第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)1(2)

1、無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和 兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問(wèn)題展和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問(wèn)題展 開討論：級(jí)數(shù)的收斂性判定問(wèn)題，開討論：級(jí)數(shù)的收斂性判定問(wèn)題， 把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問(wèn)題，把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問(wèn)題， 級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。 重點(diǎn)重點(diǎn) 級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂 域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier 展開式；展開式； 難點(diǎn)難點(diǎn) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法 和間接法，和間接法， Fourier 展開，級(jí)數(shù)求和；展開，級(jí)數(shù)求和； 基本要求基本要求 掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì) 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz審斂法審斂法 掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念 掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂 區(qū)間，會(huì)求簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)區(qū)間，會(huì)求簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)展開式及級(jí)數(shù)展開式及 其收

3、斂半徑其收斂半徑 掌握掌握 Fourier 級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形 式的式的Fourier 系數(shù)系數(shù) 掌握奇、偶函數(shù)的掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何 將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù) 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 1. 1. 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 正正 形的面積形的面積 n 23 n aaaA 21 即即 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 . 2 1 a 21 aa n aaa 21 R 無(wú)無(wú) 窮窮 級(jí)級(jí)

4、數(shù)數(shù) 二、級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的概念 1. 1. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義: : n n n uuuuu 321 1 一般項(xiàng)一般項(xiàng) (常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 n i inn uuuus 1 21 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: : 余項(xiàng)余項(xiàng) nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 誤誤差差為為 n r )0lim( n n r 無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先給定一個(gè)正三角形，然

5、后在每條邊上對(duì)做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì) 稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形“KochKoch雪花雪花” 觀察雪花分形過(guò)程觀察雪花分形過(guò)程 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 第第 次分叉：次分叉：n 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為

6、, 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n 面積為面積為 ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1 12 1 2 11 ) 9 1 (43) 9 1 (43 9 1 3AAAA nn ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 1 22 1 n A , 3 , 2 n 于是有于是有 n n Plim ) 9 4 1 3 1 1(lim 1 AAn n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂） 結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無(wú)界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無(wú)界的，而面積有界 例例 1 1 討

7、論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)( (幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)) ) n n n aqaqaqaaq 2 0 )0( a 的收斂性的收斂性. . 解解 時(shí)時(shí)如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1 , 11q aq q a n ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q 0lim n n q q a sn n 1 lim 收斂收斂 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q n n qlim n n slim 發(fā)散發(fā)散 時(shí)時(shí)如果如果1 q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?不不存存在在 n n s lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 ,1 0 q q aq

8、 n n 例例 2 2 判判別別無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的的收收斂斂性性. . 解解 )12)(12( 1 nn un ), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ), 12 1 1( 2 1 n ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n , 2 1 . 2 1 , 和為和為級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì) 結(jié)論結(jié)論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘

9、一個(gè)不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 證明證明 nkkk uuu 21 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n kn n n n ss limlimlim 則則 類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不 影響級(jí)數(shù)的斂散性影響級(jí)數(shù)的斂散性. 證明證明 )()( 54321 uuuuu , 21 s , 52 s , 93 s , nm s .limlimssn n m m 則則 注意注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收

10、斂. ) 11 () 11 (例例如如 收斂收斂 1111 發(fā)散發(fā)散 事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù) 1n n u任意加括號(hào)任意加括號(hào) )( )()( 1 11 1 211 kk pp ppp uu uuuu 若記若記 kk ppk uub 1 1 則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為 1k k b 記記 1n n u 的部分和為的部分和為 n s 1k k b 的部分和記為的部分和記為 k 則則 k pk s 由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知 存在，存在， n n s lim k k lim 必定存在必定存在 k k lim存在存在 n n s lim未必存在未必存在 四、收斂的必

11、要條件四、收斂的必要條件 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件: : 即即趨于零趨于零它的一般項(xiàng)它的一般項(xiàng)無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng), n un 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 . 0lim n n u 1n n us證明證明 , 1 nnn ssu則則 1 limlimlim n n n n n n ssu ss . 0 注意注意 1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例例如如 發(fā)散發(fā)散 2.2.必要條件不充分必要條件不充分. . n 1 3 1 2 1 1例如調(diào)和級(jí)數(shù)例如調(diào)和級(jí)數(shù) ?,0lim但但級(jí)級(jí)數(shù)

12、數(shù)是是否否收收斂斂有有 n n u 討論討論 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 , 2 1 2 n n .,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 )lim( 2nn n ss 于于是是ss , 0 )( 2 1 0 n便便有有 .這這是是不不可可能能的的 .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 2項(xiàng)項(xiàng) ) 2 1 22 1 12 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 () 8 1 7 1 6 1 5 1 () 4 1 3 1 () 2 1 1( 1mmm 2項(xiàng)項(xiàng) 4項(xiàng)項(xiàng) 8項(xiàng)項(xiàng) 項(xiàng)項(xiàng) m 2 2 1 每每項(xiàng)項(xiàng)均均大大于于 2 1 )1(1 mm項(xiàng)大于項(xiàng)大于即前即前 .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 由

13、性質(zhì)由性質(zhì)4 4推論推論, ,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. . 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分這塊面積顯然大于定積分 n sn 1 2 1 1 以以 1 為底的的矩形面積為底的的矩形面積把每一項(xiàng)看成是以把每一項(xiàng)看成是以 為高為高 n 1 就是圖中就是圖中 n 個(gè)矩形的面積之和個(gè)矩形的面積之和 n s dx x n 1 1 1 即即 n Sn 1 2 1 1 ,)1ln( 1 1 1 ndx x n )( n 故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散 調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和 五、小結(jié)五、小結(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念 基本審斂法基本審斂法 1 1. .由由

14、定定義義, ,若若ssn, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim n n u, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). . 思考題思考題 設(shè) 設(shè) 1n n b與與 1n n c都都收收斂斂，且且 nnn cab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1n n a收收斂斂？ 思考題解答思考題解答 能能由柯西審斂原理即知由柯西審斂原理即知 觀察雪花分形過(guò)程觀察雪花分形過(guò)程 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周

15、長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 1 2 3 4 5 練習(xí)題練習(xí)題 一一、填填空空題題: : 1 1、 若若 n n an 242 )12(31 , ,則則 5 1n n a= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 若若 n n n n a ! , ,則則 5 1n n a= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 642422 xxxx 則則 n a_ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 9753 5432 aaaa 則則 n a_ _ _ _ _ _ _ _ _

16、； 5 5、 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 6 1 5 4 1 3 2 1 1 則則當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _ 時(shí)時(shí) n a_ _ _ _ _ _；當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí) n a_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0n n aq , ,當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散 . . 三三、由由定定義義判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ) 12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 nn 的的收收斂斂性性. . 四四、判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性: : 1 1、 n3 1 9 1 6 1 3 1 ； 2 2、 ) 3 1 2 1 () 3 1 2 1 () 3 1 2 1 () 3 1 2 1 ( 3322nn ； 3 3、 n n 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 . . 五五、利利用用柯柯西西收收斂斂原原理理判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1的的斂斂散散性性 . . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案 一、一、1 1、 108642 97531 8642