高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13。2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值已知yf(x)的圖象（如下圖）問題1:函數(shù)yf（x）在b，c，d,e點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？提示:在b，d點(diǎn)的函數(shù)值是這兩個(gè)點(diǎn)附近的函數(shù)值中最大的，而在c，e點(diǎn)的函數(shù)值是這兩個(gè)點(diǎn)附近的函數(shù)值中最小的問題2:yf(x）在b，c，d，e點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？提示：f(b）f（c）f(d）f（e)0。問題3：在b，c,d，e點(diǎn)附近,yf（x）的導(dǎo)數(shù)的符號有什么規(guī)律？提示:在b，d點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號是左正右負(fù)，而在c，e點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號是左負(fù)右正極值點(diǎn)與極值(1)極小值點(diǎn)與極小值：若函數(shù)yf（x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f（a）比它在

2、點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0，而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x）0，右側(cè)f(x)0，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf（x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x）的極小值(2）極大值點(diǎn)與極大值：若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f（b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f（b）0,而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x）0,右側(cè)f（x)0，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f（b)叫做函數(shù)yf（x)的極大值（3）極值點(diǎn)與極值：極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值1對極值概念的理解(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大的或是最小的(2）在定義域的某個(gè)區(qū)

3、間內(nèi)極大值或極小值并不唯一，也可能不存在，并且極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系2極值與極值點(diǎn)辨析(1）函數(shù)的極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是點(diǎn)；極值是函數(shù)在極值點(diǎn)處取得的函數(shù)值，即函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)(2)極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，端點(diǎn)不可能為極值點(diǎn)函數(shù)極值的求法問題：求函數(shù)的極值是否只需求出導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)即可?提示:不是，還需判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)附近兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號函數(shù)極值的求法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0）0時(shí)：（1）如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f（x）0，那么f（x0)是極小值導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系(1)根據(jù)極值的定義可知，對于一個(gè)可導(dǎo)函數(shù),如果函數(shù)yf（x)在x0處取

4、得極值，則它在該極值點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值等于0，但導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)例如，函數(shù)f（x)x3可導(dǎo),且在x0處滿足f（0)0，但由于當(dāng)x0和x0時(shí)均有f(x)0，所以x0不是函數(shù)f（x）x3的極值點(diǎn)（2)函數(shù)yf（x)在點(diǎn)x0取得極值的充要條件是f(x0）0，且f(x)在x0左、右兩側(cè)的符號不同求函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值：（1）f(x)x312x；(2)y。（1)函數(shù)的定義域?yàn)閞,f(x)3x2123(x2）（x2)，令f（x）0，得x2或x2。當(dāng)x變化時(shí),f(x)，f（x）的變化情況如下表:x(，2)2(2，2）2(2，）f（x）00f（x）1616從表中可以看出,當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有

5、極大值，且f(2）16。當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極小值，且f（2）16。(2)函數(shù)的定義域?yàn)?,1)(1，），且y.令y0，得x11，x22，當(dāng)x變化時(shí)，y,y的變化情況如下表：x(,1）1(1,1)(1，2)2(2，)y00y3故當(dāng)x1時(shí),y有極大值。求可導(dǎo)函數(shù)f（x）的極值的步驟(1）確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f（x);(2)求f（x）的拐點(diǎn)，即求方程f(x)0的根；(3)利用f（x）與f（x）隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左、右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值求下列函數(shù)的極值：（1)f(x)x33x29x5；（2）f(x)。解:(1）函數(shù)f(x）x33x29x5的定義域?yàn)閞，且f(x）3x26x9。令f

6、（x）0，得x11,x23.當(dāng)x變化時(shí)，f（x）與f（x）的變化情況如下表：x(，1)1（1,3)3(3，）f（x)00f（x）1022由表可知，x1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，極大值為f(1）10;x3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),極小值為f（3)22.(2)函數(shù)y的定義域?yàn)椋?，),y。令y0，即0，得xe。當(dāng)x變化時(shí)，y，y的變化情況如下表：x(0，e)e（e,)y0y由表可知，當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)的極大值是。已知函數(shù)的極值求參數(shù)已知f（x）ax3bx2cx(a0）在x1處取得極值,且f(1)1。（1）試求常數(shù)a,b，c的值;(2）試判斷x1是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由f(x）3ax22

7、bxc。(1）法一:x1是函數(shù)的極值點(diǎn)，x1是方程3ax22bxc0的兩根由根與系數(shù)的關(guān)系知又f(1）1,abc1.由解得a，b0,c。法二:由f(1)f(1）0，得3a2bc0，3a2bc0。又f（1）1，abc1.由解得a，b0,c。(2)f(x）x3x，f（x)x2(x1)(x1）當(dāng)x1或x1時(shí)，f（x）0；當(dāng)1x1時(shí)，f（x)0.函數(shù)f（x)在（，1）和(1，)上是增函數(shù),在（1,1)上是減函數(shù)因此當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得極大值，x1為極大值點(diǎn)；當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得極小值，x1為極小值點(diǎn)由函數(shù)的極值確定參數(shù)的方法及注意事項(xiàng)(1)已知一個(gè)函數(shù),可以用單調(diào)性研究它的極值反過來，已知函數(shù)的極值，可以確定

8、函數(shù)解析式中的參數(shù)，解這類問題，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值(2)需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件,所以必須對求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合函數(shù)取得極值的條件已知函數(shù)f(x）x3bx22cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x2對稱(1)求b的值；(2)若函數(shù)f(x)無極值，求c的取值范圍解:（1)f(x）3x22bx2c，因?yàn)楹瘮?shù)f（x)的圖象關(guān)于直線x2對稱，所以2，即b6。(2）由(1）知,f（x）x36x22cx，f（x）3x212x2c3(x2）22c12，所以當(dāng)c6時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù)f（x）

9、無極值，即c的取值范圍為已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x）x33xa.(1）求函數(shù)f(x）的極值，并畫出其圖象（草圖）；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，方程f(x）0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？（1)由f（x）x33xa,得f（x)3x23.令f（x）0，得x1或x1.當(dāng)x（，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x（1，1)時(shí),f（x）0;當(dāng)x（1，）時(shí)，f（x）0。(1）當(dāng)m1時(shí),求曲線yf（x）在點(diǎn)(1,f(1）)處的切線的斜率;(2）求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間與極值解:（1）當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3x2,f(x）x22x，故f(1）1，所以曲線yf(x）在點(diǎn)(1，f(1）)處的切線的斜率為1。（2)f(x)x22xm21，令f(x)0

10、，解得x1m或x1m。因?yàn)閙0,所以1m1m。當(dāng)x變化時(shí)，f(x），f（x）的變化情況如下表：x(,1m）1m(1m，1m)1m（1m,)f（x）00f（x）f(1m）f(1m）所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1m），（1m，），遞增區(qū)間為(1m,1m)函數(shù)f(x)在x1m處取得極小值f(1m），且f（1m)m3m2.函數(shù)f(x)在x1m處取得極大值f(1m），且f（1m）m3m2. 1已知函數(shù)yx(x2)2，則（）ay有極小值但無極大值by有極小值0，但無極大值cy有極小值0，極大值dy有極大值,但無極小值解析：選cy(x2）2x2（x2）（x2)（3x2）,當(dāng)2或x時(shí)，y0.所以當(dāng)x時(shí)

11、,y有極大值；當(dāng)x2時(shí)，y有極小值0.故選c。2函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閞，導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示，則函數(shù)f（x)()a無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)b有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)c有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)d有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)解析：選c由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系知,當(dāng)f(x0）0時(shí),在x0的左側(cè)f（x)0，右側(cè)f(x)0，則f（x)在xx0處取得極大值;若在x0的左側(cè)f（x)0，右側(cè)f（x）0,則f(x）在xx0處取得極小值設(shè)yf（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f（x）在xx1，xx3處取得極大值，在xx2,xx4處取得極小值3函數(shù)y3x39x5

12、的極大值為_解析：y9x29。令y0，得x1.當(dāng)x變化時(shí)，y，y的變化情況如下表:x(,1）1(1，1)1（1，）y00y極大值極小值從上表可以看出，當(dāng)x1時(shí),函數(shù)y有極大值3(1）39（1）511.答案:114若函數(shù)f(x）x33xa有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x）3(x21）,所以x1和x1是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，由題意知，極大值為f(1）2a，極小值為f（1)2a，所以要使函數(shù)f（x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則有2a0且2a0，解得2a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2,2）答案：(2,2）5(重慶高考)已知函數(shù)f(x）ax3x2(ar）在x處取得極值（1）確定a的值；（2)若g(

13、x)f(x）ex，討論g(x）的單調(diào)性解：(1）對f(x)求導(dǎo)得f(x）3ax22x,因?yàn)閒(x）在x處取得極值，所以f0，即3a20，解得a.(2）由(1)得g(x）ex，故g(x）exexexx（x1）（x4)ex。令g(x)0，解得x0或x1或x4.當(dāng)x4時(shí)，g(x)0，故g(x）為減函數(shù)；當(dāng)4x1時(shí),g(x)0，故g（x）為增函數(shù)；當(dāng)1x0時(shí)，g（x)0時(shí)，g(x)0,故g(x)為增函數(shù)綜上知，g（x)在(，4）,（1，0）上為減函數(shù)，在（4，1），（0，）上為增函數(shù)一、選擇題1（陜西高考）設(shè)函數(shù)f(x）ln x，則（)ax為f（x）的極大值點(diǎn)bx為f（x)的極小值點(diǎn)cx2為f（x)的

14、極大值點(diǎn)dx2為f(x）的極小值點(diǎn)解析：選d函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，），f(x），當(dāng)x2時(shí)，f（x）0；當(dāng)x2時(shí)，f(x）0，函數(shù)f(x）為增函數(shù)；當(dāng)0x0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0。故f(x）在，(1,）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)x時(shí)，f（x）有極大值,當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值0。4若函數(shù)f（x）x22bx3a在區(qū)間(0,1）內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（)ab1 bb1c0b1 db解析:選cf（x）2x2b2（xb），令f（x)0,解得xb,由于函數(shù)f（x)在區(qū)間（0,1)內(nèi)有極小值，則有0b1。當(dāng)0xb時(shí)，f(x）0;當(dāng)bx1時(shí)，f（x）0，符合題意，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是0b1。

15、5設(shè)函數(shù)f（x)xln x(x0),則yf（x）（)a在區(qū)間，(1，e）內(nèi)均有零點(diǎn)b在區(qū)間,（1，e）內(nèi)均無零點(diǎn)c在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)無零點(diǎn)d在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)解析：選df（x），令f(x)0，得x3，當(dāng)0x3時(shí)，f（x)0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)又因?yàn)閒（1）0，f（e）10，f10，所以yf（x）在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn),在區(qū)間(1,e)內(nèi)有零點(diǎn)二、填空題6若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，則a_.解析：f(x），由題意得f(1）0，解得a3。經(jīng)檢驗(yàn)，a3符合題意答案:37函數(shù)f（x)x33ax23既有極大值又有極小值,則a的取值范圍是_解析：f

16、（x）3x26ax3(a2），令f(x）0，即x22axa20.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有極大值和極小值,所以方程x22axa20有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即4a24a80,解得a2或a1。答案：(，1）（2，）8已知函數(shù)f（x）x49x5，則f（x)的圖象在（1,3）內(nèi)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_解析：因?yàn)閒（x）4x39，當(dāng)x（1，3）時(shí)，f(x)0,所以f(x）在（1,3）上單調(diào)遞增又因?yàn)閒(1）30，f(0）50,所以f(x）在(1，3）內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)答案：1三、解答題9(安徽高考)已知函數(shù)f(x)（a0，r0）（1）求f(x）的定義域，并討論f(x）的單調(diào)性；（2）若400,求f（x)在（0，)內(nèi)的極值解：(1）由題意知xr，所求的定義域?yàn)椋?，r)（r，）f（x)，f（x)，所以當(dāng)xr或xr時(shí)，f（x）0；當(dāng)rx0時(shí)，由f（x)0解得x或x,由f(x)0，解得x0時(shí),f(x）的單調(diào)增區(qū)間為（，)，(，),f（x