數(shù)值計算第一章引論

1、數(shù)值分析數(shù)值分析 一、什么是數(shù)值分析一、什么是數(shù)值分析 數(shù)值分析是計算數(shù)學(xué)的一個主要部分,計算數(shù)學(xué)是數(shù) 學(xué)科學(xué)的一個分支,它研究用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題 的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn). 實際問題實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法 程序設(shè)計程序設(shè)計上機計算求出結(jié)果上機計算求出結(jié)果 第第1 1章章 緒論緒論 1 數(shù)值分析的研究對象與特點數(shù)值分析的研究對象與特點 二、數(shù)值分析的基本內(nèi)容二、數(shù)值分析的基本內(nèi)容 1 1、數(shù)值逼近、數(shù)值逼近 插值法 函數(shù)逼近與曲線擬和 數(shù)值積分與數(shù)值微分 2 2、數(shù)值代數(shù)、數(shù)值代數(shù) 線性代數(shù)問題(方程組和特征值) 非線性方程(組)數(shù)值解法 3 3、常微方

2、程數(shù)值解法和偏微方程數(shù)值解法、常微方程數(shù)值解法和偏微方程數(shù)值解法 三、數(shù)值分析的特點三、數(shù)值分析的特點 , 1 ) 1( 3 1 2 1 12ln 1 n n ). 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 (22ln 753 vs , 32 )1ln( 32 xx x x 1 1、面向計算機、面向計算機 2 2、可靠的理論分析、可靠的理論分析, ,保證收斂性、穩(wěn)定性保證收斂性、穩(wěn)定性 3 3、良好的計算復(fù)雜性、良好的計算復(fù)雜性 4 4、數(shù)值實驗、數(shù)值實驗 Cramer法則 vs Gauss消去法. 3 1 ln1 2() 3 1 3 x x x x x 取 四、如何學(xué)好數(shù)值分析

3、四、如何學(xué)好數(shù)值分析 1 1、注意掌握基本原理、處理技巧，誤差分析、注意掌握基本原理、處理技巧，誤差分析 3 3、積極動手上機實踐、積極動手上機實踐 2 2、注重實際問題，練習(xí)、作業(yè)、注重實際問題，練習(xí)、作業(yè) 五、教學(xué)參考書五、教學(xué)參考書 數(shù)值計算引論 白峰杉 高等教育出版社 科學(xué)和工程計算基礎(chǔ) 施妙根等 清華大學(xué)出版社 數(shù)值分析，易大義等編，浙江科學(xué)技術(shù)出版社 數(shù)值方法教程，劉欽圣等編 , 冶金出版社,1998 計算方法，秦林祥等編, 兵器工業(yè)出版社,1992 數(shù)值分析基礎(chǔ)，關(guān)治等編 , 高教出版社,1998 一、誤差來源、分類一、誤差來源、分類 觀測誤差觀測誤差 截斷誤差截斷誤差或方法誤差

4、方法誤差 模型誤差模型誤差 2 數(shù)值計算的誤差數(shù)值計算的誤差 截斷誤差： n n n x n f x f x f fxPxf ! )0( ! 2 )0( ! 1 )0( )0()()( )( 2 1 ) 1( )!1( )( )( n n n x n f xR 舍入誤差舍入誤差 .0000026. 014159. 3R數(shù)制轉(zhuǎn)換、機器數(shù). 在用數(shù)值方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差歸 納起來有如下幾類： 1. 模型誤差 2. 觀測誤差 3. 截斷誤差 4. 舍入誤差 誤差誤差誤差誤差誤差誤差 用數(shù)學(xué)方法解決一個具體的實際問題，首先要建立 數(shù)學(xué)模型，這就要對實際問題進行抽象、簡化，因 而數(shù)學(xué)模型本身總含

5、有誤差，這種誤差叫做模型誤 差 數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實而建立起 來的有關(guān)量的描述 數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實際問題的真解不同 實際問題的實際問題的 真解真解 數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)模型的 真解真解 為減化模型忽略次要為減化模型忽略次要 因素因素 定理在特定條件下建立與實定理在特定條件下建立與實 際條件有別際條件有別 模型誤差模型誤差 在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、 長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的， 因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差 數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗得 到的 由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制, 使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做

6、觀測誤差或數(shù)據(jù) 誤差 根據(jù)實際情況可以得到誤差上下界 數(shù)值方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值 方法與之適應(yīng) 觀測誤差觀測誤差 精確公式用近似公式代替時,所產(chǎn)生的誤差叫截斷誤 差 例如, 函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項式 截斷誤差截斷誤差 n n n x n f x f x f fxp ! )0( ! 2 )0( ! 1 )0( )0()( )( 2 1 ) 1( )!1( )( )()()( n n nn x n f xpxfxR （介于0與x之間） 近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是 p 截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算截斷誤差的大小直

7、接影響計算結(jié)果的精度和計算 工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差 在數(shù)值計算中只能對有限位字長的數(shù)值進行 運算 需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位 字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處 理 用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍 入誤差，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差 舍入誤差舍入誤差 誤差誤差誤差誤差誤差誤差 例例如在計算時用如在計算時用3.141593.14159近似代替近似代替 ， 產(chǎn)生的誤差產(chǎn)生的誤差R= R= -3.14159=0.0000026-3.14159=0.0000026 就是舍入誤差。就是舍入誤差。 上述種種誤差都會影響計算結(jié)

8、果的準(zhǔn)確上述種種誤差都會影響計算結(jié)果的準(zhǔn)確 性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計算 中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它中將著重研究截斷誤差、舍入誤差，并對它 們的傳播與積累作出分析們的傳播與積累作出分析 二、誤差、有效數(shù)字二、誤差、有效數(shù)字 定義定義1 1 絕對誤差，絕對誤差，簡稱誤差：誤差： .* ,*的近似值為準(zhǔn)確值其中xxxxe 誤差限：誤差限：.|*|*的一個上界e 相對誤差：相對誤差： , * * x e er 相對誤差限：相對誤差限：.| * 的一個上界 rr e . * * * x e er或 5 . 0765 x例如，毫米尺 5.100

9、0 1,10 yx例如， 0.5%. | %,10 | * * yx y x .000008. 0 ,1416. 3 ,002. 0 ,14. 3 ,1415926. 3 * 5 * 5 * 3 * 3 x x x 取五位 取三位 定義定義2 2 .* ,* 有效數(shù)字有效數(shù)字位有位，就說的第一位非零數(shù)字共有到 該位的半個單位的誤差限是某一位數(shù)字若近似值 nxnx x 例例1 1 42.195, 0.0375551, 8.00033 8.00033, 2.71828,按四舍五 入寫出上述各數(shù)具有四位有效數(shù)字的近似數(shù). (2.2) 10 2 1 * . 0 (2.1) )1010(10* 1 1

10、) 1(1 21 nm n n m xx a aaax 并且其中 即 例例2 2 考察三位有效數(shù)字重力加速度g, 若以m/s2為單位, g9.80m/s2, 若以km/s2為單位, g0.00980km/s2, ,10 2 1 80. 9g 2 3. 0, ) 1 . 2(nm，按 ,10 2 1 00980. 0g 5 3. , 3 ) 1 . 2(nm，按 .10 2 1 2* 1 絕對誤差限 .10 2 1 5* 2 絕對誤差限 .0.00980/0.0000050.005/9.80 * r 而相對誤差限相同： 1 10 2 1 * nm 30 4 1 0.00009260.5 100.

11、5 10 xx 解解1：若取近似值x*=3.1415，絕對誤差是0.0000926，有 ， 即m=0,n4，故近似值x*=3.1415只有4位有效數(shù)字 解2：x*3.1415的絕對誤差限絕對誤差限0.0005，它是x的小數(shù)后第第3位位 的半個單位，故近似值x*=3.1415準(zhǔn)確到小數(shù)點后第3位 故近似值x*=3.1415只有4位有效數(shù)字 例例3 設(shè)x= =3.1415926，求x*=3.1415的近似值及有效數(shù)字 1(1) 12 1 *(1) 1 * *10(1010) (2.1) 0 . * 1 10 2 mn n n r x xaaa axn a 設(shè)近似數(shù)表示為 其中若具有 位有效數(shù)字，則

12、其相對誤差限為 ； 定理定理 *(1) 1 1 * 10* 2(1) . n r xx a n 反之， 若的相對誤差限為，則 至少具有 位有效數(shù)字 200.1%要使的相對誤差限小于，要取幾位有效數(shù)字？例例4 4 1 1 1 10 2 n a 1 *11 1 204.4,4 1 100.125 100.1%4 2 nn r a n a 只要取 解：解：設(shè)取n位有效數(shù)字，相對誤差限*r= ， 1 3 1 100.0025 22 16 1 10= 0.000 000 56 29 例例5 指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相 對誤差限： 0.002 009 000.00 解解 因為x1*=

13、0.002 00， m=3 絕對誤差限0.000 005= 因為m=3，n=3， x1*= 0.002 00有3位有效數(shù)字. a1=2， 相對誤差限r(nóng)= x2*=9 000.00，絕對誤差限0.005，因為m=3，n=6，x2*=9 000.00 有6位有效數(shù)字，相對誤差限為r 如果認為小數(shù)點后邊的0無用，將9 000.00隨便寫作9000 9103，那么它的絕對誤差就是=0.5=0.51034+1，即m=3， n=4，表明這個數(shù)有4位有效數(shù)字 可見，小數(shù)點之后的0，不是可有可無的，它是有實際 意義的. 53 3 11 0.5 100.5 100.5 10 m n 三、數(shù)值運算的誤差估計三、數(shù)

14、值運算的誤差估計 * 1212 ,x xxx四則運算，設(shè)為準(zhǔn)確值為近似值，則：誤差限 . | )(|)(| )/( ),(|)(|)( ),()()( 2* 2 * 1 * 2 * 2 * 1 * 2 * 1 * 1 * 2 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 x xxxx xx xxxxxx xxxx ,*, ,*)(*)*)(*)()( ,*,)( 2 2 )( 之間在 公式由為近似值為準(zhǔn)確值，一元函數(shù) xxxxxxxfxfxf Taylorxxxf f *).(|*)(|*)( *)( xxfxf xf 的誤差限得 ).(*)( ),( ,),( * 1 *

15、* 1 1 * 11 k n kk n nnn x x f f xxf xxxxxxf 的誤差限同理得 的近似值為準(zhǔn)確值，多元函數(shù) * (8) ( *)( *)( *). sld ss sld ld 場地面積：書上第 頁例例6 6 ABC *(1000.10) , *(1200.10) , *(600.02) ,ABCS o bm cm A 例 設(shè)觀測數(shù)據(jù)為 試估計面積 的絕對誤差限和相對誤差限。 2 1 sin 2 ()( )( )() 11 sin0.1sin0.1 22 1 cos0.0210.57 2180 SbcA SSS SbcA bcA cAbA bcAm 解由則 3 ( )10

16、.57 |( )| |2.035 10 1 sin 2 r s s s bcA 誤差分析簡介誤差分析簡介 向后誤差分析法 區(qū)間分析法 概率分析法 3 誤差定性分析、避免誤差危害誤差定性分析、避免誤差危害 ).,( ),( 11 1 nnfl n aagx aagx ， xy yx , 一、病態(tài)問題與條件數(shù)一、病態(tài)問題與條件數(shù) . , , )( )( )( )(*)( 條件數(shù)稱為計算函數(shù)值問題的 考慮計算函數(shù)值問題 p p xf xf x x x xf xfxf C C %.24%,2 ,24. 1)02. 1 (, 1) 1 (,10,)( 10 函數(shù)值相對誤差為誤差為 自變量相對例如ffCx

17、xf p .10認為是病態(tài)一般 p C .,考慮是否病態(tài)條件數(shù)其他計算問題也要考慮 二、算法的數(shù)值穩(wěn)定性二、算法的數(shù)值穩(wěn)定性 考慮初始數(shù)據(jù)誤差在計算中的傳播問題. . 1 1 0 7 d , 0,1, . nx n Iex ex n 計算并估計誤差例例 , ,. 舍入義一個算法若輸入數(shù)據(jù)有誤差 而在計算過程中 不增長 則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的 否則是不誤差穩(wěn)定的 定定3 3 , 2 , 1 ,1 1 nnII nn ., 2 , 1 ,1 ,6321. 0 )( 1 0 nInI I A nn .1 1 0 eI . 1 , 8 , 9 ),1 ( ,0684. 0 )( * 1 * 1 * 9

18、 nII I B n n n )0684. 0) 1010 1 ( 2 1 ( 1 9 e I 控制遞推公式中誤差的傳播控制遞推公式中誤差的傳播 對于一個數(shù)學(xué)問題的求解往往有多種數(shù)值方法對于一個數(shù)學(xué)問題的求解往往有多種數(shù)值方法 在選擇數(shù)值方法時，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將在選擇數(shù)值方法時，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將 計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算計算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計算 結(jié)果完全失真。結(jié)果完全失真。 例例 計算積分計算積分 并估計誤差并估計誤差 解解 容易得到遞推公式容易得到遞推公式 1 0 (0,1,2,10) 10 n n x Idxn x 1 . 1ln

19、)10ln( 10 11 0 1 0 0 xdx x I 1.1ln)10ln( 10 11 0 1 0 0 xdx x I 1 0 1 1 0 1 1 0 11 1 0 10 10 10 10 10 1010 10 dx x x dx x xx dx x xxx dx x x I nnnnnnn n 1 1 0 1 1 0 1 10 1 10 10 n n n I n dx x x dxx )10, 2 , 1(n 即即 為為 n I 1 1 1 0(1, 2 ,1 0 ) nn IIn n (1,2,10)n 則準(zhǔn)確的理論遞推式則準(zhǔn)確的理論遞推式 實際運算的遞推式實際運算的遞推式 兩式相減

20、有兩式相減有 01 101II * 0 * 1 101II )(10)(10 * 0 * 00 * 11 IeIIII *2* 112200 ( )10()( 10) ()( 1) 10 () nn nnnnnnn e IIIIIIIII 這就是說這就是說, ,若若 與與 的誤差為的誤差為 = = - , ,即即 ，則誤差的遞推規(guī)律為，則誤差的遞推規(guī)律為 0 I * 0 I)( * 0 Ie 0 I * 0 I )( * 0 * 00 IeII 于是于是 )(10)(10)(10)( * 0 10* 8 2* 9 * 10 IeIeIeIe 計算計算 時的誤差被擴大了時的誤差被擴大了 倍倍,

21、,顯然算法是顯然算法是 數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值不穩(wěn)定的。 如果將遞推公式如果將遞推公式 變換一種形式變換一種形式 * 10 I 10 10 1 10 1 nn I n I 1010 1 1 n n I n I 準(zhǔn)確的理論遞推式準(zhǔn)確的理論遞推式 實際運算的遞推式實際運算的遞推式 從而有從而有 1010 1 1 n n I n I 1010 1 * * 1 n n I n I )( 10 1 * 11nnnn IIII )( 10 ) 1( )( 10 1 )( 10 1 * 22 2 * 11 * 00nn n n IIIIIIII 即即 )( 10 1 )( 10 1 )( 10 1 )( * 1

22、0 10 * 2 2 * 1 * 0 IeIeIeIe于是有于是有 則這個算法的誤差傳遞規(guī)律為則這個算法的誤差傳遞規(guī)律為 * * 1 () () 10 n n e I e I 即每計算一步的誤差的絕對值是上一步的十分即每計算一步的誤差的絕對值是上一步的十分 之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這 個算法是數(shù)值穩(wěn)定的個算法是數(shù)值穩(wěn)定的 算法的數(shù)值穩(wěn)定性 算法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn) 從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小, 收斂斂速要快。即運算量小,機器用時少. 從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要 能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定. 從實現(xiàn)算法的觀點看,算法的

23、邏輯結(jié)構(gòu)不宜太 復(fù)雜，便于程序編制和上機實現(xiàn). 設(shè)計算法時應(yīng)遵循的原則 要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播. 避免大數(shù)吃小數(shù),即兩數(shù)相加時,防止較小的 數(shù)加不到較大的數(shù)上. 避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟 失. 避免分母很小(或乘法因子很大),以免產(chǎn)生溢 出. 三、避免誤差危害的若干原則三、避免誤差危害的若干原則 除了分清問題是否病態(tài)和算法是否數(shù)值穩(wěn)定外,還要 考慮避免誤差危害和防止有效數(shù)字損失的如下原則. 1.避免大數(shù)除以小數(shù) 例例8 仿計算機，采用3位十進制，用消元法求解方程組 5 1.00 101.001.00 1.001.002.00 xy xy )1000. 100. 2

24、()1000. 100. 1 ( 00. 100. 11000. 1 55 5 y yx x，得消 00. 1 00. 100. 11000. 1 5 y yx 00. 1* ,00. 0* yx 解：解： 錯.為什么,怎么辦？ 9999899. 0 00001. 1 5 5 5 5 101 102 101 10 y x 5 10) 1 () 2( 減少運算誤差原則減少運算誤差原則 2 2、兩個相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重損失有效數(shù)字、兩個相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重損失有效數(shù)字 例如例如x =1958.75x =1958.75，y =1958.32y =1958.32都具有五位都具有五位 有效數(shù)字，但有效數(shù)

25、字，但x-y=0.43x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字 通常采用的方法是改變計算公式通常采用的方法是改變計算公式, ,例如當(dāng)與例如當(dāng)與 很接近時很接近時, ,由于由于 2 1 21 lglglg x x xx 用右端代替左端公式計算用右端代替左端公式計算, ,有效數(shù)字就不會損失有效數(shù)字就不會損失 減少運算誤差原則減少運算誤差原則 當(dāng)當(dāng)x很大時可作相應(yīng)的變換很大時可作相應(yīng)的變換 xx xx 1 1 1 ) 1(1 1 ) 1( xx arctgarctgxxarctg 則用右端來代替左端。則用右端來代替左端。 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則 當(dāng)當(dāng)x接近接近0 0時時 x

26、 x x x sin1 sin sin cos1 一般情況，當(dāng)一般情況，當(dāng)f(x)f(xf(x)f(x* *) )時，可用泰勒展開時，可用泰勒展開 2* )( ! 2 )( )()()(xx xf xxxfxfxf 取右端的有限項近似左端。取右端的有限項近似左端。 如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位如果計算公式不能改變，則可采用增加有效位 數(shù)的方法保證精度數(shù)的方法保證精度 2 12 1610. x863 ,863 xx x 求解例例9 9 7 2 A10 1 cos2 . 1 cos2sin 2 x x 。 計算（）例例1010 xx xx 1 1 1 12301. 001. 001.

27、001. 001. 001. 0123 100100 項項 例例11 仿計算機在3位十進制下， 、防止防止大數(shù)大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù) 例 求二次方程x2-105x+1=0的根 解：按二次方程求根公式 x1=(105+(1010-4)1/2)/2 x2=(105-(1010-4)1/2)/2 在8位浮點數(shù)計算得 x1=(105+105 )/2=105 (正確）, x2=(105-105 )/2=0 (錯誤） 產(chǎn)生錯誤的原因 出現(xiàn)大數(shù)1010吃掉小數(shù)4的情況 分子部分出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減而喪失有 效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消 4、絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù) 當(dāng)分母為兩個相近數(shù)相減時,會喪失有效數(shù)字 4 ()()

28、 10 () 0.14560.14550.0001 分子分子 分子 這里分子的誤差被擴大這里分子的誤差被擴大104104倍倍, ,再如再如 若將分母變?yōu)槿魧⒎帜缸優(yōu)?.0011,0.0011,即分母只有即分母只有0.00010.0001的變化的變化 時時, ,計算結(jié)果卻有了很大變化計算結(jié)果卻有了很大變化 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則 3.1415 3141.5 0.001 9 .2855 0011.0 1415.3 例 計算 0135. 00125. 00003. 0 0012. 00143. 00005. 0 D 解: 分子分母分別計算后相除(取9位小數(shù)) A=0.0005*0.

29、0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入) B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135 =0.000000051(有舍入) D=A/B=0.17647 真值為0.16948148，所以D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則 算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0135=0.088889 (有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,準(zhǔn)確到小數(shù)后5位。 0135.00125.00003.0 0012.00143.00005.0 D b bc ca a 減少運算誤差若干原則減少運算誤差若干原則 5、簡化計算步驟，減少運算次數(shù)減少運算次數(shù)可 以不但節(jié)省時間，而且減少舍入誤差 例：x255=xx2x4x8x16x32x64x128 原先要做254次乘法現(xiàn)只需14次即可 例 如計算多項式 p(x)=anxn an-1xn-1 a1x a0 的值 若直接計算ak