高考試題——數(shù)學(xué)(江蘇卷

1、絕密啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù) 學(xué)第i卷（選擇題 共60分）注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1、本試卷共4頁(yè)，包含選擇題（第1題第10題，共10題）、填空題（第11題第16題，共6題）、解答題（第17題第21題，共5題）三部分。本次考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。2、答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡上。3、請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號(hào)是否與您本人的相符。4、作答非選擇題必須用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫(xiě)在答題卡上的指定位置，在其它位置

2、作答一律無(wú)效。作答選擇題必須用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。5、如有作圖需要，可用2b鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚。參考公式：一組數(shù)據(jù)的方差其中為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知，函數(shù)為奇函數(shù)，則a（a）0（b）1（c）1（d）1（2）圓的切線方程中有一個(gè)是（a）xy0（b）xy0（c）x0（d）y0（3）某人5次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則xy的值為（a）1（b）

3、2（c）3（d）4（4）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有 的點(diǎn)（a）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）（b）向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）（c）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）（d）向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）（5）的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是（a）0（b）2（c）4（d）6（6）已知兩點(diǎn)m（2，0）、n（2，0），點(diǎn)p為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足0，則動(dòng)點(diǎn)p（x，y）的軌跡方程為（a）（b）（c）（d）（7）若a、b、c為三個(gè)集

4、合，則一定有（a）（b）（c）（d）（8）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（a）（b）（c）（d）adcb（9）兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面abcd與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有圖1（a）1個(gè)（b）2個(gè)（c）3個(gè)（d）無(wú)窮多個(gè)（10）右圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器。接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào)。若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接

5、收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是信號(hào)源（a）（b）（c）（d）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填空在答題卡相應(yīng)位置上。（11）在abc中，已知bc12，a60，b45，則ac（12）設(shè)變量x、y滿足約束條件，則的最大值為（13）今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法（用數(shù)字作答）。（14）（15）對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在x2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是（16）不等式的解集為三、解答題：本大題共5小題，共70分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（

6、17）（本小題滿分12分，第一小問(wèn)滿分5分，第二小問(wèn)滿分7分）已知三點(diǎn)p（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)p的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；o（）設(shè)點(diǎn)p、關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（18）（本小題滿分14分）o1請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)o到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？（19）（本小題滿分14分，第一小問(wèn)滿分4分，第二小問(wèn)滿分5分，第三小問(wèn)滿分5分）在正三角形abc中，e、f、p分別是ab、ac、bc邊上的點(diǎn)，滿足ae:ebcf:facp

7、:pb1:2（如圖1）。將aef沿ef折起到的位置，使二面角a1efb成直二面角，連結(jié)a1b、a1p（如圖2）（）求證：a1e平面bep；（）求直線a1e與平面a1bp所成角的大?。唬ǎ┣蠖娼莃a1pf的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）圖1圖2（20）（本小題滿分16分，第一小問(wèn)4分，第二小問(wèn)滿分6分，第三小問(wèn)滿分6分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（）設(shè)t，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)（）求g(a)（）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a（21）（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）數(shù)學(xué)試題參考答案一、

8、選擇題：本題考查基本概念和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。（1）a （2）c （3）d （4）c （5）b （6）b （7）a （8）c （9）d（10）d二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分30分。（11） （12）18 （13）1 260 （14）2 （15）2n+1 （16）三、解答題（17）本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。滿分12分。 解：（）由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 其半焦距離 c=6。 。 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）點(diǎn)p（5，2）、f1（6，0）、f2（6，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、 、（0

9、，6）。 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由題意知，半焦距c1=6， 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（18）本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分14分。 解：設(shè)oo1為x m，則 設(shè)題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：m） 于是底面正六邊形的面積為（單位：m2） 帳篷的體積為（單位：m3） 求導(dǎo)數(shù)，得 令，解得（不合題意，舍去），x=2 當(dāng)為增函數(shù)； 當(dāng)為減函數(shù)。 所以當(dāng)x=2時(shí)，最大。 答：當(dāng)oo1為2m時(shí)，帳逢的體積最大。（19）本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查

10、空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。滿分14分。解法一：不妨設(shè)正三角形abc的邊長(zhǎng)為3。（）在圖1中，取be的中點(diǎn)d，連結(jié)df。ae : eb=cf : fa=1:2，af=ad=2，而a=60，adf是正三角形。 又ae=de=1， efad在圖2中，a1eef，beef，a1eb為二面角a1efb的平面角。由題設(shè)條件知此二面角為直二面角， a1ebe。又beef=e， a1e平面bef，即a1e平面bep。（）在圖2中，a1e不垂直于a1b，a1e是平面a1bp的斜線。又a1e平面bep， a1ebp，從而bp垂直于a1e在平面a1bp內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）。設(shè)a1e在平面a1b

11、p內(nèi)的射影為a1q，且a1q交bp于點(diǎn)q，則ea1q就是a1e與平面a1bp所成的角，且bpa1q。在ebp中， be=bp=2，ebp=60，ebp是等邊三角形， be=ep又a1e平面bep， a1b=a1p， q為bp的中點(diǎn)，且。又a1e=1，在rta1eq中， ea1q=60所以直線a1e與平面a1bp所成的角為60。（）在圖3中，過(guò)f作fma1p于m，連結(jié)qm，qf。cf=cp=1， c=60，圖3fcp是正三角形， pf=1。又， pf=pq。 a1e平面bep， a1f=a1q； a1fpa1qp從而a1pf=a1pq 由及mp為公共邊知fmpqmp，qmp=fmp=90，且mf

12、=mq，從而fmq為二面角ba1pf的平面角。在rta1qp中，a1q=a1f=2，pq=1， 。mqa1p， 在fcq中，fc=1，qc=2，c=60，由余弦定理得qf=。在fmq中，解法二：不妨設(shè)正三角形abc的邊長(zhǎng)為3。（）同解法一。（）如圖1，由解法一知a1e平面bef，beef。建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，則e（0，0，0）、a1（0，0，1）b（2，0，0）、f（0，0）。在圖1中，連結(jié)dp，af=bp=2，ae=bd=1，a=b，feapdb，pd=ef=。由圖1知pf/de且pf=de=1， p（1，0）對(duì)于平面a1bp內(nèi)任一非零向量a，存在不全為零的實(shí)數(shù)、，使得直線a1e

13、與平面a1bp所成的角是a1e與平面a1bp內(nèi)非零向量夾角中最小者，可設(shè)，又的最小值為4，的最大值為，即與a夾角中最小的角為60所以直線a1e與平面a1bp所成的角為60（）如圖4，過(guò)f作fma1p于m，過(guò)m作mna1p交bp于n，則fmn為二面角ba1pf的平面角。設(shè)。又a1、m、p三點(diǎn)共線， 存在，使得 ，從而 代入得同理可得，從而。所以二面角ba1pf的大小為（20）本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識(shí)，考查分?jǐn)?shù)討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，滿分16分。 解：（）要使t有意義，必須 t的取值范圍是由得（）由題意知即為函數(shù)的最大值注意到直線是拋物線的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論。（1）當(dāng)a0，函數(shù)的圖像是開(kāi)口向上的拋物線的一段，由上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t， （3）當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)由綜上知，滿足的所有實(shí)數(shù)a為：解法二：當(dāng) 當(dāng)，所以。因此，當(dāng)當(dāng)，由當(dāng)要使，必須有此時(shí)。綜上知，滿足的所有實(shí)數(shù)a為： （21）本小題主要考查等數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 滿分14分.證明：