2022高考數(shù)學一輪復習 高考大題專項三角函數(shù)與解三角形學案北師大版

1、2022高考數(shù)學一輪復習 高考大題專項三角函數(shù)與解三角形學案北師大版2022高考數(shù)學一輪復習 高考大題專項三角函數(shù)與解三角形學案北師大版年級：姓名：三角函數(shù)與解三角形高考大題專項(二)三角函數(shù)與解三角形考情分析從近五年的高考試題來看,高考對三角函數(shù)與解三角形的考查都呈現(xiàn)出較強的規(guī)律性,每年的題量和分值要么三個小題共15分,要么一個小題和一個大題共17分.在三個小題中,分別考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角變換、解三角形;在一個小題和一個大題中,小題要么考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),要么考查三角變換,大題考查的基本是解三角形.必備知識預案自診知識梳理1.三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換:特別是

2、“1”的代換,1=sin2+cos2=tan 45.(2)角的配湊:如=(+)-,2=(+)+(-),=12(+)+(-).(3)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2.解三角形的公式變形(1)正弦定理asina=bsinb=csinc的一些變式:abc=sin asin bsin c;sin a=a2r,sin b=b2r,sin c=c2r;a=2rsin a,b=2rsin b,c=2rsin c.其中r是abc外接圓的半徑.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccos a的變形為cos a=b2+c2-a22bc.當b2+c2-a20(=

3、0,bsin asin bab.關鍵能力學案突破考點三角函數(shù)與三角變換的綜合【例1】已知函數(shù)f(x)=4sin xcosx-3-3.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)f(x)圖像的對稱軸和對稱中心.解題心得1.解決三角變換在三角函數(shù)圖像與性質(zhì)中的應用的基本思路:通過變換把函數(shù)化為y=asin(x+)的形式再研究其性質(zhì),解題時注意觀察角、名、結構等特征,注意利用整體思想解決相關問題.2.三角變換的總體思路是化異為同,目的是通過消元減少未知量的個數(shù).如把三角函數(shù)式中的異名、異角、異次化為同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通過三角變換化成已知角.對點訓練1(2020北京順

4、義一模,16)函數(shù)f(x)=sin xcos x-3sin2x+32(0)的部分圖像如圖所示.(1)求的值;(2)求f(x)在區(qū)間-3,3上的最大值與最小值及對應的x的值.考點利用正、余弦定理解三角形【例2】(2020河南駐馬店二模,文18)a,b,c分別為abc內(nèi)角a,b,c的對邊.已知a=3,csin c=asin a+bsin b,且b=60.(1)求abc的面積;(2)若d,e是bc邊上的三等分點,求sindae.解題心得在三角形中,已知兩角一邊能應用正弦定理求其余的邊;已知兩邊及其夾角求夾角的對邊或已知兩邊及一邊的對角求另一邊都能直接利用余弦定理求解.對點訓練2(2020東北三省四市

5、模擬,理17)在abc中,m為bc邊上一點,bam=45,cos amc=55.(1)求sin b;(2)若mc=12bm,ac=4,求mc.考點三角函數(shù)與解三角形的綜合【例3】(2020“四省八?！辟|(zhì)檢三,理18)已知向量m=(-2,sin 2x),n=(cos2x,3),且函數(shù)f(x)=mn.(1)求f(x)的最小正周期及對稱中心;(2)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,角a為銳角,a=7,若f12a+12+1=73bsin c,且abc的面積為332,求abc的周長.解題心得對于在三角形中求解有關三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的題目,時刻不要忘記對角的范圍的限制,特別是求三角函數(shù)

6、值的范圍或最值時,先要把自變量的取值范圍求出來,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值的范圍.對點訓練3(2020山東煙臺模擬,17)已知函數(shù)f(x)=1-23sin xcos x-2cos2x+m在r上的最大值為3.(1)求m的值及函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間;(2)若在銳角三角形abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c且f(a)=0,求bc的取值范圍.考點三角變換與解三角形的綜合【例4】(2020天津,16)在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知a=22,b=5,c=13.(1)求角c的大小;(2)求sin a的值;(3)求sin2a+4的值.解題心得在含有邊角關系的等式中,利用正

7、弦定理的變形a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,可直接將等式兩邊的邊化為角;也能利用余弦定理的變形如cosa=b2+c2-a22bc將角化為邊.在三角形中利用三角變換求三角式的值時,要注意角的范圍的限制.還有隱含條件:a+b+c=,使用這個隱含條件可以減少未知數(shù)的個數(shù).對點訓練4(2020全國1,文18)abc的內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c.已知b=150.(1)若a=3c,b=27,求abc的面積;(2)若sin a+3sin c=22,求c.考點三角函數(shù)、三角變換與解三角形的綜合【例5】(2020全國2,理17)abc中,sin2a-sin2b-sin2c=sin

8、 bsin c.(1)求a;(2)若bc=3,求abc周長的最大值.解題心得關于三角函數(shù)、三角變換與解三角形的綜合題的解題思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某個量作為下面問題的已知量,然后利用三角變換,將所求的量化為f(x)=asin(x+)或f(x)=acos(x+)的形式,最終求出結果.對點訓練5(2020浙江,18)在銳角abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,已知2bsin a-3a=0.(1)求角b的大小;(2)求cos a+cos b+cos c的取值范圍.1.在歷年的高考試題中,三角中的解答題一般考查簡單三角函數(shù)式的恒等變形、解三角形,有時也考查正弦定理、余弦定理的實際

9、應用.特別是涉及解三角形的問題,經(jīng)常出現(xiàn)的題型有:正弦定理、余弦定理與三角變換的綜合;正弦定理、余弦定理與三角形面積的綜合;正弦定理、余弦定理與三角變換及三角形面積的綜合.把握住高考命題規(guī)律,有針對性的訓練是提高成績的有效措施.2.三角恒等變換和解三角形的結合,一般有兩種類型:一是先利用三角函數(shù)的平方關系、和角公式等求符合正弦定理、余弦定理中的邊與角,再利用正弦定理、余弦定理求值;二是先利用正弦定理、余弦定理確定三角形的邊與角,再代入到三角恒等變換中求值.具體解題步驟如下:第一步,利用正(余)弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化;第二步,利用三角恒等變換求邊與角;第三步,代入數(shù)據(jù)求值;第四步,查看關鍵點、易錯點

10、.3.解三角形的問題總體思路就是轉(zhuǎn)化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多種表達形式及公式的靈活應用.高考大題專項(二)三角函數(shù)與解三角形關鍵能力學案突破例1解(1)f(x)=4sinxcosx-3-3=4sinx12cosx+32sinx-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-3.令2k-22x-32k+2(kz),得k-12xk+512(kz),所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為k-12,k+512(kz).令2k+22x-32k+32(kz),得k+512xk+1112(kz),所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為k+

11、512,k+1112(kz).(2)令2x-3=k+2(kz),得x=k2+512(kz),所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x=k2+512(kz).令2x-3=k(kz),得x=k2+6(kz),所以函數(shù)f(x)的對稱中心為k2+6,0(kz).對點訓練1解(1)由f(x)=sinxcosx-3sin2x+32(0),則f(x)=122sinxcosx-32(1-cos2x)+32=12sin2x+32cos2x=sin2x+3(0),由三角函數(shù)的圖像可知t=256-3=,所以t=22=,解得=1.(2)由(1)可得f(x)=sin2x+3(0),因為-3x3,所以-32x+3,當2x+3=2

12、,即x=12時,函數(shù)f(x)max=1;當2x+3=-3,即x=-3時,函數(shù)f(x)min=-32.例2解(1)abc中,由csinc=asina+bsinb,利用正弦定理得c2=a2+b2,所以abc是直角三角形.又a=3,b=60,所以b=atan60=33,所以abc的面積為s=12ab=932.(2)設d靠近點b,則bd=de=ec=1.ae=b2+ce2=27,ad=b2+cd2=31,所以cosdae=ae2+ad2-de22aead=29217434.所以sindae=1-cos2dae=3651434.對點訓練2解(1)cosamc=55,sinamc=255,sinb=sin

13、(amc-bam)=sinamccosbam-cosamcsinbam=25522-5522=1010.(2)mc=12bm,設mc=x,bm=2x,在abm中,由正弦定理得bmsin45=amsinb,2x22=am1010,am=255x.ac2=am2+mc2-2ammccosamc,42=45x2+x2-2255xx55.解得x=4,即mc=4.例3解(1)由題知,f(x)=mn=-2cos2x+3sin2x=-1-cos2x+3sin2x=2sin2x-6-1,由t=2=22=,故最小正周期為.由2x-6=k,kz,x=12+k2,kz,f(x)的對稱中心為12+k2,-1,kz.(

14、2)由于f12a+12+1=2sina+6-6-1+1=2sina,故2sina=73bsinc,則2a=73bc,又a=7,解得bc=6.sabc=12bcsina=332,解得sina=32,故a=3或a=23(舍去).由余弦定理a2=b2+c2-2bccosa,則7=b2+c2-1212,化簡得b2+c2=13,(b+c)2-2bc=13,b+c=5,abc的周長為a+b+c=5+7.對點訓練3解(1)f(x)=1-23sinxcosx-2cos2x+m=-(3sin2x+cos2x)+m=-2sin2x+6+m,由已知2+m=3,得m=1,所以f(x)=-2sin2x+6+1.令2k+

15、22x+62k+32,kz,得k+6xk+23,kz,所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為k+6,k+23,kz.(2)由(1)知-2sin2a+6+1=0,所以sin2a+6=12,由0a2,得62a+676,所以2a+6=56,解得a=3.bc=sinbsinc=sin3+csinc=32cosc+12sincsinc=32tanc+12.因為abc為銳角三角形,所以0c2,0b=23-c2,解得6c33,所以12bc2,即bc的取值范圍為12,2.例4解(1)在abc中,由余弦定理及a=22,b=5,c=13,可得cosc=a2+b2-c22ab=22.又因為c(0,),所以c=4.(2)在ab

16、c中,由正弦定理及c=4,a=22,c=13,可得sina=asincc=21313.(3)由ac及sina=21313,可得cosa=1-sin2a=31313,進而sin2a=2sinacosa=1213,cos2a=2cos2a-1=513.所以sin2a+4=sin2acos4+cos2asin4=121322+51322=17226.對點訓練4解(1)由題設及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos150,解得c=-2(舍去)或c=2.從而a=23.abc的面積為12232sin150=3.(2)在abc中,a=180-b-c=30-c,所以sina+3sinc=sin(30-c)+3sinc=sin(30+c).故sin(30+c)=22.而0c30,所以30+c=45,故c=15.例5解(1)由正弦定理和已知條件得bc2-ac2-ab2=acab.由余弦定理得bc2=ac2+ab2-2acabcosa.由得cosa=-12.因為0a,所以a=23.(2)由正弦定理及(1)得acsinb=absinc=bcsina=23,從而ac=23sinb,ab=23sin(-a-b)=3cosb-3s