第七章Fourier變換1

1、2021-7-11 1 FourierFourier積分變換積分變換 （傅氏變換）（傅氏變換） LaplaceLaplace積分變換積分變換 （拉氏變換）（拉氏變換） 2021-7-12 1 1、何為積分變換？、何為積分變換？ ).()(),(Fdttftk b a 記記為為 所謂積分變換，就是通過積分計(jì)算，把一所謂積分變換，就是通過積分計(jì)算，把一 個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換. . ：變變量量，具具體體形形式式可可寫寫為為這這類類積積分分一一般般要要含含有有參參 像像原原函函數(shù)數(shù)；是是要要變變換換的的函函數(shù)數(shù)，這這里里 )(tf 像像函函數(shù)數(shù)；是是變變換換后后

2、的的函函數(shù)數(shù)， )( F .),(積積分分變變換換核核是是一一個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù)， tK 2021-7-13 3 2、積分變換的產(chǎn)生、積分變換的產(chǎn)生 原原 問問 題題 原問題的解原問題的解 直接求解困難直接求解困難 變換變換較簡單問題較簡單問題 變換后問題的解變換后問題的解 求求 解 解 逆變換逆變換 2021-7-14 如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對數(shù)將數(shù)的積、如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對數(shù)將數(shù)的積、 商運(yùn)算化為較簡單的和、差運(yùn)算；商運(yùn)算化為較簡單的和、差運(yùn)算； 再如，解析幾何中的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的再如，解析幾何中的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的 保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況保角變換

3、，其解決問題的思路都屬于這種情況. . 基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換. . 其主要應(yīng)用：其主要應(yīng)用： 數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具； 能實(shí)現(xiàn)卷能實(shí)現(xiàn)卷 積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化. . 工程上：工程上：是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng)是頻譜分析、信號分析、線性系統(tǒng) 分析的重要工具分析的重要工具. . 2021-7-15 1. 1. Fourier積分與積分與Fourier 積分變換積分變換 2. 2. 單位單位 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) 3. 3. Fourier積分變換的性質(zhì)積分變換的性質(zhì), ,卷積卷積 第七章第七章

4、Fourier Fourier 變換變換 2021-7-16 定理定理1 1 一一個(gè)個(gè)周周期期上上滿滿足足：上上滿滿足足狄狄氏氏條條件件，即即在在 為為周周期期的的實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，且且在在是是以以設(shè)設(shè) 2 , 2 )( TT TtfT （1 1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)； （2 2）只有有限個(gè)極值點(diǎn)）只有有限個(gè)極值點(diǎn). . 則在則在連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)處，有處，有 變變換換積積分分公公式式與與一一、FourierFourier 7.1 Fourier7.1 Fourier變換的概念變換的概念 )1()sincos( 2 )( 1 0 n nnT tnbtna a tf

5、 2021-7-17 ).,2,1(sin)( 2 ),2,1(cos)( 2 , 2 ,d)( 2 2 2 2 2 2 2 0 ndttntf T b ndttntf T a T ttf T a T T T T T T Tn Tn T 其其中中 ).0()0( 2 1 )1( 00 0 tftf t TT 式式右右端端級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于處處，在在間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 2021-7-18 i eeee iiii 2 sin, 2 cos 由由 1 0 )sincos( 2 )( n nnT tnbtna a tf 注意：注意： )(”寫寫為為“也也有有的的課課本本上上把把“ji . 222 22 2

6、 )( 1 0 1 0 n tninntninn n tnitni n tnitni n T e iba e ibaa ee ib ee a a tf 2021-7-19 .傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)的的復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)形形式式 n nt T i nT ectf 2 )( , 2, 1, 0,)( 1 2 2 2 ndtetf T c T T nt T i Tn )2()( 1 2 2 2 2 n nt T i T T nt T i T edtetf T 2 nn n iba c 2 nn n iba c 1 0 )sincos( 2 )( n nnT tnbtna a tf 2021-7-110 )(tf 2

7、 T 2 T )()(2/, 2/tftfTT T 上作上作在在 相相等等的的范范圍圍越越大大與與越越大大)()(,tftfT T )()(,tftfT T 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 在在-T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上延拓到整個(gè)數(shù)軸上 2021-7-111 dedeftf tii )( 2 1 )( 積積分分公公式式。的的稱稱為為Fouriertf)( n ti T T i T T T T nn edef T tftf 2 2 )( 1 lim)(lim)( 即即時(shí)時(shí)的的極極限限形形式式當(dāng)當(dāng)?shù)牡暮瘮?shù)數(shù) 可可看看作作周周期期為為上上的的非非周周期期函函數(shù)數(shù)在在所所以以定定義義 ,)(

8、)(),( TtfT tf T )()(limtftfT T 2021-7-112 定定理理)(積積分分定定理理Fourier dttf Dirichlettf | )(|)2( )()1(條條件件在在任任何何有有限限區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足 :),()(上上滿滿足足在在若若 tf 則則有有 為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 為為連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) t tftf ttf dedef tii , 2 )0()0( ),( )( 2 1 2021-7-113 )3()()( dtetfF ti 設(shè)設(shè) )4()( 2 1 )(:)( deFtftf ti 的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)則則在在 逆逆變變換換。的的式式為為 變變換換的的式式

9、為為）稱稱（ FourierF Fouriertf )()4( ,)(3 )()(),()( 1 tfFFtf - FF記記為為 的的像像原原函函數(shù)數(shù)。為為像像函函數(shù)數(shù)的的為為稱稱)()(,)()( FtftfF ).()()4()3(tfF和和式式，定定義義了了一一個(gè)個(gè)變變換換對對式式和和 2021-7-114 0 sin , , 0 10 , 1 )(1 d Fourier t tf 積積分分 并并求求變變換換的的 其其它它 求求例例 得得變變換換定定義義由由解解,:Fourier 1 0 )()(dtedtetftf titi F i e e i i ti 11 1 0 i isinco

10、s1 )( cos1sin Fi 2021-7-115 deFF ti )( 2 1 )( 1 - F由由于于 dei ti cos1sin 2 1 其其它它 、 ， , 0 10, 2/1 101 t t 有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 t di cos1sin 2 1 2 1cos1 2 sin 2 1 d i d 2021-7-116 2 1sin 2 1 d于于是是 2 sin 0 dDirichlet積分積分 2021-7-117 FourierFourier變換的物理意義變換的物理意義 的的又又稱稱為為換換在在頻頻譜譜分分析析中中，傅傅氏氏變變)()(tfF 頻譜函數(shù)頻譜函數(shù) 的的稱稱為為頻頻譜

11、譜函函數(shù)數(shù)的的模模)()(tfF 振幅頻譜振幅頻譜 (簡稱簡稱頻譜頻譜） 之之為為是是連連續(xù)續(xù)變變化化的的，所所以以稱稱由由于于 連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜 頻譜圖是連續(xù)曲線頻譜圖是連續(xù)曲線 2021-7-118 t f (t) o 這個(gè)函數(shù)稱為指數(shù)衰減函數(shù)這個(gè)函數(shù)稱為指數(shù)衰減函數(shù), ,在工程中常遇到在工程中常遇到. . . ,)0( 0, 0 0, )(4 并并作作圖圖 的的頻頻譜譜求求指指數(shù)數(shù)衰衰減減函函數(shù)數(shù)例例 t te tf t 2021-7-119 0 )()(dteetfF tit F:解解 0 )( dte ti 22 1 i i 22 1 )( F t )(tf )(F 1 O O 20

12、21-7-120 7.3 單位脈沖函數(shù)及其單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換變換 一、單位脈沖函數(shù)的定義和性質(zhì)一、單位脈沖函數(shù)的定義和性質(zhì) 解：解：函數(shù)，則函數(shù)，則表示上述電路中的電荷表示上述電路中的電荷若以若以)(tq 0, 1 0, 0 )( t t tq 由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對時(shí)間的變化率，即由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對時(shí)間的變化率，即 t tqttq dt tdq ti t )()( lim )( )( 0 例：在原來電流為零的電路中例：在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)某一瞬時(shí)(設(shè)為設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位進(jìn)入一單位 電量的脈沖電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流現(xiàn)在要確定電路上的電流i

13、(t). 所以所以, , 當(dāng)當(dāng)t t 0 0時(shí)時(shí), , i(t t)=0; )=0; 當(dāng)當(dāng)t =0=0時(shí)，由于時(shí)，由于q q( (t t) )不連續(xù)不連續(xù), , 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, , q( (t t) )在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的. . 2021-7-121 如果我們?nèi)绻覀冃问叫问降赜?jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), , 得得 . 1 lim )0()0( lim)0( 00 tt qtq i tt 這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能 夠表示這樣的電流強(qiáng)度夠表示這樣的電流強(qiáng)度. . 為此為此, , 引

14、進(jìn)一稱為狄拉克引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)(Dirac) 的函數(shù)的函數(shù). . 有了這種函數(shù)有了這種函數(shù), , 對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的對于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的 量量, , 例如點(diǎn)電荷，點(diǎn)源例如點(diǎn)電荷，點(diǎn)源, , 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中 的非常窄的脈沖等的非常窄的脈沖等, , 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, , 以以 統(tǒng)一的方式加以解決統(tǒng)一的方式加以解決. . .0, ,0,0 )( t t ti 廣義函數(shù)，廣義函數(shù)， 沒有普通意義沒有普通意義 下的函數(shù)值下的函數(shù)值. . 2021-7-122 。為為函數(shù)簡稱函數(shù)狄拉克, (

15、Dirac) : :的的極極限限可可看看成成是是普普通通函函數(shù)數(shù)序序列列系系來來定定義義, , 關(guān)關(guān)常常意意義義下下“值值”的的對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值，也也不不能能用用通通 它它沒沒有有通通常常意意義義下下函函數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)廣廣義義函函數(shù)數(shù)， )(lim)( 0 tt 稱稱 t t t t ,0 0, 1 0,0 )( :)(圖形為t 1 2021-7-123 顯然顯然 1 1 )( 0 dtdtt 1)( dtt 所以所以 因此，單位脈沖函數(shù)還可因此，單位脈沖函數(shù)還可定義定義為滿足下列條件為滿足下列條件 的函數(shù)：的函數(shù)： 0)(0)1( tt 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1)()2( dtt 2021

16、-7-124 :為1的有向線段來表示 用一個(gè)長度單位脈沖函數(shù)工程上,常常 。 ： 函數(shù)值處處為零這個(gè)鄰域外, 非常大的值,的非常狹小的鄰域內(nèi)取函數(shù)在 函數(shù)可以理解為 0 t 其中有向線段長度代表函數(shù)的積分值，稱為沖激強(qiáng)度。其中有向線段長度代表函數(shù)的積分值，稱為沖激強(qiáng)度。 t )(t 1 2021-7-125 )0()()(fdttft 則點(diǎn)連續(xù),在若一般地, 0 )(tttf )()()( 00 tfdttftt 函數(shù)時(shí)刻的表示單位脈沖發(fā)生在 00) (ttt :函數(shù)的性質(zhì) (1) 對任意連續(xù)函數(shù)對任意連續(xù)函數(shù)f(t)，有，有 t t0 )( 0 tt 稱為稱為 篩選性質(zhì)篩選性質(zhì) 2021-7

17、-126 )()()2(tt 0,0 0,1 )(,)()3( t t tutu即為單位階躍函數(shù)設(shè) )()(tudtt t )( )( t dt tdu 則有則有 2021-7-127 :變換函數(shù)的Fourier 二二、 )()(tF F dtet ti )(1 0 t ti e deFt ti- 2 1 1)()( 11 FF 可見可見, 單位脈沖函數(shù)與常數(shù)單位脈沖函數(shù)與常數(shù)1構(gòu)成了一構(gòu)成了一傅氏變換對傅氏變換對； 1)( t F即即 )(1t -1 F 2021-7-128 所以所以 )(2)(1)(. 5 FFouriertf變換為的證明例 )()( 1 Ftf - F deF ti )

18、( 2 1 de ti )(2 2 1 1 0 ti e )(2)(1 FF 證：證： 1)(2 -1 F 常數(shù)常數(shù)1與與 構(gòu)成了一構(gòu)成了一傅氏變換對傅氏變換對；)(2 2021-7-129 0, 0 , 0, 1 )( t t tu 稱為單位躍階函數(shù)稱為單位躍階函數(shù). 首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換. 我們用考察我們用考察逆變換逆變換的方法證明的方法證明. . 則則事事實(shí)實(shí)上上，設(shè)設(shè)),( 1 )( i F de i tf ti )( 1 2 1 )( ).( 1 )( i tu的的傅傅氏氏變變換換為為證證明明 2021-7-130 dede i

19、 titi )( 2 11 2 1 d)( 2 1sin 2 1 ti ed t 由于由于, 2 sin 0 dx x x 所以所以 當(dāng)當(dāng) t0 時(shí)，有時(shí)，有 . 2 sinsin 000 du u u d t ut t時(shí)時(shí) 綜上所述，根據(jù)綜上所述，根據(jù)(*), 有有 )(tf 0, 0 2 1 2 1 0, 1 2 1 2 1 t t ).(tu 證畢證畢! ! )( 1 i 1 - F 2021-7-132 解：由定義，有解：由定義，有 de ti )( 2 1 0 )()( 0 和和 例例7 求求的傅氏逆變換的傅氏逆變換. . . 2 1 0 ti e 特別地特別地 )( 0 -1 F

20、2 1 )( 1 - F )(2 0 0 ti e F 2021-7-133 .)(2 0 0 構(gòu)構(gòu)成成了了一一個(gè)個(gè)傅傅氏氏變變換換對對和和即即 ti e 0 0 2 () (). (*) it ed t 特別的特別的, )(2 dte ti 2021-7-134 例例8變變換換的的求求函函數(shù)數(shù)Fourierttf 0 cos)( dttetfF ti 0 cos)()(F:解解 dteee tititi )( 2 1 00 dtee titi )( 2 1 )()( 00 )( 0 )( 0 )()(sin 000 it 同理可求得：同理可求得： 2021-7-135 常用函數(shù)傅里葉變換公式

21、常用函數(shù)傅里葉變換公式 i tue t 1 )( 1)(F F 1=)( (2)t F F )()( =cos F (3)aaat )()( = sin F (4)aaiat )( 1 =)( F (5) i tu )(2 =1 F (6) )(2= F (7) 0 0 ti e 2021-7-136 變變換換存存在在的的條條件件均均滿滿足足、假假定定Fouriertftftf)()()( 21 線線性性性性質(zhì)質(zhì). 1 ,),()(),()( 212211 為為常常數(shù)數(shù)、設(shè)設(shè)kkFtfFtf FF )()()()( 22112211 FkFktfktfk F則則 )()()()( 2 1 21

22、 1 12211 1 FkFkFkFk - FFF 7.4 Fourier變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 2021-7-137 顯而易見，顯而易見，位移公式的作用位移公式的作用是：知道了一個(gè)函數(shù)是：知道了一個(gè)函數(shù) 的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！ 位位移移性性質(zhì)質(zhì). 2 則則設(shè)設(shè)),()( Ftf F )()()1( Featf ai F )()()2( 0 0 Ftfe ti F (1)(1)在無線電技術(shù)中也稱為時(shí)移性質(zhì)。在無線電技術(shù)中也稱為時(shí)移性質(zhì)。 (2)(2)在無線電技術(shù)中也稱為頻移性質(zhì)在無線電技術(shù)中也稱為頻移性質(zhì)。 ti tfF 0 e)()( 0

23、1 F或或者者 2021-7-138 ), 0( )( 1 )( 0 0 9為實(shí)數(shù)已知 例 i F )( 1 F - F求 i F 1 )( 0 由于 )()( 1 0 1 0 FeF -ti- FF 0,0 0, t te t 0,0 0, )( )( 1 0 t te F ti - F 解：解： 于是于是 從而得到從而得到 2021-7-139 微微分分性性質(zhì)質(zhì). 3 0)(lim)( | tfFouriertf t 存存在在條條件件且且滿滿足足若若 )()()( Fitfitf FF則則 像像函函數(shù)數(shù)的的微微分分性性質(zhì)質(zhì) 則則設(shè)設(shè)),()( Ftf F)()(titfF F )()( F

24、ittf F或或 )()()( )( nnn Ftfti F一般地，一般地， 2021-7-140 )0()(.1 0,0 0, t te t tf已知0例 )(),( 2 tftttfFF求 )()(tfFF i 1 2 )( 1 )()( i F d d ittf F 32 2 22 )( 2 )()( i F d d itft F 解：解： 2021-7-141 積積分分性性質(zhì)質(zhì). 4 則則，時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)0)(),()( t dttftFtf F 1 ( ) ( ) t f t dtf t i FF 2021-7-142 例例11 11 求解微分積分方程求解微分積分方程 ),()(

25、)()(tfdxctbxtxa t ()()()(), c aiXbXXF i 其中 t+, a, b, c均為常數(shù). 解：設(shè)解：設(shè)),()(),()(tfFtxXF FF F 則則 從而從而 .)( 2 1 )( deXtx ti () (). F X c bia 故故 2021-7-143 注：運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì)注：運(yùn)用傅氏變換的線性性質(zhì), 微分性質(zhì)以及積分性質(zhì)微分性質(zhì)以及積分性質(zhì), 可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可以把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程, 通過解代通過解代 數(shù)方程與求傅氏逆變換數(shù)方程與求傅氏逆變換, 就可以得到此微分方程的解就可以得到此微分方程的解. 另另 外外

26、, 傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一傅氏變換還是求解數(shù)學(xué)物理方程的方法之一. 2021-7-144 相相似似性性質(zhì)質(zhì)6 則則設(shè)設(shè)),()( Ftf F )0()( 1 )( a a F a atf F則則 ).(2)(),()( ftFFtfF FF F則則若若 5 5、對稱性質(zhì)、對稱性質(zhì) 性性質(zhì)質(zhì)翻翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 7則則設(shè)設(shè)),()( Ftf F )()( FtfF則則 2021-7-145 性質(zhì)小結(jié): 若F f(t)=F(), F g(t)=G() )()(: | 1 )0()(: )(2)(: )( 1 d)(: )()(: )()( e)()(: )()()()(: 0 0 0 0 Ft

27、f a F a aatf ftF F i ttf Fitf Fetf Fttf GFtgtf t tj ti 翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn) 相似相似 對稱對稱 積分積分 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 位移位移 線性線性 2021-7-146 例例1 12 計(jì)算計(jì)算 。 )25( tuF 解：（先用相似性，再用位移性質(zhì)）解：（先用相似性，再用位移性質(zhì)） )25()5(),2()(tutgtutg則令 )25(tu )5(tg 5 1 5 )( tg 5 1 5 )2( tu 5 2 )( 5 1 tuFe i 5 2 )( 1 5 1 i e i ) 5 ( 5 5 1 5 2 i e i 2021-7-147 乘積定理 若F()=F

28、 f(t), G()= Fg(t), 則 1 ( ) ( )d( ) ( )d 2 f t g ttFG 能量積分 若F()=F f(t), 則有 221 ( )d( ) 2 f ttFd n這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式 2021-7-148 在與則稱之為函數(shù)收斂,對任何實(shí)數(shù))()( 2 tftf1t 即記為上的卷積,),(*)(),( 21 tftf dtff)()( 21 若廣義積分內(nèi)有定義,在設(shè)),()(),( 21 tftf dtfftftf)()()(*)( 2121 1. 1. 卷積定義卷積定義 )(*)()(*)()1( 1221 tftftftf )(*)(

29、)(*)()()(*)() 2( 3121321 tftftftftftftf 運(yùn)算規(guī)律：運(yùn)算規(guī)律： （交換律）（交換律） （分配律）（分配律） 7.4 Fourier變換的卷積性質(zhì)變換的卷積性質(zhì) 2021-7-149 , 0,0 0, )( 1 t te tf t 0,0 0, )( 2 t te tf t , 0( , 0 ) dtfftftf)()()(*)( 2121 0)(*)( 21 tftf 例例13. 求下列函數(shù)的卷積求下列函數(shù)的卷積 解：由定義解：由定義 當(dāng)當(dāng)t0時(shí)時(shí) ， t dtfftftft 0 2121 )()()(*)(0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) t ta dee 0 )( t ttt e