第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算

1、上一堂課內(nèi)容回顧 p 地球地球形狀形狀 p 大地水準(zhǔn)面與地球橢球大地水準(zhǔn)面與地球橢球 大地水準(zhǔn)面（一次逼近）大地水準(zhǔn)面（一次逼近） 地球橢球（二次逼近）地球橢球（二次逼近） 參考橢球參考橢球 p 地球重力場地球重力場 地球引力（位）地球引力（位） 離心力（位）離心力（位） 重力（位）重力（位） 垂線偏差垂線偏差 p 地球磁場地球磁場 地磁七要素 上一堂課內(nèi)容回顧 p 重力場與地磁場的異同 相同點(diǎn)：相同點(diǎn)： 均為人為不可控天然穩(wěn)定場（對導(dǎo)航有利） 均隨空間位置變化，具有一定的空間分布規(guī)律 都隨時間發(fā)生微小變化 不同點(diǎn)：不同點(diǎn)： 重力場和地磁場成因不同、性質(zhì)不同； 重力場為單極場，地磁場近似為偶極

2、場； 重力場為強(qiáng)場，地磁場為弱場； 地磁場為強(qiáng)時變，重力場弱時變； 第四章第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 張小紅 武漢大學(xué)測繪學(xué)院 導(dǎo)航學(xué) 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 4.1 地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 4.3 地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系 4.4 地球橢球上的曲率半徑地球橢球上的曲率半徑 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算橢球面上的弧長計(jì)算 4.6 法截線與大地線法截線與大地線 4.7 大地主題解算大地主題解算

3、 4.8 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 4.9 把地面觀測值歸算至橢球面把地面觀測值歸算至橢球面 第四講 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第一節(jié) 地球橢球的幾何參數(shù) 及其相互關(guān)系 4.1 地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 p 橢球上的點(diǎn)和線 地球橢球是一個具有合適的形狀和大小的橢圓繞短軸旋轉(zhuǎn)一周 后所形成的一個旋轉(zhuǎn)橢球 北極N和南極S 橢球中心O 赤道平面（赤道圈） 子午面（子午圈） 平行圈或緯圈 旋轉(zhuǎn)橢球體的特點(diǎn) 對稱性 過任意一點(diǎn)的子午圈的形狀和大小相同 平行圈（緯圈）和赤道圈都是正圓 子午圈的形狀和大小子午圈的形狀和大小 決定了地球橢球的

4、形狀和大小決定了地球橢球的形狀和大小 4.1 地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 p 橢球的基本幾何參數(shù) 橢球長半徑 橢球短半徑 橢球的扁率 橢球的第一偏心率 橢球的第二偏心率 a b e e ab a 22 ab e a 22 ab e b 上述上述5個參數(shù)中任選兩個參數(shù)就能表示橢球的形狀和大小，但其個參數(shù)中任選兩個參數(shù)就能表示橢球的形狀和大小，但其 中至少有一個長度參數(shù)中至少有一個長度參數(shù) ，通常選，通常選 和和ae 2 0.0066944e 89 2 10e 1011 1.3 10e 其中a，b稱為長度元素，扁率反映了橢球體的扁平程度。 偏心率是子午橢圓的焦點(diǎn)離開中心的距離與橢圓半徑之比，它

5、們 也反映橢球的扁平程度，偏心率愈越大，橢球越扁 4.1 地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 p 橢球幾何參數(shù)間的相互關(guān)系 ab a 1ba 22 ab e a 2 1bae 2 1abe 22 ab e b 2 2 1 1 1 e e 2 2 1 1 1 e e 2 11 e 22 2e 22 111ee 4.1 地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 p 輔助參數(shù)（為簡化后續(xù)公式推導(dǎo)） 極點(diǎn)處的子午曲率半徑 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第二節(jié) 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系 及其相互關(guān)系 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 大地坐標(biāo)系 大地坐標(biāo)系是大地測量學(xué)與導(dǎo)航學(xué)中常用的一種坐標(biāo)系，亦

6、稱 地理坐標(biāo)系或橢球坐標(biāo)系 它是以經(jīng)過橢球定位后的地球橢球上所定義的點(diǎn)線面點(diǎn)線面為參考的 一種坐標(biāo)系。 地面一點(diǎn)的大地坐標(biāo)（B，L，H) 大地緯度B (N/S 090) 大地經(jīng)度L (E/W 0180) 大地高H 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 空間直角坐標(biāo)系是大地測量與導(dǎo)航計(jì)算常用的坐標(biāo)系 p 空間直角坐標(biāo)系定義 坐標(biāo)原點(diǎn)O：位于總地球橢球(或參考橢球)中心 Z軸：與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，指向某段時間的平均北極點(diǎn)； X軸：指向由平均格林尼治天文臺和平均自轉(zhuǎn)軸所確定的子午面 與赤道面的交點(diǎn)GeGe； Y軸：垂直于X軸和Z軸構(gòu)成右手系 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相

7、互關(guān)系 p 子午面直角坐標(biāo)系（大地坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換所需的中間坐標(biāo)系） P點(diǎn)為空間某點(diǎn)P 沿法線方向在地球橢球上的投影點(diǎn)，以過P點(diǎn)的子午 橢圓中心為原點(diǎn)，建立一個平面直角坐標(biāo)系，x軸與子午橢圓的長軸重 合，y 軸與橢圓的短軸重合。 在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用( x, y)表示 過P點(diǎn)作子午橢圓的切線TP，切線的斜率為 0 tan(90)B 22 22 1 xy ab 2 2 tan (9 0)co tB d ybx B d xay 2 (1)tanyxeB 222 22 1sin 1 cos xeB aB 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 子午面直角坐標(biāo)系 2 cos

8、(1)sin xNB yNeB 引入輔助參數(shù)引入輔助參數(shù) cosaB x W 2 (1)tanyxeB 2 (1) sin ae yB W cos a N W xNB 令： 則： 代入x 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)空間直角坐標(biāo) 2 coscos cossin (1)sin XNHBL YNHBL ZNeHB 2 coscos cossin (1)sin XNBL YNBL ZNeB 在橢球面上的點(diǎn) 不在橢球面上的點(diǎn)（推導(dǎo)） cos sin XxL YxL Zy 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 大地坐標(biāo)系到空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換推導(dǎo)思路 建立

9、空間直角坐標(biāo)系 建立子午面直角坐標(biāo)系（中間過渡） 推導(dǎo)子午面直角坐標(biāo)和大地緯度與橢球有關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系 找到空間直角坐標(biāo)和子午面直角坐標(biāo)之間的相互關(guān)系 建立空間直角坐標(biāo)和大地坐標(biāo)之間的關(guān)系 4.2 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)大地坐標(biāo) 迭代公式 22 222222 2222 22 sin1tan tan 1(1)tan arctanarcsinarccos cos zNeBaeB Bz xyxyeB yyx L x xyxy xy HN B 迭代初值：迭代初值： 2 222222 tanB tan xx1+tan zce B yyeB 或 4.2 大地坐標(biāo)系、空間

10、直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)大地坐標(biāo)系 直接公式 2 22222 23 2223 2222 arctan1 sin arctan cos arctan cossin1sin aZbe u b XYXYZ Zebu B XYe au Y L X HXYBZBaeB 22 23 2223 arctan sin arctan cos aZ u b XY Zebu B XYe au 低精度直接公式低精度直接公式高精度直接公式高精度直接公式 緯度的精度可達(dá) 7 1 10 大地高的誤差小于 6 10cm 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第三節(jié) 地心緯度、歸化緯度及其 與大地緯度間的關(guān)系 4.

11、3 地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系 p 4.3 地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系 p 空間直角坐標(biāo)與歸化緯度間的關(guān)系 P點(diǎn)在子午面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) cosxau sinybu cos cos cos sin sin XauL YauL Zbu 22 22 1 xy ab cos sin XxL YxL Zy 4.3 地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系 p cos cos B u W coscosBWu sinsinBVu 2 tan(1)taneB 2 tan1taneu Bu 4.3 地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系 p 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間大地

12、緯度、地心緯度、歸化緯度之間 的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)?shù)牟町惡苄?，?jīng)過計(jì)算，當(dāng)B=45B=45時：時： 8.11)( 9.5)( 9.5)( max max max B u uB uB Bu 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第四節(jié) 地球橢球上的曲率半徑 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 基本知識 三角函數(shù)級數(shù)展開 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 基本知識 弧度和度的定義 180 =2R周長 角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度來表示角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度來表示 角度制：角度制：規(guī)定周角的規(guī)定周角的360分之一為分之一為1度的角度的角 弧度制：弧度制：規(guī)定長度等于半徑的弧長所對的圓

13、心角為規(guī)定長度等于半徑的弧長所對的圓心角為1弧度弧度 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 子午圈曲率半徑M dB dS M ( )yf x 對于一條平面曲線 其曲率半徑可用下式計(jì)算 3 2 2 2 2 1() dy dx d y dx 22 22 1 xy ab 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 子午圈曲率半徑M B dx dS sin BdB dx M sin 1 W Ba x cos 2 cossin W dB dW BBW a dB dx W BBe dB Bed dB dWcossinsin1 222 )1 ( sin 2 3 e W Ba dB dx 22 1sinWeB dB dS

14、M 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 子午圈曲率半徑M 2 3 (1)ae M W 3 V c M BM說明 極點(diǎn)處的子午曲率半徑 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 卯酉圈 過橢球面上任意一點(diǎn)P可作一條垂直 于橢球面的法線PF，包含這條法線的 平面叫作法截面，法截面與橢球面的 交線叫法截線 過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個 法截面，其中與子午面垂直的法截面 稱為卯酉面卯酉面，卯酉面與橢球面的交線 稱為卯酉圈卯酉圈 卯酉圈的曲率半徑通常用符號N表示 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 卯酉圈曲率半徑N 麥尼爾定理：假設(shè)通過曲面上 一點(diǎn)引兩條截弧，一條為法截 ?。先Γ粭l為斜截弧 （平行圈），

15、且在該點(diǎn)上這兩 條截弧具有公共切線，這時斜 截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑 r 等 于法截弧的曲率半徑 N 乘以兩 截弧平面夾角 B 的余弦 cosrNB 22 1sin aa N W eB cosaB r W V c N 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑N就是從就是從P點(diǎn)至法線與橢球短軸的交點(diǎn)點(diǎn)至法線與橢球短軸的交點(diǎn)F間的距離間的距離cosrPFB (課后推導(dǎo)) 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 卯酉圈曲率半徑N BM說明 22 1sin a N eB 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 子午圈和卯酉圈圈曲率半徑級數(shù)展開（實(shí)際計(jì)算） 2468 02468 2468 02468 sinsinsinsin s

16、insinsinsin MmmBmBmBmB NnnBnBnBnB 2468 02468 2468 02468 coscoscoscos coscoscoscos MmmBmBmBmB NnnBnBnBnB 或 顧及8次項(xiàng)的計(jì)算公式一般已能保證mm級的計(jì)算精度 （參見4-47式） 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 任意方向法截弧的曲率半徑 子午法截弧是南北向，方位角為0或180 卯酉法截弧是東西向，其方位角為90或270 子午法截弧和卯酉法截弧在P點(diǎn)處正交 過P點(diǎn)的子午曲圈率半徑M和卯酉圈曲率半徑N稱為曲面在該 點(diǎn)的兩個主曲率半徑 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 任意方向法截弧的曲率半徑 N

17、 A M A R A 22 sincos1 AMAN MN RA 22 sincos 22 1(cosB) N Ve M 為微小量 ABe N A N RA 2222 coscos1cos1 )coscos1 ( 4422 AANR A 尤尤 拉拉 公公 式式 級數(shù)展開級數(shù)展開 A為任意法截弧的 大地方位角 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p 平均曲率半徑 平均曲率半徑就是過該點(diǎn)的所有的法截弧的曲率半徑的算術(shù)平均值 積分積分 橢球面上任一點(diǎn)處的平均曲率半徑就等于該處的子午圈曲率半橢球面上任一點(diǎn)處的平均曲率半徑就等于該處的子午圈曲率半 徑與卯酉圈曲率半徑的幾何平均

18、值徑與卯酉圈曲率半徑的幾何平均值 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p M、N、R 的關(guān)系 MRNcMRN 909090 曲率半徑NRM 公式 4.4 地球橢球上的曲率半徑 p M、N、R 的數(shù)值表 BN(m)R(m)M(m) 637824563568636335553 637967563597146339816 638358863675186351488 638894563782096367491 639431563889366383561 639825563968116395368 639969963996996399699 參數(shù)：克拉索夫斯基橢球體參數(shù)：克拉索夫斯基橢球體 第 五 講 第四章

19、 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 上一堂課內(nèi)容回顧 p 地球橢球的幾何參數(shù)及其相互關(guān)系 p 大地坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系及其相互關(guān)系 p 地心緯度、歸化緯度及其與大地緯度間的關(guān)系 p 橢球上的曲率半徑 子午圈曲率半徑 M 法截弧、卯酉圈的定義，卯酉圈曲率半徑 N 任意方向上的法截弧曲率半徑 RA 平均曲率半徑 R Bu MRN N,R,M均隨緯度增大而增大 B=90時，N=R=M=c 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第五節(jié) 橢球面上的弧長計(jì)算 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 子午線弧長 子午橢圓的一半，它的端點(diǎn)與極點(diǎn)重合 赤道又把子午線分成對稱的兩部分 橢球上每個子午圈的形狀和大小均相同 計(jì)算子午線弧長與該

20、子午圈的經(jīng)度無關(guān) 推導(dǎo)從赤道沿子午線至任一緯度B的子午 線弧長計(jì)算公式就可以計(jì)算出所需要的 子午弧長 PPQPQP 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 子午線弧長計(jì)算公式 其中 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 子午線弧長計(jì)算公式 2 4 6 8 11 sincos2 22 311 sincos2cos4 828 51531 sincos2cos4cos6 16321632 357711 sincos2cos4cos6cos8 128163216128 BB BBB BBBB BBBBB 02468 cos2cos4cos6cos8MaaBaBaBaB 6824 0 sin2sin4sin6sin8

21、 2468 aaaa Sa BBBBB 小于小于0.1mm，可以忽略，可以忽略 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 子午線計(jì)算公式 克拉索夫斯基橢球： 1975年國際橢球： CGCS2000地球橢球： WGS 84橢球： 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 當(dāng)子午線很短時，例如子午線兩端的緯差 時，可 將子午線視為圓弧。其曲率半徑采用兩端的平均緯度處 的子午曲率半徑 p 子午線弧長公式可簡化為： 20B m B SM 3.1415926535897932 57.2957795130823210 3437.746770798493917 206264.806247096355 1弧度對應(yīng)的度，分，秒值

22、4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 不同地球橢球上的子午線弧長 橢球 克拉索夫斯基橢球5540944.4632212405.7233328538.740 1975年國際橢球5540849.6452212367.2963328482.349 CGCS2000橢球5540847.0392212366.2533328480.786 WGS 84橢球5540847.0562212366.2563328480.800 2050 20 50 S 北緯 至北緯 的子午線弧長 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 平行圈（圓）弧長計(jì)算 經(jīng)度差 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p由子午線弧長求大地緯度 迭代解法 直接解法 1

23、 0 1 0 6824 / ()/ ()sin2sin4sin6sin8 2468 f ff fffff ii iiiii BS a BSF Ba aaaa F BBBBB 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 曲率半徑M、N及弧長S、S隨緯度B的變化 6335439.3276378137.0001842.904630.71511855.324830.9221 6337358.1216378780.8441843.462830.72441827.322730.4554 6342888.4836380635.8071845.071530.75121744.118129.0686 6351377.104

24、6383480.9181847.540730.79231608.104726.8017 6361815.8276386976.166850.577230.84301423.236923.7205 6372955.9266390702.8441853.917730.89701194.929219.9155 6383453.8586394209.1741856.871530.9479930.000015.5000 6392033.1936397072.4881859.367130.9895636.442410.6074 6397643.3276398943.4601860.999031.01673

25、23.22485.3871 6399593.6266399593.6261861.566331.02610.00000.0000 1850.5772 4.5 橢球面上的弧長計(jì)算 p 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第六節(jié) 法截線與大地線 4.6 法截線與大地線 p 法截線面與法截線 過橢球面上任意一點(diǎn)P可作一條垂直于橢球面的法線PF，包含這 條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線 4.6 法截線與大地線 p 相對法截線 地球橢球是一個旋轉(zhuǎn)橢球，過橢球面上任意一點(diǎn) D作橢球面的法 線時，該法線必定位于過D點(diǎn)的子午面上，與橢球短軸交于D1 D點(diǎn)在子午平面直角坐標(biāo)系中的y坐標(biāo)為 2 2

26、22 (1)sin 1sin D D D aeB yOD eB 1 22 1sin D D a DDN eB 121 22 sin sin 1sin D D D aB D DDDB eB 22 1122 22 sin 1sin D D eB ODD DOD eB 4.6 法截線與大地線 p 相對法截線 如果橢球上另有一點(diǎn)E，（ ， ），過E點(diǎn)作橢球的 法線（該法線位于過E點(diǎn)的子午面內(nèi)），與橢球短軸交于E1 ED LL ED BB 2 1 22 sin 1sin E E eB OE eB 22 1 22 sin 1sin D D eB OD eB 11ED BBOEOD 4.6 法截線與大地線

27、p 相對法截線 當(dāng)橢球面兩個點(diǎn)不在同一子午圈上 ，也不在同一平行圈上時，兩點(diǎn)間 就有兩條法截線存在 D點(diǎn)(D到E)正法截線 D點(diǎn)(E到D)反法截線 稱為相對法截線 DdE EeD 不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線不重合不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線不重合 DdEEeD 正法截線：正法截線：過某一點(diǎn)的法線和橢球面上的另一點(diǎn)作一法 截面，與橢球相交的線為該點(diǎn)的正法截線 反法截線：反法截線：過另一點(diǎn)的法線和該點(diǎn)作一法截面，與橢球 相交的線為該點(diǎn)的反法截線 4.6 法截線與大地線 p 相對法截線 不在同一子午圈或同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線不重合 某點(diǎn)的緯度越高，其法線

28、與短軸的交點(diǎn)離開橢球中心就越遠(yuǎn) 法截線BbA偏上（北），法截線AaB偏下（南） 當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或 同一平行圈時，正反法截線重合 4.6 法截線與大地線 p 相對法截線 北半球，A點(diǎn)在B點(diǎn)的 南面，則A的正法截 線也在南面，而反法 截線在北面 南半球則相反 北向 東向 正法截線 反法截線 AB方向在不同象限時，正反法截線的關(guān)系方向在不同象限時，正反法截線的關(guān)系 4.6 法截線與大地線 p 大地線的提出 正反法截線不重合 橢球面上A，B，C三個點(diǎn)處所測得角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角)不 能構(gòu)成閉合三角形（圖中實(shí)線部分的觀測角） 為了克服這個矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條 唯一的大地線大地線代替相

29、對法截線，從而得 到由大地線構(gòu)成的封閉橢球面三角形 內(nèi)角和不等于內(nèi)角和不等于180180 4.6 法截線與大地線 p 兩點(diǎn)之間的最短距離 平面上是連接兩點(diǎn)的直線端 球面上是連接兩點(diǎn)的大圓弧段（圓心和球心重合的圓就是大圓） 在橢球面上呢？ 4.6 法截線與大地線 p 大地線定義 定義定義1：大地線上每點(diǎn)的密切平面（無限接近的三個點(diǎn)構(gòu)成的平面 ）都包含該點(diǎn)的曲面法線，即大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲 面法線重合。大地線又稱為測地線。（微分幾何中的定義） 定義定義2：橢球面上兩點(diǎn)間距離最短的曲線叫大地線 p 在平面上大地線就是一條直線 p 在球面上大地線是一段大圓弧 （圓心和球心重合的圓就是大圓）

30、4.6 法截線與大地線 p 大地線的性質(zhì) 大地線是兩點(diǎn)間唯一最短線 大地線位于相對法截線之間 大地線更靠近正法截線 大地線上任何點(diǎn)的密切平面就是該點(diǎn)的法截面 兩點(diǎn)的正反法截線不重合，它們之間的夾角，在一等三角測量 中(平均點(diǎn)間距40km)可達(dá)千分之四秒 大地線與正法截線的夾角 大地線與法截線長度之差非常小，可忽略不計(jì) 在橢球面上進(jìn)行測量和計(jì)算時，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù) 地面上測得的方向，距離等，應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向和距離 1 3 4.6 法截線與大地線 p 大地線的微分方程 指的是大地線的弧長S與所定義坐標(biāo)系中的自變量間的微分關(guān)系 在空間直角坐標(biāo)系中 dS與dx，dy，dz間的關(guān)系 在

31、大地坐標(biāo)系統(tǒng)中 dS與dL，dB，dA間的關(guān)系 4.6 法截線與大地線 p 球面三角形余弦定理 若已知球面三角形若已知球面三角形ABC的三頂點(diǎn)是的三頂點(diǎn)是A、B、C，其所對應(yīng)的三邊分，其所對應(yīng)的三邊分 別是別是a, b, c，則有球面上的角余弦定理，則有球面上的角余弦定理: cosA = - cosBcosC + sinBsinCcosa 4.6 法截線與大地線 p 大地線的微分方程 球面三角形球面三角形( (p p1 1p p3 3N)N)余弦定理余弦定理: : 2 cosB dLsinpprdLNdSA 21 cosp pM dBdSA cos(90)cos90 cos sin90 sin

32、cos(90(B dB) dAdL dL sinB sin cos dAdL A dLdS NB 微小量 4.6 法截線與大地線 p 大地線微分方程 sin tan A dAB dS N 4.6 法截線與大地線 p 大地線的克萊勞方程 積分積分 克萊勞定理克萊勞定理： cosBrN cossinNBAC 21 12 rsinA rsinA cosBrNsin dr MB dB 4.6 法截線與大地線 p 大地線的克萊勞方程 克萊勞定理克萊勞定理： 當(dāng)大地線穿越赤道時，B=0，r=a，A=A0 0 sinACa 當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時，A=90，設(shè)r=r0，B=B0 0 Cr 某一大地線常數(shù)等于

33、橢球半徑與該大地線穿越赤道時的大地方位角 正弦的乘積，或者等于該大地線上具有最大緯度的那一點(diǎn)的平行圈 半徑 cossinNBAC可用于檢測緯度和大地方位角計(jì)算的正確性 思考：赤道是不是大地線，子午圈是不是大地線？ 4.6 法截線與大地線 p 大地線的克萊勞方程 圖中有一條大地線，該大地 線在與赤道相交的E點(diǎn)處的 大地方位角為A ，則該大地 線將與半徑 的平行 圈相切于F點(diǎn)，然后調(diào)頭向 南，而不會跑到緯度更高的 地區(qū)去 sinAra 4.6 法截線與大地線 p 相對法截線夾角 4.6 法截線與大地線 p 截面差 A點(diǎn)的大地線與正法截線的夾角（截面差）： 可忽略不計(jì) 在一、二等大地測量中，截面差具

34、有系統(tǒng) 性，為防止誤差的不斷積累，進(jìn)行方向觀 測值的歸算時均需施加截面差改正 導(dǎo)航中很少在橢球面上進(jìn)行精密方向觀測 值的計(jì)算 4.6 法截線與大地線 p 大地線與法截線的長度之差 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第七節(jié) 大地主題解算 4.7 大地主題解算 大地主題解算分為: 短距離(400km) 中距離(1000km) 長距離(1000km以上) 4.7 大地主題解算 p 大地主題解算 在涉及描述地球表面或近地空間相關(guān)學(xué)科，如大地測量、導(dǎo)航制 導(dǎo)、遠(yuǎn)程導(dǎo)彈的彈道解算、遠(yuǎn)洋航海、航天測控和地球物理等領(lǐng) 域的問題時，經(jīng)常會遇到計(jì)算橢球面上兩點(diǎn)之間距離、方向等問 題 是彈道計(jì)算的核心算法 在航路規(guī)劃中

35、，大地主題解算是最基本的運(yùn)算，其運(yùn)算的速度， 運(yùn)算結(jié)果的精度將直接關(guān)系到航路規(guī)劃的效果 4.7 大地主題解算 p 大地主題解算 解算時涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算與推導(dǎo)，以前沒有電子計(jì)算機(jī)，處理 非常繁瑣，先后有一大批學(xué)者致力于大地主題解算的研究 1806年法國著名數(shù)學(xué)家勒讓德首先采用泰勒級數(shù)將大地線微分方 程展開為大地線長度的升冪級數(shù)，用以解算大地主題 歷史上研究大地主題解算的算法有許多種，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，有100 多種，如Gauss 法、Helmer t 法、Bessel 法和Boring 法等 手工推導(dǎo)得到的直接解算公式，形式較復(fù)雜，使用不甚方便 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，大地主題解算更簡單，更準(zhǔn)確 4

36、.7 大地主題解算 p 大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程 cos sin cos tan sinA dBA dSM dLA dSNB dAB dSN 2 1 2 1 2 1 21 21 21 cos sin cos tan () 180sinA P P P P P P A BBdS M A LLdS NB B AAdS N 其精確值不能直接計(jì)算，必須進(jìn)行逼近求解 4.7 大地主題解算 2 2 2 ( ) ( ) ( ) LL S BB S AA S 4.7 大地主題解算 4.7 大地主題解算 p 在起點(diǎn)P1處展開的級數(shù)算法 一階導(dǎo)數(shù)： 二階導(dǎo)數(shù)： 再次求導(dǎo)再次求導(dǎo) 三階導(dǎo)數(shù)： 四階導(dǎo)數(shù)： 五階導(dǎo)

37、數(shù)： 將所有求得的導(dǎo)數(shù)代入 麥克勞林級數(shù)展開式 4.7 大地主題解算 p 在起點(diǎn)P1處展開的級數(shù)算法 22222222 2 2222111111 11111 1 223 1111 22222 22222 2 3411111 111111 1 34 11 2222 222 22411111 111 1 44 11 2 1 ()2(1 39) 226 (15)(1 39) 224 (46139) 122 BBVV tVtVtt uvuuv NNNN VttV ttt uv NN V tttVt u vu NN V 24224 43211111 55 11 (1 3045 )(2 1515 ) 6

38、12030 ttVtt uvu v NN 次項(xiàng) 緯度計(jì)算公式： 4.7 大地主題解算 p 在起點(diǎn)P1處展開的級數(shù)算法 經(jīng)度計(jì)算公式： 222 32211111 233 1111 2222 33111111 44 11 224 5231111 55 11 24 411 5 1 () cos(1 3) 33 (1 3)(23) 33 (1 3 )(12030 ) 1515 (2 1515 ) 6 15 LLBtttv uvvu v NNNN tttt uvu v NN tttt vu v NN tt u v N 次項(xiàng) 4.7 大地主題解算 p 在起點(diǎn)P1處展開的級數(shù)算法 方位角計(jì)算公式： 2222

39、 321111111 23 111 2242422 2 2311111111 1 34 11 2422 224 351111 1111 45 11 2 11 ()(12)(12) 26 (564)(1202428) 624 (5282468)(12024 ) 24120 (58280 AAtttt vuvv NNN ttttt u vuv NN tttttt u vv NN tt 424 2341111 55 11 240 )(61 180120 ) 6 120120 tttt u vu v NN 次項(xiàng) 4.7 大地主題解算 提出高斯平均引數(shù)法 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)法 高斯平

40、均引數(shù)法在大地線的中點(diǎn)處M同時向前和向后用級數(shù)展開 ，然后再合并在一起 推導(dǎo)思路： 首先把勒讓德級數(shù)在P1展開改為在大地線中點(diǎn)M處展開，使公式項(xiàng)數(shù) 減少，加快收斂，提高精度 將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的m點(diǎn)來代替， 并迭代計(jì)算 優(yōu)點(diǎn) 可以使大地線的長度減半 可消除公式中的偶階項(xiàng) 同時適用于大地主題正、反算 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 相減相減 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 怎么解決？ 12 1221 1 () 2 1 (180 ) 2 m m BBB AAA 引入平均緯度和方位

41、角 未知，需迭代 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 相加除相加除2 2 = 同理得：同理得： 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 前面已得到 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 代入代入略去高階項(xiàng)略去高階項(xiàng) 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式（適用于120km以內(nèi)） 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法正算公式（適用于70km以內(nèi)） 其中主項(xiàng)為： 主項(xiàng)迭代3次 改正項(xiàng)迭代12次 4.7 大地主題解算 4.7 大地主題解算

42、 p 高斯平均引數(shù)算法反算公式 將正算公式左右移項(xiàng)后得： 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法反算公式 將正算公式左右移項(xiàng)后得： 省去高階項(xiàng)，右式中用主項(xiàng)代替，主項(xiàng)為： 主項(xiàng) 用主項(xiàng)代入 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法反算公式（適用于200km以內(nèi)） 令： 得： 無需迭代無需迭代 直接求得直接求得 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法反算公式（適用于200km以內(nèi)） 代入至下式代入至下式 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法反算公式（適用于70km以內(nèi)） 公式簡化得： 其中有： 其余算法和200km距離的反算一樣 4.7 大地主題解算 p 高斯平均引數(shù)算法反算公式

43、總結(jié)和要點(diǎn) 反算公式由正算公式左右移項(xiàng)得到 利用主項(xiàng)替換公式右邊的未知項(xiàng) 無需迭代，直接求得 對于短距離大地線，通過省去高次項(xiàng)，可以簡化計(jì)算公式 4.7 大地主題解算 p 白塞爾大地主題解算法 按照一定的法則將橢球面上的大地元素投影至一個輔助球上，實(shí)現(xiàn) 橢球面向球面的過渡 在圓球上采用簡單的球面三角公式進(jìn)行計(jì)算，推求大地元素 將計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換至橢球面上，實(shí)現(xiàn)球面向橢球面的過渡 特點(diǎn)：計(jì)算精度不會隨著距離的增加而迅 速下降，適用于短距 離和長距離大地主題解算 算法：白塞爾大地主題算法 4.7 大地主題解算 p 白塞爾大地主題解算方法 1825年德國大地測量學(xué)家、天文學(xué)家白塞爾（F.W.Bessel

44、）提出了一種 長距離大地主題解算公式。 基本思想是：首先按照一定法則將橢球面上的已知大地元素“投影” 至一個單位球面上，然后再在這個輔助球面上用球面三角公式進(jìn)行嚴(yán) 密的坐標(biāo)正反算，最后再將計(jì)算結(jié)果再轉(zhuǎn)換至橢球面上來。由于地球 橢球的扁率僅為1/297，與圓球非常接近，因而從橢球面至圓球（或從 圓球至橢球）的投影的“變形”就很小，即使采用一個相對較為簡單 的公式就能適用于長距離的大地主題解算。 此后又有不少學(xué)者對該公式進(jìn)行了改進(jìn)。 特點(diǎn)：計(jì)算精度不會隨著距離的增加而迅速下降，適用于短距離和長 距離大地主題解算 4.7 大地主題解算 p 直接對大地線微分方程進(jìn)行數(shù)值積分 采用數(shù)值計(jì)算的方法以適當(dāng)?shù)?/p>

45、步長對大地線微分方程進(jìn)行數(shù)值積分 優(yōu)點(diǎn)：易于編程實(shí)現(xiàn)，適用于不同長度的大地主題解算 缺點(diǎn)：計(jì)算工作量大，隨著距離的增加精 度可能會有所下降， 此外在兩極地區(qū)效果也不好 算法：龍格庫塔法，阿達(dá)姆斯法 sin tan A dAB dS N 4.7 大地主題解算 p 其它方法 轉(zhuǎn)換至高斯平面進(jìn)行計(jì)算 直接在空間中計(jì)算點(diǎn)的幾何關(guān)系（衛(wèi)星大地測量） 第四章 地球橢球及其數(shù)學(xué)計(jì)算 第八節(jié) 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 4.8 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 p 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算 需求：由兩點(diǎn)大地坐標(biāo)求大地線 特點(diǎn)：精度要求不高，公式要求簡單方便，計(jì)算速度快 方法：Andoyer-Lambert法，大橢圓法 4.8 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 p Andoyer-Lambert法 該法是以適用于中長距離的白塞爾大地主題解算公式為基礎(chǔ)進(jìn)行簡化 和近似處理得到的 大地線微分方程： 替換替換 4.8 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 p Andoyer-Lambert法 大地線微分方程： 泰勒展開： 4.8 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 p Andoyer-Lambert法 積分積分 未知量，需要求解 4.8 導(dǎo)航中大地線長度的計(jì)算方法 p Andoyer-Lambert法 未知，先放著，稍后做處理未知，先放著，稍后做處理 4