級數求和的常用方法

1、1.7方程式法3 1.8原級數轉化為子序列求和3 1.9數項級數化為函數項級數求和3 1.10化數項級數為積分函數求原級數和4 1.11三角型數項級數轉化為復數系級數4 1.12構造函數計算級數和5 1.13級數討論其子序列5 1.14裂項法求級數和6 1.15裂項+分拆組合法7 1.16夾逼法求解級數和72函數項級數求和82.1方程式法82.2積分型級數求和82.3逐項求導求級數和92.4逐項積分求級數和92.5將原級數分解轉化為已知級數102.6利用傅里葉級數求級數和102.7三角級數對應復數求級數和112.8利用三角公式化簡級數122.9針對2.7的延伸122.10添加項處理系數122.

2、11應用留數定理計算級數和132.12利用Beta函數求級數和14參考文獻15級數求和的常用方法 級數要首先考慮斂散性，但本文以級數求和為中心，故涉及的級數均收斂且不過多討論級數斂散性問題. 由于無窮級數求和是個無窮問題，我們只能得到一個的極限和.加之級數能求和的本身就困難，故本文只做一些特殊情況的討論，而無級數求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給出，以期達到較高的事實性.1數項級數求和1.1等差級數求和 等差級數為簡單級數類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和.，其中為首項，為公差 證明：，+得：因為等差級數所以此證明可導出一個方法“首尾相加法”見1.2.1.2首尾相加法此類

3、型級數將級數各項逆置后與原級數四則運算由首尾各項四則運算的結果相同，便化為一簡易級數求和.例1:求.解：，兩式相加得：，即：.1.3等比級數求和等比級數為簡單級數類型，通過比較各項得到其公比并運用公式可求和.當=1，；當1，其中為首項，為公比.證明：當=1，易得，當1， ， ，-得.可以導出一種方法“錯位相減”見下1.4 1.4錯位相減法此方法通常適用于等差與等比級數混合型，通過乘以等比級數公比，再與原級數四則運算后化為等差或等比級數求和.例2：計算.解： ， ，-得： ，=3.1.5蘊含型級數相消法此類型級數本身各項之間有蘊含關系，通過觀察可知多項展開會相互之間相消部分項，從而化簡級數求和.

4、例3：計算.解：將各項展開可得： ，所以. 1.6有理化法求級數和對于一些級數通項含有分式根式的級數，我們可以仿照數學中經常使用的方法“有理化”處理，以期達到能使得級數通項化簡，最后整個級數都較容易求和.例4：計算.解：可以看出此級數含根式較多，因此嘗試運用有理化的方法去處理，即通項，對其分母有理化得：，則原級數可以采用本文中的1.5“蘊含型級數相消法”，則可以快速求得級數和的極限為1.1.7方程式法此型級數通過一系列運算能建立級數和的方程式，通過解方程求解級數和.準確建立方程是關鍵問題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體情況建立方程，解方程也要準確，才能求出級數和.例5：計算

5、，其中.解：記= 兩邊同時乘以得即：解此方程得：.1.8原級數轉化為子序列求和若下列條件成立1:（1）當時級數的通項（2）級數各項沒有破壞次序的情況而得新序列收斂于原級數 .例6：計算.解：，應用歐拉公式，其中為歐拉常數，.1.9數項級數化為函數項級數求和數項級數化為相應函數項級數，再通過函數項級數求和，并賦予函數未知數相應未知數后記得相應原級數的和.例7：求級數和.解：建立函數項級數由函數斂散性知識可知其收斂域為，將函數項級數逐項求導可得：= ，由此可知滿足微分方程，且易知，解此常微分方程得：，令則可以求出原級數和：. 1.10化數項級數為積分函數求原級數和將原級數通過化簡，構造積分極限式，

6、從而轉化為積分求原級數和也不失為一種好方法，構造積分式子是關鍵，一般原級數中通過四則運算將與積分中的分割相聯系從而構造分割，建立級數與積分式子的橋梁.例8：計算，其中.解：記.1.11三角型數項級數轉化為復數系級數將三角型數項級數轉化為復數域上的級數，由于復數的實部對應于數項級數，從而轉化為求復數系級數進而求原級數和.例97：設，求.解：由于，令為復數，其中，其中，得：而另一方面=+取實部對應原級數和即得：即：當，且時. 1.12構造函數計算級數和將級數各項轉化為其它函數式子化簡級數并求原級數和，關鍵在于各項的化簡函數是否基本統一，如何選擇函數式子才能有效化簡，將級數參數化為函數式子中的未知數

7、，并無一般的通用函數，選擇函數視具體情況而定，下面我們先看一個例子感受這種方法，并從中體會這種方法.例107：請計算下面的級數式子：記，其中.解：構造函數式子：,此函數在單調遞減.由于，令，滿足=0，.代入題目中的級數式子得：=.1.13級數討論其子序列引理1：數列收斂的充分必要條件是的任一子序列都收斂且有相同的極限.特別的：數列收斂于的充分必要條件是兩個互補的子列,收斂于同一極限.推廣可得：定理1：若級數通項滿足當時， （收斂判別的必要條件），收斂于的充分必要條件是：部分和的一個子序列收斂于，其中滿足：是某個正整數=1，2，將級數分情況討論，化為多個子序列之和，利用原級數收斂則級數任意添加括

8、號得到的級數和收斂于原級數和原理，通過求各個子序列之和求解原級數和，關鍵在于如何分解原級數為不同子序列，然而子序列相對于原級數來說易求些，這樣方法才行之有效，這和1.6的“原級數轉化為子序列求和”是不同的.分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個這樣討論角的幅度的例題.例116：計算：.解：記，由級數斂散性知識可知，該級數絕對收斂.按幅度角的討論將級數分解為：，.則： ，所以：. 1.14裂項法求級數和針對級數是分數形式，且滿足分母為多項乘積形式，且各項之間相差一個相同的整數，裂項后各項就獨立出來，而原來各項之間相差整數則裂項后新級數等價于求解某一個級數，其余新級數照此可求

9、出，從而原級數和可以求出.裂項一般形式：，此處.例12：計算.解:記，針對同理采用裂項法記則=，所以=. 1.15裂項+分拆組合法將裂項與分拆組合法合用在一起，運用裂項法分拆級數，再將分拆重新組合級數，由新級數返回求原級數和.例13：計算.解：=. 1.16夾逼法求解級數和在數學分析中運用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運用兩個級數逼近原級數，最后兩逼近級數和等于原級數和.例148：設為一給定的正整數，求.解：且時，且，所以，即 2 函數項級數求和函數項級數和依據未知數的而定，因此在收斂域內尋找一個新函數去刻畫級數和. 2.1方程式法類似于數項級數，函數項級數建立方程，通過

10、方程求解求函數項級數和.例15：計算函數項級數解：由函數項級數收斂性知識可知題中函數項級數收斂半徑為，逐項求導得即：解此微分方程得：. 2.2積分型級數求和積分型級數求和顯然直接求和會帶來困難，通常積分也積不出來，所以要轉化，將積分式子化簡是個想法，通過變量替換等積分技術化簡積分式子，再求級數和，所以關鍵在于處理積分式子，下面我們看個例題.例16：計算級數.解：因為，作變量替換得：再根據：得：=.所以原級數=. 2.3逐項求導求級數和根據冪級數逐項求導收斂半徑不變原理，對原級數逐項求導后化為一些易求和的冪級數，再往回求積分，從而求原級數和.易知的級數往往是通過泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。

11、泰勒定理1：若函數在的某領域內存在階的連續(xù)導數，則= ，這里是拉格朗日余項即.設在區(qū)間內等于它的泰勒級數的和的充要條件：對一切滿足不等式 的，有，上式右邊稱為在處的泰勒展開式.由泰勒展開式可知右邊是個級數，而在求解級數時我們可以逆向來看，已知以級數和像求的方向行進，找準各階對應的導數形式，并按泰勒級數的樣子提煉出.但在實際應用中在處的級數應用較多，稱為麥克勞林級數.而由泰勒級數的定義可以將一些基本初等函數推導出來，再有基本初等函數推導復合函數的級數和形式，反過來即是求級數和.這也不失為一種求級數和的選擇.這中方式在前面函數項級數求和的過程中已經有所運用，在此總結是為了形成一種較為普遍的方法.即

12、使是級數逐項求導積分法也是基于此理論基礎之上的.例17：求解.解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯級數收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級數逐項求導可得：(利用易知麥克勞林展式)再積分回去便得到級數和.2.4逐項積分求級數和通過級數逐項積分收斂半徑不變原理，對原級數逐項積分后化為一些易求的冪級數，再往回求導，可求出原級數和.例18：計算.解：記，對其逐項積分得：=，其中， 所以=. 2.5將原級數分解轉化為已知級數分解為已知在數學中是一種基本的技巧，通過轉化為我們所知道的知識解決原復雜問題在很多地方都是個不錯的想法，因此在解決級數和的問題時我們也引入這思想.我們已知在冪級數中已知的麥克勞林展式有好幾個

13、，我們要將這幾個基本初等函數的展式牢記于心，還要學會利用拉格朗日展式的角度逆向思考級數求和的問題.我們簡單的引入一個問題來說明這種方式，主要是引入這種思想.例19：計算.解：記，利用的麥克勞林展式得：=. 2.6利用傅立葉級數求級數和通過構造函數，并通過延拓的方式求此函數的傅立葉展式，再由收斂定理求解函數值即可求出原級數和，關鍵在于準確找出傅立葉函數.例20：計算.解：構造傅立葉函數= ,其中作偶延拓得: = ,由此可知傅立葉系數為：，其中 ，（其中）.由狄利克雷收斂條件可知：，其中現在令得：，進而可得：.說明：有了以上結果數項級數的關于就可以套用公式了，如：利用2.6結果求解級數和，2.6的

14、結果是一個很常用的級數和公式，因此我們可以直接拿來用.例21：計算，其中滿足.解：任意（0，1），記=，由魏爾斯特拉斯定理，因為級數收斂，所以題目中級數在（0，1）上一致收斂.，因為，所以帶入上面式子可得級數和為. 2.7三角級數對應復數求級數和三角函數與復數有天然的對應關系，因此將其化歸到復數域上再利用復數域知識求解，從而獲得原級數的和.例227：計算.解：由復數域上冪級數的麥克勞林展式可知：，及，由，對應實部得，其中，. 2.8利用三角公式化簡級數三角級數還可以利用三角公式化簡三角級數，化簡后的級數可能比原級數容易求解些，通常復雜級數求和都是要轉化，轉化為能求和的方向.例23：計算.解：由

15、三角函數的積化和差公式可知：原級數=，其中未知數滿足：. 2.9針對2.7的延伸在此對2.8的延伸，并不是意味著2.8是個通用的級數和式子，只是看見了另外的一個題可以運用2.8，在此列出是為了表明在求級數和的過程中一些復雜級數可以由另外一些級數求和的，因此遇見復雜級數求和的時候要多注意平常積累的例子，想想平時有沒有遇見類似的級數求和問題.例24：計算.解：令，由2.8可知= 其中未知數滿足，令，.有，由，當時，有，于是. 2.10添加項處理系數例25：計算，其中.解：令，當時，=，其中，當:時，于是：.2.11應用留數定理計算級數和 定理8：若函數滿足以下兩個條件：（1）在復平面具有孤立奇點，

16、且這些孤立奇點不為整數及，除去上述奇點外在其它各處都解析；（2）.證明：研究圍道積分又由函數滿足留數定理的條件，則根據定理我們可以得到如下的等式： （1）由引理，csc()在上有界，即存在，使得|.于是，兩邊取極限得即：，所以，對（1）式取極限得到0=.所以.證明完畢.結論的應用：例268：求級數（不為0）的和.解：令，當不為零時，滿足定理的兩個條件，那么.即：，當趨近于零時，將上式變形可得：容易證得等式左邊的兩個級數是收斂的.故上式兩端取極限可得上述級數和,2.12利用函數求級數和定理1 6 設為自然數，為實數，且，則.定理2 6 設為自然數，為非負整數，是實數，大于，有.定理3 6 設為自

17、然數，級數在0,1上一致收斂于函數 ,則.這三個定理的證明涉及函數，此處證明從略.只說明這三個定理應用于求解級數和的問題.分析這三個定理可以看它們用于解決一些自然數連續(xù)性相乘且置于分母的級數和.將級數和中某些數賦予給定理中的相應的、，再將按定理套用，可以將定理左邊的級數化為右邊的積分求解.運用定理的關鍵在于準確找出、，只要這項工作完成，那么剩下的就是積分的問題.例27：計算.解：對應上述三個定理，此級數根據定理1，將置為-1，置為3，置為1則可以將級數化為積分式子，求解具體過程從略.參考文獻1 數學分析下冊，第三版，華東師范大學數學系編，高等教育出版社20092 數學分析同步輔導及習題全解華東師大版，華騰教育教學與研究中心，中國礦業(yè)大學出版社3 李永樂，數學復習全書（理工類數學一），國家行政學院出版社，2012版4 李永樂，數學基礎過關660題數學一，西安交通大學出版社，20115 陳文燈，2011版考研數學額復習高分指南，