高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5 定積分的概念 1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 汽車行駛的路程學(xué)案（含解析）2-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精15。11。5.2曲邊梯形的面積汽車行駛的路程曲邊梯形的面積如下圖，陰影部分是由直線x1，x2，y0和函數(shù)f(x）x2所圍成的曲邊梯形問(wèn)題1：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別是什么？提示:前者有一邊是曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段問(wèn)題2:能否用求直邊圖形面積的方法求曲邊梯形的面積？提示：不能問(wèn)題3：當(dāng)曲邊梯形的高很小時(shí)，是否可用“直邊圖形”的面積近似代替曲邊梯形的面積?提示：可以1連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)yf(x）在某個(gè)區(qū)間i上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把它稱為區(qū)間i上的連續(xù)函數(shù)2曲邊梯形的面積(1）曲邊梯形：由直線xa，xb(ab），y0和曲線yf(x)所

2、圍成的圖形稱為曲邊梯形（如圖甲）（2)求曲邊梯形面積的方法與步驟:分割：把區(qū)間分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖乙）；近似代替:對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值；求和：把以近似代替得到的每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值求和;取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個(gè)數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個(gè)定值，即為曲邊梯形的面積“以直代曲的思想曲邊梯形的邊中有曲線，不方便直接求出其面積，把曲邊梯形分割成一系列的小曲邊梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，無(wú)限“細(xì)分去“逼近”面積的精確值，這種極限的思想是學(xué)習(xí)定積分的一

3、種很重要的思想汽車行駛的路程問(wèn)題：利用“以直代曲”的思想可以求物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程嗎？提示：可以求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為vv（t），那么它在時(shí)間t所在的區(qū)間內(nèi)的路程（或位移）也可以運(yùn)用分割;近似代替；求和；取極限的方法求得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程與曲邊梯形的面積間的關(guān)系與求曲邊梯形面積類似，我們采取“以不變代變”的方法,把求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題化歸為求勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題求曲邊梯形的面積求由直線x1,x2，y0及曲線yx3所圍成的圖形的面積(1)分割如右圖所示，用分點(diǎn)，把區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為x(i1,2,3，n)過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯

4、形abcd分割成n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積分別記作s1,s2，,sn。（2)近似代替各小區(qū)間的左端點(diǎn)為i，取以點(diǎn)i的縱坐標(biāo)為一邊，以小區(qū)間長(zhǎng)x為其鄰邊的小矩形面積,近似代替小曲邊梯形面積第i個(gè)小曲邊梯形面積,可以近似地表示為six3(i1，2，3,n)(3)求和因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值,所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形abcd面積s的近似值，即ssi3 .(4)取極限當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目越多，即x越小時(shí)，和式的值就越接近曲邊梯形abcd的面積s.因此n，即x0時(shí)，和式的極限就是所求的曲邊梯形abcd的面積因?yàn)?（ni1）3(n1)33(n1)2i3（n1)i2i3，

5、所以sli311。求曲邊梯形的面積應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)(1)根據(jù)步驟“分割、近似代替、求和、取極限”求曲邊梯形的面積s，實(shí)質(zhì)是用n個(gè)小矩形面積的和sn來(lái)逼近,sn的極限即為所求曲邊梯形的面積s.求小矩形面積時(shí)，一般選取函數(shù)在相應(yīng)小區(qū)間的左端點(diǎn)值（2）分割實(shí)現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形的面積化歸為計(jì)算矩形面積,但這是近似值,為逼近精確值，分割得越細(xì)，近似程度就會(huì)越好,無(wú)限細(xì)分就無(wú)限逼近精確值求由直線x1,x2，y0與曲線y2x2所圍成的曲邊梯形的面積解：（1)分割在區(qū)間上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間（i1,2，,n）,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為x，每個(gè)小區(qū)間內(nèi)曲邊梯形的面積記為si（i1，2，,n）,顯

6、然ssi.（2）近似代替記f（x）2x2，取i（i1,2，n）,于是sisifx22（i1,2，n）（3）求和snsi212212n22。從而得到s的近似值ssn。（4）取極限sli snli 221.求變速運(yùn)動(dòng)的路程有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，在時(shí)刻t的速度為v(t)3t22(單位：km/h)，那么該汽車在0t2(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)是多少？(1)分割在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間記第i個(gè)小區(qū)間為（i1，2，,n），其長(zhǎng)度為t。每個(gè)時(shí)間段上行駛的路程記為si（i1,2,，n)，則顯然有ssi。（2）近似代替取i(i1，2,，n)于是s

7、isivt(i1，2，n)(3）求和snsi(1222n2）44814.從而得到s的近似值sn814.（4)取極限sli snli 8412，所以這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程為12 km。變速運(yùn)動(dòng)的路程的求法求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的問(wèn)題，方法和步驟類似于求曲邊梯形的面積，用“以直代曲“逼近”的思想求解求解過(guò)程為分割、近似代替、求和、取極限應(yīng)特別注意變速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間區(qū)間已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度vgt,求在時(shí)間區(qū)間內(nèi)物體下落的距離解:（1）分割將時(shí)間區(qū)間分成n等份把時(shí)間分成n個(gè)小區(qū)間(i1，2,，n),每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間段tt,在各小區(qū)間物體下落的距離記作si(i1，2，n）(2）近似代替在每個(gè)小區(qū)間上以

8、勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速運(yùn)動(dòng)的路程在上任取一時(shí)刻i(i1,2，n），可取i使v（i）gt近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度，因此在每個(gè)小區(qū)間上自由落體t內(nèi)所經(jīng)過(guò)的距離可近似表示為sigt(i1,2,，n)（3)求和snsigtgt2.(4)取極限s gt2gt2。求由拋物線y2x2與直線x0，xt(t0)，y0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，將區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間,則第i1個(gè)區(qū)間為（）a。b。c. d.每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為，故第i1個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)為0（i2)，右端點(diǎn)為.d1解決本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為區(qū)間左端為，從而誤選c.2在將區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間時(shí)，其第1個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為0,第2個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為，依次類推，

9、第i個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)為.在求直線x0，x2，y0與曲線yx2所圍成的曲邊三角形的面積時(shí),把區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間是（）a。 b.c. d.解析：選c將區(qū)間等分為n個(gè)小區(qū)間后,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為,第i個(gè)小區(qū)間為。1在“近似代替”中,函數(shù)f(x）在區(qū)間上的近似值(）a只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi）b只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f（xi1)c可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(i）（i)d以上答案均正確解析：選c作近似計(jì)算時(shí)，xxi1xi很小，誤差可忽略，所以f(x）可以是上任一值f（i)2已知汽車在時(shí)間內(nèi)以速度vv(t)做直線運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法不正確的是（)a當(dāng)va(常數(shù)）時(shí)，汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，

10、這時(shí)路程svt1b當(dāng)vatb（a，b為常數(shù))時(shí)，汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng),這時(shí)路程sbt1atc當(dāng)vatb（a0，a，b為常數(shù))時(shí)，汽車做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，這時(shí)路程sbt1atd當(dāng)vat2btc（a0，a，b，c為常數(shù))時(shí)，汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，這時(shí)路程slisnli（i）t解析：選b對(duì)于vatb，當(dāng)a0時(shí)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a0時(shí)為勻變速直線運(yùn)動(dòng),其中a0時(shí)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，a0時(shí)為勻減速直線運(yùn)動(dòng)對(duì)于vat2btc(a0）及vv（t）是t的三次、四次函數(shù)時(shí)，汽車做的都是變速(即變加速或變減速)直線運(yùn)動(dòng),故b是錯(cuò)誤的3在計(jì)算由曲線yx2以及直線x1，x1，y0所圍成的圖形面積時(shí)，若將區(qū)間 n等分，則每個(gè)小

11、區(qū)間的長(zhǎng)度為_解析：每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為。答案:4.求由拋物線f(x）x2，直線x1以及x軸所圍成的平面圖形的面積時(shí)，若將區(qū)間等分成5個(gè)區(qū)間，如右圖所示，以小區(qū)間中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高,所有小矩形的面積之和為_解析：由題意得s(0。120。320.520.720.92）0.20.33.答案：0。335利用分割、近似代替、求和、取極限的辦法求函數(shù)y1x，x1,x2的圖象與x軸圍成梯形的面積,并用梯形的面積公式加以驗(yàn)證解：f(x)1x在區(qū)間上連續(xù),將區(qū)間分成n等份，則每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為xi，在上取ixi11（i1，2,3，n），于是f(i)f（xi1）112，從而sn(i）xin22。則slisnli .如下

12、進(jìn)行驗(yàn)證：如右圖所示，由梯形的面積公式得s(23）1。一、選擇題1下列函數(shù)在其定義域上不是連續(xù)函數(shù)的是()ayx2by|x|cy dy解析:選d由于函數(shù)y的定義域?yàn)椋ǎ?）(0，)，故其圖象不是連續(xù)不斷的曲線2在求由xa，xb（ab)，yf（x）（f(x)0）及y0圍成的曲邊梯形的面積s時(shí),在區(qū)間上等間隔地插入n1個(gè)分點(diǎn)，分別過(guò)這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，下列說(shuō)法中正確的是（)an個(gè)小曲邊梯形的面積和等于sbn個(gè)小曲邊梯形的面積和小于scn個(gè)小曲邊梯形的面積和大于sdn個(gè)小曲邊梯形的面積和與s之間的大小關(guān)系無(wú)法確定解析：選an個(gè)小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，

13、因此其面積和為s。3和式(yi1）可表示為（)a（y11)（y51）by1y2y3y4y51cy1y2y3y4y55d(y11)(y21)（y51）解析：選c（yi1)(y11）（y21）（y31)(y41）(y51）y1y2y3y4y55。4對(duì)于由直線x1,y0和曲線yx3所圍成的曲邊三角形，把區(qū)間3等分，則曲邊三角形面積的近似值(取每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn))是（）a. b。c. d。解析：選a將區(qū)間三等分為,，,各小矩形的面積和為s10333。5若做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體v（t)t2在0ta內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為9，則a的值為(）a1 b2c3 d4解析：選c將區(qū)間 n等分，記第i個(gè)區(qū)間為（i1,2,，n），

14、此區(qū)間長(zhǎng)為，用小矩形面積2近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，則sn2(1222n2)，依題意得 9，9，解得a3.二、填空題6已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為vt,t，若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高,則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為_解析：把區(qū)間10等分后，每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n1,2，10），每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為1，物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值s1(1210)55。答案：557物體運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為v(t）2t（t的單位：h；v的單位：km/h），近似計(jì)算在區(qū)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)，把區(qū)間6等分,則過(guò)剩近似值(每個(gè)i均取值為小區(qū)間的右端點(diǎn))為_km.解析:以小區(qū)間右端

15、點(diǎn)時(shí)的速度作為小區(qū)間的平均速度，可得過(guò)剩近似值為s(232425262728)166 (km）答案：668直線x0,x2,y0與曲線yx21圍成的曲邊梯形，將區(qū)間5等分，按照區(qū)間左端點(diǎn)和右端點(diǎn)估計(jì)梯形面積分別為_、_.解析：將區(qū)間5等分為，以小區(qū)間左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為高，得s11212121213。92，同理s2212121212215.52.答案:3.925.52三、解答題9汽車行駛的速度為vt2,求汽車在0t1這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s.解：(1）分割將區(qū)間等分為n個(gè)小區(qū)間，,，,每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為t.(2)近似代替在區(qū)間（i1,2,，n）上，汽車近似地看作以時(shí)刻處的速度v2做勻速行駛，則在此區(qū)間上汽車行駛的路程為2.(3)求和在所有小區(qū)間上，汽車行駛的路程和為sn02222.（4)取極限汽車行駛的路程slisnli.10求由直線x0,x1,y0和曲線yx（x1）圍成的圖形的面積解:（1）分割將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，在區(qū)間上等間隔地插入n1個(gè)點(diǎn),將區(qū)間等分成n個(gè)小區(qū)間:，,，記第i個(gè)區(qū)間為(i1，2，n）