彈性力學(xué)-第二章第二節(jié)

1、2-4 廣義廣義Hooke定律定律(物理方程物理方程, 本構(gòu)方程本構(gòu)方程) l由材料力學(xué)已知，由材料力學(xué)已知，Hooke定律可表示為：定律可表示為： E 單向拉壓 純剪切 E為拉壓彈性模量 橫向與縱向變形關(guān)系 G G為剪切彈性模量 為泊松比 )1 (2 E G 一一. 各向同性材料的廣義各向同性材料的廣義Hooke定律定律 對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在彈性力學(xué)假設(shè)條件下，應(yīng)用疊加原理：對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在彈性力學(xué)假設(shè)條件下，應(yīng)用疊加原理： 考慮x方向的正應(yīng)變： x 產(chǎn)生的x方向應(yīng)變： E x x 1 y 產(chǎn)生的x方向應(yīng)變： E y x 2 z 產(chǎn)生的x方向應(yīng)變： E z x 3 疊加 321xxxx )(

2、 1 zyx E 同理： )( 1 xzyy E )( 1 yxzz E 剪應(yīng)變：剪應(yīng)變： 物理方程： G xy xy G zx zx G yz yz G yz yz G zx zx G xy xy )( 1 yxzz E )( 1 zyxx E )( 1 xzyy E 說(shuō)明： 1.方程表示了各向同性材料的應(yīng) 力與應(yīng)變的關(guān)系，稱為廣義 Hooke定義。也稱為本構(gòu)關(guān)系或 物理方程。 2.方程組在線彈性條件下成立。 二二. 體積應(yīng)變與體積彈性模量體積應(yīng)變與體積彈性模量 )( 21 zyxzyx E 令： zyx )( zyx E 21 則： 令： 3 )( zyx m m稱為平均應(yīng)力; 稱為體積應(yīng)

3、變 KE m m )21 (3 稱為體積彈性模量 )21 (3 E K K m 三三. 物理方程的其他表示形式物理方程的其他表示形式 物理方程： xy xy xy G ： 2令 EE x 1 )( 1 zyxx E )( 1 zyxxx E xy xy xy E 1 2 xy xy xy E 1 2 EE yy 1 EE zz 1 yz yz yz E 1 2 zx zx zx E 1 2 EE xx 1 用應(yīng)變表示應(yīng)力：用應(yīng)變表示應(yīng)力： xyxyzz zxzxyy yzyzxx EE EE EE )1 (2 , 211 )1 (2 , 211 )1 (2 , 211 或： xyxyxyzz

4、zxzxzxyy yzyzyzxx GGG GGG GGG 2,2 2,2 2,2 各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系 )21 ( 3 , )21)(1 ( , )1 (2 E K EE G 四四. 廣義廣義Hooke定律定律(物理方程物理方程)的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式 ) 1 ( ),( ),( ),( ),( ),( ),( 6 5 4 3 2 1 zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx f f f f f f 廣義虎克定律廣義虎克定律(物理方程物理方程)描述應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系描述應(yīng)力

5、與應(yīng)變的關(guān)系, 6個(gè)應(yīng)力分量可表述為6個(gè)應(yīng)變分量的函數(shù)。 當(dāng)自變量當(dāng)自變量(應(yīng)變應(yīng)變)很小時(shí)，式（）中的各表達(dá)很小時(shí)，式（）中的各表達(dá) 式可用泰勒級(jí)數(shù)展開略去二階及以上的高階微式可用泰勒級(jí)數(shù)展開略去二階及以上的高階微 量，則式（）中的第一式展開為：量，則式（）中的第一式展開為： zx zx yz yz xy xy z z y y x x x fff fff f 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01) ( 01) ( f表示應(yīng)變分量為零時(shí)的值，由基本假設(shè)，初始應(yīng)力為 零故 0)( 01 f 0 1 ij f 表示函數(shù)f1對(duì)應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量為零 時(shí)的值，等于一個(gè)常數(shù)

6、故故, 式（）可用一個(gè)線性方程組表示式（）可用一個(gè)線性方程組表示 )2( 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 zxyzxyzyxzx zxyzxyzyxyz zxyzxyzyxxy zxyzxyzyxz zxyzxyzyxy zxyzxyzyxx aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 式（）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，實(shí)際上與虎克定律線性關(guān)式（）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，實(shí)際上與虎克定律線性關(guān) 系一致，是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)系

7、一致，是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng) 變的一般關(guān)系式變的一般關(guān)系式 式（）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共式（）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共 有個(gè)有個(gè) )6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,(jiaij 由均勻性假設(shè)，彈性體各點(diǎn)作用同樣應(yīng)力由均勻性假設(shè)，彈性體各點(diǎn)作用同樣應(yīng)力 時(shí)，必產(chǎn)生同樣的應(yīng)變，反之亦然因此為時(shí)，必產(chǎn)生同樣的應(yīng)變，反之亦然因此為 常數(shù)，其數(shù)值由彈性體材料的性質(zhì)而定常數(shù)，其數(shù)值由彈性體材料的性質(zhì)而定 ij a 式（）推導(dǎo)過(guò)程未引用各向同性假設(shè)，式（）推導(dǎo)過(guò)程未引用各向同性假設(shè)， 故可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、故可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、 二

8、維各向同性體以及各向同性體等二維各向同性體以及各向同性體等 式式(3)可用簡(jiǎn)寫為可用簡(jiǎn)寫為 D D 稱為彈性矩陣稱為彈性矩陣. 式（）可用矩陣表示式（）可用矩陣表示 ) 3( 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 zx tz xy z y x zx yz xy z y x aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa 物體內(nèi)的任一點(diǎn)物體內(nèi)的任一點(diǎn), 沿各個(gè)方向的性能都不相沿各個(gè)方向的性能都不相 同同, 則稱為極端各向異性體則稱為極端各向異性

9、體. (這種物體的材料極這種物體的材料極 少見少見) nmmn aa 五五. 彈性常數(shù)彈性常數(shù) 1. 極端各向異性體極端各向異性體: 由能量守恒定律和應(yīng)變能理論可證明由能量守恒定律和應(yīng)變能理論可證明,彈性常數(shù)彈性常數(shù) 之間存在關(guān)系之間存在關(guān)系 即使在極端各向異性條件下即使在極端各向異性條件下, 式式(2)中的中的36個(gè)個(gè) 彈性常數(shù)也不是全部獨(dú)立彈性常數(shù)也不是全部獨(dú)立. 36個(gè)彈性常數(shù)減少到個(gè)彈性常數(shù)減少到21個(gè)個(gè). 彈性矩陣是對(duì)稱矩陣彈性矩陣是對(duì)稱矩陣. )4( 66 5655 464544 36353433 2625242322 161514131211 a aa aaa aaaa aaaa

10、a aaaaaa D 稱 對(duì) l彈性矩陣為彈性矩陣為 l極端各向異性體的特點(diǎn)極端各向異性體的特點(diǎn): zyx , (1) 當(dāng)作用正應(yīng)力當(dāng)作用正應(yīng)力 時(shí)時(shí), 不僅會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)變不僅會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)變 , 還會(huì)引起剪應(yīng)變還會(huì)引起剪應(yīng)變 。 (2) 當(dāng)作用剪應(yīng)力時(shí)當(dāng)作用剪應(yīng)力時(shí), 不僅會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)變不僅會(huì)產(chǎn)生剪應(yīng)變, 也會(huì)引起正也會(huì)引起正 應(yīng)變。應(yīng)變。 x zxyzxy , 2.正交各向異性體正交各向異性體 如在均勻體內(nèi)如在均勻體內(nèi), 任意一點(diǎn)都存在著一個(gè)對(duì)稱面任意一點(diǎn)都存在著一個(gè)對(duì)稱面, 在任意兩個(gè)與此面對(duì)稱的方向上在任意兩個(gè)與此面對(duì)稱的方向上, 材料的彈性性質(zhì)材料的彈性性質(zhì) 都相同。都相同。 稱為具有一個(gè)彈

11、性對(duì)稱面的各向異性體。稱為具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體。 該對(duì)稱面稱為彈性對(duì)稱面該對(duì)稱面稱為彈性對(duì)稱面, 垂直于彈性對(duì)稱面的方垂直于彈性對(duì)稱面的方 向稱為物體的彈性主方向。向稱為物體的彈性主方向。 具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體具有一個(gè)彈性對(duì)稱面的各向異性體, 彈性常數(shù)彈性常數(shù) 有有13個(gè)。單斜晶體個(gè)。單斜晶體(如正長(zhǎng)石如正長(zhǎng)石)具有這類彈性對(duì)稱。具有這類彈性對(duì)稱。 l如果在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)如果在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性對(duì) 稱面稱面, 這種物體稱為正交各向異性體。如這種物體稱為正交各向異性體。如: 煤塊、煤塊、 均勻的木材、疊層膠木、復(fù)合材料等均勻的木材、疊

12、層膠木、復(fù)合材料等 正交各向異性體有正交各向異性體有9個(gè)彈性常數(shù)。其彈性矩陣為個(gè)彈性常數(shù)。其彈性矩陣為 )5( 0 00 000 000 000 66 55 44 33 2322 131211 a a a a aa aaa D 稱 對(duì) 3.橫觀各向同性體橫觀各向同性體 如物體內(nèi)任意一點(diǎn)如物體內(nèi)任意一點(diǎn), 在平行于某一在平行于某一 平面的所有各個(gè)方向都有相同的彈性性平面的所有各個(gè)方向都有相同的彈性性 質(zhì)質(zhì), 這類正交異性體為橫觀各向同性體。這類正交異性體為橫觀各向同性體。 如不同層次的土壤、復(fù)合板材等。如不同層次的土壤、復(fù)合板材等。 橫觀各向同性體只有五個(gè)彈性橫觀各向同性體只有五個(gè)彈性 常數(shù)常數(shù)

13、, 彈性矩陣為彈性矩陣為 )6( 0 00 2 000 000 000 55 55 1211 33 1311 131211 a a aa a aa aaa D 稱 對(duì) 物體內(nèi)任意一點(diǎn)物體內(nèi)任意一點(diǎn), 沿任何方向的彈性性質(zhì)都相同沿任何方向的彈性性質(zhì)都相同。 4.各向同性體各向同性體 各向同性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)各向同性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù), 彈性矩陣為彈性矩陣為: )7( 2 0 2 00 2 000 000 000 1211 1211 1211 11 1211 121211 aa aa aa a aa aaa D 稱 對(duì) zxzx yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx aa

14、 aa aa aaa aaa aaa )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 1211 1211 1211 111212 121112 121211 zxzx yzyz xyxy zz yy xx aa aa aa aaa aaa aaa )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( )( )( 1211 1211 1211 121112 121112 121112 可見: Gaaa2, 121111 , )1 (2 , )21)(1 ( E G E 2-5 斜面應(yīng)力公式與應(yīng)力邊界條件斜面應(yīng)力公式與應(yīng)力邊界條件 已知物體在任一點(diǎn)已知物體在任一點(diǎn)P的六個(gè)應(yīng)力分量的六個(gè)應(yīng)力分量 ， 求經(jīng)過(guò)求經(jīng)

15、過(guò)P點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。 , xyzxyyxyzzyzxxz 令平面令平面ABC的外法線為的外法線為N，其方向余弦為，其方向余弦為 cos,cos,cos,N xlN ymN zn 設(shè)三角形設(shè)三角形ABC的面積為的面積為 S，則三角，則三角 形形BPC、CPA、APB的面積分別為的面積分別為l S 、 m S、 n S。四面體。四面體PABC的體積用的體積用 V 表示。三角形表示。三角形ABC上的應(yīng)力上的應(yīng)力 在坐標(biāo)在坐標(biāo) 軸方向的分量用軸方向的分量用XN、YN、ZN代表。根代表。根 據(jù)四面體的平衡條件據(jù)四面體的平衡條件 ，得，得 N s 0 x F 0 Nxyxzx

16、XSl Sm Sn SX V x xz xy yx y yz zy zx z YNXN ZN N y x z o A B C P x xz xy yx y yz zy zx z YNXN ZN N y x z o A B C P 除以除以 S，移項(xiàng)后，得移項(xiàng)后，得 Nxyxzx V XXlmn S 當(dāng)斜面當(dāng)斜面ABC趨近于趨近于P點(diǎn)時(shí)，由于點(diǎn)時(shí)，由于 V是比是比 S更高一階的更高一階的 微量，所以微量，所以 V/ S趨于零。于是得出下式中的第一式。同趨于零。于是得出下式中的第一式。同 樣，由平衡條件樣，由平衡條件 可以得出其余兩式?？梢缘贸銎溆鄡墒?。0,0 yz FF Nxyxzx Nxyyz

17、y Nxzyzz Xlmn Ylmn Zlmn 設(shè)三角形設(shè)三角形ABC上的正應(yīng)力為上的正應(yīng)力為 N , 則由投影可得則由投影可得 NNNN lXmYnZ 將上式代入，得將上式代入，得 222 222 Nxyzxyyzzx lmnlmmnnl 斜面應(yīng)力(Cauchy)公式 設(shè)三角形設(shè)三角形ABC上的剪應(yīng)力為上的剪應(yīng)力為 N，由于，由于 222222 NNNNNN sXYZ 所以有所以有 22222 NNNNN XYZ 在物體的任意一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)力在物體的任意一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)力分量分量 就就 可以求得任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。就是說(shuō)，六個(gè)應(yīng)力分量完可以求得任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。就

18、是說(shuō)，六個(gè)應(yīng)力分量完 全決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。全決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 , xyzxyyzzx 如果如果ABC是物體的邊界面，則是物體的邊界面，則XN、YN、ZN成為面力分成為面力分 量量 ，于是得出，于是得出 , ,X Y Z xyxzx xyyzy xzyzz lmnX lmnY lmnZ 即即彈性體的應(yīng)力邊界條件彈性體的應(yīng)力邊界條件。 它表明了應(yīng)力分量的邊界值與表面力分量之間的關(guān)系。它表明了應(yīng)力分量的邊界值與表面力分量之間的關(guān)系。 2-6 位移邊界條件位移邊界條件 在位移邊界問(wèn)題中，位移分量在邊界上還應(yīng)當(dāng)滿足位移邊在位移邊界問(wèn)題中，位移分量在邊界上還應(yīng)當(dāng)滿足位移邊 界條件界條件 uu v

19、v ww 在給定位移的表面在給定位移的表面Su上上 注：在給定某方向的面力后，就不能再給定該方向的位移；注：在給定某方向的面力后，就不能再給定該方向的位移； 反之亦然。但可某些方向給定位移，其它方向給定面力，即反之亦然。但可某些方向給定位移，其它方向給定面力，即 混合邊界條件?；旌线吔鐥l件。 l前幾節(jié)中給出的力分量、應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和前幾節(jié)中給出的力分量、應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和 位移分量，其表示方法引用的是記號(hào)法；位移分量，其表示方法引用的是記號(hào)法； 這是一種公認(rèn)的彈性力學(xué)參量表示方法。這是一種公認(rèn)的彈性力學(xué)參量表示方法。 2-7 彈性力學(xué)參量的指標(biāo)表示法彈性力學(xué)參量的指標(biāo)表示法 l近年來(lái)，數(shù)

20、學(xué)理論中的指標(biāo)表示法開始出現(xiàn)在力近年來(lái)，數(shù)學(xué)理論中的指標(biāo)表示法開始出現(xiàn)在力 學(xué)文獻(xiàn)及教科書中。學(xué)文獻(xiàn)及教科書中。 l指標(biāo)表示法書寫簡(jiǎn)潔，便于力學(xué)問(wèn)題的理論推導(dǎo)。指標(biāo)表示法書寫簡(jiǎn)潔，便于力學(xué)問(wèn)題的理論推導(dǎo)。 一一.指標(biāo)表示法指標(biāo)表示法 1. 指標(biāo)符號(hào)指標(biāo)符號(hào) 具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個(gè)帶下標(biāo)的具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個(gè)帶下標(biāo)的 字母表示：字母表示： 如：位移分量如：位移分量u、v 、w表示為表示為u1 、u2、u 3，縮寫為，縮寫為ui（i=1,2,3） 坐標(biāo)坐標(biāo)x、y、z表示為表示為x1、 x2、 x3 ，縮寫為，縮寫為xi（i=1,2,3）。）。 單位矢量單位矢量i、j、

21、k表示表示ei（i=1,2,3）。）。 應(yīng)力分量：應(yīng)力分量： zzzyzx yzyyyx xzxyxx 可表示為：可表示為： 333231 232221 131211 縮寫為：縮寫為：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(ji ij 同理，應(yīng)變分量可表示為：同理，應(yīng)變分量可表示為：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(ji ij 向量向量 表示為表示為 a 3 1 332211 i iie aeaeaeaa 三階線性方程組三階線性方程組 3333231 2232221 1131211 Pzayaxa Pzayaxa Pzayaxa )3 , 2 , 1( 3 1 iPxa ij j

22、 ij 可表示為可表示為 縮寫為縮寫為 )3 , 2 , 1( 332211 iPxaxaxa iiii 2.愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定 在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)一次，則表示要把在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)一次，則表示要把 該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復(fù)指標(biāo)稱為該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo) （簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱啞標(biāo)） )3 , 2 , 1( ieaa ii 例 )3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiPxa ijij 求和指標(biāo) j求和指標(biāo) i非求和指標(biāo) 稱為自由指標(biāo) 3333232131 2323222121 1313212111 Pxaxax

23、a Pxaxaxa Pxaxaxa 332211 eaeaeaa 說(shuō)明：說(shuō)明： l（1）對(duì)于重復(fù)次數(shù)大于）對(duì)于重復(fù)次數(shù)大于1的指標(biāo)，求和約定無(wú)效。的指標(biāo)，求和約定無(wú)效。 例：例： l（2）啞標(biāo)的有效范圍僅限于本項(xiàng)。）啞標(biāo)的有效范圍僅限于本項(xiàng)。 l（3）多重求和可采用不同的啞標(biāo)表示。）多重求和可采用不同的啞標(biāo)表示。 例：例： l（4）啞標(biāo)可局部地成對(duì)替換。）啞標(biāo)可局部地成對(duì)替換。 l（5）自由指標(biāo)必須整體換名。）自由指標(biāo)必須整體換名。 l（6）當(dāng)自由指標(biāo)恰好在同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)一次，為避免混淆，）當(dāng)自由指標(biāo)恰好在同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)一次，為避免混淆， 應(yīng)聲明對(duì)該指標(biāo)不求和。應(yīng)聲明對(duì)該指標(biāo)不求和。 l例

24、例 iiii i ii cbacbacbacbacba 3 1 333222111 3 1 3 1ij jiijjiij xxaxxa )( 不求和ibaC iiii 3.求導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)記方法求導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)記方法 l微分算符簡(jiǎn)記法微分算符簡(jiǎn)記法 i i x , ij ji xx , 2 i i x , l例例: ji j i u x u , jki kj i u xx u , 332211, uuuu x u ii i i 求和約定求和約定 33 ,22,11 , dxudxudxudxudx x u iii i jjjiji ji i uuuu xx u 3 , 32, 21 , 1, 4.克羅內(nèi)克

25、克羅內(nèi)克(Kroneker)符號(hào)符號(hào) )cos( jiij ee ji ee ji ji ij 0 1 100 010 001 333231 232221 131211 ij 具有如下性質(zhì)具有如下性質(zhì) ij (1) 3 ij (2) jiij AA ij 也稱也稱換名算子換名算子 同理同理: ijkjik Aa ijkjik A 4. 置換符號(hào)置換符號(hào) 表示，有個(gè)分量。定義：表示，有個(gè)分量。定義： ijk e 為非循環(huán)序列 為逆循環(huán)序列 為循環(huán)序列 ),(0 ),(1 ),(1 kji kji kji eijk 有兩個(gè)以上的指標(biāo)相同 置換符號(hào)用于簡(jiǎn)化公式的書置換符號(hào)用于簡(jiǎn)化公式的書 寫寫 行列

26、式：行列式： 333231 232221 131211 aaa aaa aaa a kjiijk aaaea 321 二二. 彈性力學(xué)方程的指數(shù)表示彈性力學(xué)方程的指數(shù)表示 (1) 平衡平衡(運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng))微分方程微分方程 2 2 , 0 t u F i ijji 0 0 0 2 2 2 2 2 2 t w Z zyx t v Y zyx t u X zyx z yz xz zyyxy zx yx x x y z xyyx yzzy zxxz u x v y w z vu xy wv yz wu xz (2) 幾何方程幾何方程 ijjiij uu , 2 1 (3) 物理方程物理方程 ijkkiji

27、j E v E v 1 xy xy xy E 1 2 EE yy 1 EE zz 1 yz yz yz E 1 2 zx zx zx E 1 2 EE xx 1 kkkk E v 21 E 21 ijijkkij G2 xyxyxyzz zxzxzxyy yzyzyzxx GGG GGG GGG 2,2 2,2 2,2 (4) 邊界條件邊界條件 力邊界條件力邊界條件: ijij Tn 位移邊界條件位移邊界條件: ii uu 1. 迭加原理迭加原理: 彈性體受幾組外力同時(shí)作用時(shí)的解彈性體受幾組外力同時(shí)作用時(shí)的解 (應(yīng)力、應(yīng)變和位移應(yīng)力、應(yīng)變和位移)等于每一組外力單獨(dú)作用時(shí)等于每一組外力單獨(dú)作用時(shí)

28、 對(duì)應(yīng)解的和對(duì)應(yīng)解的和. 2-8 彈性力學(xué)的幾個(gè)基本定義彈性力學(xué)的幾個(gè)基本定義 (1) 迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件 是線性的是線性的. 說(shuō)明說(shuō)明: (2) 對(duì)大變形問(wèn)題對(duì)大變形問(wèn)題, 幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項(xiàng)幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項(xiàng), 平衡方程將受到變形的影響平衡方程將受到變形的影響, 迭加原理不再適用。迭加原理不再適用。 (3) 對(duì)非線彈性或彈塑性材料對(duì)非線彈性或彈塑性材料, 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非 線性線性, 迭加原理不成立。迭加原理不成立。 (4) 對(duì)非線性邊界條件對(duì)非線性邊界條件, 迭加原理也失效。迭加原理也失效。 2.

29、解的唯一性定理：解的唯一性定理： 在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部 各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束， 則位移解也是唯一的。則位移解也是唯一的。 無(wú)論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊無(wú)論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊 界條件，就一定是問(wèn)題的真解。界條件，就一定是問(wèn)題的真解。 3.圣維南原理圣維南原理: 提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對(duì)物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生此力系對(duì)物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生 影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。 提法二：若在