2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第2節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教版

1、2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第2節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教版2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第2節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教案 理 新人教版年級(jí)：姓名：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1四個(gè)公理(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面拓展：公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一

2、點(diǎn)有且只有一個(gè)平面推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)o作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：(0，90拓展：異面直線判定的一個(gè)定理過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖所示3空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位

3、置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況4等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)a，就說(shuō)，相交于過(guò)a點(diǎn)的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合()(4)若直線a不平行于平面，且a，

4、則內(nèi)的所有直線與a異面()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()a一定是異面直線b一定是相交直線c不可能是平行直線d不可能是相交直線c由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，與已知a，b為異面直線相矛盾2.如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，則異面直線b1c與ef所成角的大小為()a30b45c60 d90c連接b1d1，d1c(圖略)，則b1d1ef，故d1b1c為所求的角，又b1d1b1cd1c，d1b1c60.3下列命題正確的是()a兩個(gè)平

5、面如果有公共點(diǎn)，那么一定相交b兩個(gè)平面的公共點(diǎn)一定共線c兩個(gè)平面有3個(gè)公共點(diǎn)一定重合d過(guò)空間任意三點(diǎn)，一定有一個(gè)平面d如果兩個(gè)平面重合，則排除a，b兩項(xiàng)；兩個(gè)平面相交，則有一條交線，交線上任取三個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，故排除c項(xiàng)；而d項(xiàng)中的三點(diǎn)不論共線還是不共線，則一定能找到一個(gè)平面過(guò)這三個(gè)點(diǎn)4.如圖，在三棱錐abcd中，e，f，g，h分別是棱ab，bc，cd，da的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)ac，bd滿足條件 時(shí)，四邊形efgh為菱形；(2)當(dāng)ac，bd滿足條件 時(shí)，四邊形efgh為正方形 (1)acbd(2)acbd且acbd(1)四邊形efgh為菱形，efeh，acbd(2)四邊形efgh為正方

6、形，efeh且efeh，efac，ehbd，且efac，ehbd，acbd且acbd 考點(diǎn)一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用 共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明典例1如圖所示，正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab和aa1的中點(diǎn)求證：(1)e，c，d1，f四點(diǎn)共面；(2)ce，d1f，da三線共點(diǎn)證明(1)如圖，連接ef，cd1，a1be，f分別是ab，aa1的中點(diǎn)，efba1.又a1bd1c，efcd1，e，c，d1，f四點(diǎn)共面(2)efcd1，efcd1，ce與d1f必相交，設(shè)交點(diǎn)為p，則由p直線ce，ce平面abcd，得p平面abcd同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直

7、線da，ce，d1f，da三線共點(diǎn)點(diǎn)評(píng)： 本例第(1)問(wèn)的證明應(yīng)用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點(diǎn)必共面的思想；本例第(2)問(wèn)的證明應(yīng)用了公理3，采用先證明ce與d1f相交，再證明交點(diǎn)在直線da上1有下列四個(gè)命題：空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線；空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)共面；空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，則此四點(diǎn)不共面其中真命題的所有序號(hào)有 中，對(duì)于平面四邊形來(lái)說(shuō)不成立，故是假命題；中，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則根據(jù)“直線與直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故是真命題；由的分析可知是真命題；中，平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)

8、不共線，但四點(diǎn)共面，故是假命題2.如圖所示，空間四邊形abcd中，e，f分別是ab，ad的中點(diǎn)，g，h分別在bc，cd上，且bggcdhhc12.(1)求證：e，f，g，h四點(diǎn)共面；(2)設(shè)eg與fh交于點(diǎn)p，求證：p，a，c三點(diǎn)共線證明(1)因?yàn)閑，f分別為ab，ad的中點(diǎn)，所以efbd在bcd中，所以ghbd，所以efgh.所以e，f，g，h四點(diǎn)共面(2)因?yàn)閑gfhp，peg，eg平面abc，所以p平面abc同理p平面adc所以p為平面abc與平面adc的公共點(diǎn)又平面abc平面adcac，所以pac，所以p，a，c三點(diǎn)共線 考點(diǎn)二判斷空間兩直線的位置關(guān)系 空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法典

9、例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()al與l1，l2都不相交bl與l1，l2都相交cl至多與l1，l2中的一條相交dl至少與l1，l2中的一條相交(2)一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：abef；ab與cm所成的角為60；ef與mn是異面直線；mncd以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 (1)d(2)(1)法一：(反證法)由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交若ll1，ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線矛盾故l至少與l1，l2中的

10、一條相交法二：(模型法)如圖，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故a，b不正確；如圖，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故c不正確圖圖(2)如圖，abef，正確；顯然abcm，所以不正確；ef與mn是異面直線，所以正確；mn與cd異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是.點(diǎn)評(píng)：在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問(wèn)題的三種常用便捷方法如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m，n分別為棱c1d1，c1c的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：直線am與cc1是相交直線；直線am與bn是平行直線；直線bn與mb1是異面

11、直線；直線am與dd1是異面直線其中正確結(jié)論的序號(hào)為 直線am與cc1是異面直線，直線am與bn也是異面直線，所以錯(cuò)誤點(diǎn)b，b1，n在平面bb1c1c中，點(diǎn)m在此平面外，所以bn與mb1是異面直線同理am與dd1也是異面直線 考點(diǎn)三異面直線所成的角 1.平移法求異面直線所成角的一般步驟提醒：異面直線所成的角.2坐標(biāo)法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角 典例3(1)(2018全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，abbc1，aa1，則異面直線

12、ad1與db1所成角的余弦值為()abcd(2)四面體abcd中，e，f分別是ab，cd的中點(diǎn)若bd，ac所成的角為60，且bdac1，則ef的長(zhǎng)為 (1)c(2)或(1)法一：(平移法)如圖，連接bd1，交db1于o，取ab的中點(diǎn)m，連接dm，om.易知o為bd1的中點(diǎn)，所以ad1om，則mod為異面直線ad1與db1所成角因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，abbc1，aa1，ad12，dm，db1，所以omad11，oddb1，于是在dmo中，由余弦定理，得cosmod，即異面直線ad1與db1所成角的余弦值為.故選c法二：(補(bǔ)體法)如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的一側(cè)補(bǔ)上一

13、個(gè)相同的長(zhǎng)方體abbaa1b1b1a1.連接b1b，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，b1bad1，所以db1b為異面直線ad1與db1所成的角或其補(bǔ)角連接db，由題意，得db，bb12，db1.在dbb1中，由余弦定理，得db2bbdb2bb1db1cosdb1b，即54522cosdb1b，cosdb1b.故選c法三：(坐標(biāo)法)以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可知d(0,0,0)，a(1,0,0)，d1(0,0，)，b1(1,1，)，所以(1,0，)，(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos，即異面直線ad1與db1所成角的余弦值為，故選c

14、(2)如圖，取bc的中點(diǎn)o，連接oe，of，因?yàn)閛eac，ofbd，所以oe與of所成的銳角(或直角)即為ac與bd所成的角，而ac，bd所成角為60，所以eof60或eof120.當(dāng)eof60時(shí)，efoeof.當(dāng)eof120時(shí)，取ef的中點(diǎn)m，則omef，ef2em2.點(diǎn)評(píng)：(1)平移法和補(bǔ)體法是求兩條異面直線所成角的大小的兩種常用方法，其實(shí)質(zhì)是平行移動(dòng)直線，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想(2)要明確直線所成角的范圍，防止概念不清導(dǎo)致解析不全，如本例(2)1.如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，異面直線ac與a1b所成的角為()a30 b45c60 d90c如圖，連接cd1，ad1則a1bcd1，所以acd1是異面直線ac與a1b所成的角或其補(bǔ)角易知acd1是等邊三角形所以acd160，所以異面直線ac與a1b所成的角為60.故選c2(2017全國(guó)卷)已知直三棱柱abca