2021屆高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第2章 第講　二次函數(shù)與冪函數(shù)含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆高考數(shù)學(xué)人教版一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第2章 第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)含解析第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)考綱解讀1。理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)，能利用二次函數(shù)、二次方程與二次不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn))2掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，了解它們的變化情況(重點(diǎn))考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容預(yù)測(cè)2021年高考對(duì)二次函數(shù)可能會(huì)直接考查，也可能會(huì)與其他知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行考查,考查三個(gè)二次之間的關(guān)系、函數(shù)最值的求解、圖象的判斷等在解答題中也可能會(huì)涉及二次函數(shù)冪函數(shù)的考查常與其他知識(shí)結(jié)合，比較大小、

2、圖象及性質(zhì)的應(yīng)用為重點(diǎn)命題方向。1.二次函數(shù)（1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f（x）ax2bxc（a0)頂點(diǎn)式：f（x）a(xm)2n（a0）兩根式：f（x）a(xx1)(xx2)(a0)（2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0）f（x)ax2bxc(a0)圖象定義域rr值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減;在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減對(duì)稱性函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱2冪函數(shù)（1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)（2）常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的圖象（3）常見(jiàn)的五種冪函數(shù)的性質(zhì)特征 函數(shù)性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域rrr 0，）xxr

3、，且x0值域r0，）r0，)yyr，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在（，0上減，在0,）上增增增在（，0)上減，在(0，）上減定點(diǎn)（0，0)，(1，1）(1,1）1概念辨析（1)函數(shù)y2x是冪函數(shù)（)(2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)()（3)二次函數(shù)yax2bxc(xr)不可能是偶函數(shù)(）（4）在yax2bxc（a0）中,a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一直角坐標(biāo)系中的開(kāi)口大小()答案(1)(2)(3）（4) 2小題熱身（1）若a0,則0。5a，5a,0。2a的大小關(guān)系是（）a0.2a5a0.5a b5a0。5a0。2ac0。5a0。2a5a d5a0。2a0.5a答案b

4、解析因?yàn)閍0,所以函數(shù)yxa在(0,)上是減函數(shù)，又0。20。55，所以0。2a0。5a5a,即5a0。5a0。2a.（2)已知冪函數(shù)yf(x）的圖象過(guò)點(diǎn)(2，),則函數(shù)的解析式為_(kāi)答案f（x）x解析設(shè)f（x)x，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，），所以2，即22，所以，所以f（x）x。（3)若二次函數(shù)y2x24xt的圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則t的值是_答案2解析y2x24xt2(x22x)t2(x1)21t2(x1）22t。因?yàn)榇撕瘮?shù)的圖象的頂點(diǎn)(1，2t）在x軸上，所以2t0，所以t2。（4)函數(shù)f（x)x22x（0x3）的值域是_答案3,1解析因?yàn)閒（x）x22x（x1）21,所以f(x)在

5、0,1上單調(diào)遞增，在1,3上單調(diào)遞減，又f（0)0,f(1)1,f(3)3，所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?，1題型 一求二次函數(shù)的解析式 已知二次函數(shù)f（x)滿足f（2）1，f（1）1，且f（x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù)的解析式解解法一:(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)ax2bxc（a0）由題意得解得故所求二次函數(shù)的解析式為f（x)4x24x7。解法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)設(shè)f(x）a（xm)2n（a0）f（2)f(1),拋物線的對(duì)稱軸為x.m，又根據(jù)題意函數(shù)f（x）有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2）1，a281,解得a4，f（x）4284x24x7.解法三:(利用兩根式)由

6、已知f(x）10的兩根為x12，x21,故可設(shè)f（x)1a（x2）(x1）(a0），即f(x)ax2ax2a1。又函數(shù)f（x）有最大值8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f（x）4x24x7。條件探究1將本例中的“f（2)1，f（1）1”改為“與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0）和（2，0）”,其他條件不變，試確定f（x)的解析式解設(shè)f(x）ax(x2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x)的最大值為8，所以a4ac，正確;二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x1,即1,2ab0,錯(cuò)誤；結(jié)合圖象知，當(dāng)x1時(shí)，y0，即abc0，錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為直線x1知，b2a,又函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，a0，5a2a，即5ab，正

7、確角度2二次函數(shù)的單調(diào)性2（2020河南中原名校聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)2ax24（a3)x5在區(qū)間(，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）a. b. c. d。答案d解析因?yàn)楹瘮?shù)f（x）2ax24(a3)x5在區(qū)間（，3）上是減函數(shù)，當(dāng)a0時(shí)，a須滿足解得0a;當(dāng)a0時(shí)，f(x）12x5在(，3)上是減函數(shù)綜上可知，a的取值范圍是.角度3二次函數(shù)的最值3已知f（x）4x24ax4aa2在0，1內(nèi)的最大值為5，則a的值為()a。 b1或c1或 d5或答案d解析f(x）424a，對(duì)稱軸為直線x。當(dāng)1,即a2時(shí)，f(x）在0,1上遞增，f(x)maxf(1）4a2。令4a25，得a1（舍去)當(dāng)01，

8、即0a2時(shí),f(x)maxf4a.令4a5,得a。當(dāng)0,即a0時(shí),f(x）在0,1上遞減，f（x)maxf（0）4aa2.令4aa25,解得a5或a1（舍去)綜上所述,a或5.故選d.角度4與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問(wèn)題4已知定義在r上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x0時(shí)，f(x）x3，若不等式f(4t）f(2mmt2）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(）a(,)b(,0)c（，0）(，)d(，）(，)答案a解析當(dāng)x2mmt2對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，即mt24t2m0對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立,故有解得m（，）5當(dāng)x(1，3)時(shí)，若不等式x2mx40恒成立，則m的取值范圍是_答案(，5解析設(shè)f(x)x2mx

9、4.因?yàn)閤（1,3)時(shí),不等式x2mx40）在區(qū)間a上單調(diào)遞減（單調(diào)遞增)，則a,即區(qū)間a一定在函數(shù)圖象對(duì)稱軸的左側(cè)（右側(cè)）如舉例說(shuō)明2。3二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法抓住“三點(diǎn)一軸數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成如舉例說(shuō)明3.4與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立的條件（1）ax2bxc0（a0)恒成立的充要條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是如舉例說(shuō)明4.（3)af(x)恒成立af(x）max,af（x)恒成立af(x）min.（4)f(x）ax2bxc0)在(m，n）上恒成立如舉例說(shuō)明5.（5）f（x)ax2b

10、xc0（a0，則一次函數(shù)yaxb為增函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開(kāi)口向上,故可排除a；若a0，一次函數(shù)yaxb為減函數(shù)，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開(kāi)口向下，故可排除d；對(duì)于b，看直線可知a0,b0，從而0,而二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，故排除b，選c。2二次函數(shù)f(x）ax2bxc（xr）的最小值為f(1)，則f(），f，f()的大小關(guān)系是(）af（）ff(）bff(）f()cf（)f()fdf()f(）f答案d解析因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)ax2bxc(xr)的最小值為f(1),所以函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x1，因?yàn)?|1，所以f()f(）f。3(2019陜西西安模擬）已知函

11、數(shù)f（x）x24x，xm，5的值域是5，4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（)a（，1） b(1,2c1,2 d2，5答案c解析f（x）x24x（x2）24,當(dāng)x2時(shí)，f（2）4，由f(x）x24x5,解得x5或x1,要使函數(shù)在m,5上的值域是5，4，則1m2.4已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x）2ax22x3在x1，1上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案解析2ax22x30在1,1上恒成立當(dāng)x0時(shí)，30，成立；當(dāng)x0時(shí)，acba babcdcdcab dabdc答案b解析觀察圖象聯(lián)想yx2，yx，yx1在第一象限內(nèi)的圖象,可知c0,d0,0b12d，所以cd.綜上知abcd。2若(2m1）（m2m1），則實(shí)

12、數(shù)m的取值范圍是（)a. b。c（1，2） d.答案d解析因?yàn)楹瘮?shù)yx在0，)上是增函數(shù),且(2m1)（m2m1)，所以解得m2.3已知點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f(x）是（）a奇函數(shù) b偶函數(shù)c定義域內(nèi)的減函數(shù) d定義域內(nèi)的增函數(shù)答案a解析設(shè)冪函數(shù)f（x)x，f（x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),，1.f(x）x1，f(x）(x)1x1f(x)，f（x）為奇函數(shù)1求冪函數(shù)的解析式冪函數(shù)的形式是yx(r），其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式如舉例說(shuō)明3。2冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系當(dāng)0，1時(shí)，冪函數(shù)yx在第一象限內(nèi)的圖象特征：取值101答案c解析由圖象可知，函數(shù)f（x)為偶函數(shù)，所以m是

13、偶數(shù)，n是奇數(shù)函數(shù)圖象在第一象限部分上凸,所以1.3已知a2，b3,c25,則（）abac babc cbca dcab答案a解析因?yàn)閍24，c255，而函數(shù)yx在（0，）上單調(diào)遞增,所以345，即b.2冪函數(shù)yxm24m（mz)的圖象如圖所示，則m的值可以為(）a0 b1 c2 d3答案c解析由圖象知，m24m0，二次函數(shù)f（x)ax2bxc的圖象可能是（）答案d解析由a中圖象知，a0，c0，0,所以b0矛盾；由b中圖象知，a0，0,所以b0，與abc0矛盾；由c中圖象知，a0,c0，0，所以b0，與abc0矛盾；由d中圖象知，a0，c0，0，所以b0，abc0成立5(2019吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)

14、模擬)已知點(diǎn)(2,8）在冪函數(shù)f(x）xn的圖象上，設(shè)af,bf（ln ），cf，則a，b，c的大小關(guān)系為()aacb babccbca dbac答案a解析由點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)xn的圖象上，可得2n8，解得n3，所以f(x)x3。所以f(x)在r上是增函數(shù)因?yàn)?1ln ，所以fff(ln )，即acb。6已知a，b，cr，函數(shù)f（x）ax2bxc.若f（1）f（3)f(4），則（)aa0,4ab0 ba0，4ab0ca0，2ab0 da0,2ab0答案b解析因?yàn)閒（1)f（3)，則直線x2為對(duì)稱軸,故2,則4ab0,又f(3）f（4)，所以f(x)在（2，)上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x

15、）的圖象開(kāi)口向下,所以a0。7(2020百色市摸底）已知函數(shù)f（x）x2xc，若f(0）0，f(p)0,則必有(）af(p1)0bf(p1）0cf（p1)0df（p1）的符號(hào)不能確定答案a解析該函數(shù)圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為直線x。f（0)c0,即拋物線在y軸上的截距大于0。因?yàn)閳D象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以f（1)f（0)0.設(shè)f（x）0的兩根為x1，x2，令x1x2，則1x1x20，根據(jù)圖象知，x1px2，故p10,f（p1）0.8(2019濰坊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x）為冪函數(shù)，且f（4),則當(dāng)f（a）4f（a3）時(shí)，實(shí)數(shù)a等于_答案解析設(shè)f（x)x，則4，所以.因此f（x)x,從而a4（a

16、3），解得a.9已知二次函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(4)4f(2）16,則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)答案f(x)x2解析由題意可設(shè)函數(shù)f(x）ax2c(a0）,則f(4)16ac16,4f（2)4(4ac)16a4c16，所以a1，c0,故f（x）x2.10(2019南陽(yáng)模擬）設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22ax1在3,2上有最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案3或解析此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x1，當(dāng)a0時(shí)，圖象開(kāi)口向上,所以當(dāng)x2時(shí)取得最大值,即f（2)4a4a14，解得a;當(dāng)a0，則f(a）f（b)的值（)a恒大于0 b恒小于0c等于0 d無(wú)法判斷答案a解析對(duì)任意的x1，x2(0，),且x1x2，滿足0

17、,冪函數(shù)f(x)在（0，）上是增函數(shù),解得m2，則f(x)x2015.函數(shù)f(x)x2015在r上是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，由ab0，得ab，f(a)f(b)f(b），f(a）f（b)0。故選a。2已知二次函數(shù)f(x）ax2bxc是偶函數(shù),若對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2都有f，則f（x)的圖象可能是（）答案c解析二次函數(shù)f(x)ax2bxc是偶函數(shù)，則b0,圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以排除a，d；對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f，所以函數(shù)f(x）為上凸函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)a0，即排除b.故選c.3已知函數(shù)f（x）x22x1，如果使f（x)kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x(1,m都成立的m的最大值是5，則實(shí)數(shù)k_.答案解析設(shè)g（x）x2（2k)x1。設(shè)不等式g(x）0的解集為axb.則(2k）240，解得k4或k0，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）x22x1，且f(x)kx對(duì)任意實(shí)數(shù)x(1，m恒成立；所以(1,ma，b，所以a1，bm，所以g（1）4k4，m的最大值為b，所以有b5.即x5是方程g（x)0的一個(gè)根，代入x5，解得k。4已知函數(shù)f（x）