大學(xué)物理質(zhì)點動力學(xué)

1、 2 1 牛牛 頓頓 定定 律律 第二章第二章 牛牛 頓頓 定定 律律 一一 牛頓第一定律牛頓第一定律 任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài)任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài),直到外直到外 力迫使它改變運動狀態(tài)為止力迫使它改變運動狀態(tài)為止. 慣性慣性: 物體都具有保持其運動狀態(tài)不變的性質(zhì)物體都具有保持其運動狀態(tài)不變的性質(zhì),物體慣物體慣 性的大小反映了物體改變運動的難易程度性的大小反映了物體改變運動的難易程度. 力力: 使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因 二二 牛頓第二定律牛頓第二定律 動量為動量為 的物體的物體,在合外力在合外力 的作用下的作用下,其動量其動量

2、p )( i FF 隨時間的變化率等于作用于物體的合外力隨時間的變化率等于作用于物體的合外力,即即 dt pd F dt vmd)( 物體運動速度物體運動速度 遠小于光速遠小于光速c: dt vd mF 或或 amF (1) 只適用于質(zhì)點的運動只適用于質(zhì)點的運動 (2) 合外力與加速度之間的關(guān)系是瞬時關(guān)系合外力與加速度之間的關(guān)系是瞬時關(guān)系 (3) 在直角坐標系中在直角坐標系中: yy maF zz maF xx maF (4) 質(zhì)點在平面上作曲線運動質(zhì)點在平面上作曲線運動,在自然坐標系中在自然坐標系中: dt dw m dt dv mmaF 2 2 wm v mmaF nn A a n 三三

3、牛頓第三定律牛頓第三定律 兩個物體之間的作用力兩個物體之間的作用力 和反作用力和反作用力 , 沿同一直線沿同一直線,大小相等大小相等,方向相反方向相反,分別作分別作 用在兩個物體上用在兩個物體上. F F (1) 作用力和反作用力同時產(chǎn)生作用力和反作用力同時產(chǎn)生,同時存在同時存在,同時消失同時消失. (2) 作用力和反作用力分別作用在兩個物體上作用力和反作用力分別作用在兩個物體上. (3) 作用力和反作用力總是屬于同種性質(zhì)的力作用力和反作用力總是屬于同種性質(zhì)的力. 2 2 物理量的單位和量綱物理量的單位和量綱 1、三個基本量三個基本量：長度長度 單位：米單位：米 （m） L 質(zhì)量質(zhì)量 單位：千

4、克單位：千克 （kg） M 時間時間 單位：秒單位：秒 （ s ） T 2、導(dǎo)出量導(dǎo)出量：其他由基本量表示的力學(xué)物理量都稱為：其他由基本量表示的力學(xué)物理量都稱為 導(dǎo)出量，表示為：導(dǎo)出量，表示為： rqp TMLQ dim 量綱式量綱式 2 - 3 幾種常見的力幾種常見的力 （1）萬有引力：）萬有引力：任何兩個物體間都存在著互相作用的任何兩個物體間都存在著互相作用的 吸引力稱為萬有引力。其數(shù)學(xué)表達式為：吸引力稱為萬有引力。其數(shù)學(xué)表達式為： 2 21 r mm GF 地面上或地面附近的物體所受地球的引力叫重力地面上或地面附近的物體所受地球的引力叫重力 mg ， 2 地 地 R Gm g （2）彈性

5、力：）彈性力：直接接觸的物體間由于形變而產(chǎn)生的力。直接接觸的物體間由于形變而產(chǎn)生的力。 如繩子張力，兩物體互相接觸時的正壓力與支持力、彈如繩子張力，兩物體互相接觸時的正壓力與支持力、彈 簧的彈力（簧的彈力（ ）。）。kxF （3）摩擦力：）摩擦力：當兩物體的接觸面間有相對滑動或相當兩物體的接觸面間有相對滑動或相 對滑動趨勢時，在接觸面的切向上產(chǎn)生阻礙物體相對對滑動趨勢時，在接觸面的切向上產(chǎn)生阻礙物體相對 運動的力。摩擦力可分為靜摩擦力和滑動摩擦力運動的力。摩擦力可分為靜摩擦力和滑動摩擦力 NfNfff kkssss ， maxmax 0 例：例：一只貓?zhí)饋硐胱プ∫桓镁€吊在天花板上的垂直一只

6、貓?zhí)饋硐胱プ∫桓镁€吊在天花板上的垂直 桿子，在此時線斷了。假使此貓沿著垂直桿子繼續(xù)上爬，桿子，在此時線斷了。假使此貓沿著垂直桿子繼續(xù)上爬， 向上爬的快慢正好使貓離地的高度保持不變，試問該桿向上爬的快慢正好使貓離地的高度保持不變，試問該桿 向下運動的加速度比向下運動的加速度比 g 大還是比大還是比 g ??？（貓的質(zhì)量為?。浚ㄘ埖馁|(zhì)量為M， 桿的質(zhì)量為桿的質(zhì)量為m） 答：貓要能向上爬，必定要用爪用力地向下蹬桿子，答：貓要能向上爬，必定要用爪用力地向下蹬桿子， 桿產(chǎn)生一個反作用力桿產(chǎn)生一個反作用力N，作用在貓身上，現(xiàn)在貓相對地，作用在貓身上，現(xiàn)在貓相對地 面高度不變時，即保持靜止，作用在貓身上的

7、合力為面高度不變時，即保持靜止，作用在貓身上的合力為 零，所以零，所以N應(yīng)等于重力應(yīng)等于重力 Mg 。 式中，式中， 為靜摩擦力；為靜摩擦力； 為最大靜摩擦力；為最大靜摩擦力； 為滑動為滑動 摩擦力；摩擦力；N為正壓力；為正壓力； 為靜（滑動）摩擦系數(shù)。為靜（滑動）摩擦系數(shù)。 s k s f maxs f k f 既然桿有力既然桿有力N作用在貓身上，則桿也一定受貓的蹬作用在貓身上，則桿也一定受貓的蹬 力力大小等于大小等于N，方向向下，所以桿受到的兩個力，方向向下，所以桿受到的兩個力 （mg+N）方向均向下，其向下運動的加速度就大于）方向均向下，其向下運動的加速度就大于g 。 2 4 慣性參考系

8、慣性參考系 m 靜止靜止 火車火車 N gm 火車火車 a 00 球球?qū)Φ氐?a F 沒問題！沒問題！ 火車火車 m N gm 奇怪奇怪? A A B B a , a aa ， 0F ? a ， 球球?qū)囓?問題出在：在非慣性系中用了牛頓第二定律問題出在：在非慣性系中用了牛頓第二定律 (1) 適用牛頓運動定律的參考系叫做慣性參考系適用牛頓運動定律的參考系叫做慣性參考系, 簡稱慣性系；反之簡稱慣性系；反之,叫做非慣性系叫做非慣性系. (2) 相對于慣性系作勻速直線運動的參考系都是慣性系相對于慣性系作勻速直線運動的參考系都是慣性系. 0F 0a m N gm v 靜止靜止 勻速直勻速直 線運動

9、線運動 應(yīng)用牛頓定律求解質(zhì)點運動方程的步驟應(yīng)用牛頓定律求解質(zhì)點運動方程的步驟: (1) 認真分析題意認真分析題意,根據(jù)題意作一簡圖根據(jù)題意作一簡圖,把把所有物理量所有物理量標出標出. (2) 正確選定對象正確選定對象,使用分割物體法使用分割物體法. (3) 受力分析受力分析,先找重力先找重力,再在其他物體與隔離體接觸的地再在其他物體與隔離體接觸的地 方去找隔離體所受的張力、壓力和摩擦力方去找隔離體所受的張力、壓力和摩擦力,并把這些力按并把這些力按 方向標在隔離圖上方向標在隔離圖上,不要虛構(gòu)出力來不要虛構(gòu)出力來(追問施力者是誰追問施力者是誰). (4) 分析物體運動情況分析物體運動情況(是靜止的

10、還是運動的是靜止的還是運動的). (5) 寫出每一個隔離體的牛頓運動方程寫出每一個隔離體的牛頓運動方程(矢量的矢量的),一般取一般取 加速度方向為坐標軸正向加速度方向為坐標軸正向(坐標系不能建在加速運動物坐標系不能建在加速運動物 體上體上),寫出分量式寫出分量式.當方程式數(shù)少于末知量數(shù)當方程式數(shù)少于末知量數(shù),加速度變換加速度變換 關(guān)系式可作為輔助方程關(guān)系式可作為輔助方程. (6) 解方程解方程.先用符號計算先用符號計算,最后代入數(shù)字最后代入數(shù)字,以便于檢查以便于檢查. 所以所以,在考慮了慣性系后在考慮了慣性系后,牛頓第二定律應(yīng)理解為牛頓第二定律應(yīng)理解為 慣 amF 牛頓第二定律應(yīng)用舉例牛頓第二

11、定律應(yīng)用舉例: 一輛質(zhì)量一輛質(zhì)量m=4kg的雪撬的雪撬,沿著與水平面夾角沿著與水平面夾角=36.90的的 斜坡向下滑動斜坡向下滑動,所受空氣阻力與速度成正比所受空氣阻力與速度成正比,比例系數(shù)比例系數(shù)k未知未知. 今測得雪撬運動的今測得雪撬運動的vt關(guān)系如圖曲線所示關(guān)系如圖曲線所示.曲線與曲線與v軸交點軸交點 處的切線通過處的切線通過B點點,隨著隨著t的增加的增加,v趨近于趨近于10m/s.求阻力系數(shù)求阻力系數(shù)k 及雪橇與斜坡間的滑動摩擦系數(shù)及雪橇與斜坡間的滑動摩擦系數(shù)(sin36.90=0.6,cos36.90=0.8). 0t(s) v(m/s) 246 5 10 15 B(4,14.8)

12、解解: 畫受力圖畫受力圖 mg f1 f2 a N 在直角坐標系下寫出牛頓運動方在直角坐標系下寫出牛頓運動方 程的分量式程的分量式 mgsin-mgcos-kv=ma t=0時時,v0=5,a0=(14.8-5)/4=2.45 t 時時,v=10,a=0. 代入上式得代入上式得 k=ma0 /(v-v0)=1.96 N.s/m =(mgsin-kv)/mgcos=0.125 dt dv a 所以所以a表示的是表示的是vt曲線上切線的斜率曲線上切線的斜率 例例: 一細繩跨過光滑的定滑輪，一端掛一細繩跨過光滑的定滑輪，一端掛M，另一端被，另一端被 人用雙手拉著，人的質(zhì)量人用雙手拉著，人的質(zhì)量m=M

13、/2，若人相對于繩以，若人相對于繩以 加速度加速度 a0 向上爬，則人相對于地的加速度（向上為正）向上爬，則人相對于地的加速度（向上為正） 是：是： （2a0+g)/3 解解: 畫受力圖畫受力圖 mg T Mg T a0aM am 對每一隔離體寫出牛頓運動方程對每一隔離體寫出牛頓運動方程 M: T-Mg=MaM m: T-mg=mam 末知量末知量T、aM和和am共三個共三個,多于方程數(shù)多于方程數(shù) 由加速度變換式由加速度變換式 繩地人繩人地 aaa am = a0 - aM聯(lián)解上面二式得聯(lián)解上面二式得 am = g +2aM am = (2a0+g)/3 最后解得最后解得 a繩地 繩地=aM

14、方向如圖所示 方向如圖所示. a繩地 繩地 所以分量式為所以分量式為 例例3：一光滑的劈，質(zhì)量為一光滑的劈，質(zhì)量為 M ，斜面傾角為，斜面傾角為 ， 并位于光滑的水平面上，另一質(zhì)量為并位于光滑的水平面上，另一質(zhì)量為 m 的小塊物的小塊物 體，沿劈的斜面無摩擦地滑下，體，沿劈的斜面無摩擦地滑下， 求劈對地的加速度。求劈對地的加速度。 解解：研究對象：研究對象：m 、M M m 設(shè)設(shè)M對對地地的加速度的加速度 1 a 2 a 受力分析：如圖受力分析：如圖 Mg 2 N 1 N 1 a mg 1 N 2 a m 對對M的加速度的加速度 m 對對地地的加速度的加速度 a 因此因此 21 aaa 運動方

15、程：運動方程： 對對m： sinmaNcosmg:y 11 , 對對M： Mg 2 N 1 N 1 a mg 1 N 2 a , x , y 以以地地為參照系，建立坐標如圖為參照系，建立坐標如圖 x y )aa(mamNgm 211 矢量式矢量式: 1 sin: 1 MaNx 聯(lián)解后得聯(lián)解后得: 2 1 sin cossin mM mg a 例例4：質(zhì)量為質(zhì)量為m的子彈以速度的子彈以速度 v0 水平射入沙土中，水平射入沙土中， 設(shè)子彈所受的阻力與速度反向、大小與速度成正設(shè)子彈所受的阻力與速度反向、大小與速度成正 比，比例系數(shù)為比，比例系數(shù)為 k ，忽略子彈的重力。求：，忽略子彈的重力。求： （

16、1）子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；）子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式； （2）子彈進入沙土的最大深度。）子彈進入沙土的最大深度。 解：解：（1） kvf 根據(jù)牛頓第二定律，根據(jù)牛頓第二定律， dt dv mmaf dt m k v dv kv dt dv m， 等式兩邊積分等式兩邊積分 v v t dt m k v dv 0 0 積分得積分得 t m k v v 0 ln 速度隨時間的函數(shù)式是速度隨時間的函數(shù)式是 t m k evv 0 （2） kv dx dv mv dt dx dx dv m dt dv mmaF dx m k dv 兩邊積分兩邊積分 x v dx m k

17、dv 0 0 0 得出子彈進入沙土的最大深度是：得出子彈進入沙土的最大深度是： k mv x 0 例例5：如圖所示，已知如圖所示，已知 F=4N ，m1=0.3kg ， m2=0.2kg ，兩物體與水平面的摩擦系數(shù)均為，兩物體與水平面的摩擦系數(shù)均為0.2 。 求物體求物體m2的加速度及繩子對它的拉力（繩子和滑輪的質(zhì)的加速度及繩子對它的拉力（繩子和滑輪的質(zhì) 量均不計）。量均不計）。 m1 m2 F m1g T1 N1 F 1 f m2g T2 N2 2 f 解：解：m1 ，m2的受力情況如的受力情況如 圖所示，對圖所示，對m1 gmNf amfTF 111 1111 gmNf amfTm 222

18、 22222 對 21 2TT 對輪 所以所以 1112 2amgmTF 2222 amgmT 兩個方程有三個（兩個方程有三個（T1，a1， a2）未知數(shù)，須增加新方程，）未知數(shù)，須增加新方程， 一般從加速度之間找新方程。一般從加速度之間找新方程。 m1 m2 F x1 x2 x 如右圖所示建立如右圖所示建立 x坐標，輪的坐標，輪的 坐標為坐標為x1，m2的坐標為的坐標為x2，繩，繩 長為長為L，輪的半徑為，輪的半徑為R，則，則 12 2xxRL 等式兩邊對時間等式兩邊對時間 t 求導(dǎo)求導(dǎo) dt dx dt dx 12 2 12 2aa 式聯(lián)立方程求解，可得式聯(lián)立方程求解，可得 )(35. 1

19、)(78. 4 2 2 2 NTsma (輪與物體輪與物體m1的加速度相同）的加速度相同） 例例6：桌上有一質(zhì)量桌上有一質(zhì)量M=1 kg的板，板上放一質(zhì)量的板，板上放一質(zhì)量 m=2 kg的物體，物體和板之間、板和桌面之間的滑動的物體，物體和板之間、板和桌面之間的滑動 摩擦系數(shù)均為摩擦系數(shù)均為=0.25，最大靜摩擦系數(shù)均為，最大靜摩擦系數(shù)均為0=0.30， 以水平力以水平力F作用于板上，如圖所示。求作用于板上，如圖所示。求：（1）若物體若物體 與板一起以與板一起以a=1 m/s-2 的加速度運動，試計算物體與板的加速度運動，試計算物體與板 以及板與桌面之間相互作用的摩擦力。以及板與桌面之間相互作

20、用的摩擦力。（2）若欲使板若欲使板 從物體下抽出，問力從物體下抽出，問力F至少要加到多大？至少要加到多大？ M m a F 解解：（1）物體與板一起運動）物體與板一起運動 時，選整體為研究對象，它時，選整體為研究對象，它 們對桌面的壓力的大小等于們對桌面的壓力的大小等于 重力，即重力，即 NM=(m+M)g ，故，故 板與桌面間的摩擦力大小為板與桌面間的摩擦力大小為 NgMmNf MM 35. 7)( 由于物體由于物體m與板一起以加速度與板一起以加速度a=1 m/s-2 運動，故運動，故 物體與板之間的摩擦力大小為物體與板之間的摩擦力大小為 F m f M f Nmaf m 2 （2）欲使板從

21、物體下面抽出，物體）欲使板從物體下面抽出，物體m所受的摩擦力必須所受的摩擦力必須 達到最大靜摩擦力，即達到最大靜摩擦力，即 ，并獲得最大的加，并獲得最大的加 速度速度 ，板也必須獲得不小于，板也必須獲得不小于 a0 的加速的加速 度。板的受力情況如右圖所示，對板有度。板的受力情況如右圖所示，對板有 mm Nf 0 g m f a m 00 0 MaffF mM 0 MaffF mM 將將 gMmf M )( mgNf mm00 ga 00 代入可得代入可得 NgMmgMmF17.16)()( 0 即欲使板從物體下面抽出，力即欲使板從物體下面抽出，力F至少要加到至少要加到16.17N 。 例例7

22、：繩長為繩長為L，擺錘質(zhì)量為，擺錘質(zhì)量為m的一單擺，如圖所示，單的一單擺，如圖所示，單 擺的運動方程擺的運動方程 ， 為細線與鉛直線所成的為細線與鉛直線所成的 角，角， 和和 均為常數(shù)，求繩子的張力均為常數(shù)，求繩子的張力T。 wtcos 0 )5( 00 o 解：解：當擺運動到圖示角的位置當擺運動到圖示角的位置時，小球時，小球m受重力及繩子受重力及繩子 的張力的張力T，取自然坐標，其法向分量的合力，取自然坐標，其法向分量的合力 2 1 cosmLmgTFn t dt d sin 01 tmLmgT 222 0 sincos O T mg 例例8:可以看作非彈性金屬環(huán)組成的均質(zhì)鏈條，堆放在可以看

23、作非彈性金屬環(huán)組成的均質(zhì)鏈條，堆放在 光滑的水平作面上（其堆放體的體積可忽略不計），光滑的水平作面上（其堆放體的體積可忽略不計）， 它的一端從光滑的小孔由靜止自由下落，沒有進入小孔的它的一端從光滑的小孔由靜止自由下落，沒有進入小孔的 鏈條在桌面上保持靜止，試求下落的端點的運動學(xué)方程。鏈條在桌面上保持靜止，試求下落的端點的運動學(xué)方程。 y 分析：分析：鏈條落下部分質(zhì)量是變化的，即鏈條落下部分質(zhì)量是變化的，即 ， 鏈條所受和鏈條所受和 外力僅為外力僅為 用，用， ym yg )( yv dt d dt dmv yg由牛頓定律由牛頓定律 通過積分運算通過積分運算 即可求即可求 。)(tyy 解：解：

24、設(shè)鏈條落下部分的長度為設(shè)鏈條落下部分的長度為y，只有這一，只有這一 部分有加速度，其余部分仍為靜止，根據(jù)部分有加速度，其余部分仍為靜止，根據(jù) 牛頓定律并注意到此時落下部分質(zhì)量是變牛頓定律并注意到此時落下部分質(zhì)量是變 化的，設(shè)鏈條的線密度為化的，設(shè)鏈條的線密度為 ，則有，則有 )( yv dt d yg 即即 2 v dy dv yv dt dy v dt dv yyg)( dy dv v dt dy dy dv dt dv 上式兩邊同乘以上式兩邊同乘以 2y 化簡得化簡得 dyyvvdvygdyy 222 222 即即 )(2 222 vydgdyy 由題意由題意 y=0時，時，v=0 積分上

25、式積分上式 yvy vydgdyy 0 ),( )0, 0( 222 )(2 322 3 2 gyyv得 即即 gyvgyv 3 2 3 2 2 ， 而而 ，因此，因此 dt dy v gy dt dy 3 2 t=0時，時，y=0 積分上式積分上式 ty dt gy dy 00 3 2 得鏈條下落端點的運動方程為得鏈條下落端點的運動方程為 2 6 1 gty 例例9:一桶內(nèi)盛水一桶內(nèi)盛水,系于繩的一端系于繩的一端,并繞并繞O點以角速度點以角速度w在在 豎直平面內(nèi)勻速旋轉(zhuǎn)。設(shè)水的質(zhì)量為豎直平面內(nèi)勻速旋轉(zhuǎn)。設(shè)水的質(zhì)量為m，桶的質(zhì)量為，桶的質(zhì)量為 M，圓周半徑為，圓周半徑為R，問，問w應(yīng)為多大時才

26、能保證水不流出來？應(yīng)為多大時才能保證水不流出來？ 又問在最高點和最低點時繩中的張力為多大？又問在最高點和最低點時繩中的張力為多大？ 解：解：選水為研究對象，水受力如圖。選水為研究對象，水受力如圖。 O O P N 2 mRwmgN （1）如圖，對水受力分析有）如圖，對水受力分析有 令令N=0，此時水恰好不能流出來，此時水恰好不能流出來，得，得 R g w 當當 時，水不會流出來。時，水不會流出來。 R g w （2）把水和桶看作一個整體，其受力如圖：）把水和桶看作一個整體，其受力如圖： O N P1 P1 T 最最高高點點 2 )()(RwmMgmMT 最最低低點點 2 )()(RwmMgmM

27、T 解得最高點和最低點繩中的張力分別是解得最高點和最低點繩中的張力分別是 )( )( 2 2 gRwmMT gRwmMT 第三章第三章 動量守恒定律和能量守恒定律動量守恒定律和能量守恒定律 3 1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理 一一 沖量沖量 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理 PddtF 2 1 2 1 p p t t PddtF 1212 vmvmPP 由牛頓第二定律由牛頓第二定律 積分得：積分得： 12 PPI 物體所受合外力的沖量物體所受合外力的沖量,等于物等于物 體動量的增量體動量的增量質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理 2. 沖量是矢量沖量是矢量,其方向為其方向為: 1) 恒力

28、的沖量與該力的恒力的沖量與該力的 方向一致方向一致. 2) 合外力的沖合外力的沖 量的方向與物量的方向與物 體動量增量的體動量增量的 方向相同方向相同. 1. 沖量是力對時間的累沖量是力對時間的累 積效應(yīng)積效應(yīng).其中力其中力 不一定不一定 是合外力是合外力,但在動量定理但在動量定理 中中 一定是合外力一定是合外力. F F 1 P 2 P I 2 1 t t dtFI 定義定義: 為力為力 的沖量的沖量 F 因此因此 xx t t xx mvmvdtFI 12 2 1 yy t t yy mvmvdtFI 12 2 1 zz t t zz mvmvdtFI 12 2 1 3. 直角坐標系下分量

29、式直角坐標系下分量式 二二 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 10111211 2 1 )(vmvmdtFF t t 20222122 2 1 )(vmvmdtFF t t 將兩式相加將兩式相加,得得 2112 FF )()()( 202101221121 2 1 vmvmvmvmdtFF t t 1 F 2 F 12 F 21 F 1 2 i F j F ij F ji F 推廣到由推廣到由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)個質(zhì)點組成的系統(tǒng) 0 2 1 2 1 iiii t t ij t t i vmvmdtFdtF 合外力合外力合內(nèi)力合內(nèi)力總動量總動量 內(nèi)力總是成對出現(xiàn)內(nèi)力總是成對出現(xiàn),且大小相等且大小相

30、等, 方向相反方向相反,其矢量和必為零其矢量和必為零.因此因此, 0 2 1 iiii t t i vmvmdtF 或或 12 PPI 作用于系統(tǒng)的合外力的沖作用于系統(tǒng)的合外力的沖 量等于系統(tǒng)動量的增量量等于系統(tǒng)動量的增量. 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理 對于無限小的時間間隔對于無限小的時間間隔 PddtFi 或或 dt Pd Fi 3 2 動量守恒定律動量守恒定律 時時當當 F i 0 P =恒矢量恒矢量,即即 恒恒矢矢量量 nnii vmvmvmvm 2211 動量守恒定律在直角坐標系中的分量式可表示為：動量守恒定律在直角坐標系中的分量式可表示為： 常常數(shù)數(shù)時時 nxnxxix vmv

31、mvmF 2211 ,0 常常數(shù)數(shù)時時 nynyyiy vmvmvmF 2211 ,0 *系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零 注意注意 （1） 動量守恒定律成立的條件：動量守恒定律成立的條件： （2） 系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該方向系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該方向 動量守恒。（總動量不一定守恒）動量守恒。（總動量不一定守恒） 常常數(shù)數(shù)時時 nznzziz vmvmvmF 2211 ,0 （3） 系統(tǒng)的總動量不變是指系統(tǒng)內(nèi)各物體動量的矢系統(tǒng)的總動量不變是指系統(tǒng)內(nèi)各物體動量的矢 量和不變，而不是指其中某一個物體的動量不變。量和不變，而不是指其中某一個物體

32、的動量不變。 （4）在實際應(yīng)用中，有時系統(tǒng)所受的合外力雖不為零，）在實際應(yīng)用中，有時系統(tǒng)所受的合外力雖不為零， 但與系統(tǒng)的內(nèi)力相比較，外力遠小于內(nèi)力，這時可但與系統(tǒng)的內(nèi)力相比較，外力遠小于內(nèi)力，這時可 略去外力對系統(tǒng)的作用，認為系統(tǒng)的動量的是守恒略去外力對系統(tǒng)的作用，認為系統(tǒng)的動量的是守恒 的。像的。像碰撞、打擊、爆炸碰撞、打擊、爆炸等快速的相互作用問題中，等快速的相互作用問題中， 重力、空氣阻力以及彈簧的彈性力都可略去不計。重力、空氣阻力以及彈簧的彈性力都可略去不計。 （5）動量定理和動量守恒定律只在）動量定理和動量守恒定律只在慣性系慣性系中才成立，中才成立， 而且各物體的動量必須都應(yīng)相對于

33、同一慣性系。而且各物體的動量必須都應(yīng)相對于同一慣性系。 （6）動量守恒定律是物理學(xué)最基本、最普遍的定理之）動量守恒定律是物理學(xué)最基本、最普遍的定理之 一。它在一。它在宏觀宏觀和和微觀微觀領(lǐng)域中都適用。領(lǐng)域中都適用。 解題指導(dǎo)：解題指導(dǎo)： （1）求沖量的兩種方法：）求沖量的兩種方法： 力力 是時間的函數(shù)，根據(jù)定義式求沖量，即是時間的函數(shù)，根據(jù)定義式求沖量，即 )(tF 2 1 t t dtFI 若不知道若不知道 的函數(shù)形式，而知道物體的質(zhì)量及在力的函數(shù)形式，而知道物體的質(zhì)量及在力 作用下物體的初、末速度作用下物體的初、末速度 ，可根據(jù)動量定律求沖，可根據(jù)動量定律求沖 量，量， 即即 )(tF v

34、v ， 0 0 2 1 vmvmdtFI t t 但要注意：但要注意： 是兩矢量相減，絕對不能用代是兩矢量相減，絕對不能用代 數(shù)相減。數(shù)相減。 0 vmvm （3）利用動量守恒定律時的注意事項：）利用動量守恒定律時的注意事項： （2）利用動量定理可求得作用力的平均值）利用動量定理可求得作用力的平均值 t P tt vmvm tt dtF F t t 12 12 12 2 1 均 例例、一吊車底板上放一質(zhì)量為、一吊車底板上放一質(zhì)量為10kg的物體，若吊車的物體，若吊車 底板加速上升，加速度大小為底板加速上升，加速度大小為a=3+5t（SI），則開始），則開始 2秒內(nèi)吊車底板給物體的沖量大小秒內(nèi)吊

35、車底板給物體的沖量大小IN= ，開始，開始2 秒內(nèi)，物體動量增量的大小秒內(nèi)，物體動量增量的大小 P= SN 356 SN 160 a N mg dtmadtmgNIPPP t t t t 2 1 2 1 )( 12 sN160dt)t53(10 2 0 sNmgImgdtNdtI N 3561602 2 0 2 0 解解: 根據(jù)質(zhì)點的動量定理根據(jù)質(zhì)點的動量定理 垂直向下垂直向下 mv/t 1 v 2 v 300300 1 v 2 v A 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意,設(shè)管壁對水設(shè)管壁對水 的平均沖力為的平均沖力為 ,它是水對它是水對 管壁平均沖力的反作用力管壁平均沖力的反作用力. 根據(jù)動量原理根據(jù)

36、動量原理 F 12 vmvmtF 分量式為分量式為 y: Fy t = mvsin300 m( - v sin300)= mv 例例: 一質(zhì)量均勻分布的柔軟細繩鉛直地懸掛著一質(zhì)量均勻分布的柔軟細繩鉛直地懸掛著,繩的下繩的下 端剛好觸到水平桌面上端剛好觸到水平桌面上.如果把細繩上端放開如果把細繩上端放開,繩將落到繩將落到 桌面上桌面上.試證明試證明,在繩下落的過程中在繩下落的過程中,任意時刻作用于桌面任意時刻作用于桌面 的壓力的壓力,等于己落到桌面上的繩重量的三倍等于己落到桌面上的繩重量的三倍. x y 2 v 1 v x: Fx t = mvcos300 - mvcos300= 0 如圖所示如

37、圖所示,有有m千克的水以初速度千克的水以初速度 進入彎管進入彎管,經(jīng)經(jīng)t秒秒 后流出時的速度為后流出時的速度為 ,且且v1=v2=v,在管子轉(zhuǎn)彎處在管子轉(zhuǎn)彎處,水對水對 管壁的平均沖力大小是管壁的平均沖力大小是 ,方向方向 .(管管 內(nèi)水受到的重力不考慮內(nèi)水受到的重力不考慮) 證證: 取如圖所示坐標取如圖所示坐標. 設(shè)在時刻設(shè)在時刻t已有已有x長的柔繩落至桌長的柔繩落至桌 面面,此時質(zhì)點系此時質(zhì)點系(柔繩柔繩)的總動量為的總動量為 mv其中其中m=(L-x).根據(jù)質(zhì)點系動根據(jù)質(zhì)點系動 量原理的微分形式量原理的微分形式 dt dm v dt dv m dt )mv(d NG 2 v dt dx

38、v dt dm vg dt dv LgGgx2v 2 代入代入(1)式得式得 (1) xg2g)xL(Lgxg2mgLgN 1 G3xg3 正是已落到桌面上的繩重量正是已落到桌面上的繩重量,證畢證畢. 而而xgG1 L x x 0 G N 例例: 如圖如圖,礦砂從傳送帶礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶落到另一傳送帶B,已知已知 v1=4m/s,v2=2m/s.若傳送帶的運送量若傳送帶的運送量qm=2000kg/h,求礦砂求礦砂 作用在傳送帶作用在傳送帶B上的力的大小和方向上的力的大小和方向(不計相對傳送帶靜止的不計相對傳送帶靜止的 礦砂礦砂). v1 v2 300 150 B A 解解: 研究對象

39、研究對象: 時間時間 內(nèi)落到內(nèi)落到B上的礦砂上的礦砂 t m 根據(jù)質(zhì)點的動量定理的根據(jù)質(zhì)點的動量定理的 微分形式微分形式, 12 )(vmvmtgmF )vv(q)vv( t m F 12m12 N21. 275cosvv2vvqF 0 21 2 2 2 1m 49. 0F/75sinvqsin 0 2m 0 29 2mv q 1mv q F 150 300 由牛頓第三定律由牛頓第三定律,所求力的大小為所求力的大小為2.21N,方向偏離豎直方向方向偏離豎直方向10向左向左 下下. 力對質(zhì)點所作的功是力對質(zhì)點所作的功是:力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大 小的乘積小的乘

40、積. 恒力的功恒力的功rFFrW cos r 變力的功：變力的功： 3 4 動動 能能 定定 理理 一一 功功 o rd F a b r , r 在線元在線元 上變力上變力 對質(zhì)點所作的元功為對質(zhì)點所作的元功為rd F rdFdW 變力變力 將質(zhì)點由將質(zhì)點由 a 移動移動 到到b, 所作的所作的總功總功 F ?Wab cosrdF b a dScosF b a b a ab rdFW 1. 在直角坐標系中在直角坐標系中 此式為變力作功的一般表達式此式為變力作功的一般表達式. kFjFiFF zyx ,kdzjdyidxrd b a rdFW b a b a b a z z z y y y x

41、x x dzFdyFdxF 2. 若有幾個力同時作用在質(zhì)點上若有幾個力同時作用在質(zhì)點上,合力合力 i FFFF 21 rdFFFrdFW i )( 21 rdFrdFrdF i21 i WWWW 21 即即 合力對質(zhì)點所作的功合力對質(zhì)點所作的功,等于各分力所作的功的代數(shù)和等于各分力所作的功的代數(shù)和 3. 功率功率cosFvvF dt rd F dt dW P 二二. 質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理 a b F dr dSFdW cos dt dv mmaF cos mvdvdS dt dv mdW 1 v 2 v 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 mvmvmvdvW v v 質(zhì)點的動能質(zhì)點

42、的動能,用用 Ek 表示表示,則上式為則上式為 合外力對質(zhì)點所作的功合外力對質(zhì)點所作的功,等于質(zhì)點動能的增量等于質(zhì)點動能的增量. 10功是能量變化的量度功是能量變化的量度,是一過程量是一過程量,動能是質(zhì)點具有作功的本領(lǐng)動能是質(zhì)點具有作功的本領(lǐng). 30動能定理只適用于慣性系動能定理只適用于慣性系. 2 mv 2 1 將將 稱作稱作 20功是力對空間的累積效應(yīng)功是力對空間的累積效應(yīng),其中的力其中的力 不一定是合外力不一定是合外力,但動能但動能 定理中一定是合外力的功定理中一定是合外力的功. F 12kk EEW 例：例：一沿一沿x軸正方向的力作用在一質(zhì)量為軸正方向的力作用在一質(zhì)量為3.0kg的質(zhì)的

43、質(zhì) 點上。已知質(zhì)點的運動學(xué)方程為點上。已知質(zhì)點的運動學(xué)方程為 x = 3t-4t2+t3 （SI），）， 試求：試求： （1）力在最初）力在最初 4 s 內(nèi)作的功；內(nèi)作的功； （2）在）在 t = 1 s 時，力的瞬時功率。時，力的瞬時功率。 解解:（1）由運動學(xué)方程先求出質(zhì)點的速度，依題意有）由運動學(xué)方程先求出質(zhì)點的速度，依題意有 2 383tt dt dx v 質(zhì)點的動能為質(zhì)點的動能為 222 )383( 2 3 2 1 ttmvtEk 根據(jù)動能定理，根據(jù)動能定理，力在最初力在最初 4 s 內(nèi)作的功為內(nèi)作的功為 JEEEW kkk 52800 . 4 功率為功率為 )383()2418()

44、( 2 tttFvvp （2） 86 t dt dv a因為 2418 tmaF 所以在所以在 t = 1 s 時，時，力的瞬時功率力的瞬時功率為為 Wp121 3 5 保守力與非保守力保守力與非保守力 勢能勢能 一一 萬有引力、重力、彈性力作功的特點萬有引力、重力、彈性力作功的特點 1. 萬有引力作功萬有引力作功 r r Mm GF 2 dr r Mm Grdr r Mm GdW 22 ) r 1 r 1 (GMmdr r 1 GMmW ab r r 2 b a 萬有引力作的功只取決于質(zhì)點萬有引力作的功只取決于質(zhì)點m的起始和終點的位置的起始和終點的位置, 而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)而與所經(jīng)過的路徑

45、無關(guān). a b F M m r a r b r 2. 重力作功重力作功 mgFy b a y y mgdyW )( ab yymgW 重力作的功只取決于質(zhì)點重力作的功只取決于質(zhì)點m的的 起始和終點的位置起始和終點的位置,而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)而與所經(jīng)過的路徑無關(guān). 3. 彈性力彈性力 )( kxFx a x b x x 0 F 作功作功 )( 2 1 22 ab x x xxkkxdxW b a 彈性力作的功只取決于質(zhì)點彈性力作的功只取決于質(zhì)點m的起始和終點的位置的起始和終點的位置, 而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)而與所經(jīng)過的路徑無關(guān). x 0 y mg a b 二二 保守力與非保守力保守力與非保守力 保

46、守力作功的數(shù)學(xué)表達式保守力作功的數(shù)學(xué)表達式 1. 保守力作功的特點保守力作功的特點: 保守力作功只與物體的始、末保守力作功只與物體的始、末位置位置 有關(guān)有關(guān),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān).具有相對性具有相對性.如重力、彈性力和萬有引力等如重力、彈性力和萬有引力等. 2. 保守力作功的數(shù)學(xué)表達式保守力作功的數(shù)學(xué)表達式 a b 保守力將質(zhì)點由保守力將質(zhì)點由 a 沿任意路徑移動到沿任意路徑移動到 b 再由再由 b 沿任意路徑移回到沿任意路徑移回到 a 點點, 0rdFW 保 3. 作功與路徑有關(guān)的力叫做非保守力，也稱耗散力作功與路徑有關(guān)的力叫做非保守力，也稱耗散力.如摩擦力等如摩擦力等. 三三 勢能勢能 由

47、于保守力作功只與物體的始、末位置有關(guān)由于保守力作功只與物體的始、末位置有關(guān),為此為此,引入引入 勢能概念勢能概念.把與物體位置有關(guān)的能量稱作物體的勢能把與物體位置有關(guān)的能量稱作物體的勢能. 重力勢能重力勢能mgyE p 引力勢能引力勢能 r Mm GE p 彈性勢能彈性勢能 2 2 1 kxE p ppapbab EEEW )( 保守力對物體作的功等保守力對物體作的功等 于物體勢能增量的負值于物體勢能增量的負值. 討論討論: (1) 勢能的相對性勢能的相對性,勢能的值與勢能零點的選取有勢能的值與勢能零點的選取有 關(guān)關(guān).勢能零點可以任意選取勢能零點可以任意選取,但在上述勢能的表達式中但在上述勢能

48、的表達式中,引引 力勢能的零點在無限遠處力勢能的零點在無限遠處,彈性勢能的零點取在彈簧原彈性勢能的零點取在彈簧原 長時物體的位置長時物體的位置.注意注意:任意兩點的勢能差具有絕對性任意兩點的勢能差具有絕對性. (2) 當勢能的零點確定后當勢能的零點確定后(例如在例如在 b 點點),質(zhì)點在任一位置質(zhì)點在任一位置 (設(shè)為設(shè)為 a 點點)的勢能的勢能,等于把質(zhì)點由該位置移到勢能為零的等于把質(zhì)點由該位置移到勢能為零的 參考點的過程中保守力所作的功參考點的過程中保守力所作的功.因為因為 )( papb b a ab EErdFW papa EE )0( (3) 勢能是屬于系統(tǒng)的勢能是屬于系統(tǒng)的.例如例如

49、,重力勢能是屬于地球和物體重力勢能是屬于地球和物體 組成的系統(tǒng)的組成的系統(tǒng)的,常說物體的重力勢能只是為敘述上的方便常說物體的重力勢能只是為敘述上的方便. 3 6 功能原理功能原理 機械能守恒定律機械能守恒定律 一一 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 設(shè)一系統(tǒng)內(nèi)有設(shè)一系統(tǒng)內(nèi)有n個質(zhì)點個質(zhì)點,作用于各質(zhì)點的力所作的功分別為作用于各質(zhì)點的力所作的功分別為 W1,W2,使各質(zhì)點由初動能使各質(zhì)點由初動能Ek10,Ek20變?yōu)槟﹦幽茏優(yōu)槟﹦幽?Ek1,Ek2,由質(zhì)點的動能定理可得由質(zhì)點的動能定理可得 W1=Ek1-Ek10 W2=Ek2-Ek20 將各將各 式相式相 加得加得 0kikii EEW W外

50、外+W內(nèi)內(nèi) 系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能 即即 0kiki EE 質(zhì)點系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的外力的功與內(nèi)力質(zhì)點系的動能的增量等于作用于質(zhì)點系的外力的功與內(nèi)力 的功之和的功之和 - 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 二二 質(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理 W內(nèi) 內(nèi)=W保內(nèi)保內(nèi)+W非保內(nèi)非保內(nèi) )EE( 0pipi )EE()EE( 0pi0kipi ki 動能和勢能動能和勢能 統(tǒng)稱機械能統(tǒng)稱機械能 pi ki EEE 0pi 0ki 0 EEE初機械能初機械能: 末機械能末機械能: W外 外+W內(nèi)內(nèi) W保內(nèi) 保內(nèi) W外 外+W非保內(nèi)非保內(nèi) 質(zhì)點系的機械能的增量等于外力與非保守內(nèi)力作功之和質(zhì)點系的機

51、械能的增量等于外力與非保守內(nèi)力作功之和. 質(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理: *非保守內(nèi)力的功非保守內(nèi)力的功 M m mM F Mm F N , N mM r M r 若把若把M、m看成一系統(tǒng)看成一系統(tǒng),則則 摩擦力摩擦力 、 和正和正 壓力壓力 、 都是系統(tǒng)的內(nèi)都是系統(tǒng)的內(nèi) 力力,以摩擦力以摩擦力 和和 為例為例,計算非保守內(nèi)力的功計算非保守內(nèi)力的功. mM F Mm F N , N mM F Mm F MMmmmM rFrFW MmMmmMMm rrrFF mMmMMmmM rF)rr(FW 由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn),上式可用來計算一般內(nèi)力作功上式可用來計算一般內(nèi)力作功.

52、W外 外+W非保內(nèi)非保內(nèi)=E E0 注意：注意： 范圍：慣性系、宏觀低速運動（只有動量守恒、范圍：慣性系、宏觀低速運動（只有動量守恒、 角動量守恒、能量守恒對宏觀、微觀都適用）角動量守恒、能量守恒對宏觀、微觀都適用） 10 各定理、定律的表達式，適用條件，適用范圍。各定理、定律的表達式，適用條件，適用范圍。 三三 機械能守恒定律機械能守恒定律 則有則有 0 EE 當作用于質(zhì)點系的外力和非保守內(nèi)力不作功時當作用于質(zhì)點系的外力和非保守內(nèi)力不作功時,質(zhì)點系質(zhì)點系 的總機械能保持不變的總機械能保持不變.-機械能守恒定律機械能守恒定律 (1) 質(zhì)點系機械能守恒條件質(zhì)點系機械能守恒條件: (2) 機械能守

53、恒是指質(zhì)點系內(nèi)的動能和勢能之和保持不機械能守恒是指質(zhì)點系內(nèi)的動能和勢能之和保持不 變變,但動能和勢能之間可以相互轉(zhuǎn)換但動能和勢能之間可以相互轉(zhuǎn)換,這種轉(zhuǎn)換是通過這種轉(zhuǎn)換是通過 質(zhì)點系內(nèi)的保守力作功來實現(xiàn)的質(zhì)點系內(nèi)的保守力作功來實現(xiàn)的. 若若 W外 外+W非保內(nèi)非保內(nèi)= 0 W外 外+W非保內(nèi)非保內(nèi) = 0 40 有些力學(xué)問題涉及臨界現(xiàn)象（如彈簧下面的板剛好有些力學(xué)問題涉及臨界現(xiàn)象（如彈簧下面的板剛好 提離地面，小球剛好脫離圓形軌道，木塊剛好不下滑等）提離地面，小球剛好脫離圓形軌道，木塊剛好不下滑等） 解題時先建立解題時先建立運動運動滿足的滿足的方程方程，再加上，再加上臨界條件臨界條件（往往（往

54、往 是某些力為零或是某些力為零或 v 、a 為零等）為零等） 50 特別注意用特別注意用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)來解的問題，凡有來解的問題，凡有極值極值問題問題 要用要用求導(dǎo)求導(dǎo)的方法的方法。 動能定理動能定理機械能守恒定律機械能守恒定律功能原理功能原理 解決問題的思路按此順序倒過來，解決問題的思路按此順序倒過來， 首先考慮用守恒定首先考慮用守恒定 律解決問題律解決問題。 若要求力的細節(jié)則必須用牛頓第二定律。若要求力的細節(jié)則必須用牛頓第二定律。 30 有些綜合問題，既有重力勢能，又有彈性勢能，有些綜合問題，既有重力勢能，又有彈性勢能，注注 意各勢能零點的位置意各勢能零點的位置，不同勢能零點位置可以相同

55、，不同勢能零點位置可以相同， 也也 可以不同?？梢圆煌?。 20 由牛頓第二定律推出：由牛頓第二定律推出： 動量定理動量定理動量守恒定律動量守恒定律 3-7 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 （1）完全彈性碰撞）完全彈性碰撞：在碰撞后，兩物體的：在碰撞后，兩物體的動能之和動能之和 完全沒有損失的碰撞。完全沒有損失的碰撞。 （2）非彈性碰撞）非彈性碰撞：在兩物體碰撞時，由于：在兩物體碰撞時，由于非保守力非保守力作作 用，致使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能等其他形式用，致使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能等其他形式 的能量，或者其他形式的能量轉(zhuǎn)換為機械能，這種碰撞的能量，或者其他

56、形式的能量轉(zhuǎn)換為機械能，這種碰撞 就是非彈性碰撞。就是非彈性碰撞。 （3）完全非彈性碰撞）完全非彈性碰撞：兩物體在非彈性碰撞后以：兩物體在非彈性碰撞后以同一同一 速度運動速度運動的這種碰撞。的這種碰撞。 碰撞問題的特點是：碰撞瞬間外力沖量可被忽略，碰碰撞問題的特點是：碰撞瞬間外力沖量可被忽略，碰 撞前后的動量守恒。撞前后的動量守恒。 3-8能量守恒定律能量守恒定律 對于一個與自然界無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)各種對于一個與自然界無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)各種 形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)化的，但是不論如何轉(zhuǎn)化，形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)化的，但是不論如何轉(zhuǎn)化， 能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅。能量既不能產(chǎn)

57、生，也不能消滅。能量守恒定律能量守恒定律 例例、在光滑的水平桌面上，固定著如圖所示的半圓、在光滑的水平桌面上，固定著如圖所示的半圓 形屏障形屏障,質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的滑塊以初速的滑塊以初速V1 沿屏障一端的切沿屏障一端的切 線方向進入屏障內(nèi)滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為線方向進入屏障內(nèi)滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為 . 求：求： 當滑塊從屏障另一端滑出時，摩擦力對它所作的功當滑塊從屏障另一端滑出時，摩擦力對它所作的功 1 v v f N 俯視圖俯視圖 解：研究對象解：研究對象 滑塊滑塊 建立坐標：自然坐標建立坐標：自然坐標 運動方程：運動方程： 法向法向 切向切向 n maN maf 聯(lián)立：聯(lián)立： R v

58、 mf 2 R v dt dv 2 即即 分析：變力作功，分析：變力作功， 用動能用動能 定理必須先找出末態(tài)的定理必須先找出末態(tài)的V2 請思考：能否請思考：能否 在此分離變在此分離變 量量 ，積分？，積分？ 受力分析：受力分析： Nf , n R v m 2 N dt dv m v f N dS dv v dt dS dS dv dt dv R v 2 R v dS dv 即即 dS Rv dv R 0 v v 2 1 1 2 ln v v evv 12 因合外力的功只有摩擦力的功因合外力的功只有摩擦力的功, N 不作功，根據(jù)動能定理不作功，根據(jù)動能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 mvm

59、vA )1( 2 1 22 1 emv 由于末態(tài)的時刻由于末態(tài)的時刻 t 未知未知,然而末態(tài)時物體走過的路程然而末態(tài)時物體走過的路程 S 為為 已知已知,所以在微分形式時就應(yīng)進行變量代換所以在微分形式時就應(yīng)進行變量代換,R 即即 例：例：一質(zhì)量一質(zhì)量M=10kg 的物體放在光滑的水平桌面的物體放在光滑的水平桌面 上，并與一水平輕彈簧相連，彈簧的彈性系數(shù)上，并與一水平輕彈簧相連，彈簧的彈性系數(shù) k=1000 N/m 。今有一質(zhì)量。今有一質(zhì)量 m=1 kg 的小球以水平速度的小球以水平速度 v0=4m/s 飛來，與物體飛來，與物體M相撞后以相撞后以v1=2m/s 的速度彈回。的速度彈回。 試問：試

60、問： （1）彈簧被壓縮的長度為多少？）彈簧被壓縮的長度為多少？ （2）小球）小球m與物體與物體M的碰撞是完全彈性碰撞嗎？的碰撞是完全彈性碰撞嗎？ （3）如果小球上涂有黏性物質(zhì)，相撞后可與）如果小球上涂有黏性物質(zhì)，相撞后可與M粘在粘在 一起，則（一起，則（1）、（）、（2）所問的結(jié)果又如何？）所問的結(jié)果又如何？ 解：解：碰撞過程物體、彈簧、小球組成系統(tǒng)的動量守恒碰撞過程物體、彈簧、小球組成系統(tǒng)的動量守恒 Mumvmv 10 sm M vvm u/6 . 0 )( 10 （1）對物體）對物體M應(yīng)用動能定理應(yīng)用動能定理 22 2 1 0 2 1 Mukx 所以彈簧被壓縮的長度為：所以彈簧被壓縮的長度