高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積（含2013高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1. （2013新課標(biāo)全國(guó)高考文科9)與（2013新課標(biāo)全國(guó)高考理科t7）相同一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是（1，0,1），（1,1,0)，（0,1，1），(0，0,0),畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zox平面為投影面,則得到正視圖可以為（)【解析】選a.由題意可知，該四面體為正四面體，其中一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),另外三個(gè)頂點(diǎn)分別在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，所以以zox平面為投影面，則得到的正視圖可以為選項(xiàng)a中的圖。2. （2013山東高考文科4）一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底

2、面是正方形，其正（主）視圖如圖所示，該四棱錐側(cè)面積和體積分別是（ ）a。 b. c. d。 8,8【解題指南】本題考查空間幾何體的三視圖及表面積和體積公式.【解析】選b。由圖知,此棱錐高為2，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，,側(cè)面積需要計(jì)算側(cè)面三角形的高,。3。（2013廣東高考文科6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是( ） a b c d 【解題指南】本題考查空間想象能力,要能由三視圖還原出幾何體的形狀?！窘馕觥窟xd。 由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2，則。4。 （2013廣東高考理科5）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是( ）a4 b c d6【解題指南】本題考

3、查空間想象能力與臺(tái)體體積公式，應(yīng)首先還原出臺(tái)體形狀再計(jì)算?！窘馕觥窟xb。 四棱臺(tái)的上下底面均為正方形，兩底面邊長(zhǎng)和高分別為，.5. （2013遼寧高考文科10)與（2013遼寧高考理科10）相同已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若,則球的半徑為（ ）【解題指南】對(duì)于某些簡(jiǎn)單組合體的相接問(wèn)題，通過(guò)作出截面，使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對(duì)集中在某個(gè)平面圖形中?！窘馕觥窟xc.由題意,結(jié)合圖形,經(jīng)過(guò)球心和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓,與三棱柱的側(cè)棱垂直,三棱柱的底面三角形abc為直角三角形，其外接圓的圓心為其斜邊bc的中點(diǎn),連接,由勾股定理，其中，所以球的半徑為6. (2013重慶高考理科5）某幾何體的三

4、視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ）a. b. c. d。 【解題指南】直接根據(jù)三視圖還原成原來(lái)的幾何體,然后再根據(jù)體積公式求解.【解析】選c。由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)放倒的四棱柱，底面為梯形，由三視圖可知該四棱柱的底面積為。高為。故體積為7。 （2013湖南高考理科7)已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于（ )a b c d 【解題指南】由俯視圖可知該正方體是水平放置的,則正視圖有許多種可能,但最小面應(yīng)是一個(gè)側(cè)面，最大面應(yīng)是一個(gè)垂直于水平面的對(duì)角面.【解析】選c.由于俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，所以正方體是平放在水平面上,所以正視圖最

5、小面積是一個(gè)側(cè)面的面積為1，最大面積為一個(gè)對(duì)角面的面積為，而1，所以答案c不正確.8. （2013重慶高考文科8)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ）a。 b。 c。 d。【解題指南】根據(jù)三視圖可還原原來(lái)的幾何體,然后求出該幾何體的表面積.【解析】選d.由三視圖可知該幾何體為底面為梯形的直四棱柱.底面積為，由三視圖知,梯形的腰為,梯形的周長(zhǎng)為,所以四棱柱的側(cè)面積為.表面積為.9。 （2013新課標(biāo)高考理科6)如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器,容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為(）a.

6、 b。 c. d。 【解題指南】結(jié)合截面圖形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程，求出球半徑,再利用求出球的體積.【解析】選a。 設(shè)球的半徑為r，由勾股定理可知， ,解得 ,所以球的體積.10。(2013浙江高考文科t5）已知某幾何體的三視圖(單位:cm）如圖所示,則該幾何體的體積是（）a。108cm3 b.100cm3 c。92cm3 d。84cm3【解題指南】根據(jù)幾何體的三視圖，還原成幾何體，再求體積。【解析】選b.由三視圖可知原幾何體如圖所示，所以。11. （2013湖南高考文科7)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形，則該正方體的

7、正視圖的面積等于（ ）a b。1 c。 d.【解題指南】根據(jù)面積關(guān)系得出,側(cè)視圖就是正方體的一個(gè)對(duì)角面，則正視圖也是一個(gè)對(duì)角面【解析】選d，根據(jù)條件得知正視圖和側(cè)視圖一樣，是正方體的一個(gè)對(duì)角面，故面積相等12.（2013四川高考理科3）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是（ ）【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖，在判斷時(shí)要結(jié)合三種視圖進(jìn)行判斷，特別要注意虛線的標(biāo)注?！窘馕觥窟xd.根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致,并且俯視圖是兩個(gè)圓,可知只有選項(xiàng)d合適,故選d.13。（2013四川高考文科2）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（ ）a棱柱 b棱臺(tái) c圓柱 d圓

8、臺(tái)【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖，在判斷時(shí)要結(jié)合三種視圖進(jìn)行判斷。【解析】選d,根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致且為梯形，并且俯視圖是兩個(gè)圓，可知只有選項(xiàng)d合適，故選d。14。 （2013湖北高考理科8)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為v1， v2, v3,v4，若上面兩個(gè)幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有（ ）a。 v1 v2v4 v3 b. v1 v3v2v4 c. v2v1v3v4 d. v2v3 v1v4 【解題指南】計(jì)算的大小,然后作比較.【解析】選c。 從而.15。（2013江西高考文科8）一幾何體的三

9、視圖如右所示，則該幾何體的體積為（ ）a.200+9 b. 200+18 c. 140+9 d。 140+18【解題指南】觀察三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再代入體積公式進(jìn)行計(jì)算.【解析】選a.由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體,上部是半圓柱,底面半徑為3，高為2；下部為長(zhǎng)方體,長(zhǎng)、寬、高分別為10，4，5.所以此幾何體的體積為=。16。 （2013新課標(biāo)高考文科11）與（2013新課標(biāo)高考理科8）相同某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為() a。16+8 b。8+8c.16+16 d.8+16【解題指南】觀察三視圖,根據(jù)三視圖確定幾何體的構(gòu)成，利用圓柱及長(zhǎng)方體的體積公式求解?！窘馕觥窟xa。

10、由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)半圓柱組成的幾何體， 所以體積為224+224=16+8。二、填空題17。 (2013遼寧高考文科13）與（2013遼寧高考理科13）相同某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_.【解題指南】由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，一個(gè)圓柱的內(nèi)部被挖去一個(gè)長(zhǎng)方體?！窘馕觥繄A柱的底面半徑為2,母線長(zhǎng)4，其體積被挖去一個(gè)底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)4的長(zhǎng)方體，其體積故該幾何體的體積是【答案】18。（2013新課標(biāo)高考文科15）已知h是球的直徑ab上一點(diǎn)，ah：hb=1:2,ab平面,h為垂足，截球所得截面的面積為，則球的表面積為_(kāi)?！窘馕觥恳?yàn)榻厍蛩?/p>

11、截面的面積為，所以截面的半徑為.設(shè)球的半徑為，則，由勾股定理得，解得.所以球的表面積為.【答案】。19。 （2013大綱版全國(guó)卷高考文科16）與（2013大綱版全國(guó)卷高考理科16)相同已知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球的半徑，則球的表面積等于 ?！窘忸}指南】解決本題要明確球大圓是指球的切面過(guò)圓心的圓。根據(jù)題意畫(huà)出圖形，確定圓與圓所在平面的二面角，構(gòu)造直角三角形求出半徑長(zhǎng).【解析】如圖，設(shè)公共弦,為的中點(diǎn)，則，為圓與圓所在平面的二面角.所以，又為等邊三角形，所以。又因?yàn)椋?所以，即.解得，所以。【答案】20。 （2013天津高考文科10）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上。 若球的體

12、積為， 則正方體的棱長(zhǎng)為 .【解題指南】先根據(jù)球的體積求出半徑，再根據(jù)球的直徑與其內(nèi)接正方體對(duì)角線的相等關(guān)系求其棱長(zhǎng).【解析】設(shè)球半徑為r，因?yàn)榍虻捏w積為，所以r=，又由球的直徑與其內(nèi)接正方體對(duì)角線的相等知正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為3，故其棱長(zhǎng)為.【答案】21.（2013浙江高考理科t12)若某幾何體的三視圖(單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于cm3?！窘忸}指南】先由三視圖，畫(huà)出幾何體,再根據(jù)幾何體求解?！窘馕觥坑扇晥D可知原幾何體如圖所示,所以.【答案】2422.（2013上海高考理科t13）在平面上,將兩個(gè)半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為d，如圖中陰影部分記d繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何

13、體為，過(guò)作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為_(kāi)【解析】根據(jù)提示,一個(gè)半徑為1,高為的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積的長(zhǎng)方體，這兩個(gè)幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等,即的體積值為【答案】23。（2013上海高考文科t10)已知圓柱的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r,o是上底面圓心，a、b是下底面圓周上的兩個(gè)不同的點(diǎn),bc是母線，如圖。若直線oa與bc所成角的大小為，則= .【解析】【答案】24。（2013江蘇高考數(shù)學(xué)科t8）如圖,在三棱柱a1b1c1abc中，d,e,f分別是ab,ac,aa1的中點(diǎn),設(shè)三

14、棱錐fade的體積為v1，三棱柱a1b1c1abc的體積為v2,則v1v2=.【解析】設(shè)三棱柱的底面abc的面積為s,高為h，則其體積為v2=sh。因?yàn)閐，e分別為ab,ac的中點(diǎn),所以ade的面積等于 ,又因?yàn)閒為aa1的中點(diǎn),所以三棱錐f-ade的高等于，于是三棱錐fade的體積 ，故v1v2=124.【答案】12425. (2013福建高考理科t12)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積是.【解題指南】如果考球，我們只要清楚一個(gè)結(jié)論,外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線.【解析】球是棱長(zhǎng)為2的正方體的

15、外接球，則球的直徑,所以球的表面積為s=4r2=d2=12?！敬鸢浮?226.（2013北京高考理科t14）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體abcda1b1c1d1中，e為bc的中點(diǎn),點(diǎn)p在線段d1e上，點(diǎn)p到直線cc1的距離的最小值為.【解析】如圖，過(guò)p作ph垂直上底面a1b1c1d1,過(guò)e作ee1垂直上底面a1b1c1d1，e1在線段b1c1上,p到線段cc1的距離為hc1.當(dāng)點(diǎn)p在線段ed1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，p到直線cc1距離的最小值為c1到線段d1e1的高,所以最小值就是c1d1e1的高.【答案】 27。 （2013新課標(biāo)全國(guó)高考文科15）已知正四棱錐的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以為球心，為半徑的球的表面

16、積為_(kāi)?！窘忸}指南】利用正四棱椎的性質(zhì)，求得oa的長(zhǎng)，即可得球的表面積.【解析】設(shè)正四棱錐的高為，則,解得高，則底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為,所以,所以球的表面積為.【答案】28.（2013陜西高考理科12)某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為 .【解題指南】根據(jù)空間幾何體的三視圖推導(dǎo)出該幾何體為半個(gè)圓錐,代入圓錐的體積公式求解.【解析】立體圖為半個(gè)圓錐體，底面是半徑為1的半圓，高為2。所以體積【答案】.29. （2013陜西高考文科12）某幾何體的三視圖如圖所示， 則其表面積為 。 【解題指南】根據(jù)空間幾何體的三視圖推導(dǎo)出該幾何體為半個(gè)球體，代入球的表面積公式求解?！窘馕觥烤C合三視圖可知，立體圖

17、是一個(gè)半徑r=1的半個(gè)球體.其表面積 = 【答案】30。 （2013湖北高考文科16）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書(shū)九章中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸。 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 寸。（注：平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；一尺等于十寸）【解題指南】先求出水的體積,再除以天池盆盆口的面積，得出平地降雨量?！窘馕觥繄A臺(tái)的軸截面是下底長(zhǎng)為12寸，上底長(zhǎng)為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為 【答案】331.(2013北京高考文科10）某四棱錐的三視圖如圖所示，

18、該四棱錐的體積為_(kāi)?！窘忸}指南】由三視圖可判斷出此幾何體是底面是正方形，高為1的四棱錐，再代入體積公式求體積。【解析】此棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為1，所以體積為。【答案】3三、解答題32. （2013新課標(biāo)高考文科19）如圖,三棱柱中，,.（)證明;（）若ab=cb=2， a1c=6,求三棱柱abc-a1b1c1的體積【解題指南】()取的中點(diǎn)，利用線面垂直證明線線垂直；（）求三棱柱abca1b1c1的體積，先確定線面垂直，找到三棱柱的高.【解析】（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，。因?yàn)椋?由于，故為等邊三角形，所以。因?yàn)椋悦?。又平面，故。?由題設(shè)知與都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，又，則,故.

19、因?yàn)?，所以面，為三棱柱的高。又，故三棱柱的體積.33.（2013上海高考文科t19）如圖，正三棱錐o-abc的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，求該三棱錐的體積及表面積?！窘馕觥坑梢阎獥l件可知，正三棱錐oabc的底面abc是邊長(zhǎng)為2的正三角形，經(jīng)計(jì)算得底面abc的面積為。所以該三棱錐的體積為1=.設(shè)o是正三角形abc的中心.由正三棱錐的性質(zhì)可知,oo平面abc。延長(zhǎng)ao交bc于d,連接od，得ad=，od=.又因?yàn)閛o=1，所以正三棱錐的斜高od=.故側(cè)面積為32=2。所以該三棱錐的表面積為+2=3，因此,所求三棱錐的體積為，表面積為3。34。（2013福建高考文科t18)如圖,在四棱柱pabcd中，pd平面abcd,abdc,abad，bc=5,dc=3，ad=4，pad=60. （1）當(dāng)正視方向與向量的方向相同時(shí),畫(huà)出四棱錐pabcd的正視圖(要求標(biāo)出尺寸,并寫(xiě)出演算過(guò)程）。（2）若m為pa的中點(diǎn)，求證dm平面pbc。(3)求三棱錐dpbc的體積.【解題指南】先求出各棱長(zhǎng)，畫(huà)正視圖時(shí)，先投射底面,然后連結(jié)p的投影即可;結(jié)合