材料加工過(guò)程傳輸理論3傳熱

1、BUAA 材料加工過(guò)程傳輸理論材料加工過(guò)程傳輸理論 傳熱理論傳熱理論 北京航空航天大學(xué)材料學(xué)院 周鐵濤 2017.9 BUAA 第八章第八章 熱量傳輸?shù)幕靖拍顭崃總鬏數(shù)幕靖拍?熱量傳輸簡(jiǎn)稱傳熱(Heat transfer)，是一種極為普遍而又 重要的物理現(xiàn)象。 材料加工工藝中的加熱、冷卻、熔化和凝固均與熱量的傳 遞息息相關(guān)。 熱量傳輸是研究不同物體之間或者同一物體不同部分之間 存在溫差時(shí)熱量的傳遞規(guī)律，主要包括熱量的傳遞方式以及在 特定條件下熱量傳播和分布的有關(guān)規(guī)律。根據(jù)熱力學(xué)定律，熱 能總是由高能物體向低能物體傳遞，物體間溫差越大，熱量傳 遞就越容易。由此可見(jiàn)，熱量在傳輸中溫度及其分布是

2、最主要 的因素，溫差是熱量傳輸?shù)耐苿?dòng)力。 在零件的制造工藝中，溫度場(chǎng)的測(cè)算和控制，不同工況下 不同材質(zhì)及幾何形態(tài)對(duì)溫度場(chǎng)變化的影響，工藝缺陷的分析和 防止等無(wú)不受熱量傳遞規(guī)律的制約。因此，研究熱量傳輸是保 證工藝實(shí)施、提高產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)率的重要理論依據(jù)。 BUAA 第一節(jié)第一節(jié) 熱量傳遞方式與傅里葉導(dǎo)熱定律熱量傳遞方式與傅里葉導(dǎo)熱定律 熱量傳遞有三種基本方式：導(dǎo)熱、對(duì)流和輻射 一、導(dǎo)熱（熱傳導(dǎo)） 物體各部分之間不發(fā)生相對(duì)位移，依靠分子、原子及自由 電子等微觀粒子的熱運(yùn)動(dòng)進(jìn)行的熱量傳遞稱為熱傳導(dǎo)，簡(jiǎn)稱導(dǎo) 熱。例如：窯爐的爐襯溫度高于爐墻外殼，爐襯內(nèi)側(cè)向爐墻外 殼的熱量傳遞，鑄件凝固冷卻時(shí)，鑄件內(nèi)

3、部的溫度高于外界， 鑄件內(nèi)部向其外側(cè)以及砂型中的熱量傳遞，焊接時(shí)焊件上熱源 附近高溫區(qū)向周圍低溫區(qū)的熱量傳遞等均是導(dǎo)熱。 從微觀角度來(lái)看，氣體、液體、導(dǎo)電固體和非導(dǎo)電固體的 導(dǎo)熱機(jī)理是有所不同的。氣體中的導(dǎo)熱是氣體分子不規(guī)則熱運(yùn) 動(dòng)時(shí)相互碰撞的結(jié)果。眾所周知，氣體的溫度越高，其分子的 平均動(dòng)能越大。不同能量水平的分子相互碰撞的結(jié)果，使熱量 從高溫向低溫處傳遞。 BUAA 導(dǎo)電固體中有相當(dāng)多的自由電子，它們?cè)诰Ц裰g像氣體 分子那樣運(yùn)動(dòng)。自由電子的運(yùn)動(dòng)在導(dǎo)電固體的導(dǎo)熱中起著主要 作用。在非導(dǎo)電固體中，導(dǎo)熱是通過(guò)晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，即原子、 分子在其平衡位置附近的振動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。晶格結(jié)構(gòu)振動(dòng)的傳遞 在文

4、獻(xiàn)中常稱為格波(又稱聲子)。 至于液體中的導(dǎo)熱機(jī)理，還存在著不同的觀點(diǎn)。有一種觀 點(diǎn)認(rèn)為液體定性上類似于氣體，只是情況更復(fù)雜。因?yàn)橐后w分 子間的距離比較近，分子間的作用力對(duì)碰撞過(guò)程的影響遠(yuǎn)比氣 體大。另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為液體的導(dǎo)熱機(jī)理類似于非導(dǎo)電體，主 要靠格波的作用。 BUAA 二、對(duì)流 對(duì)流是指流體各部分之間發(fā)生相對(duì)位移，冷熱流體相互摻 混所引起的熱量傳遞方式。對(duì)流僅能發(fā)生在流體中，而且必然 伴隨著導(dǎo)熱。工程上常遇到的不是單純對(duì)流方式，而是流體流 過(guò)固體表面時(shí)對(duì)流和導(dǎo)熱聯(lián)合起作用的方式。后者稱為對(duì)流換 熱以區(qū)別于單純對(duì)流。本課程主要討論對(duì)流換熱。 對(duì)流換熱按引起流體流動(dòng)的不同原因可分為自然對(duì)流

5、與強(qiáng) 制對(duì)流兩大類。自然對(duì)流是由于流體冷、熱各部分密度不同而 引起的，暖氣片表面附近熱空氣向上流動(dòng)就是一個(gè)例子。如果 流體的流動(dòng)是由于水泵、風(fēng)機(jī)或其它壓差所造成的，則稱為強(qiáng) 制對(duì)流。另外，沸騰及凝結(jié)也同于對(duì)流換熱，熔化及凝固則除 導(dǎo)熱機(jī)理外也常伴有對(duì)流換熱，并且它們都是帶有相變的對(duì)流 換熱現(xiàn)象。 BUAA 三、熱輻射 物體通過(guò)電磁波傳遞能量的方式稱為輻射。物體會(huì)因各種原 因發(fā)出輻射能，其中因熱的原因發(fā)出輻射能的現(xiàn)象稱為熱輻射。 自然界中各個(gè)物體都不停地向空間發(fā)出熱輻射，同時(shí)又不斷地吸 收其它物體發(fā)出的熱輻射。發(fā)出與吸收過(guò)程的綜合效果造成了物 體間以輻射方式進(jìn)行的熱量傳遞。當(dāng)物體與周圍環(huán)境處于熱

6、平衡 時(shí)，輻射換熱量等于零。但這是動(dòng)態(tài)平衡，發(fā)出與吸收輻射的過(guò) 程仍在不停地進(jìn)行。 熱輻射與導(dǎo)熱及對(duì)流相比較有以下特點(diǎn)： 1)熱輻射可以在真空中傳播。當(dāng)兩個(gè)物體被真空隔開(kāi)時(shí)，例如地 球與太陽(yáng)之間，導(dǎo)熱與對(duì)流都不會(huì)發(fā)生，而只能進(jìn)行輻射換熱。 2)輻射換熱不僅產(chǎn)生能量的轉(zhuǎn)移，而且還伴隨著能量形式的轉(zhuǎn)化。 即發(fā)射時(shí)熱能轉(zhuǎn)換為輻射能，而被吸收時(shí)又將輻射能轉(zhuǎn)換為熱能。 BUAA 熱量傳遞的三種基本方式，由于機(jī)理不同，遵循的規(guī) 律也不同，依次分開(kāi)論述比較適宜。但要注意，在工程問(wèn) 題中，有時(shí)也存在著兩種或者三種熱量傳遞方式同時(shí)出現(xiàn) 的場(chǎng)合。例如一塊高溫鋼板在廠房中的冷卻散熱，既有輻 射換熱方式，同時(shí)也有對(duì)流

7、換熱(自然對(duì)流換熱)方式。兩 種方式散熱的熱流量疊加等于總的散熱熱流量。厚大焊件 的冷卻過(guò)程，則同時(shí)存在著導(dǎo)熱、對(duì)流換熱及輻射換熱三 種熱量傳遞方式。對(duì)于這些場(chǎng)合，就不能只顧一種方式而 遺漏另一種方式。 BUAA 四、傅里葉導(dǎo)熱定肄 傅里葉定律是對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的總結(jié)。通過(guò)平板的導(dǎo)熱如圖所示。 平板的兩個(gè)表面均維持各自的均勻溫度。這是一維導(dǎo)熱問(wèn)題，對(duì) 于x方向上任意一個(gè)厚度為dx的微薄層，根據(jù)傅里葉定律，單位 時(shí)間內(nèi)通過(guò)該層的熱量，與該處的溫度變化率及平板的截面積A 成正比，即： 式中，是個(gè)比例系數(shù)稱為熱導(dǎo)率。負(fù) 號(hào)表示熱量傳遞的方向與溫度升高的方 向相反。 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某一給定面積的熱量稱為熱流

8、量，記為， 單位為w。單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的熱量稱為熱流密度(又稱 比熱流)，記為q，單位為w/m2。傅里葉定律按熱流密度形式表 示則為: BUAA 第二節(jié)第二節(jié) 溫度場(chǎng)、等溫面和溫度梯度溫度場(chǎng)、等溫面和溫度梯度 一、溫度場(chǎng) 傅里葉定律表明，導(dǎo)熱的熱量與溫度變化率有關(guān)，所以研 究導(dǎo)熱必然涉及物體的溫度分布。一般地講，物體的溫度分布 是位置坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即：Tf (x，y，z，t) 式中，z、y、z為空間直角坐標(biāo)，t為時(shí)間坐標(biāo)。 像重力場(chǎng)、速度場(chǎng)一樣，物體中存在著時(shí)間和空間上的溫 度分布，被稱為溫度場(chǎng)。它是各個(gè)瞬間物體中各點(diǎn)溫度分布的 總稱。 物體中各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間改變的溫度場(chǎng)，稱為非穩(wěn)態(tài)

9、溫度 場(chǎng)(或非定常溫度場(chǎng))。工件在加熱或冷卻過(guò)程中都具有非穩(wěn)態(tài) 溫度場(chǎng)。 物體中各點(diǎn)的溫度不隨時(shí)間變動(dòng)的溫度場(chǎng)，稱為穩(wěn)態(tài)溫度 場(chǎng)(或定常溫度場(chǎng))，此時(shí)溫度場(chǎng)表達(dá)式簡(jiǎn)化為：Tf (x，y， z) BUAA 二、等溫面 物體中同一瞬間相同溫度各 點(diǎn)連成的面稱為等溫面。在任何 一個(gè)二維截面上等溫面表現(xiàn)為等 溫線。溫度場(chǎng)習(xí)慣上用等溫面圍 或等溫線團(tuán)來(lái)表示。右圖是用等 溫線表示鑄件溫度場(chǎng)的實(shí)例。下 圖則為厚板焊接時(shí)移動(dòng)熱源在x y平面內(nèi)形成的瞬時(shí)溫場(chǎng)。此 刻熱原在原點(diǎn)o。 BUAA 三、溫度梯度 在傅里葉定律中，傳遞的熱量、溫度的變化都是具有方 向的物理量。數(shù)學(xué)上稱它們?yōu)槭噶?。?duì)矢量之間的關(guān)系式必 須采

10、用矢量的形式才能更完整地表達(dá)出來(lái)。溫度變化率是個(gè) 標(biāo)量，它必須與單位矢量相乘才成為矢量。由于梯度這個(gè)矢 量是指向變化率劇烈的方向，而在等溫面的法線方向上，單 位長(zhǎng)度的溫度變化率最大，因此把溫度場(chǎng)中任意一點(diǎn)沿等溫 面法線方向的溫度增加率稱為該點(diǎn)的溫度梯度，即： 式中 n表示法向單位矢量 nT 表示溫度在n方向上的導(dǎo)數(shù) 溫度梯度在三維空間坐標(biāo)軸上的分量等于其相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，即： BUAA 第三節(jié) 熱導(dǎo)率與熱擴(kuò)散率 一、熱導(dǎo)率 熱導(dǎo)率的定義可由傅里葉定律表達(dá)式推出。 由此可見(jiàn)，熱導(dǎo)率在數(shù)值上等于溫度梯度為1個(gè)單位時(shí)， 物體內(nèi)具有的熱流密度，單位為wm。它反映出，在相 同的溫度梯度下，物體的熱導(dǎo)率越大，

11、導(dǎo)熱量也越大。因此， 是表征物體導(dǎo)熱能力的重要物性參數(shù)。 BUAA 熱導(dǎo)率的大小取決于物質(zhì)的種類和溫度。 一般來(lái)說(shuō)，金屬材料的熱導(dǎo)率比較高，常溫條件(20)下 純銅為399w(m)；碳鋼(mc以1.5)為36.7w(m)。非 金屬材料及液體較低，如20時(shí)水的熱導(dǎo)率為0.599wm 。 氣體的熱導(dǎo)率最小，如20時(shí)干空氣的值為0.259wm。 同種材料的值與溫度有關(guān)，對(duì)于鐵、碳鋼和低合金鋼， 值隨溫度的增加而下降。對(duì)于高合金鋼(不銹鋼、耐熱鋼等) 隨著溫度的增加值增加。工程計(jì)算采用的熱導(dǎo)率都是用專門 實(shí)驗(yàn)測(cè)定的。常用材料熱導(dǎo)率的值可在相關(guān)資料中查找。 BUAA 二、熱擴(kuò)散率 傅里葉定律可以改寫為：

12、 即 式中 物體的密度(kg/m3) 熱擴(kuò)散率(m2/s) c物體的比熱容J (kg) 熱擴(kuò)散率與熱導(dǎo)率成正比，與物體的密度和比熱容c 成反比。 BUAA 也是重要物性參數(shù)，它表征了物體內(nèi)熱量傳輸?shù)哪芰Α?其物理意義是：若以物體受熱升溫的情況為例作分析，在升溫 過(guò)程中，進(jìn)人物體的熱量沿途不斷地被吸收而使該處溫度升高， 此過(guò)程持續(xù)到物體內(nèi)部各點(diǎn)溫度全部相同為止。由熱擴(kuò)散率的 定義可知：當(dāng)其分子越大，或其分母 (它是單位體積的物體 升高10C所需的熱量)越小，表示導(dǎo)出的熱量相對(duì)較高或吸收的熱 量相對(duì)較少，于是熱量的傳輸就越快，物體內(nèi)部溫度趨于一致 的能力就越大，所以，熱擴(kuò)散率是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的重要物性

13、參 數(shù)。 在熱加工工藝過(guò)程中，可以應(yīng)用不同材料熱擴(kuò)散率的不同 來(lái)控制工件的質(zhì)量。如金屬的熱擴(kuò)散率比型砂大幾十倍，鑄件 在金屬型中要比在砂型中冷卻得快，從而可獲得表面質(zhì)量不同 的鑄件。焊接時(shí)，由于鋁和銅的導(dǎo)熱性能好，因此需采用比焊 接低碳鋼更大的能量密度才能保證質(zhì)量。 BUAA 第九章第九章 導(dǎo)導(dǎo) 熱（傳導(dǎo)傳熱）熱（傳導(dǎo)傳熱） 由前面章節(jié)可知，溫度場(chǎng)可分為穩(wěn)定溫度場(chǎng)和不穩(wěn)定溫度 場(chǎng)。在穩(wěn)定溫度場(chǎng)內(nèi)的導(dǎo)熱稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。在不穩(wěn)定溫度場(chǎng)內(nèi) 的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。工程上許多熱設(shè)備的正常工作過(guò)程可 認(rèn)為是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。 在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中，物體內(nèi)的溫度不僅隨空間位置發(fā)生變化， 而且還隨時(shí)間發(fā)生變化。在自然界和

14、工程中也存在著大量非穩(wěn) 態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，如室外空氣溫度的變化，渦輪機(jī)啟動(dòng)、停車時(shí)轉(zhuǎn) 盤和葉片溫度的變化，金屬在加熱爐內(nèi)加熱，金屬的淬火，鑄 型的烘干、鑄件的凝固及焊件的冷卻等均屬于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。 BUAA 第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 對(duì)于一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，直接對(duì)傅里葉定律的表達(dá)式進(jìn)行 積分就可獲得其解。其它導(dǎo)熱問(wèn)題的情況則較為復(fù)雜，雖然傅 里葉定律仍然適用，但是還必須解決不同坐標(biāo)方向間導(dǎo)熱關(guān)系 的相互聯(lián)系問(wèn)題。這時(shí)，導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述必須對(duì)物體中的 微元六面體作分析才能得到。導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，即導(dǎo)熱微 分方程式的建立，除了依靠傅里葉定律之外，還要以能量守恒 定律為基礎(chǔ)。 一、導(dǎo)熱微分方

15、程式 在推導(dǎo)導(dǎo)熱微分方程式時(shí)，為減少次要因素的干擾，我們 把討論對(duì)象先局限于常物性(即物性參數(shù)、c、都是常數(shù))的各 向同性材料。把熱導(dǎo)率是變量的情況放在后面討論。 在一般情況下，按照能量守恒定律，微元體的熱平衡式可 以表示為下列形式： (導(dǎo)人微元體的總熱流量)(微元體中內(nèi)熱源生成的熱量)(微元 體內(nèi)能的增量)(導(dǎo)出微元體的總熱流量) BUAA 如右圖所示：任意方向的 熱流量總可以分解成為x、y、z 三個(gè)坐標(biāo)方向的分量。這些分 量可以從傅里葉定律推出。 根據(jù)傅里葉定律，通過(guò)x x、yy、zz三個(gè)表面導(dǎo)入微 元體的熱量可直接寫出，同理， 通過(guò)xx+ dx、y=y+dy、z z+dz三個(gè)表面導(dǎo)出微元

16、體的熱 流量亦可寫出。 BUAA 微元體內(nèi)能的增量 dxdydz t T c 設(shè)單位體積內(nèi)熱源的熱能為Q，則： 微元體內(nèi)熱源的生成熱Qdxdydz 綜合各式可得導(dǎo)熱微分方程式的一般形式： 上式對(duì)穩(wěn)態(tài)、非穩(wěn)態(tài)及無(wú)內(nèi)熱源的問(wèn)題都可適用。穩(wěn)態(tài)問(wèn)題 以及無(wú)內(nèi)熱源的問(wèn)題都是上述微分方程式的特例。例如，在 穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源條件下，導(dǎo)熱微分方程式就簡(jiǎn)化成為： BUAA 運(yùn)用坐標(biāo)變換，導(dǎo)熱微分方程式可以轉(zhuǎn)換成圓柱坐標(biāo)或球坐 標(biāo)表達(dá)式，轉(zhuǎn)換的結(jié)果分別是： 圓柱坐標(biāo) 球坐標(biāo) 運(yùn)用拉普拉斯算子，可將無(wú)內(nèi)熱源導(dǎo)熱微分方程簡(jiǎn)化為： 上式亦稱拉普拉斯方程。許多實(shí)際問(wèn)題往往是以上一般的 導(dǎo)熱微分方程所描述問(wèn)題的特例。例如，無(wú)

17、內(nèi)熱源的一維 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，導(dǎo)熱微分方程可簡(jiǎn)化成為： BUAA 以上導(dǎo)熱微分方程式的討論都是在熱導(dǎo)率為常量的前提 下進(jìn)行的。在許多實(shí)際導(dǎo)熱問(wèn)題中，把熱導(dǎo)率取為常量是可 以容許的。然而，有一些特殊場(chǎng)合必須把熱導(dǎo)率作為溫度的 函數(shù)，不能當(dāng)作常量來(lái)處理。這類問(wèn)題稱為變熱導(dǎo)率的導(dǎo)熱 問(wèn)題。 考慮到不能作為常數(shù)的特點(diǎn)，可以導(dǎo)出變熱導(dǎo)率的導(dǎo)熱 方程式。例如，在直角坐標(biāo)系中，非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的變熱 導(dǎo)率的導(dǎo)熱微分方程式將不同于前式，而是： 注意：導(dǎo)熱微分方程式是描寫導(dǎo)熱過(guò)程共性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 對(duì)于任何導(dǎo)熱過(guò)程，不論是穩(wěn)態(tài)的或是非穩(wěn)態(tài)的，一維的或 多維的，導(dǎo)熱微分方程都是適用的。因此，導(dǎo)熱微分方程式 是求解一

18、切導(dǎo)熱問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。 BUAA 二、初始條件及邊界條件 求解導(dǎo)熱問(wèn)題實(shí)質(zhì)上歸結(jié)為對(duì)導(dǎo)熱微分方程式的求解。 對(duì)于上述導(dǎo)熱微分方程式，通過(guò)數(shù)學(xué)方法原則上可以獲得方程 式的通解。然而，就解答實(shí)際工程問(wèn)題而言，不能滿足于得出 通解，還要求得出既滿足導(dǎo)熱微分方程式，又滿足根據(jù)具體問(wèn) 題規(guī)定的一些附加條件下的特解。這些使微分方程式得到特解 的附加條件，數(shù)學(xué)上稱為定解條件。 對(duì)導(dǎo)熱問(wèn)題來(lái)說(shuō)，求解對(duì)象的幾何形狀(幾何條件)及材料 (物理?xiàng)l件)是已知的。一般地講，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的定解條件 有兩個(gè)方面： (1)給出初始時(shí)刻的溫度分布，即初始條件。 (2)給出物體邊界上的溫度或換熱情況，即邊界條件。 只有導(dǎo)熱微分方

19、程式連同初始條件和邊界條件，才能夠完 整地描寫一個(gè)具體的導(dǎo)熱問(wèn)題。但要注意，對(duì)于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，定 解條件僅有邊界條件。 BUAA 導(dǎo)熱問(wèn)題的常見(jiàn)邊界條件可歸納為以下三類； 1)給定邊界上的溫度值，稱為第一類邊界條件。該邊界條件 最簡(jiǎn)單的特例就是規(guī)定邊界溫度為常數(shù)，即Tw常數(shù)。對(duì)于 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件要求給出以下關(guān)系式：t0時(shí)， Twf1(t) 2)給出邊界上熱流密度值，稱為第二類邊界條件。該邊界條 件最簡(jiǎn)單特例就是規(guī)定邊界上熱流密度為定值，qw常數(shù)。 對(duì)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，這類邊界條件要求給出以下關(guān)系式： 3)給出邊界上物體與周圍流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。及周圍流 體的溫度Tf，稱為第三類邊界條件。以物

20、體被冷卻的場(chǎng)合為 例，第三類邊界條件表示為： t0時(shí)， tf n T w 2 fw w TT n T BUAA 第二節(jié)第二節(jié) 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 工程實(shí)踐中存在著大量的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，有些問(wèn)題在一定 條件下可以簡(jiǎn)化成一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，即溫度僅沿一個(gè)空間坐標(biāo)方 向變化。對(duì)于一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，加大平板、長(zhǎng)圓筒、球壁等 幾何形態(tài)規(guī)則物體的導(dǎo)熱問(wèn)題，采用直接積分法即可獲得其分 析解。以下將分別討論它們的具體解法。 一、單層平壁的導(dǎo)熱 單層平壁如圖。巳知平壁的兩個(gè)表面分 別維持均勻而恒定的溫度T1和T2，壁厚為。 假設(shè)壁厚遠(yuǎn)小于高度和寬度，則溫度場(chǎng)是一 維的，溫度只沿著與表面垂直的x方向發(fā)生變 化。無(wú)內(nèi)

21、熱源的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式適 用。 邊界條件為 BUAA 對(duì)微分方程連續(xù)積分兩次，得其通解為： 由邊界條件確定式中積分常數(shù)c1、c2。平板內(nèi)溫度分布為： 由于、Tl、T2都是定值，所以溫度呈線性分布，即，溫 度分布線的斜率是常量，即： 代入傅里葉定律得： 上式即是平壁導(dǎo)熱的計(jì)算公式，它揭示了q、和 T四個(gè)物理量間的內(nèi)在聯(lián)系，只要已知其中任意三個(gè)量， 就可以求出第四個(gè)量。 當(dāng)熱導(dǎo)率是溫度的線性函數(shù)時(shí)，即0(1+bt)，只要 取計(jì)算區(qū)域平均溫度下的值代入上式，即可。 BUAA 二、多層平壁的導(dǎo)熱 首先引出一個(gè)在傳熱分析中頗為重要的熱阻的概念，然后 討論多層平壁導(dǎo)熱的計(jì)算。 熱量傳遞是自然界中的一

22、種能量轉(zhuǎn)移過(guò)程，它與自然界中 其它轉(zhuǎn)移過(guò)程，如電量的轉(zhuǎn)移、動(dòng)量的轉(zhuǎn)移、質(zhì)量的轉(zhuǎn)移有類 似之處。各種轉(zhuǎn)移過(guò)程的共同規(guī)律性可歸結(jié)為： 過(guò)程中的轉(zhuǎn)移量 過(guò)程的動(dòng)力 過(guò)程的阻力 在電學(xué)中，這種規(guī)律性就是眾所周知的歐姆定律。 即：I=U/R 在導(dǎo)熱中，與之相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式可從上式寫成： q=T/(/) (/)相當(dāng)于熱量傳遞過(guò)程中單位面積上的熱阻 BUAA 舉例：己知灰鑄鐵、空氣及濕型砂的熱導(dǎo)率分別為50.3w (m)、0.032lW(m)及1.13w(m)，試比較1mm厚灰 鑄鐵、空氣及濕型砂的熱阻。 解：導(dǎo)熱熱阻Rt，故有： 灰鑄鐵 空氣 濕型砂 由此可見(jiàn)，lmm的空氣隙的熱阻相當(dāng)于灰鑄鐵熱阻的 150

23、0余倍，因此在鑄鐵冷卻分析中，氣隙的作用是不可忽略 的因素。濕型砂的熱阻比灰鑄鐵的熱阻要大45倍左右，在粗 略的分析中，灰鑄鐵的熱阻相對(duì)來(lái)說(shuō)是次要的。 BUAA 熱阻概念的建立對(duì)復(fù)雜熱轉(zhuǎn)移過(guò)程的分析帶來(lái)很大便利。 例如，我們可以借用比較熟悉的串、并聯(lián)電路電阻的計(jì)算公 式來(lái)計(jì)算熱轉(zhuǎn)移過(guò)程的合成熱阻(或稱總熱阻)。串聯(lián)電阻疊 加得到總電阻的原則可以應(yīng)用到串聯(lián)導(dǎo)熱熱阻的計(jì)算上，從 而可方便地推導(dǎo)出復(fù)合壁的導(dǎo)熱公式。 在由兩種材料組成的復(fù)合導(dǎo)熱系統(tǒng)中，如熱導(dǎo)率分別為 c和s的兩種不同材料組成一種簡(jiǎn)單的復(fù)合平板，熱量的傳 遞有可能變得復(fù)雜起來(lái)，這與兩種材料界面處的接觸情況有 很大關(guān)系。為了研究的方便，這

24、里提出理想接觸和非理想接 觸的概念。若界面附近的傳遞滿足如下條件，就稱為理想接 觸。 其意義為：兩種材料接觸界面上某點(diǎn)x，不僅兩邊的溫度相 等，而且流過(guò)的熱量也應(yīng)相等。 BUAA 在理想接觸情況下，可以利用熱阻概念來(lái)分析復(fù)合平板的 導(dǎo)熱問(wèn)題。 現(xiàn)在應(yīng)用熱阻的概念來(lái)推導(dǎo)通過(guò)多層平壁的導(dǎo)熱計(jì)算公式。 所謂多層壁，就是由不同材料疊加在一起組成的復(fù)合壁。 舉例：采用耐火磚、隔熱磚和金屬護(hù)板 疊合而成的爐窯墻就是多層壁的實(shí)例。 三層壁如圖所示(所采用的方法可推廣于 任意層多層壁)。假定層與層之間接觸良 好，即為理想接觸狀態(tài)，因此通過(guò)層間 界面不會(huì)發(fā)生溫度變化。已知各層的厚 度分別為1、2和3，各層材料的

25、熱導(dǎo)率 分別為1、2、3 ，已知多層壁兩個(gè)外側(cè) 表面的溫度分別為Tl、和T4(中間溫度T2和 T3是不知道的)現(xiàn)求通過(guò)多層壁的熱流密 度q的計(jì)算公式。 BUAA 應(yīng)用熱阻表達(dá)式可寫出各層的熱阻如下： 運(yùn)用串聯(lián)熱阻疊加原則，即串聯(lián)過(guò)程的總熱阻等于其分熱 阻的總和。把式上中三式疊加就得到多層壁的總熱阻： 據(jù)此求得熱流密度的計(jì)算公式： BUAA 依此類推，n層多層壁的計(jì)算公式是： 得到熱流密度后，層間分界面上未知溫度T2和T3也可出。 注意：熱阻這個(gè)概念不僅適用于導(dǎo)熱，對(duì)于對(duì)流換熱、 輻射換熱以及復(fù)合換熱等方式也是適用的。 BUAA 三、圓筒壁和球壁的導(dǎo)熱 (一)圓筒壁的導(dǎo)熱 圓桶壁在工程上應(yīng)用很廣

26、，如管道、軋輥等 都是實(shí)例。先分析單層圓筒壁的導(dǎo)熱。已知 內(nèi)、外半徑分別為r1、r2的圓筒壁的內(nèi)、外表 面溫度分別維持均勻恒定的溫度Tl和T2。假 設(shè)熱導(dǎo)率等于常數(shù)。如果圓筒壁的長(zhǎng)度很 長(zhǎng)，沿軸向的導(dǎo)熱忽略不計(jì)，溫度僅沿半徑 方向發(fā)生變化，采用柱坐標(biāo)(r，)時(shí)，就成 為一維導(dǎo)熱問(wèn)題。 導(dǎo)熱微分力程式簡(jiǎn)化為： 邊界條件為： rr1時(shí)，TT1 rr2時(shí)，TT2 BUAA 解得溫度分布為： 熱流量計(jì)算公式： 注意:在圓筒壁導(dǎo)熱中不同r處的熱流密度q在穩(wěn)態(tài)下不是常量 對(duì)于圓筒壁，其總面積熱阻可表達(dá)為： 和多層平壁一樣，運(yùn)用串聯(lián)熱阻疊加原則，可得通過(guò)多層 圓筒壁的熱流量為： BUAA (二)球壁的導(dǎo)熱

27、球壁導(dǎo)熱如圖所示。已知球壁的內(nèi)、 外半徑分別為r1、r2，內(nèi)、外表面分別維 持恒定溫度T1和T2。設(shè)熱導(dǎo)率為常量。 與圓筒壁導(dǎo)熱計(jì)算相同，利用球座標(biāo)即 可對(duì)球壁導(dǎo)熱問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。 球壁溫度分布表達(dá)式為： 球壁導(dǎo)熱量表達(dá)式為： BUAA 第三節(jié)第三節(jié) 接觸熱阻接觸熱阻 當(dāng)看起來(lái)很平的兩個(gè)固體表面相互接觸時(shí)，接觸實(shí)際僅發(fā) 生在一些離散的面積上，如圖所示。若接觸面積之外的間隙空 間為真空，穿過(guò)互不接觸的這些界面間隙的輻射換熱是非常小 的。全部熱流線將收縮而從這些離散的接觸面積通過(guò)。熱流線 的收縮表示接觸界面存在熱阻。如果間隙中充滿流體，由于間 隙薄而溫差又不大，對(duì)流難于開(kāi)展，所以對(duì)流換熱也可忽略。

28、不過(guò)穿過(guò)流體層的傳導(dǎo)方式還起一定作用，因此接觸界面的熱 阻比真空時(shí)小。通常把接觸界面產(chǎn)生的熱阻稱為接觸熱阻。 BUAA 由以上討論可知接觸熱阻Rt由下列幾個(gè)熱阻并聯(lián)組成： 由于導(dǎo)熱接觸面積減小引起熱流線收縮而產(chǎn)生的熱阻Rs流體的 導(dǎo)熱熱阻Rf和穿過(guò)界面間隙的輻射熱阻R。于是有： 按熱阻定義式，界面接觸熱阻可表示為： Tc接觸面的溫度差 接觸熱阻主要依靠實(shí)驗(yàn)測(cè)定。熱學(xué)資料可查到一些實(shí)測(cè) 數(shù)據(jù)，可供參考。 為了減小接觸熱阻，可在接觸界面上加一片薄銅皮或其 它延展性好、熱導(dǎo)率高的材料，或涂一薄層硅油。這些簡(jiǎn)單 易行的措施都能收到顯著的效果。 BUAA 第四節(jié)第四節(jié) 二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 在許多實(shí)

29、際問(wèn)題中，一維導(dǎo)熱的簡(jiǎn)化分析方法不能滿足工程 計(jì)算的需要，必須引入多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度分布將是 兩個(gè)或三個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)，稱為二維或三維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。相應(yīng)的 導(dǎo)熱方程是包含兩個(gè)或三個(gè)自變量的偏微分方程。 多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有多種分析求解方法，其中分離變量法是廣泛采 用的經(jīng)典而有效的方法，本節(jié)主要討論二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分離變量法 的分析求解。 半無(wú)限大平板內(nèi)的溫度分布如圖 所示。半無(wú)限大平板是指該平板 位于x-y平面內(nèi)，x方向?yàn)橛邢蕹?寸L，y方向一直延伸至y的平 板。因平板很簿，認(rèn)為： 可忽略不計(jì)，這是典型二維導(dǎo)熱問(wèn)題。 0zT BUAA 對(duì)于半無(wú)限大平板來(lái)說(shuō)，溫度場(chǎng)是二維的。在穩(wěn)態(tài)下它必須滿 足方程

30、： 邊界條件為： 應(yīng)用分離變量法求解時(shí)，首先需要求出下列形式的乘積解： 式中，X僅是x的函數(shù)，Y僅是y的函數(shù)。代人上式，則： 將上式變量分離得： BUAA 由于Y僅是y的函數(shù)，故上式右端與x無(wú)關(guān)。因此，其左端亦與x 無(wú)關(guān)，而必等于一常數(shù)。同理，其左端與y無(wú)關(guān)，這就需要等 式右端亦與y無(wú)關(guān)。因此，兩端等于一任意常數(shù)(設(shè)為2)，這個(gè) 常數(shù)2稱為分離常數(shù)。于是： 上兩式為常系數(shù)齊次線性方程。今xeax和yeby，分別代入 上式，可求得這類方程的解。通解為： 利用恒等式 BUAA 考慮邊界條件：對(duì)X表達(dá)式，應(yīng)滿足，當(dāng)x0時(shí)，X0，因此 C10。當(dāng)xL時(shí)，X0。因此，Sin(L)=0，即：n=n/L 根

31、據(jù)已討論的X的兩個(gè)邊界條件，可得： 因此，通解為： 利用y的邊界條件得C30。于是： 故乘積解為： 式中An表示所涉及的全部常數(shù)。 BUAA 根據(jù)最后一個(gè)y的邊界條件式：y=，T=T0 為確定所有的An值，可在上式兩邊同乘以sin(m xL)(m為n 的某個(gè)特定積分值)，然后在x0和xL之間積分： 由定積分表可知，上式右邊的所有積分，除nm外，對(duì) 所有n值均為0，當(dāng)nm時(shí)其值為An/2。左邊的積分值為 2/n，n1、3、5，。 最終解為： BUAA 上述的分離變量法，還可推廣應(yīng)用到三維導(dǎo)熱的情況。 其方法也是假設(shè)TX(x)Y(y)Z(z)，并將它代入適當(dāng)?shù)奈⒎址?程式中。當(dāng)這三個(gè)變量進(jìn)行分離后

32、，可得到三個(gè)二次常微分 方程式，在給定的邊界條件下對(duì)其積分，即可得到其分析解。 實(shí)際上，往往由于幾何形狀和邊界條件的復(fù)雜性，采用分離 變量法求解很困難。 BUAA 第五節(jié)第五節(jié) 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的微分方程式是求解所有非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的基 礎(chǔ)。 以半無(wú)限大平板的導(dǎo)熱為例，初始溫度均勻并等于室溫T0。 表面被突然加熱，初始溫度Tw開(kāi)始上升而中心溫度仍為初始 溫度T0。隨著時(shí)間的推移，溫度變化波及范圍不斷擴(kuò)大，導(dǎo)致 內(nèi)部溫度也開(kāi)始上升。經(jīng)歷一段時(shí)間后，整個(gè)平板趨近并最終 達(dá)到熱的平衡狀態(tài)。 BUAA 以上分析表明： 1)物體內(nèi)溫度的變化，存在著部分物體

33、不參與變化和整個(gè)物體參 與變化的兩個(gè)階段。 2)不同位置達(dá)到指定溫度的時(shí)間不同，這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題求解 的重要任務(wù)。 3)在熱量傳遞的過(guò)程中，由于物體本身的溫度變化要積蓄(或放出) 熱量，傳熱開(kāi)始時(shí)這份熱量較大，隨著物體溫度的變化，這份熱 量逐漸減小，在熱平衡狀態(tài)下降為零。即積蓄(或放出)的熱量是 隨時(shí)間而變化的，這也是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題求解的任務(wù)。 BUAA 二、第一類邊界條件表面溫度為常數(shù) 一維導(dǎo)熱典型的簡(jiǎn)單幾何形狀，除了平壁、圓簡(jiǎn)壁和球壁 以外，還有半無(wú)限大物體。 所謂半無(wú)限大物體，是指物體一端為一平面，而另一端延 伸至無(wú)限遠(yuǎn)的物體。數(shù)學(xué)上，取平面界面為y坐標(biāo)軸，與界面 成法線方向的為x坐標(biāo)

34、鈾，則半無(wú)限大物體占有x0、y從-至 的區(qū)域。 半無(wú)限大物體是實(shí)際問(wèn)題的理想化典型，有其重要意義。 對(duì)于有限厚度的平壁單面受熱時(shí)，只要平壁的另一側(cè)未受到升 溫波及，就可應(yīng)用半無(wú)限大物體的理論公式，比如，鑄造中砂 型的受熱升溫，只要在工程上有意義的時(shí)間內(nèi)砂型外側(cè)未被升 溫波及，就可以用半無(wú)限大物體進(jìn)行分析。這里將以半無(wú)限大 物體作為討論對(duì)象。 BUAA （一）溫度場(chǎng)的求解 常物性一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱適用的微分方程為： 初始條件：t=0，T=T0=常數(shù) t0，x=0處，T=Tw =常數(shù) 微分方程式在上述初始及邊界條件下的理論解為： 上兩式中，Nx(2/t)，erf(N)為高斯誤差函數(shù)。可用來(lái)計(jì)算 某時(shí)刻

35、t、特定點(diǎn)x處的溫度，亦可反過(guò)來(lái)計(jì)算上述x處達(dá)到某一 溫度T所需的時(shí)間。 BUAA (二)表面的瞬時(shí)熱流密度 物體表面上的溫度梯度隨時(shí)間t而變化，所以從傅里葉定 律能求得表面的瞬時(shí)熱流密度qw。先對(duì)下式求導(dǎo)得： 代入傅里葉定律表達(dá)式，得： BUAA 如果在0-t時(shí)間內(nèi)Tw保持不變，則式中除t以外都是常量。 將qw在0-t范圍內(nèi)積分即得到整段時(shí)間內(nèi)消耗于加熱每平方米 半無(wú)限大物體的熱量Qw(亦稱累計(jì)熱量，單位為J/m2)為： 可以看出，Qw與時(shí)間t的平方根成正比，即隨時(shí)間增加而遞 增，但增加的勢(shì)頭逐漸減小，這與溫度梯度的變化相對(duì)應(yīng)。 在式中，材質(zhì)不同的影響體現(xiàn)在/上，物性的這種組合可 表示為：

36、b稱為蓄熱系數(shù)，完全取決于材料的熱物性。它綜合地反映 了材料的蓄熱能力。是一個(gè)熱物性參數(shù)。 冬天用手握鐵棍和木棍，溫度相同，總感覺(jué)鐵棍比較涼？ BUAA 三、第三類邊界條件己知周圍介質(zhì)溫度和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù) 對(duì)于厚度有限而寬廣無(wú)限的平壁，數(shù)學(xué)上稱為無(wú)限大平板。首 先以溫度均勻、厚度為2的無(wú)限大平板作為討論對(duì)象如圖所示。 平板與介質(zhì)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常數(shù)，平板兩側(cè)具有相同的邊界 條件，即可以中心截面為對(duì)稱面。 由于對(duì)稱的原因，我們只 需討論半個(gè)壁厚的溫度場(chǎng)。 圖中示出平板的初始溫度 為T0，在第三類邊界條件 下冷卻。為了使邊界條件 齊次化及表達(dá)上的簡(jiǎn)煉， 習(xí)慣上采用以周圍介質(zhì)溫 度Tf為起點(diǎn)基準(zhǔn)的過(guò)余

37、溫 度(T Tf)，而不直接 用T。 BUAA 采用了過(guò)余溫度，半個(gè)平板厚度適用的微分方程式及定解條件 可表示為： 初始條件 t0時(shí)，0 邊界條件 t0時(shí)，x處， x0 處， 這個(gè)問(wèn)題的分析解，以及在第三類邊界條件下其它簡(jiǎn)單幾 何形狀物體問(wèn)題的分析解，可采用分離變量法求解，并且已經(jīng) 被整理成便于應(yīng)用的線算圖。這類線算因稱為諾謨圖。諾謨圖 中的坐標(biāo)及參變量都是無(wú)量綱的綜合量。無(wú)量綱的綜合量被稱 為相似準(zhǔn)則，簡(jiǎn)稱準(zhǔn)則。在物理現(xiàn)象中，物理量不是單個(gè)地起 作用，而是以準(zhǔn)則這種組合量發(fā)揮其作用的。 同學(xué)想進(jìn)一步了解這方面內(nèi)容，可查閱相關(guān)資料。 BUAA 第六節(jié)第六節(jié) 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱二維及三維非穩(wěn)態(tài)

38、導(dǎo)熱 在實(shí)際中往往會(huì)遇到不少二維和三維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題， 比如有限長(zhǎng)度的圓柱體、平行六面體等。這些物體可以看成是 由平板與圓柱垂直相交構(gòu)成，或由幾塊平板垂直相交構(gòu)成。 BUAA 對(duì)于第三類邊界條件和Tw常數(shù)的第一類邊界條件下的導(dǎo) 熱，已經(jīng)在數(shù)學(xué)上證明：多維問(wèn)題的解等于各個(gè)坐標(biāo)上一維解 的乘積。也既是說(shuō)，當(dāng)以過(guò)余溫度準(zhǔn)則的形式表達(dá)時(shí)，多維問(wèn) 題的解等于各坐標(biāo)一維解的乘積。 二維三維 BUAA 第十章第十章 對(duì)流換熱對(duì)流換熱 流體流過(guò)固體物體表面所發(fā)生的熱量傳遞稱為對(duì)流換熱。 對(duì)流換熱的基本計(jì)算式是牛頓冷卻公式，即熱流密度為： q(TwTf) 式中 表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)w(m2) Tw、Tf分別為固體表面

39、溫度及流體溫度 對(duì)于面積為A的接觸面，對(duì)流換熱的熱流量為 A(TwTf) 牛頓冷卻公式只是表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的定義式，它沒(méi)有揭 示出表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與影響它的物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系。 求解表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的表達(dá)式有兩個(gè)基本途徑：一是分 析解法；二是應(yīng)用相似原理，將為數(shù)眾多的影響因素歸結(jié)成 幾個(gè)無(wú)量綱準(zhǔn)則，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定的準(zhǔn)則關(guān)系式。 BUAA 第一節(jié)第一節(jié) 對(duì)流換熱的機(jī)理及影響因素對(duì)流換熱的機(jī)理及影響因素 一、對(duì)流換熱的機(jī)理 當(dāng)粘性流體在固體表面上流動(dòng)時(shí)，存在邊界層。貼壁處這 一極薄的流體層相對(duì)于壁面是不流動(dòng)的，壁面與流體間的熱量 傳遞必須穿過(guò)這個(gè)流體層，而穿過(guò)不流動(dòng)流體的熱量傳遞方式 只能是導(dǎo)熱。因此，對(duì)流

40、換熱的熱量就等于穿過(guò)邊界層的導(dǎo)熱 量。將傅里葉定律應(yīng)用于邊界層可得： 貼壁處流體的法向溫度變化率 0 y y A換熱面積 將牛頓冷卻公式與上式聯(lián)立求解，即得到以下?lián)Q熱微分方程 BUAA 0 y y T T 由上式可見(jiàn)，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)與流體的溫度場(chǎng)有聯(lián)系，是 對(duì)流換熱微分方程組一個(gè)組成部分。同時(shí)也可看出，表面?zhèn)?熱系數(shù)的求解有賴于流體溫度場(chǎng)的求解。 二、影響對(duì)流換熱的主要因素 對(duì)流換熱是流動(dòng)著的流體與固體表面間的熱量交換。因 此，影響流體流動(dòng)及流體導(dǎo)熱的因素都是影響對(duì)流換熱的因 素。具體地說(shuō)，它們是：流動(dòng)的動(dòng)力；流體流過(guò)換熱面的幾 何形狀和位置狀態(tài)；流體的流動(dòng)狀態(tài)及流體的物理性質(zhì)。即 粘度、比熱容

41、c、密度及熱導(dǎo)率等。 前面已經(jīng)提到，由于流動(dòng)的起因不同，對(duì)流換熱可分為 強(qiáng)制對(duì)流換熱和自然對(duì)流換熱兩大類。浮力是自然對(duì)流的動(dòng) 力，它必須包括在自然對(duì)流的動(dòng)量微分方程之中。在強(qiáng)制對(duì) 流的動(dòng)量微分方程中，則可忽略浮力項(xiàng)。 BUAA 幾何因素對(duì)對(duì)流換熱的影響 管內(nèi)強(qiáng)制對(duì)流的流動(dòng)與流 體外掠園管的強(qiáng)制對(duì)流 熱面朝上散熱的流動(dòng)與熱 面朝下的流動(dòng) 流體流動(dòng)強(qiáng)弱不同表現(xiàn)為層流和湍流兩種流動(dòng)形態(tài)。顯然， 層流與湍流的換熱規(guī)律不同，湍流換熱要比層流時(shí)強(qiáng)烈。這是不 同的流動(dòng)形態(tài)對(duì)流換熱的又一個(gè)層次的影響因素。 此外，流體的物性也是影響對(duì)流換熱的因素，包括不同溫度 及不同種類流體的物性的影響。 BUAA 第二節(jié)第二

42、節(jié) 對(duì)流換熱微分方程組對(duì)流換熱微分方程組 對(duì)流換熱微分方程組一般包括：換熱微分方程式，能量微 分方程，x、y、z三個(gè)方向的動(dòng)量微分方程及連續(xù)性微分程， 共計(jì)六個(gè)方程。 一、能量微分方程 與傳導(dǎo)傳熱微分方程的導(dǎo)出思路一樣，將其引伸到流體流 動(dòng)的問(wèn)題。如圖，取一微元體，假定流體是常物性的。微元體 熱平衡式應(yīng)該是： (由導(dǎo)熱進(jìn)入微元體的熱量Q1) (由對(duì)流進(jìn)入微元體的熱量Q2) (微元體中流體的焓增H) BUAA 由導(dǎo)熱進(jìn)入微元體的熱量已經(jīng)推導(dǎo)過(guò)。在dt時(shí)間內(nèi)這一熱量為： 由對(duì)流進(jìn)入微元體的熱量可參看上圖所作分析。設(shè)流體在x、y、 z方向的速度分量分別為vx，vy、vz。先觀察x方向上對(duì)流的熱量 流

43、人及流出的情況。在dt時(shí)間內(nèi)，由x處的截面進(jìn)人微元體的熱 量為： 同時(shí)間內(nèi)由xdx截面流出微元體的熱量為： 上述兩式相減可得dt時(shí)間內(nèi)x方向進(jìn)入微元體的熱量。略去高 次項(xiàng)，其結(jié)果為： BUAA 同理，在y和z方向上也可得出相應(yīng)的關(guān)系式： 在dt時(shí)間內(nèi)，由對(duì)流進(jìn)入微元體的總熱量Q2為x、y、z三個(gè)方 向之和，即： 流體在穩(wěn)態(tài)、常物性條件下，上式中括號(hào)中第二項(xiàng)為零，于是有： 在dt時(shí)間內(nèi)，微元體中流體的溫度改變了dttT 其焓增為： BUAA 能量微分方程： 數(shù)學(xué)上更簡(jiǎn)練的形式為： 對(duì)穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，0tT 能量微分方程簡(jiǎn)化為： 二、動(dòng)量微分方程 動(dòng)量微分方程(納維爾斯托克斯方程)的推導(dǎo)依據(jù)是牛 頓第二

44、定律，即作用于微元體上所有外力之和等于慣性力 (即質(zhì)量乘以加速度) 。 三、連續(xù)性微分方程 推導(dǎo)連續(xù)性微分方程的依據(jù)是質(zhì)量守恒定律。即在單位 時(shí)間內(nèi)，凈流人微元體的質(zhì)量等于微元體內(nèi)的質(zhì)量增量。 BUAA 第三節(jié)第三節(jié) 對(duì)流換熱的準(zhǔn)數(shù)方程式對(duì)流換熱的準(zhǔn)數(shù)方程式 相似理論是目前求解各種情況下表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)的常用方 法。首先對(duì)物理過(guò)程的微分方程進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換，然后以實(shí)驗(yàn) 為基礎(chǔ)，確定出物理過(guò)程的準(zhǔn)數(shù)方程式，得出物理方程的解 析式，即微分方程在一定邊界條件下的解。 一、對(duì)流換熱的相似準(zhǔn)數(shù) 對(duì)流換熱的相似問(wèn)題，包含幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似、熱相 似和邊界條件相似等。以能量微分方程為例，將微分方程進(jìn) 行相似轉(zhuǎn)換，獲

45、得相似準(zhǔn)數(shù)。 流體的熱量傳輸微分方程式(或稱能量微分方程)為： 設(shè)：有兩個(gè)對(duì)流換熱的相似現(xiàn)象，分別用“”或“”表示， 則可對(duì)上述方程進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換如下； BUAA 寫出兩現(xiàn)象的速度、空間、溫度、時(shí)間、熱擴(kuò)散率等的相 似常數(shù)關(guān)系式為： BUAA 將相似常數(shù)關(guān)系式代入能量方程轉(zhuǎn)換式“”得： 比較上式和“”式，可得出如下關(guān)系： 由()與()組合，得： 由()與()組合，得： BUAA 將相似常數(shù)關(guān)系式代入上述二式，得： 傅里葉數(shù) 貝克萊數(shù) 考慮對(duì)流換熱的邊界條件，對(duì)流換熱微分方程為： 對(duì)上述的邊界方程作相似轉(zhuǎn)換 BUAA 與上述推導(dǎo)過(guò)程一樣，可得出： 比較該式與前式，得： 即 故努塞爾數(shù) 二、對(duì)流換熱

46、的準(zhǔn)數(shù)方程式 根據(jù)上述推導(dǎo)，可得描述對(duì)流換熱現(xiàn)象的一般性準(zhǔn)數(shù)方程式為： 其中幾個(gè)相似準(zhǔn)數(shù)的物理意義為： (1)Nu是由邊界換熱微分方程而來(lái)，它反映了對(duì)流換熱在邊界上 的特征Nu數(shù)也可變換為： BUAA Nu數(shù)大，說(shuō)明導(dǎo)熱熱阻l/大而對(duì)流熱阻l/小，即對(duì)流作用強(qiáng) 烈。由于Nu數(shù)中包含有表面換熱系數(shù)，它是被決定準(zhǔn)數(shù)， 在對(duì)流換熱中最為重要。 (2)Fo為傅里葉數(shù)，來(lái)自導(dǎo)熱微分方程，與時(shí)間因素有關(guān)。因 /cp，將Fo作如下變換得： Fo是表示溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的不穩(wěn)定導(dǎo)熱的準(zhǔn)數(shù)。其分子 是導(dǎo)入的熱量分母是熱焓的變化。Fo越大，溫度場(chǎng)越容易 趨于穩(wěn)定。它可理解為相對(duì)穩(wěn)定度，是不穩(wěn)定導(dǎo)熱中的一 個(gè)重要準(zhǔn)數(shù)

47、，在穩(wěn)定導(dǎo)熱時(shí)可略去。 BUAA (3)Pr是流體物性的無(wú)因次組合，又稱物性準(zhǔn)數(shù)。它也可以變換為 Pr表示流體動(dòng)量傳輸能力與熱量傳輸能力之比。從邊界層概念 出發(fā)，可以認(rèn)為是動(dòng)力邊界層與熱邊界層的相對(duì)厚度指標(biāo)。 (4)Pe是來(lái)自導(dǎo)熱微分方程式，它是表明溫度場(chǎng)在空間分布的準(zhǔn) 數(shù)。也可將其變換為 Pe越大說(shuō)明進(jìn)入系統(tǒng)的熱量大，導(dǎo)出的熱量少，則溫度場(chǎng)處于 非穩(wěn)定狀態(tài)。因?yàn)镻eRePr，Pe大表示Re大，流體的湍流程 度大，或者Pr大，意味著小，導(dǎo)溫能力弱。 BUAA 在對(duì)流換熱中，被決定準(zhǔn)數(shù)是Nu數(shù)，與對(duì)流換熱有關(guān)的其它準(zhǔn) 數(shù)是Re、Gr、Pr。故準(zhǔn)數(shù)方程為： 湍流強(qiáng)制對(duì)流換熱時(shí)，表示自然對(duì)流浮升力影

48、響的Gr數(shù)可以 忽略，準(zhǔn)數(shù)方程簡(jiǎn)化為： 自然對(duì)流時(shí)又可忽略Re數(shù)，而有： 在具體應(yīng)用時(shí)，多表示為冪函數(shù)形式： BUAA 式中的C、n、m通過(guò)實(shí)驗(yàn)求得。指數(shù)的求得是分步完成的。以 上式為例，先固定Re，通過(guò)實(shí)驗(yàn)找到不同Pr數(shù)與Nu數(shù)間相對(duì)應(yīng) 關(guān)系，將其標(biāo)繪在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上得到一條Nu與Pr的關(guān)系線求 出m值。然后以Nu/Prm對(duì)Re再作實(shí)驗(yàn)，將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)標(biāo)繪在雙對(duì)數(shù) 坐標(biāo)紙上，整理求出c及n。 準(zhǔn)數(shù)的定性溫度和特征尺度 確定準(zhǔn)數(shù)中物性的溫度稱為定性溫度。在有換熱的過(guò)程中 流體的溫度總是不均勻的，不同的定性溫度將影響到準(zhǔn)數(shù)關(guān)系 式的具體形式。定性溫度常采用流體的平均溫度Tf。 準(zhǔn)數(shù)中包含的幾何尺度稱為

49、特征尺度。對(duì)流換熱中一般選 起決定作用的幾何尺度為特征尺度，比如外平板換熱時(shí)取流動(dòng) 方向的長(zhǎng)度為特征尺度，管內(nèi)流動(dòng)換熱時(shí)取管內(nèi)徑為特征尺度 等。有時(shí)也會(huì)遇到難于選定某個(gè)尺度而人為地規(guī)定一種尺度為 特征尺度的情況。 BUAA 第四節(jié)第四節(jié) 對(duì)流換熱的計(jì)算對(duì)流換熱的計(jì)算 對(duì)流換熱的工程計(jì)算無(wú)非分為強(qiáng)制對(duì)流和自然對(duì)流兩種 情況。 目前對(duì)于兩種換熱形式的工程計(jì)算主要依賴于在相似理 論指導(dǎo)下得出的實(shí)驗(yàn)公式（工程常見(jiàn)換熱過(guò)程的準(zhǔn)數(shù)方程資 料中均有所涉及和討論）。具體的計(jì)算過(guò)程和應(yīng)用的準(zhǔn)數(shù)方 程同學(xué)可參考相關(guān)的資料文獻(xiàn)。 BUAA 第十一章第十一章 輻射換熱輻射換熱 第一節(jié)第一節(jié) 熱輻射的基本概念熱輻射的基

50、本概念 一、熱輻射的本質(zhì)和特點(diǎn) 由于物體具有溫度的原因而產(chǎn)生的電磁波輻射稱為熱輻射。 不同的電磁波位于一定的波長(zhǎng)區(qū)段內(nèi)，如下圖所示。在工業(yè)上常 遇到的溫度范圍內(nèi)，即2000K以下有實(shí)際意義的熱輻射波長(zhǎng)位于 0.38-l00m (1m10-6m)之間，且大部分能量位于0.76-20m間的 紅外線區(qū)段，在0.38-0.76m間的可見(jiàn)光區(qū)段，熱輻射能量的份額 不大。 BUAA 投射到物體表面上的熱輻射，與可見(jiàn)光一樣也有吸收、反 射和穿透現(xiàn)象。如圖所示，在外界投射到物體表面上的熱輻射 Q中，一部分(Q a)被物體吸收，另一部分(Q) 被反射，其余部 分(Q r)穿透過(guò)物體。按能量守恒定律有： 上式左方

51、的各能量百分比分別稱為物體的吸收率、反射率和穿 透率，記為，和。于是： （吸收率） （反射率）（穿透率）1 BUAA 工程實(shí)際中，除去一些透明材料，進(jìn)入固體或液體表面的 輻射能常常是在一極薄層內(nèi)即被完全吸收。對(duì)于金屬導(dǎo)體，薄 層只有l(wèi)m的數(shù)量級(jí)，對(duì)于大多數(shù)非導(dǎo)電材料，厚度亦小于 lmm。實(shí)用工程材料的厚度大都大于這些數(shù)值，因此可以認(rèn)為 固體和液體不允許熱輻射穿透，即0。于是，對(duì)于固體： 十1。就固體和液體而言，吸收能力大的物體其反射本領(lǐng)就 小，反之，吸收能力小的物體其反射本領(lǐng)就大。 熱射線投射到物體表面后和可見(jiàn)光一樣，有鏡面反射和漫 反射的區(qū)分。取決于表面的粗糙程度。這里所指的粗糙程度是 相對(duì)

52、于熱輻射的波長(zhǎng)而言的。當(dāng)表面的不平整尺寸小于投射輻 射的波長(zhǎng)時(shí)，鏡面反射，此時(shí)入射角等于反射角。高度磨光的 金屬板是鏡面反射的實(shí)例。當(dāng)表面的不平整尺寸大于投射的波 長(zhǎng)時(shí)，形成漫反射。漫反射的射線是不規(guī)則的。一般工程材料 的表面都形成漫反射。 BUAA 氣體對(duì)熱輻射線幾乎沒(méi)有反射能力，可認(rèn)為反射率0， 1 。 氣體的輻射和吸收在整個(gè)氣體容積中進(jìn)行，與其表 面狀況無(wú)關(guān)。 不同物體的吸收率、反射率和穿透率因具體條件不同而不 同，通常把吸收率1的物體叫做絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。把反 射率l的物體叫做鏡體。（當(dāng)反射為漫反射時(shí)稱絕對(duì)白體）。 把穿透率1的物體叫做透明體。 BUAA 二、黑體的輻射 (一)黑體的

53、模型 黑體在熱輻射的理論分析中有其特殊的重要性。當(dāng)我們 處理實(shí)際物體輻射時(shí)，只要找出其與黑體輻射的偏離，確定 必要的修正系數(shù)就行了。 黑體的吸收率1。這意味著黑體能夠全部吸收各種波 長(zhǎng)的輻射能。盡管在自然界并不存在黑體，但用人工的方法 可以制造出十分接近于黑體的模型。黑體模型的原理如下： 取用工程材料(它的吸收率必然小于黑體)制造一個(gè)空腔，使空 腔壁面保持均勻的溫度，并在空腔上開(kāi)一個(gè)小孔，如圖所示。 空腔內(nèi)要經(jīng)歷多次的吸收和反射。 應(yīng)用這種原理建立的黑體模型， 在黑體輻射的實(shí)驗(yàn)研究及為實(shí)際物體 提供輻射的比較標(biāo)準(zhǔn)等方面都是十分 有用的。 BUAA (二)黑體的輻射 物體向外界發(fā)射的輻射能量用輻

54、射力表示。輻射力是物體在 單位時(shí)間內(nèi)單位表面積向表面上半球空間所有方向發(fā)射的全部 波長(zhǎng)的總輻射能量，記為E，單位是w/m2。輻射力表征物體發(fā) 射輻射能本領(lǐng)的大小。 在熱輻射的整個(gè)波譜內(nèi)， 不同波長(zhǎng)發(fā)射出的輻射能是不 同的。黑體的輻射能如圖所示。 圖上每條曲線下的總面積表示 相應(yīng)溫度下黑體的輻射力。對(duì) 特定波長(zhǎng)來(lái)說(shuō)，從波長(zhǎng)到 d區(qū)間發(fā)射出的能量為Ed。 參看圖中陰影的面積(圖中以T 1000K為例)。 BUAA 上圖的縱坐標(biāo)Eb稱為單色輻射力，它與輻射力之間存在著如 下的關(guān)系： 注意：?jiǎn)紊椛淞εc輻射力的單位相差一個(gè)長(zhǎng)度單位，單 色輻射力的單位是w/m3。為明確起見(jiàn)，以后凡屬于黑體的 一切量，都

55、將標(biāo)明下角碼b。例如，黑體的輻射力和單色輻 射力將分別表示為Eb和Eb 。 BUAA 第二節(jié)第二節(jié) 熱輻射的基本定律熱輻射的基本定律 一、普朗克定律 普朗克定律揭示了黑體輻射能量隨波長(zhǎng)變化的分布規(guī)律， 即黑體單色輻射力Ebf(，T)的具體函數(shù)形式。根據(jù)量子理論 導(dǎo)得的普朗克定律有如下數(shù)學(xué)表達(dá)式： 1 2 5 1 Tc b e C E 波長(zhǎng)(m)； T 黑體的熱力學(xué)溫度(K)； e 自然對(duì)數(shù)的底； Cl 常數(shù)，其值為3.7417710-16 Wm-2 C2常數(shù)，其值為1.4387710-2 mK。 BUAA 前圖為普朗克定律的圖示。按照普朗克定律，在熱輻射有 實(shí)際意義的區(qū)段內(nèi)，單色輻射力先隨著波

56、長(zhǎng)的增加而增大，過(guò) 一峰值后則隨波長(zhǎng)的增加而減少。 仔細(xì)觀察圖上的曲線可以發(fā)現(xiàn)，曲線的峰值隨著溫度的升 高移向較短的波長(zhǎng)。對(duì)應(yīng)于單色輻射力峰值的波長(zhǎng)m與熱力學(xué) 溫度T之間存在著如下的關(guān)系： 上式表明波長(zhǎng)m與熱力學(xué)溫度成反比，稱為維恩位移定律。 BUAA 在工業(yè)上的一般高溫范圍(約2000K)內(nèi)m 1.45m， 黑體輻射峰值的波長(zhǎng)位于紅外線區(qū)段，在太陽(yáng)表面溫度(約 5800K)下， m 0.50m，黑體輻射峰值的波長(zhǎng)，則位于可 見(jiàn)光區(qū)段。 普朗克定律也為加熱金屬時(shí)呈現(xiàn)的不同顏色，即所謂 色溫提供解釋的依據(jù)。 當(dāng)金屬溫度低于500時(shí)，由于實(shí)際上沒(méi)有可見(jiàn)光輻射， 我們不能觀察到金屬顏色的變化。隨著溫

57、度進(jìn)一步地升高， 金屬將出現(xiàn)所謂白熾，這是由于隨著溫度的升高，熱輻射 中可見(jiàn)光部分不斷增加所致。利用色溫判斷被加熱物體的 溫度，不需要在灼熱的物體上安裝測(cè)溫元件，有特殊的優(yōu) 越性。 BUAA 二、斯蒂芬玻爾茲曼定律 在熱輻射的分析計(jì)算中，確定黑體的輻射力是至關(guān)重要的。 將普朗克定律對(duì)從0進(jìn)行積分，結(jié)果就得到著名的斯蒂 芬玻爾茲曼定律： 這個(gè)理論關(guān)系也為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。它揭示了黑體輻射力正 比于其熱力學(xué)溫度的四次方的規(guī)律，故又稱四次方定律。式 中，b黑體輻射常數(shù)，其值為5.67xl0-8w/(m2K4)。為了高溫 時(shí)計(jì)算上的方便，通常將其改寫成如下形式： 式中，Cb稱為黑體輻射系數(shù)，其值為5.67w

58、/(m2K4) 。 BUAA 三、基爾霍夫定律 在輻射換熱計(jì)算中，不僅要計(jì)算物體本身發(fā)射出去的輻 射，還要計(jì)算物體對(duì)投來(lái)輻射的吸收?；鶢柣舴蚨山沂玖?物體的輻射力與吸收率之間的理論關(guān)系。 設(shè)想一個(gè)很小的實(shí)際物體l被包在一 個(gè)黑體大空腔中，如圖所示，空腔和物 體處于熱平衡狀態(tài)。對(duì)于實(shí)際物體l的能 量平衡關(guān)系：在投來(lái)的黑體輻射Eb中， 被它吸收的部分是lEb，其余部分反射回 空腔內(nèi)壁被完全吸收，而不再返回。在 熱平衡狀態(tài)下可得： lEbE1物體1是任 意的，推廣到其它實(shí)際的物體時(shí)可得： BUAA 基爾霍夫定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表述為： 任何物體的輻射力和它對(duì)于來(lái)自同溫度黑體輻射的吸 收率的比值，恒

59、等于同溫度下黑體的輻射力，與物性無(wú)關(guān) 而僅取決于溫度。 從基爾霍夫定律可以得出如下重要推論： 1)在相同溫度下，一切物體的輻射力以黑體的輻射力為最 大。 2)物體的輻射力越大，其吸收率也越大。換句話說(shuō)，善于 輻射的物體必善于吸收。 BUAA 第二節(jié)第二節(jié) 固體和液體及灰體的輻射固體和液體及灰體的輻射 一、固體和液體的輻射 前述為黑體輻射的各種規(guī)律，它是討論實(shí)際物體(固體和 液體)輻射及灰體輻射的基礎(chǔ)，提供了比較的標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)際物 體的輻射一般與黑體不同。 實(shí)際物體的單色輻射力 Eb隨波長(zhǎng)和溫度不同而發(fā)生 不規(guī)則的變化，只能通過(guò)該 物體在一定溫度下的輻射光 譜試驗(yàn)來(lái)測(cè)定。如圖為同一 溫度下(T常數(shù))

60、三種不同類 型物體的Ef(,T)關(guān)系圖。 該圖說(shuō)明了： BUAA 實(shí)際物體的單色輻射力按波長(zhǎng)分布是不規(guī)則的。 同一溫度下實(shí)際物體的輻射力總是小于黑體的輻射力。把 實(shí)際物體的單色輻射力與同溫度下黑體單色輻射力之比稱為 該物體的單色發(fā)射率或叫單色黑度以表示，則： 或 同理，將物體的輻射力與同溫度下黑體輻射力之比稱為該 物體的發(fā)射率或稱黑度，用表示，則： 或 BUAA 根據(jù)發(fā)射率(或黑度)的定義和四次方定律用于實(shí)際物體 時(shí)，為工程計(jì)算方便可采用下列形式： 但是，實(shí)際物體的輻射力并不嚴(yán)格與熱力學(xué)溫度的四次方 成正比，所以采用上式而引起的誤差要通過(guò)修正物體的發(fā)射率 來(lái)補(bǔ)償。 大量實(shí)驗(yàn)測(cè)定表明，除高度磨光