2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式 第三講 簡單的線性規(guī)劃學(xué)案新人教版

1、2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式 第三講 簡單的線性規(guī)劃學(xué)案新人教版2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式 第三講 簡單的線性規(guī)劃學(xué)案新人教版年級：姓名：第三講簡單的線性規(guī)劃知識梳理雙基自測知識點(diǎn)一二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)在平面直角坐標(biāo)系中，直線axbyc0將平面內(nèi)的所有點(diǎn)分成三類：一類在直線axbyc_0_上，另兩類分居直線axbyc0的兩側(cè)，其中一側(cè)半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足axbyc_0_，另一側(cè)半平面的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足axbyc_0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線axbyc0某一側(cè)的平面區(qū)域且不含邊界，作圖時(shí)邊界直線畫成_虛線_，當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式axbyc0所表示的平面

2、區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，此時(shí)邊界直線畫成_實(shí)線_.知識點(diǎn)二二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的確定確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法(1)直線定界，即若不等式不含_等號_，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有_等號_，把直線畫成實(shí)線(2)特殊點(diǎn)定域，由于在直線axbyc0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)axbyc的值的符號都_相同_，故為確定axbyc的值的符號，可采用_特殊點(diǎn)法_，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等點(diǎn)由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的_公共部分_.知識點(diǎn)三線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成

3、的_不等式(組)_線性約束條件由x，y的_一次_不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)_解析式_，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的_一次_解析式可行解滿足約束條件的解_(x，y)_可行域所有可行解組成的_集合_最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得_最大值_或_最小值_的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的_最大值_或_最小值_問題1判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的常用結(jié)論把a(bǔ)xbyc0或axbyckxb或ykxb，則區(qū)域?yàn)橹本€axbyc0上方(2)若y0表示的平面區(qū)域一定在直線axbyc0的上方()(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線axbyc0同側(cè)的充要條件

4、是(ax1by1c)(ax2by2c)0，異側(cè)的充要條件是(ax1by1c)(ax2by2c)0.()(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy0表示()(5)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解()(6)目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()題組二走進(jìn)教材2(必修5p86t3改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(c)解析x3y60表示直線x3y60左上方部分，xy20表示直線xy20及其右下方部分故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)c所示部分3(必修5p91練習(xí)t1(1)改編)已知x，y滿足約束條件則z2xy1的最大值、最小值分別是(c)a3，3

5、b2，4c4，2d4，4解析作出可行域如圖中陰影部分所示a(2，1)，b(1，1)，顯然當(dāng)直線l：z2xy1經(jīng)過a時(shí)z取得最大值，且zmax4，當(dāng)直線l過點(diǎn)b時(shí)，z取得最小值，且zmin2，故選c題組三走向高考4(2020浙江，3,4分)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是(b)a(，4b4，)c5，)d(，)解析由約束條件畫出可行域如圖易知zx2y在點(diǎn)a(2,1)處取得最小值4，無最大值，所以zx2y的取值范圍是4，)故選b5(2019北京)若x，y滿足則yx的最小值為_3_，最大值為_1_.解析由線性約束條件畫出可行域，為圖中的abc及其內(nèi)部易知a(1，1)，b(2，1)，c(2

6、,3)設(shè)zyx，平移直線yx0，當(dāng)直線過點(diǎn)c時(shí)，zmax321，當(dāng)直線過點(diǎn)b時(shí)，zmin123.考點(diǎn)突破互動(dòng)探究考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域自主練透例1 (1)(2021鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，滿足不等式組的點(diǎn)(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的(c)(2)(2021四川江油中學(xué)月考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足線性約束條件則其表示的平面區(qū)域的面積為(d)abc9d(3)若不等式組表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，則a的取值范圍是(d)aab0a1c1ad0a1或a解析(1)|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y軸的兩個(gè)區(qū)域；|x|1表示x1所夾含y軸的區(qū)域故選c(2)線性

7、約束條件所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中a(0,3)，b，c(3,0)，s|ab|oc|3，故選d(3)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示且作l1：xy0，l2：xy1，l3：xy.由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動(dòng)直線l：xya在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)即a的取值范圍是00)最大值為5，取到最大值時(shí)的最優(yōu)解是唯一的，則a的取值是(c)abcd1(2)變量x，y滿足約束條件若z2xy的最大值為2，則實(shí)數(shù)m等于(c)a2b1c1d2解析(1)線性約束條件可化為作可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)zaxy可化為yaxz，因

8、為yaxz表示斜率為a的直線，且a0，由圖形可知當(dāng)yaxz經(jīng)過點(diǎn)c時(shí)，z取到最大值，這時(shí)點(diǎn)c坐標(biāo)滿足解得c點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)，代入zaxy得到a.故選c(2)解法一：當(dāng)m0時(shí)，可行域(示意圖m0時(shí)，可行域(示意圖)如圖中陰影部分所示若m2，則當(dāng)直線z2xy過原點(diǎn)時(shí)，z最大，此時(shí)z0，不合題意(故選c)若0m2，則當(dāng)直線z2xy過點(diǎn)a時(shí)z取最大值2，由得即a.2，解得m1.故選c解法二：畫出約束條件的可行域，如圖，作直線2xy2，與直線x2y20交于可行域內(nèi)一點(diǎn)a(2,2)，由題知直線mxy0必過點(diǎn)a(2,2)，即2m20，得m1.故選c引申在本例(1)的條件下，若zaxy的最大值為4a3，則a

9、的取值范圍是_.名師點(diǎn)撥求參數(shù)的值或范圍：參數(shù)的位置可能在目標(biāo)函數(shù)中，也可能在約束條件中求解步驟為：注意對參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來；在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解也可以直接求出線性目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過各頂點(diǎn)時(shí)對應(yīng)參數(shù)的值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)，找出符合題意的參數(shù)值角度3線性規(guī)劃中無窮多個(gè)最優(yōu)解問題例4 x，y滿足約束條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值一定為(c)a1bc1或2d2或分析利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，即目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與可行域的邊界重合解析作出可行域(如圖)，為abc內(nèi)部(含邊界)由題設(shè)zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一可知：線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線與

10、可行域某一邊界重合由kab1，kac2，kbc可得a1或a2或a，驗(yàn)證：a1或a2時(shí)，成立；a時(shí)，不成立故選c引申若zyax取得最小值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為_.變式訓(xùn)練1(1)(角度1)(2020課標(biāo)，5分)若x，y滿足約束條件則zx7y的最大值為_1_.(2)(角度2)(2021福建莆田模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，且目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值為2，則實(shí)數(shù)m_2_.(3)(角度3)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若使得axy取得最小值的可行解有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為_1或_.解析(1)作出可行域如圖，由zx7y得y，易知當(dāng)直線y經(jīng)過點(diǎn)a(1,0)時(shí)，z取得最大值，zmax1701.(2)由線性約束

11、條件畫出可行域(如圖所示)，目標(biāo)函數(shù)zxy的最大值為2，由圖形知zxy經(jīng)過平面區(qū)域的a時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2，由，解得a(2,0)，2m0，則m2，故答案為2.(3)作出可行域如圖中陰影部分所示，記zaxyyaxz.當(dāng)直線yaxz縱截距最大時(shí)，z最小，此時(shí)a1或.考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用師生共研例5 (2020試題調(diào)研)某研究所計(jì)劃利用“神舟十一號”飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載試驗(yàn)，計(jì)劃搭載若干件新產(chǎn)品a，b，要根據(jù)產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載試驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)收益來決定具體安排，通過調(diào)查，搭載每件產(chǎn)品有關(guān)數(shù)據(jù)如表：因素產(chǎn)品a產(chǎn)品b備注研制成本、搭載試驗(yàn)費(fèi)用之和(萬元)2030計(jì)劃最大投資金額300萬元產(chǎn)

12、品重量(千克)105最大搭載質(zhì)量110千克預(yù)計(jì)收益(萬元)8060則使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大時(shí)，a，b兩種產(chǎn)品的搭載件數(shù)分別為(a)a9,4b8,5c9,5d8,4解析設(shè)“神舟十一號”飛船搭載新產(chǎn)品a，b的件數(shù)分別為x，y，最大收益為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z80x60y.根據(jù)題意可知，約束條件為不等式組所表示的可行域?yàn)閳D中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線l，顯然直線l過點(diǎn)m時(shí)，z取得最大值由解得故m(9,4)所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為zmax809604960，此時(shí)搭載產(chǎn)品a有9件，產(chǎn)品b有4件故選a名師點(diǎn)撥利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一般步驟(1)審題：仔細(xì)閱讀，明確題意，借助表格或

13、圖形理清變量之間的關(guān)系(2)設(shè)元：設(shè)問題中要求其最值的量為z，起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x，y，并列出約束條件，寫出目標(biāo)函數(shù)(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，確定最優(yōu)解(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋?zhàn)兪接?xùn)練2(2016全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品a和產(chǎn)品b需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品a需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品b需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品a的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品b的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)

14、工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品a、產(chǎn)品b的利潤之和的最大值為_216 000_元解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品a x件，產(chǎn)品b y件，依題意，得設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品a，產(chǎn)品b的利潤之和為z元，則z2 100x900y.畫出可行域(如圖)，易知最優(yōu)解為則zmax216 000.名師講壇素養(yǎng)提升非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題例6 (1)(2016江蘇高考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是_.(2)(2021河南中原名校質(zhì)量考評)若方程x2ax2b0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則的取值范圍是(d)abcd分析(1)本題中x2y2的幾何意義是點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離的平方，不能遺漏平方(2)表示點(diǎn)(a，b)

15、與(2,3)連線的斜率k，根據(jù)題意列出a、b應(yīng)滿足的約束條件，在此約束條件下求k的取值范圍即可解析(1)不等式組所表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)(0,2)，(1,0)，(2,3)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，如圖所示因?yàn)樵c(diǎn)到直線2xy20的距離為，所以(x2y2)min，又當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(2,3)時(shí)，x2y2取得最大值13，故x2y2的取值范圍是.(2)記f(x)x2ax2b，則由題意知即作出可行域如圖中陰影部分所示由得c(3,1)，顯然a(1,0)，b(2,0)表示點(diǎn)(a，b)與點(diǎn)(2,3)連線的斜率，由圖可知當(dāng)(a，b)取(1,0)時(shí)，1；當(dāng)(a，b)取(3,1)時(shí)，的取值范圍是，故選d引申在本例(1

16、)條件下：x2(y1)2的最小值為_2_；的取值范圍是_；的取值范圍是_.解析由圖可知當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(1,0)時(shí)，x2(y1)2取最小值2；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1，1)連線的斜率由圖可知當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(1,0)時(shí)，取最小值，當(dāng)(x，y)取點(diǎn)(0,2)時(shí)，取最大值3，的取值范圍是.12，表示(x，y)與點(diǎn)(3,1)連線的斜率，解得b(2,3)由圖可知(x，y)取(1,0)時(shí)，取最小值，(x，y)取點(diǎn)(2,3)時(shí)，取最大值.的取值范圍是.名師點(diǎn)撥非線性目標(biāo)函數(shù)最值的求解(1)對形如z(xa)2(yb)2型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)間距離的平方的最值問題(2)對形如z(ac0)型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)連線的斜率的倍的取值范圍、最值等(3)對形如z|axbyc|型的目標(biāo)函數(shù)，可先求z1axby的取值范圍，進(jìn)而確定z|axbyc|的取值范圍，也可變形為z的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線axbyc0的距離的倍的最值，或先求z1axbxc的取值范圍，進(jìn)而確定z|axbyc|的取值范圍變式訓(xùn)練3(1)(2021百校聯(lián)