混沌時間序列分析理論與方法

1、混沌時間序列分析理論與方法 主講人：楊 磊 內(nèi)容安排 混沌基本概念介紹 混沌識別方法 混沌序列相空間重構理論 1.混沌基本概念介紹 1.1 混沌的起源和發(fā)展 牛頓經(jīng)典力學表明，力學系統(tǒng)服從確定的 規(guī)律。即當初始條件確定后，力學系統(tǒng)就將按 確定的軌道運動。在我們?nèi)粘＝?jīng)驗中，事物的 一般重復現(xiàn)象很明顯。這些現(xiàn)象似乎表明我們 的世界是規(guī)則、和諧、有序的，自然現(xiàn)象的變 化是周期的、重復的。 1963年美國氣象學家洛倫茲發(fā)現(xiàn)大氣變化 的非周期性，天氣預報難就難在天氣變化不是 周期性的。 混沌理論把混沌描述為無序的，非周期 性的現(xiàn)象。自從科學家不懈地探索自然規(guī) 律以來，無序、非周期性現(xiàn)象就一直被忽 略。自

2、然界中不規(guī)則的方面、不連續(xù)和不 穩(wěn)定的方面，一直是科學的難題，是無法 理解的怪物?？茖W家常常把它們當做噪聲 或科學垃圾扔掉。而混沌不同于噪聲，有 其自身的規(guī)律。這正是科學家所要研究的 1.2混沌的定義 非線性確定性系統(tǒng)中, 由于系統(tǒng)內(nèi)部非線性 相互作用而產(chǎn)生的一種非周期的行為 對初始狀態(tài)敏感，表現(xiàn)似周期、非周期和 不可預報性的過程 在確定性的非線性動態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的貌似 隨機的、不能預測的運動。 對初始條件敏感的非線性確定性系統(tǒng)的動 態(tài)，具有正的李雅普諾夫指數(shù)。 1.3混沌運動的特點 對于初值條件的極端敏感依賴性 該特征是指混沌不可無限預測，即使 初始狀態(tài)極為靠近的兩點，隨著時間也會 呈指數(shù)函數(shù)

3、擴大。 非周期性表明混沌的非線性和無序性 存在奇異吸引子 吸引子是指相空間中的一點集或一個 子空間，隨著時間的流逝，在暫態(tài)消亡后 所有軌跡都趨向與它。 對確定性系統(tǒng)來說，吸 引子維數(shù)為整數(shù)，但混 沌吸引子的維數(shù)卻是分 數(shù)，所以稱為奇異吸引 子。 右上1：單擺吸引子 右下2：Lorenz奇異吸引 子 2.混沌識別 混沌識別主要包括定性和定量兩種方法，定 性方法主要通過揭示混沌信號在時域或頻域中表 現(xiàn)出的特殊空間結構或頻率特性來判別，這種方 法簡單直觀，但是過于籠統(tǒng)。 定量方法通過計算混沌信號奇異吸引子的特 性參數(shù)來辨別混沌行為的方法。主要有兩個： (1)描述鄰近軌道發(fā)散率的Laypunov指數(shù)

4、(2)描述吸引子維數(shù)的關聯(lián)維數(shù)和反映信息產(chǎn)生 頻率的Kolmogorov熵 2.1Lyapunov指數(shù) 混沌系統(tǒng)初值敏感性是指相空間中初始距離 很近的兩條軌跡會以指數(shù)速率發(fā)散，Lyapunov 指數(shù)即是根據(jù)相軌跡有無擴散運動特征來判別系 統(tǒng)的混沌特性。在相空間中，軌跡間的距離分別 表現(xiàn)為線度、面積和體積。 對一維映射x(t+1) = fx(t),假設初始位置x(t0) 附近有一 ,則經(jīng)過n次迭代后，有 所以 ( 0)( 0)x tx t (1)(1) ( )( )x tnx tnf x tnx tn ( )( ) ( )f x tnx tn f x tn (1)( ) ( )xtnxtn f

5、xtn Lyapunov定義：設相軌跡上兩點之間的初始距 離為 ，用 表示經(jīng)過n次迭代后該兩點之 間的距離，有 則稱 為系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)。 當 時，系統(tǒng)具有混沌特征。 |( 0)|x t|( )|x tn 1 0 |( )| |( 0)| ( )| |( 0)| n tn i x tnx tf x tix te 1 0 1 limln | ( )| n tn i fx ti tn 0 2.1.1Lyapunov求解原理 在實際動力學混沌識別中，通常只估計最大Lyapunov 指數(shù)，下面介紹一種算法 小數(shù)據(jù)量法。 設混沌時間序列x1,x2,xN,嵌入維數(shù)m，時間延遲 ，重構相空間后有：

6、其中N=M+(m-1) ,在重構向空間后，尋找給 定軌道上每個點的最近鄰點，即 (1) ( )( ,.,)(1,2,.,) n iiiim Y tx xxR iM (0)min| jj j X dYY |jjp 其中p為時間序列的平均周期，則最大Lyapunov 指數(shù)就可以通過基本軌道上每個點的最近鄰點的平均 發(fā)散速率估計出來： 其中 為樣本周期,dj(i)是基本軌道上第j對最近鄰 點對經(jīng)過i個離散時間步長后的距離。最大Lyapunov 指數(shù)的幾何意義是量化初始閉軌道的指數(shù)發(fā)散和估計 系統(tǒng)的總體混沌水平的量。因此，結合上式有： 1 1 ( ) 11 ( )ln ()(0) Mi j j j d

7、i i i t Mid t 1( ) (),(0) t jjjj d iCeCd 將上式兩邊取對數(shù)可得： 最大Lyapunov指數(shù)相當于上面這組直線的斜率， 通 過 最 小 二 乘 法 逼 近 這 組 直 線 得 到 ： 其中 表示所有關于j的平均值。 1 ln( )ln(),(1,2,.,) jj d iCi tjM 1 ( )ln( ) j y idi t 2.1.2算法實現(xiàn)及計算步驟 計算延遲時間 、嵌入維數(shù)m、平均周期p； 根據(jù)時間延遲 、嵌入維數(shù)m重構相空間: 找相空間中每個點 的最近鄰點 ，并限制短 暫分離，即 對相空間中每個點 計算出該鄰點對的i個離散 時間步后的距離 ,1,2,

8、., j YjM (0)min| jj j X dYY |jjp ( ) |,1,2,.,min(,) jj i j i d iYYiMj Mj (5)對每個i，求出所有j的 平均y(i)，即: 其中，q為非零 的數(shù)目，并用最小二乘法做 出回歸直線，該直線斜率就是最大的Lyapunov 指數(shù)。 ln( ) j di 1 1 ( )ln( ) q j j y id i q t ( ) j di 2.2Kolmogorov熵 Kolmogorov熵K在混沌的度量中有著相 當重要的應用。對于規(guī)則運動，K=0; 隨機 系統(tǒng)K=無窮，若系統(tǒng)表現(xiàn)確定性混沌 ， 則 Kolmogorov熵是大于0的常數(shù)。K

9、olmogorov 熵越大，那么信息的損失速度越大，系統(tǒng)的 混沌程度越大。 Kolmogorov的計算 在某一嵌入維i下，在 關系的無標度區(qū) 間內(nèi)，記: 在式中i為嵌入維數(shù)，j為在某一嵌入維數(shù)i下，無 標度區(qū)間內(nèi)滿足線性關系的點的角標。根據(jù)上式 有: 在上式中a=D2,且在嵌入維i和i+m下，有: 2 22 loglog( ) d lC l 2 log ijij xl 2 2 log( ) ijdij yCl ijij yaxbi lim i bi K m 其中 。按最小二乘法思想，要得到 a，bi的最優(yōu)估計 ， ，要求殘差平方和 達到最小，因此，由二元函數(shù)取極值的必 要條件得到 iii m

10、bb b a b 2 ( , )() iijiji ij Q a byaxb 2()0 ijijiij ij Q yaxb x a 2()0 ijiji j i Q yaxb b 求解上式得： 其中 ni為嵌入維為i時，無標度區(qū)間內(nèi)滿足線性關系的 點的個數(shù) 2 ()() () ijiiji xyij xx iji ij xxyy l a l xx 1 iij j i xx n 1 iij j i yy n 3.混沌相空間重構理論 相空間重構是對一維時間序列，按照 延遲時間和嵌入維數(shù)重構一個與原動力系 統(tǒng)等價的相空間，而重構后的相空間可以 進行混沌的判定、分析及預測。即在重構 過程中有兩個參數(shù)選

11、取特別重要延遲 時間和嵌入維數(shù)。 3.1延遲時間計算 C-C法計算延遲時間: 我們定義： 指時間序列的采樣間隔， 指時間序列的最優(yōu)延時， 指延遲時間窗 口， 是平均軌道周期 ， 為時間延 遲的數(shù)值，m是嵌入維數(shù)，N是數(shù)據(jù)組的大小， 數(shù)據(jù)點數(shù)位 ，則重構相空間中嵌入時 間序列Y(i)的關聯(lián)積分定義為： s ds t (1) wd m p () wp () t (1)MNm 1 i j 2 ( , , )() (1) ij M C m N r trd M M 其中 關聯(lián)積分是一個累積分布函數(shù)，表示相空間 中任意兩點之間距離小于半徑r的概率，這里點與 點之間的距離用矢量之差的無窮范數(shù)表示。定義 檢測

12、統(tǒng)計量為 上式在實際計算時，需要先把時間序列x(n) 拆分為t個不相交的子序列，長度均為： ， t為重構時延： 0 ,0 1,0 0,| ,() Z ijijZ rdYYZ 1( , , , )( , , )(1, , ) m S m N r tC m N r tCN r t / s NN t 然后將上式采用分塊平均策略，計算每個 序列的S(m,N,r,t)為： 1 111 2 222 2 ,., ,., . ,., tN t tN t t ttN Xx xx Xx xx Xx xx 2 1 1 ( , , )( , , )(1, , ) t m ss s NN S m N r tC mr t

13、Cr t ttt 對于延遲時間Td的確定：S(m,N,r,t)的 第一個零點對應的t或者下式中的第一個極 小值點對應的t 在實際計算過程中我們常選取：N=3000， m=2,3,4,5, ,i=1,2,3,4 222 ( , )max( , , )min( , ) j S m tS m r tS m r t /2 i ri 上述方程中，第一個方程的第一個零點和第 二個方程的第一個極小值點即為最優(yōu)延遲時 間，第三個方程全局最小值為時間窗口長度 54 22 21 5 22 2 222 1 ( )(, , ) 16 1 ( )(, ) 4 ( )( )|( ) | mj m cor StSm r t StSm t StStSt 3.2嵌入維數(shù)計算 G-P算法的主要步驟 (1)利用時間序列X1,X2,XN,先給定一個較小的嵌入維數(shù) m0,重構相空間，得到新的序列Yi (2)計算關聯(lián)積分C(r) (3)對于r的某個取值范圍，吸引子的維數(shù)d與累積分布函數(shù) C(r)應滿足對數(shù)線性關系，即d(m)=LnC(r)/Lnr,從而可用最 小二乘擬合得到對應于m0的關聯(lián)維數(shù)估計d(m0) (4)增加嵌入維數(shù)m0,重新計算步驟(2)和(3),直到相應的維數(shù) 估計值d(