最新電大高等數(shù)學期末復(fù)習資料 小抄

1、（一） 單項選擇題下列各函數(shù)對中，（c. ，）中的兩個函數(shù)相等 a. ， b. ， c. ， d. ，設(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的圖形關(guān)于（c. 軸）對稱 a. 坐標原點 b. 軸 c. 軸 d. 函數(shù)的圖形關(guān)于（b. 軸）對稱 (a) 坐標原點(b) 軸 (c) 軸(d) 函數(shù)的圖形關(guān)于（a. 坐標原點）對稱 (a) 坐標原點(b) 軸 (c) 軸(d) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(一，+) ，則函數(shù)f(x)- f(-x) 的圖形關(guān)于(d . 坐標原點)對稱. a. b. 軸 c.軸 d. 坐標原點下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（b. ） a. b. c. d. 下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（c. ） a.

2、 b. c. d. 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)= b . . a. b. c. d. 下列等式中正確的是（b. ） (a) (b) (c) (d) = a. 0 . a。0 b. 1 c. d. 不確定下列極限存計算不正確的是（d. ） a. b. c. d. 當時，變量（c. ）是無窮小量 a. b. c. d. 在下列指定的變化過程中，（ a. ）是無窮小量 a. b. c. d. 在下列指定的變化過程中，（ c. ）是無窮小量 (a) (b) (c) (d) 以下敘述正確的是 d.當時，是無窮小 . a.是無窮小 b.當時，是無窮小 c. 是無窮小 d.當時，是無窮小若函數(shù)在點滿足（a. ），則在點

3、連續(xù)。 a. b. 在點的某個鄰域內(nèi)有定義 c. d. 設(shè)且極限存在，則（c. ） a. b. c. d. cvx設(shè)在可導(dǎo)，則（d. ） a. b. c. d. 設(shè)，則（a. ） a. b. c. d. 設(shè)在可導(dǎo)，則（c. ） (a) (b) (c) (d) 設(shè)存在，則= c. . a. 0 b. c. d. 1若，則（b. ） (a) (b) (c) (d) 若，則（c. ） (a) (b) (c) (d) 若，則（b. ） (a) (b) (c) (d) 設(shè)的一個原函數(shù)為，則= c. . a. b. c. d. 下列積分計算正確的是（d. ）(a) (b) (c) (d) 設(shè)，則（d. ）

4、 a. b. c. d. 下列結(jié)論中正確的是（c. 若在點可導(dǎo)，則在點有極限） a. 若在點有極限，則在點可導(dǎo) b. 若在點連續(xù)，則在點可導(dǎo) c. 若在點可導(dǎo)，則在點有極限 d. 若在點有極限，則在點連續(xù)若函數(shù)滿足條件（d. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)），則存在，使得 a. 在內(nèi)連續(xù) b. 在內(nèi)可導(dǎo) c. 在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) d. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)若函數(shù)在不連續(xù)，則在 b.必不可導(dǎo) . a.必定可導(dǎo) b.必不可導(dǎo) c.不一定可導(dǎo) d.必無定義若函數(shù)在不連續(xù)，則在 b.必不可導(dǎo) . a.必定可導(dǎo) b.必不可導(dǎo) c.不一定可導(dǎo) d.必無定義是可導(dǎo)函數(shù)在處有極值的 b.必要條件 . a.充分條件 b.必要條件

5、 c.充要條件 d.既非必要又非充分條件 是函數(shù)在處有極值的 d.既非必要又非充分條件 a.充分條件 b.必要條件 c.充要條件 d.既非必要又非充分條件函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（d. ） a. b. c. d. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（a. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升） a. 先單調(diào)下降再單調(diào)上升 b. 單調(diào)下降 c. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 d. 單調(diào)上升 函數(shù)的圖形在區(qū)間（0，2）內(nèi)是 a.單調(diào)減少，凹的 . a.單調(diào)減少，凹的 b.單調(diào)增加，凹的 c.單調(diào)減少，凸的 d. 單調(diào)增加，凸的 函數(shù)滿足的點，一定是的（c. 駐點） a. 間斷點 b. 極值點 c. 駐點 d. 拐點設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若滿

6、足（ c. ），則在取到極小值 a. b. c. d. 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（ a.單調(diào)減少且是凸的） a. 單調(diào)減少且是凸的 b. 單調(diào)減少且是凹的c. 單調(diào)增加且是凸的 d. 單調(diào)增加且是凹的設(shè)的一個原函數(shù)為，則= a. . a. b. c. d. 若的一個原函數(shù)是，則（d .） a. b. c. d. 下列等式成立的是（d. ） a b. c. d. 若，則（b. ） a. b. c. d. （b. ） a. b. c. d. 若，則（b.） a. b. c. d. 下列無窮限積分收斂的是（d.） a. b. c. d. 填空題函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是 .函數(shù)的

7、定義域是 已知函數(shù)，則 x2-x 設(shè)，則復(fù)合函數(shù)= .= 0 = d =.d =.若函數(shù)，在處連續(xù)，則e 是函數(shù)的第 一 類間斷點函數(shù)的間斷點是設(shè)函數(shù)由方程確定，則曲線上橫坐標點處的切線方程為 .拋物線過點切線方程為 若，則當時，稱為。設(shè)函數(shù)，則0 設(shè)，則。曲線在處的切線斜率是。曲線在處的切線斜率是 曲線在處的切線斜率是 曲線在處的切線方程是。設(shè)，則設(shè)，則。設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且當時，當時，則是的極小 值點若函數(shù)在點可導(dǎo)，且是的極值點，則 0 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是.函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 .函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 若函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是 函數(shù)的拐點是函數(shù)的

8、不定積分是。若函數(shù)與是同一函數(shù)的原函數(shù)，則與之間有關(guān)系式。設(shè)某商品的需求函數(shù)為，則p = 2 時的需求彈性為 -1。 。若，則。若，則 3若無窮積分收斂，則。計算題設(shè)函數(shù)求： 解：，求函數(shù)的定義域 解：有意義，要求解得 則定義域為計算極限 解：求 解：求 解：求 解：求 解： 求 解：求 解：求. 求. 計算極限 解 利用重要極限，及極限的運算法則得 計算極限 解 利用極限的運算法則得 .設(shè)，求 解： 設(shè)，求 解 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 設(shè)，求 解 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 求由參數(shù)方程 所表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 解: 解： 解： 解： 解：

9、解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解：在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 解： 設(shè)，求 解： 設(shè)，求. 求下列函數(shù)的微分：（注：） 解： 解： 解： 解： 設(shè)，求函數(shù)的微分. 設(shè)，求函數(shù)的微分. 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： 解： 解： 解： 解： 計算不定積分 解：由換元積分法得 求不定積分. 求不定積分. 求不定積分. 求不定積分. 令，則，于是 計算定積分 解：由分部積分法得 計算 解 利用分部積分法得 應(yīng)用題某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為v的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最省？ 解 設(shè)容器的底半徑為，高

10、為，則其表面積為 因為，所以 由，得唯一駐點，此時，由實際問題可知，當?shù)装霃胶透邥r可使 用料最省某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為v的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最?。?解：設(shè)容器的底半徑為，高為，則其表面積為由，得唯一駐點，由實際問題可知，當時可使用料最省，此時，即當容器的 底半徑與高分別為與時，用料最省欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？ 解：設(shè)底長為x，高為h。則： 側(cè)面積為： 令 答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。 用鋼板焊接一個容積為62.5的底部為正方形的水箱（無蓋），問水箱的尺寸如何選擇，可使水箱的表面積最小？ 解 設(shè)水

11、箱的底邊長為，高為，表面積為，且有，所以令，得，因為本問題存在最小值，且函數(shù)的駐點唯一，所以，當時水箱的表面積最小.欲做一個底為正方形，容積為32cm3的長方體開口容器，怎樣做法可使用料最省? 解：設(shè)底邊的邊長為x，高為h，用材料為y，由已知x2 h =32 ,h =32x2 y=x2+4xh=x2+4x。32x2=x2+128x令y=2x-128x2=0，解得x= 4是唯一駐點，易知x= 4是涵數(shù)的極小值點，此時有h=3242= 2, 所以當x= 4(cm), h= 2(cm) 時用料最省.在拋物線y2= 4x上求一點，使其與x軸上的點a(3 ， 0) 的距離最短. 解:設(shè)所求點p(x,y)

12、 ,則x,y 滿足y2=4x. 點p 到點a 的距離之平方為 l= (x-3)2 + y2 = x-32 +4x 令l=2(x-3) 十4=0 ，解得x=l 是唯一駐點，易知x=l 是函數(shù)的極小值點，當x=l 時， y=2 或y= - 2 ，所以滿足條件的有兩個點(1，2) 和(1，一2).圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？ 解：設(shè)園柱體半徑為r，高為h，則體積 一體積為v的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最?。?解：設(shè)園柱體半徑為r，高為h，則體積 答：當 時表面積最大。求曲線上的點，使其到點的距離最短 解：，d為p到a點的距離，則： 。

13、求曲線上的點，使其到點的距離最短 解 曲線上的點到點的距離公式為。 與在同一點取到最小值，為計算方便求的最小值點，將代入得 令得可以驗證是的最小值點，并由此解出，即曲線上的點 和點到點的距離最短在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)解： a r o h e b c設(shè)梯形abcd即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即oe=h，下底cd2r直角三角形aoe中，利用勾股定理得則上底故已知，求a ，b的值。 解：由于，所以必有且可分解為 ，從而有又，得于是有設(shè)，已知在連續(xù)，確定a ，b的值。 解：由已知 而 從而。已知是的原函數(shù)

14、，求.（6分） 解： 由已知 某家電廠在生產(chǎn)一款新冰箱，它確定，為了賣出 新套冰箱，其單價應(yīng)為，同時還確定，生產(chǎn)臺冰箱的總成本可表示為。為使利潤最大，公司必須生產(chǎn)并銷售多少臺冰箱，并求此最大利潤與冰箱的單價。（10分） 解：總收入 總利潤 ，解得，由于，只有一個駐點，所以為最大值。最大利潤為冰箱的單價為某服裝有限公司確定，為賣出 x 套服裝，其單價應(yīng)為 ，同時還確定，生產(chǎn)x 套服裝的總成本可表示成，為使利潤最大，公司必須生產(chǎn)并銷售多少套服裝，并求此最大利潤與服裝的單價。（10分） 解：總收入 總利潤，解得，由于，只有一個駐點，所以為最大值。最大利潤為所需的單價為證明題設(shè)函數(shù) 討論的連續(xù)性。 解：分別對分段點處討論連續(xù)性 （1）所以，即在處不連續(xù)（2）所以即在處連續(xù)由（1）（2）得在除點外均連續(xù)設(shè)，證明： . 解：設(shè)，顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是因為，故有由于，所以 求函數(shù)