第四章單自由度系統(tǒng)振動

1、 機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué) Dynamics of Mechanical System 太原科技大學(xué)：寧少慧太原科技大學(xué)：寧少慧 第4章 單自由度系統(tǒng)振動 4.1 振動分類及求解步驟 4.2 振動系統(tǒng)模型及其簡化 4.3 單自由度系統(tǒng)的自由振動 4.4 諧波激勵下的強(qiáng)迫振動 4.5 周期性激勵下的強(qiáng)迫振動 4.6 任意激勵下的強(qiáng)迫振動 4.7 單自由度系統(tǒng)振動的應(yīng)用 4.1 振動分類及求解步驟 離散系統(tǒng)是具有集中參數(shù)元件所組成的系 統(tǒng)，具有有限多個自由度； 連續(xù)系統(tǒng)是由連續(xù)參數(shù)元件組成的系統(tǒng)， 有無限多個自由度。在離散系統(tǒng)中，最簡 單的最基本的是單自由度振動系統(tǒng)。 4.1.1 振動的分類 1、定義：在一

2、定條件下，振動體在其平衡、定義：在一定條件下，振動體在其平衡 位置附近所做的往復(fù)性機(jī)械運(yùn)動。位置附近所做的往復(fù)性機(jī)械運(yùn)動。 有用的一面：利用振動現(xiàn)象的特征設(shè)計制造機(jī)有用的一面：利用振動現(xiàn)象的特征設(shè)計制造機(jī) 器和儀器儀表，例：振動篩選機(jī)、振動打樁機(jī)、器和儀器儀表，例：振動篩選機(jī)、振動打樁機(jī)、 振動給料機(jī)、倉壁振動器、鐘表計時儀器、振振動給料機(jī)、倉壁振動器、鐘表計時儀器、振 子示波器等。子示波器等。 不利的一面：產(chǎn)生噪音、影響機(jī)器的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，不利的一面：產(chǎn)生噪音、影響機(jī)器的正常運(yùn)轉(zhuǎn)， 影響其安全性和可靠性、使機(jī)床的加工精度、影響其安全性和可靠性、使機(jī)床的加工精度、 精密儀器的靈敏度下降、使機(jī)械設(shè)備

3、的使用受精密儀器的靈敏度下降、使機(jī)械設(shè)備的使用受 命縮短，嚴(yán)重時引發(fā)機(jī)器的損壞引發(fā)事故命縮短，嚴(yán)重時引發(fā)機(jī)器的損壞引發(fā)事故 。 4.1 振動分類及求解步驟 2、分類 系統(tǒng)的輸入 系統(tǒng)的輸出 系統(tǒng)的自由度 描述系統(tǒng)的微分方程 系統(tǒng)的輸入 系統(tǒng)的輸出 系統(tǒng)的自由度 描述系統(tǒng)的微分方程 4.1.2 振動問題的求解步驟 1、建立振動系統(tǒng)的力學(xué)模型； m-c-k系統(tǒng)。 2、建立振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型； 建立運(yùn)動微分方程。用牛 頓第二定律和拉格朗日方程。 3、求解運(yùn)動微分方程。用解析法。 4.2 振動系統(tǒng)模型及其簡化 4.2.1 單自由度系統(tǒng)的基本模型 振動系統(tǒng)的力學(xué)模型：振動系統(tǒng)的力學(xué)模型： 質(zhì)量塊（質(zhì)量塊

4、（m m），阻尼器（），阻尼器（c c）；彈簧（）；彈簧（K K）。）。 單自由度系統(tǒng)：單自由度系統(tǒng)： 只用一個坐標(biāo)就可以把振動系統(tǒng)的形態(tài)表明了，只用一個坐標(biāo)就可以把振動系統(tǒng)的形態(tài)表明了， 這種系統(tǒng)稱為單自由度系統(tǒng)這種系統(tǒng)稱為單自由度系統(tǒng). . 系統(tǒng)的簡化取決于考慮問題的復(fù)雜程度與所需要的系統(tǒng)的簡化取決于考慮問題的復(fù)雜程度與所需要的 計算精度。考慮的問題越復(fù)雜，精度越高，模型的計算精度。考慮的問題越復(fù)雜，精度越高，模型的 復(fù)雜程度也越高。復(fù)雜程度也越高。 mt m k x 0 錘體 砧座和基礎(chǔ) 土壤剛度土壤阻尼 錘體 砧座 彈性墊剛度彈性墊阻尼 基礎(chǔ) 土壤阻尼土壤剛度 x1 x1 x2 例例1

5、 1 鍛錘模型鍛錘模型 4.2.2 單自由度系統(tǒng)模型的簡化 例例1 1 簡化機(jī)床的力學(xué)模型：簡化機(jī)床的力學(xué)模型： 機(jī)床工作時，產(chǎn)生慣性力的作用，機(jī)床和基機(jī)床工作時，產(chǎn)生慣性力的作用，機(jī)床和基 礎(chǔ)一起產(chǎn)生振動，下面的地基即土壤長生較大礎(chǔ)一起產(chǎn)生振動，下面的地基即土壤長生較大 的彈性變形，當(dāng)彈簧來處理。的彈性變形，當(dāng)彈簧來處理。 基礎(chǔ)和機(jī)床 例例2 2 電機(jī)和梁組成的振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。電機(jī)和梁組成的振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。 電機(jī)質(zhì)量簡化為電機(jī)質(zhì)量簡化為m m，忽略梁質(zhì)量，梁的彈，忽略梁質(zhì)量，梁的彈 性簡化為性簡化為k k，忽略電機(jī)的彈性。，忽略電機(jī)的彈性。 4.3 單自由度系統(tǒng)的自由振動 4.3.1

6、 單自由度線性系統(tǒng)的運(yùn)動微分 方程及其系統(tǒng)特性 4.3.2 振動系統(tǒng)的線性化處理 4.3.3 單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動 4.3.4 固有頻率的計算方法 4.3.5 有阻尼系統(tǒng)的自由振動 4.3.1 單自由度線性系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程及 其系統(tǒng)特性 建立運(yùn)動方程 是研究振動的核心問題。 方法有：牛頓運(yùn)動定律 能量法 拉格朗日方程 m )(tx )(tF)(tF )(tx )(tF d )(tF s 1、牛頓運(yùn)動定律法：、牛頓運(yùn)動定律法： )()()()(tFtFtFtxm ds 這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問 題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例 而不能忽略，采

7、用能量法（瑞利法）分析彈性元件的等效 質(zhì)量。 5 5、等效質(zhì)量、等效質(zhì)量 2021年7月1日振動力學(xué)45 例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 設(shè)彈簧的動能: 2 2 1 xmT tt 振動中將阻力稱為阻尼：摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻 尼和結(jié)構(gòu)阻尼; 盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際 系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。 有阻尼系統(tǒng)的自由振動 振動力學(xué) 粘性阻尼力與相對速度成正比，即： cvP d c：為粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù) msN/單位： 0)()()(tkxtxctxm 阻尼頻率完全由系統(tǒng)本身阻尼頻率完全由系統(tǒng)本身 決定。決定。 總結(jié)：總結(jié)： 2021年7月1日振動力學(xué)65 t Ae 0

8、t Ae 0 d T t )(tx A A 0 響應(yīng)圖形 欠阻尼是一種振幅逐欠阻尼是一種振幅逐 漸衰減的振動。漸衰減的振動。 指數(shù)衰減規(guī)律指數(shù)衰減規(guī)律, 振幅包絡(luò)線方程為：振幅包絡(luò)線方程為： Ae- t 自由振動衰減速率，阻尼起決定性作用自由振動衰減速率，阻尼起決定性作用. )cos()( 0 tAetx d t 初始條件x0v0只影響有阻尼振動的初始振 幅和初相角。 2 000 2 0 )( d xx xA (3)臨界阻尼系數(shù)Ccr。 答（1）首先計算衰減率，由 10 2 1 1 . 02 11 1 1 1 1 In x x In x x In j j 15. 1 。 mN x W kkxW/160000 15. 0 24000 028. 0 15. 14 15. 1 4 2 2222 km c 896010/240001600002/028. 0c （