立體表面的截交線

1、 4.1 4.1 平面與立體表面的交線平面與立體表面的交線 4.2 4.2 兩回轉體表面的交線兩回轉體表面的交線 結束放映結束放映 4.34.3 習題習題 4.44.4 本章小結本章小結 利用點、線的從屬關系：點位于立體已知棱線或輪廓線上。利用點、線的從屬關系：點位于立體已知棱線或輪廓線上。 4.1 4.1 平面與立體表面的交線平面與立體表面的交線 一、立體表面取點取線一、立體表面取點取線 A A 在圖示位置時，六棱柱的兩在圖示位置時，六棱柱的兩 底面為水平面，在俯視圖中反映底面為水平面，在俯視圖中反映 實形。前后兩側棱面是正平面，實形。前后兩側棱面是正平面， 其余四個側棱面是鉛垂面，它們其余

2、四個側棱面是鉛垂面，它們 的水平投影都積聚成直線，與六的水平投影都積聚成直線，與六 邊形的邊重合。邊形的邊重合。 點的可見性規(guī)定：點的可見性規(guī)定： 若點所在的平面的投若點所在的平面的投 影可見，點的投影也可見；影可見，點的投影也可見； 若平面的投影積聚成直線，若平面的投影積聚成直線， 點的投影也可見。點的投影也可見。 由于棱柱的表面都由于棱柱的表面都 是平面，所以在棱柱的是平面，所以在棱柱的 表面上取點與在平面上表面上取點與在平面上 取點的方法相同。取點的方法相同。 1. 棱柱面上取點棱柱面上取點 a a a (b ) b b 一、平面基本體一、平面基本體 素線法：素線法：利利用過用過A A點

3、的素線點的素線SS為橋梁求為橋梁求A A點的投影。點的投影。 緯線法：緯線法：利利用過用過A A點的緯線求點的緯線求A A點的投影。點的投影。 素線素線 S S A A 緯線緯線 A A 1 1 2 2 2 2 y ya a y yi i 1 1 y ya a 1 1 素線素線 S S 2 1 1 A B a a s s (c)(c) b b s s a ac c b b C b b s s a a c c 2 2 y yi i 解法一（素線法）解法一（素線法） 先求立體表面過先求立體表面過A A點的素線點的素線 SS的投影；的投影； 再在再在SS上求上求A A點的投影點的投影 y ya a

4、緯線緯線 例例1 1：求正棱錐表面點：求正棱錐表面點A A的投影的投影a a、aa。 1 1 1 1 S S 1 1 A B a a s s (c)(c) b b s s a ac c b b C b b s s a a c c 解法二（緯線法）解法二（緯線法） 先求過先求過A A點的緯線的投影；點的緯線的投影； 再求再求A A點的投影點的投影 y ya a 1 1 2 2 2 棱錐處于圖示位置棱錐處于圖示位置 時，其底面時，其底面ABCABC是水平是水平 面，在俯視圖上反映實面，在俯視圖上反映實 形。側棱面形。側棱面SACSAC為側垂為側垂 面，另兩個側棱面為一面，另兩個側棱面為一 般位置平

5、面。般位置平面。 ( ) k k k s a b c s a (c )b n (1) (1)先先求求K點投影采點投影采 用輔助線法；用輔助線法； n A A B B C C S S s b a c 例例2 2：求正三棱錐表面線段：求正三棱錐表面線段 KMKM、MNMN的投影。的投影。 側面投影側面投影 不可見不可見 N N K K M M m n (2) (2)求求N點投影采用點投影采用 素線法；素線法； m m 投影投影m m n n 不可見不可見 (3) (3)求求KMN線段的線段的 投影。投影。 圓柱面的俯視圖積聚成一圓柱面的俯視圖積聚成一 個圓，在另兩個視圖上分別以個圓，在另兩個視圖上

6、分別以 兩個方向的輪廓素線的投影表兩個方向的輪廓素線的投影表 示。示。 二、回轉體（曲面立體）二、回轉體（曲面立體） 1.1.圓柱體圓柱體 a a a A A1 A A O O O O1 利用投影利用投影 的積聚性的積聚性 1(21(2) 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 3(4)3(4) O O O O1 圓柱面在俯視圖上圓柱面在俯視圖上 的投影有積聚性，利用的投影有積聚性，利用 投影的積聚性投影的積聚性 例：求圓柱表面例：求圓柱表面ABAB線段的側面投影和水平投影線段的側面投影和水平投影。 c 1.先求三個特殊點先求三個特殊點A、B、C 的三個投影；再求一般點

7、的三個投影；再求一般點 的投影的投影; 2.再利用描點法求再利用描點法求AB的側的側 面投影；面投影； 3. 判別投影的可見性；判別投影的可見性； A B c a c a b a b b 1 1 1 s O O1 O O s 2.2.在圓錐面上取點在圓錐面上取點 k 輔助直線法輔助直線法 輔助圓法輔助圓法 (n n ) s n k k (N)(N) 如何在圓錐面如何在圓錐面 上作直線？上作直線？ 過錐頂作過錐頂作 一條素線。一條素線。 圓的半徑？圓的半徑？ (n ) d d 3.3.在圓球面上取點在圓球面上取點 k 輔助圓法輔助圓法 k k 圓的半徑？圓的半徑？ 用平面與立體相交，截去體的一部

8、分用平面與立體相交，截去體的一部分截切截切。 4.1 4.1 平面與立體表面的交線平面與立體表面的交線 用以截切立體的平面用以截切立體的平面截平面截平面。 截平面與立體表面的交線截平面與立體表面的交線截交線截交線。 截平面截平面 截交線截交線 二、截交線二、截交線 截交線截交線 2. 2. 是一封閉的平面折線或平面曲線。是一封閉的平面折線或平面曲線。 3. 3. 截交線的形狀取決于被截立體的形狀截交線的形狀取決于被截立體的形狀 及截平面與立體的相對位置。及截平面與立體的相對位置。 截交線的投影的形狀取決于截平面與截交線的投影的形狀取決于截平面與 投影面的相對位置。投影面的相對位置。 1. 1.

9、 截交線是截平面與立體表面的共有線截交線是截平面與立體表面的共有線, , 同時位于截平面和立體的表面上。同時位于截平面和立體的表面上。 截交線的性質截交線的性質 1. 1. 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置 截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置 確定截交線確定截交線 的投影特性的投影特性 確定截交確定截交 線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面的交線，分別求出截平面與棱面的交線， 并連接成多邊形。并連接成多邊形。 ( (一一) )平面立體表面的截交線平面立體表面的截交線 截交線

10、的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。 截交線是一個由直線組成的截交線是一個由直線組成的封閉的平封閉的平 面多邊形面多邊形。 交線的形狀交線的形狀？ 截平面與體的幾個截平面與體的幾個 棱面相交？棱面相交？ 投影分析投影分析 例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 空間分析空間分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性 3 3 2 2 1 1 (4(4 ) ) 1 1 2 2 4 4 3 3 1 1 2 2 4 4 3 3 截交線在俯、左視截交線

11、在俯、左視 圖上的形狀？圖上的形狀？ 例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 我們采用的是我們采用的是 哪種解題方法？哪種解題方法？ 棱線法！棱線法！ 注意：注意： 要逐個截平面分析和要逐個截平面分析和 繪制截交線。當平面體只繪制截交線。當平面體只 有局部被截切時，先假想有局部被截切時，先假想 為整體被截切，求出截交為整體被截切，求出截交 線后再取局部。線后再取局部。 例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 1 1 2 2 1 1 (2(2 ) ) 2 2 1 1 三面共點：三面共點： 、兩點分兩點分 別同時

12、位于三個面別同時位于三個面 上。上。 例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 三棱錐被平面截切 1 2 3 12 1 2 3 4 6 5 6 5 6 5 y y 5 (4 ) 31 2 3 6 s s s a )( ca a b c b b (4) 1 1 圓柱體表面的截交線圓柱體表面的截交線 截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截 平面與圓柱軸線的相對位置。平面與圓柱軸線的相對位置。 垂直垂直 圓圓橢圓橢圓 平行平行 兩平行直線兩平行直線 傾斜傾斜 （二）回轉體的截交線（二）回轉體的截交線 1 1 圓柱體表面的截交線圓

13、柱體表面的截交線 垂直于軸線垂直于軸線截平面位置截平面位置平行于軸線平行于軸線傾斜于軸線傾斜于軸線 軸軸 測測 圖圖 投投 影影 圖圖 截交線截交線圓圓 平行二直線（與上下底平行二直線（與上下底 面的交構成一矩形）面的交構成一矩形） 橢圓橢圓 標標4-1 4-1 平面與圓柱的交線平面與圓柱的交線 例例1 1：求左視圖：求左視圖 空間及投影分析空間及投影分析 求截交線求截交線 分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影 截交線的形狀截交線的形狀 截交線的投影特性截交線的投影特性 解題步驟：解題步驟： 同一立體被多同一立體被多 個平面截切，要逐個平面截切，要逐 個截平面進行截交個截平面進行截

14、交 線的分析和作圖。線的分析和作圖。 例例1 1：求左視圖：求左視圖 空間及投影分析空間及投影分析 求截交線求截交線 分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影 截交線的形狀截交線的形狀 截交線的投影特性截交線的投影特性 解題步驟：解題步驟： 例例2 2：求左視圖：求左視圖 例例2 2：求左視圖：求左視圖 分析、比較分析、比較 例例3 3：求俯視圖：求俯視圖 例例3 3：求俯視圖：求俯視圖 例例4 4：求俯視圖：求俯視圖 例例4 4：求俯視圖：求俯視圖 分析、比較分析、比較 截交線的已知投影？截交線的已知投影？ 例例5 5：求左視圖：求左視圖 找特殊點找特殊點 補充中間點補充中間點 光滑

15、連接各點光滑連接各點 分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 截交線的側面投截交線的側面投 影是什么形狀？影是什么形狀？ 截交線的截交線的 空間形狀？空間形狀？ 找特殊點找特殊點 找中間點找中間點 光滑連接各點光滑連接各點 分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影 例例5 5：求左視圖：求左視圖 橢圓的長、橢圓的長、 短軸隨截平面與短軸隨截平面與 圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的 變化而改變。變化而改變。 什么情況下什么情況下 投影為圓呢？投影為圓呢？ 截平面與圓柱截平面與圓柱 軸線成軸線成4545時。時。 4545 例例5 5：求左視圖：求左視圖 例例5 5：求左視圖：求左視圖 =90=90 9090

16、0 0 2 2 圓錐體表面的截交線圓錐體表面的截交線 過錐頂過錐頂 兩相交直線兩相交直線圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線 根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截平根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截平 面與圓錐面的交線有五種形狀。面與圓錐面的交線有五種形狀。 d c e c a d b 例例1:1:圓錐被正平面截切，補全主視圖。圓錐被正平面截切，補全主視圖。 E D C A B b a 截交線截交線 的空間的空間 形狀？形狀？ 截交線截交線 的投影的投影 特性？特性？ e 例例2:2:圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。 截交線截交線 的

17、空間的空間 形狀？形狀？ 截交線截交線 的投影的投影 特性？特性？ 找特殊點找特殊點 如何找橢圓另如何找橢圓另 一根軸的端點？一根軸的端點？ 補充中間點補充中間點 光滑連接各點光滑連接各點 分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影 例例2:2:圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。 找特殊點找特殊點 補充中間點補充中間點 光滑連接各點光滑連接各點 分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影 圓球表面的截交線圓球表面的截交線 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓，但，但 根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，根據(jù)截平面與投影面的相對位

18、置不同，其其截交線截交線 的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。 水平面與圓球面的水平面與圓球面的 交線的投影，在俯視圖交線的投影，在俯視圖 上為部分圓弧，在側視上為部分圓弧，在側視 圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。 兩個側平面與圓球面兩個側平面與圓球面 的交線的投影，在側視上的交線的投影，在側視上 為部分圓弧，在俯視圖上為部分圓弧，在俯視圖上 積聚為直線。積聚為直線。 例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。 圓球表面的截交線圓球表面的截交線 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓，但，但 根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其其截交線截交線 的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。 水平面與圓球面的交線水平面與圓球面的交線 的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為 部分圓弧，在側視圖上部分圓弧，在側視圖上 積聚為直線。積聚為直線。 兩個側平面與圓球兩個側