【解析】選b.由題意知,烏龜每次爬行的距離(單位:米)構(gòu)成等比數(shù)列,且首項a1=100,公比q=,易知a5=10-2,則烏龜爬行的總距離(單位:米)為s5=.3.(教材二次開發(fā):習題改編)在等比數(shù)列an中,s3=,s6=,則an=.【解析】因為s62s3,所以q1,又s3=,s6=,所以得1+q3=9,所以q=2.將q=2代入中得a1=,所以an=a1qn-1=2n-1=2n-2,即an=2n-2.答案:2n-24.在等比數(shù)列an中,a1=2,s3=26,則