2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第一節(jié)一元二次不等式及其解法教案理（含解析）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一節(jié) 一元二次不等式及其解法“三個(gè)二次的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0）的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a0）的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0 （a0）的解集xxx1或xx2r一元二次不等式ax2bxc0 (a0）的解集xx1xx2小題體驗(yàn)1不等式3x2x40的解集是_解析：由3x2x40，得(3x4）(x1)0，解得1x。答案：2(2018南京、鹽城二模）已知函數(shù)f（x）則不等式f（x）1的解集是_解析:不等式f（x)1或解得4x0或0x2，故不等式f（x)1的解集是4，

2、2答案：4,23已知不等式ax2bx10的解集是,則不等式x2bxa0的解集是_解析：由題意知，是方程ax2bx10的根，所以解得不等式x2bxa0，即為x25x60，解得2x3.答案：x|2x31對(duì)于不等式ax2bxc0，求解時(shí)不要忘記討論a0時(shí)的情形2當(dāng)0時(shí),ax2bxc0(a0)的解集為r還是，要注意區(qū)別3含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論小題糾偏1已知不等式x22xk230的解集為r，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：由44（k23)0，解得k2或k2.答案：(,2)（2，)2若不等式（a2）x22(a2)x40對(duì)xr恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a20，即a2時(shí),原不等

3、式為40，所以a2時(shí)成立，當(dāng)a20,即a2時(shí)，由題意得即解得2a2.綜上所述，2a2。答案:(2,2題組練透1(2018南通中學(xué)檢測)不等式3x26x2的解集為_解析：將不等式3x26x2轉(zhuǎn)化為3x26x20，所以不等式的解集是答案：2(2019東湖中學(xué)檢測)已知函數(shù)f（x）則不等式f（f(x)）3的解集為_解析：當(dāng)x0時(shí)，f（f(x）f（x2）(x2）22x23，即(x23）（x21）0，解得0x；當(dāng)2x0時(shí)，f(f（x）)f（x22x）(x22x）22（x22x）3,即（x22x1)（x22x3）0，即2x0；當(dāng)x2時(shí)，f(f(x)）f（x22x)(x22x)23，解得x 2.綜上，不等式

4、的解集為x|x 答案:x|x3解下列不等式：（1）(易錯(cuò)題）3x22x80；(2)0x2x24。解：（1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)（x2）0。解得2x，所以原不等式的解集為。（2）原不等式等價(jià)于借助于數(shù)軸，如圖所示,所以原不等式的解集為.謹(jǐn)記通法解一元二次不等式的4個(gè)步驟典例引領(lǐng)（2019天一中學(xué)檢測)解關(guān)于x的不等式:ax2(a2）x20。解：當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為x10,解得x1。當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為(x1)0，解得x或x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式化為(x1)0。當(dāng)1，即a2時(shí)，解得1x；當(dāng)1，即a2時(shí)，解得x1;當(dāng)1，即a2時(shí),解得x1。綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為

5、xx1；當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為;當(dāng)2a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a2時(shí)，不等式的解集為xx1；當(dāng)a2時(shí),不等式的解集為.由題悟法解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)（1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0,還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式與0的關(guān)系（3）確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式提醒當(dāng)不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí),不要忘記討論其等于0的情況即時(shí)應(yīng)用1(2019蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測)已知x2pxq0的解集為,則不等式qx2px10的解集為_解析:x2

6、pxq0的解集為，是方程x2pxq0的兩實(shí)數(shù)根，則解得不等式qx2px10可化為x2x10，即x2x60，解得2x3，不等式qx2px10的解集為x|2x3答案：x2x32求不等式12x2axa2（ar)的解集解：原不等式可化為12x2axa20，即(4xa）（3xa）0，令(4xa）(3xa)0,解得x1，x2.當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a0時(shí),不等式的解集為（,0）(0,）;當(dāng)a0時(shí),不等式的解集為。鎖定考向一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換對(duì)于一元二次不等式恒成立問題,常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的

7、交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào),進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍常見的命題角度有：（1）形如f(x)0(f(x)0）（xr）確定參數(shù)范圍;（2)形如f(x）0（xa，b)確定參數(shù)范圍；(3）形如f（x)0（參數(shù)ma,b）確定x的范圍 題點(diǎn)全練角度一：形如f(x）0（f(x）0)(xr)確定參數(shù)范圍1（2019南通中學(xué)測試）已知函數(shù)f(x）ax2bxc(a,b，cr且a0），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式2xf（x）(x1）2恒成立(1)求f（1）的值;（2）求a的取值范圍解:（1)令x1,由2xf（x）(x1)2，可得2f(1）2,所以f(1）2。(2)由f(1）2，可得abc2,即b2（ac），因?yàn)閷?duì)一切實(shí)數(shù)x，f

8、(x）2x0恒成立，所以ax2(b2)xc0(a0）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,所以即可得(ac)20，但(ac）20，即有ac0，則f（x)ax2bxa,f（x）(x1）2恒成立，即x2(b1)x0恒成立，所以a0，且（b1)2420，由b112a，即有0成立綜上可得a的取值范圍是.角度二:形如f（x）0(xa，b）確定參數(shù)范圍2已知函數(shù)f(x)x2axb2b1（ar,br)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f（1x）f(1x)成立,若當(dāng)x1，1時(shí)，f(x）0恒成立，求b的取值范圍解:由f(1x)f(1x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，即1，解得a2.又因?yàn)閒（x)開口向下,所以當(dāng)x1,1時(shí)，f(x）為增函數(shù)，

9、所以f（x）minf(1）12b2b1b2b2，f（x）0恒成立,即b2b20恒成立，解得b1或b2。所以b的取值范圍為（,1）（2,）角度三:形如f（x)0(參數(shù)ma,b)確定x的范圍3對(duì)任意m1,1，函數(shù)f（x)x2(m4）x42m的值恒大于零，求x的取值 范圍解：由f（x）x2（m4）x42m（x2)mx24x4，令g（m）(x2)mx24x4。由題意知在1,1上,g（m）的值恒大于零，所以解得x1或x3.故當(dāng)x（，1）（3,）時(shí)，對(duì)任意的m1,1，函數(shù)f（x）的值恒大于零通法在握一元二次型不等式恒成立問題的3大破解方法方法解讀適合題型判別式法(1)ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件

10、是（2）ax2bxc0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是二次不等式在r上恒成立分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”,分離后其系數(shù)與0能比較大小,便可將參數(shù)分離出來，利用下面的結(jié)論求解：af(x)恒成立等價(jià)于af（x)max；af（x）恒成立等價(jià)于af(x)min適合參數(shù)與變量能分離且f（x)的最值易求主參換位法把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍列式求解常見的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)axb(a0)在m,n恒成立問題,若f(x）0恒成立若f(x)0恒成立若在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩，或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí)演練沖關(guān)1(2018盱眙二

11、模）若對(duì)于任意的a，br,存在r使不等式a2mb2b(ab）成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_解析:a2mb2b(ab)對(duì)于任意的a，br恒成立，a2mb2b（ab)0對(duì)于任意的a，br恒成立，即a2（b）a（m)b20恒成立,由二次不等式的性質(zhì)可得，2b24（m）b20,即244m0,又存在r使得上述不等式恒成立，1616m0，解得m1。答案：1,）2設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1（m0），若對(duì)于x1,3,f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解：要使f（x)m5在1,3上恒成立,則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立因?yàn)閤2x120，又因?yàn)閙(x2x1）60，所以m。因?yàn)楹瘮?shù)y在1,3上的最

12、小值為，所以只需m即可因?yàn)閙0，所以m的取值范圍是（,0）.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1(2019揚(yáng)州模擬)不等式2x2x10的解集為_解析：不等式2x2x10可化為(2x1)（x1）0，解得x1或x，則原不等式的解集為(1，）答案：（1,）2（2018靖江中學(xué)期末)若集合ax|ax2ax10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知a0時(shí)，滿足條件a0時(shí)，由得0a4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,4答案：0,43（2019昆明模擬)不等式x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：x22x5(x1）24的最小值為4，所以x22x5a23a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a23a4，

13、解得1a4.答案：1，44不等式x(x2)|x(x2)的解集是_解析:不等式|x(x2）|x（x2)的解集即x（x2)0的解集，解得0x2。答案：（0,2）5（2019南通月考）關(guān)于x的不等式x2x10(a1)的解集為_解析：不等式x2x10可化為(xa)0,又a1，a，不等式的解集為.答案：6（2018如東中學(xué)測試）已知函數(shù)f（x)則不等式f（x)x2的解集為_解析：當(dāng)x0時(shí)，x2x2，解得1x0；當(dāng)x0時(shí)，x2x2，解得0x1. 由得原不等式的解集為x1x1答案：1，1 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1(2019常州檢測）若關(guān)于x的不等式x23ax20的解集為x|x1或xm，則am_.解析

14、：關(guān)于x的不等式x23ax20的解集為x|x1或xm,則1與m是對(duì)應(yīng)方程x23ax20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,把x1代入方程得13a20，解得a1,不等式化為x23x20，其解集為xx1或x2，m2，am3.答案:32(2018清河中學(xué)檢測）不等式（x2)0的解集為_解析：由題意或x290，即或x3，即x3或x3.答案：（,333(2019鄭州調(diào)研）規(guī)定記號(hào)“表示一種運(yùn)算，定義abab（a，b為正實(shí)數(shù))，若1k23，則k的取值范圍是_解析：因?yàn)槎xabab（a,b為正實(shí)數(shù)），1k23,所以1k23，化為（|k|2）（|k1）0，所以k|1，所以1k1.答案：(1,1)4如果關(guān)于x的不等式5x2a0的正整

15、數(shù)解是1，2,3,4，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由5x2a0,得x，而正整數(shù)解是1，2，3,4，則4 5，所以80a125。答案:80,125)5(2019南通調(diào)研）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集為(1,5)，其中a，b，c為常數(shù)則不等式cx2bxa0的解集為_解析：因?yàn)椴坏仁絘x2bxc0的解集為(1，5)，所以a(x1）（x5）0，且a0,即ax24ax5a0，則b4a，c5a,故cx2bxa0，即為5ax24axa0，從而5x24x10，故不等式cx2bxa0的解集為。答案:6(2018江陰期中）若關(guān)于x的不等式mx2mx10的解集為,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:當(dāng)m

16、0時(shí)，原不等式化為10，其解集是空集；當(dāng)m0時(shí)，要使關(guān)于x的不等式mx2mx10的解集為,則解得4m0.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4,0答案：（4，07(2018海門檢測）已知一元二次不等式f(x）0的解集為，則f（ex）0的解集為_解析:由題意f（x）0的解集為，不等式f（ex)0可化為1ex,解得xln 3，即f（ex)0的解集為(，ln 3）答案：(,ln 3)8(2019金陵中學(xué)檢測)如果關(guān)于x的不等式（1m2)x2（1m）x10的解集是r，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：令1m20，解得m1;當(dāng)m1，不等式化為2x10,不滿足題意;當(dāng)m1時(shí)，不等式化為10,滿足條件;當(dāng)m1時(shí)，則有解得即

17、m1或m，綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1.答案：（，19已知f（x）3x2a(6a)x6.（1）解關(guān)于a的不等式f(1）0；(2)若不等式f(x)b的解集為(1，3），求實(shí)數(shù)a,b的值解:（1）因?yàn)閒（x）3x2a(6a)x6,所以f(1）3a(6a)6a26a3，所以原不等式可化為a26a30，解得32a32。所以原不等式的解集為a32a32（2)f（x)b的解集為(1，3)等價(jià)于方程3x2a（6a)x6b0的兩根為1，3，等價(jià)于解得10(2018北京朝陽統(tǒng)一考試）已知函數(shù)f（x）x22ax1a，ar。(1)若a2，試求函數(shù)y（x0)的最小值；(2）對(duì)于任意的x0，2,不等式f(x）a成立，

18、試求a的取值范圍解：（1）依題意得yx4。因?yàn)閤0，所以x2。當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，即x1時(shí),等號(hào)成立所以y2.所以當(dāng)x1時(shí),y的最小值為2。(2)因?yàn)閒(x)ax22ax1,所以要使得“x0，2，不等式f(x）a成立”，只要“x22ax10在0，2恒成立”不妨設(shè)g（x)x22ax1，則只要g（x)0在0，2上恒成立即可所以即解得a。則a的取值范圍為。三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1（2019宿遷調(diào)研)若關(guān)于x的不等式ax26xa20的解集是(，1)(m,),則實(shí)數(shù)m_.解析：ax26xa20的解集是（,1)（m，)，a0，且1和m是方程ax26xa20的兩個(gè)根，a6a20，即a2a60，解得a2或a3(舍去）不等式化為2x26x40,即x23x20，解得x1或x2，m2。答案：22(2018揚(yáng)州中學(xué)檢測）已知二次函數(shù)f（x）ax2(a2）x1（az），且函數(shù)f（x)在(2,1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則不等式f（x）1的解集為_解析：因?yàn)閒(x）ax2(a2）x1（a0)，（a2）24aa240，所以函數(shù)f（x）ax2（a2）x1必有兩個(gè)不同