高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明不等式的基本方法 1.5.1 比較法學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精15。1比較法讀教材填要點(diǎn)1定義要證ab,只需要證ab0；要證ab，只需證ab0，這種證明不等式的方法，稱為比較法2用比較法證明不等式的步驟（1）求差（2)變形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差變形為乘積式平方和的形式（3）作出判斷小問題大思維作差比較法的主要適用類型是什么？實(shí)質(zhì)是什么？提示:作差比較法尤其適用于具有多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)特征的不等式的證明實(shí)質(zhì)是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系。 比較法證明不等式例1求證：(1)當(dāng)xr時，12x42x3x2；（2)當(dāng)a，b(0，)時，aabb（ab）.思路點(diǎn)撥（1)利用作差比較法，注意變形分解；

2、(2)利用作商比較法，注意判斷底數(shù)大小決定商的大小精解詳析(1）法一：（12x4)（2x3x2)2x3(x1)（x1）（x1)(x1）(2x3x1)（x1)(2x32xx1)（x1)2x（x21）（x1）(x1）2(2x22x1）（x1）20,12x42x3x2.法二:（12x4)（2x3x2)x42x3x2x42x21(x1）2x2(x21）20，12x42x3x2。(2）ab，當(dāng)ab時，1；當(dāng)ab0時，1，0,則1；當(dāng)ba0時，01。綜上可知，當(dāng)a，b（0,)時，aabb（ab） 成立（1）比較法證明不等式的過程中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或

3、值是多少（2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法(3）因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號,常將“差式”變形為一個常數(shù),或幾個因式積的形式,當(dāng)所得的“差式是某字母的二次三項(xiàng)式時，常用判別式法判斷符號有時會遇到結(jié)果符號不能確定，這時候要對差式進(jìn)行分類討論1已知x1，求證：1。證明:x1，1x0，0。（1)(x1）21（1)20，1.比較法的實(shí)際應(yīng)用例2甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走如果mn，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？

4、思路點(diǎn)撥本題考查比較法在實(shí)際問題中的應(yīng)用,解答本題需要設(shè)出從出發(fā)點(diǎn)到指定地點(diǎn)的路程s，甲、乙二人走完這段路程各自需要的時間t1、t2,然后利用作差法比較t1，t2的大小即可精解詳析設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1、t2，依題意有：mns,t2。t1，t2。t1t2.其中s，m，n都是正數(shù)，且mn，t1t20,即t1t2.從而知甲比乙先到達(dá)指定地點(diǎn)應(yīng)用不等式解決問題時，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決，也就是建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解解答不等式問題，一般可分為如下步驟：閱讀理解材料；建立數(shù)學(xué)模型；討論不

5、等式關(guān)系；作出問題結(jié)論2某人乘出租車從a地到b地,有兩種方案第一種方案:乘起步價為10元,超過規(guī)定里程后每千米1.2元的出租車；第二種方案：乘起步價為8元，超過規(guī)定里程后每千米1。4元的出租車按出租車管理?xiàng)l例，在起步價內(nèi),不同型號的出租車行駛的路程是相等的，則此人從a地到b地選擇哪一種方案比較合適?解：設(shè)a地到b地的距離為m千米起步價內(nèi)行駛的路程為a千米顯然當(dāng)ma時，選起步價為8元的出租車比較合適當(dāng)ma時,設(shè)max（x0)，乘坐起步價為10元的出租車費(fèi)用為p（x）元乘坐起步價為8元的出租車費(fèi)用為q（x）元，則p（x)101。2x，q(x）81.4x。p(x）q（x)20。2x0。2(10x)當(dāng)

6、x10時,p（x）q（x）,此時選擇起步價為10元的出租車較為合適當(dāng)x0.即a2b20.1.又lg b2lg a2lglg 10。lg b2lg a2。答案：b2已知p，qa2a1，那么p、q的大小關(guān)系是（）apq bpqcpq dpq解析：pq，a2a10恒成立且a4a20，pq0.即qp.答案:d3已知a0，b0,m,p，則m,n，p的大小順序是（)amnp bmnpcnmp dnmp解析：由已知，知m，n，得ab0時mn，可否定b、c。比較a、d項(xiàng)，不必論證與p的關(guān)系取特值a4，b1,則m4，n213，mn.可排除d.答案：a4若a,b為不等的正數(shù)，則（abkakb)（ak1bk1）(k

7、n）的符號()a恒正 b恒負(fù)c與k的奇偶性有關(guān) d與a，b大小無關(guān)解析:(abkakb)ak1bk1bk（ab)ak（ba)(ab)(bkak)a0，b0，若ab，則akbk，（ab)(bkak）0；若ab，則akbk,(ab）（bkak)0。答案:b二、填空題5若xy0，m（x2y2)（xy)，n（x2y2)（xy)，則m，n的大小關(guān)系為_解析：mn（x2y2）（xy）(x2y2）(xy）（xy）(x2y2)(xy）22xy（xy)xy0，xy0,xy0。即mn.答案：mn6設(shè)0x1，則a，b1x，c中最大的一個是_解析：由a22x，b21x22xa2，a0，b0，得ba.又cb（1x）0，

8、得cb,知c最大答案：c7如果a0，b0，則下列兩式的大小關(guān)系為lg（1）_lg(1a)lg（1b)（填不等關(guān)系符號）解析：(1a）（b1）1abab,lg（1a)lg（1b)lg 。（1)2(）22（ab），又ab2，2（ab)0.lg(1）lg（1a）lg（1b)答案：8一個個體戶有一種商品,其成本低于元如果月初售出可獲利100元，再將本利存入銀行，已知銀行月息為2。5，如果月末售出可獲利120元，但要付成本的2的保管費(fèi)，這種商品應(yīng)_出售(填“月初”或“月末”）解析：設(shè)這種商品的成本費(fèi)為a元月初售出的利潤為l1100（a100）2.5%，月末售出的利潤為l21202a，則l1l21000.025a2.51200.02a0.045,a,l1l2，月末出售好答案：月末三、解答題9已知a1，求證，證明:（）（)0，。10設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3b3（a2b2）證明：由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù),作差得a3b3(a2b2）a2（）b2（）（)（)5(）5當(dāng)ab時,從而（）5(）5，得(）（)5(）50；當(dāng)ab時，,從而(）50.所以a3b3(a2b2)11設(shè)mr，ab1，f（x)，比較f（a)與f(b）的大小解:f（a）f（b)。ab1,ba0，a