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1、高等數(shù)學(xué)求極限的14種方法一、極限的定義1.極限的保號(hào)性很重要:設(shè),(i)若a,則有,使得當(dāng)時(shí),;(ii)若有使得當(dāng)時(shí),。2.極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限,其中函數(shù)極限又分為時(shí)函數(shù)的極限和的極限。要特別注意判定極限是否存在在: (i)數(shù)列是它的所有子數(shù)列均收斂于a。常用的是其推論,即“一個(gè)數(shù)列收斂于a的充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a” (ii) (iii) (iv)單調(diào)有界準(zhǔn)則(v)兩邊夾擠準(zhǔn)則(夾逼定理/夾逼原理) (vi)柯西收斂準(zhǔn)則(不需要掌握)。極限存在的充分必要條件是:二解決極限的方法如下:1.等價(jià)無(wú)窮小代換。只能在乘除時(shí)候使用。例題略。2.洛必達(dá)(lhospital)法則(大題
2、目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法) 它的使用有嚴(yán)格的使用前提。首先必須是x趨近,而不是n趨近,所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限,數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無(wú)窮的,不可能是負(fù)無(wú)窮。其次,必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在,假如告訴f(x)、g(x),沒(méi)告訴是否可導(dǎo),不可直接用洛必達(dá)法則。另外,必須是“0比0”或“無(wú)窮大比無(wú)窮大”,并且注意導(dǎo)數(shù)分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況:(i)“”“”時(shí)候直接用(ii)“”“”,應(yīng)為無(wú)窮大和無(wú)窮小成倒數(shù)的關(guān)系,所以無(wú)窮大都寫(xiě)成了無(wú)窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后,就能變成(i)中的形式了。即;(iii)“”“”“”對(duì)于冪指函數(shù),方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的
3、方法,即,這樣就能把冪上的函數(shù)移下來(lái)了,變成“”型未定式。3.泰勒公式(含有的時(shí)候,含有正余弦的加減的時(shí)候) ; cos=ln(1+x)=x-(1+x)=以上公式對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助4.兩多項(xiàng)式相除:設(shè),p(x)=, (i)(ii)若,則5.無(wú)窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候,尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候,一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來(lái)了。6.夾逼定理:主要是應(yīng)用于數(shù)列極限,常應(yīng)用放縮和擴(kuò)大不等式的技巧。以下面幾個(gè)題目為例:(1)設(shè),求 解:由于,由夾逼定理可知 (2)求 解:由,以及可知,原式=0 (3)求解:由,以及得
4、,原式=17.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應(yīng)用(等比數(shù)列的公比q絕對(duì)值要小于1)。例如: 求 。提示:先利用錯(cuò)位相減得方法對(duì)括號(hào)內(nèi)的式子求和。8.數(shù)列極限中各項(xiàng)的拆分相加(可以使用待定系數(shù)法來(lái)拆分化簡(jiǎn)數(shù)列)。例如: =9.利用極限相同求極限。例如: (1)已知,且已知存在,求該極限值。 解:設(shè)=a,(顯然a)則,即,解得結(jié)果并舍去負(fù)值得a=1+ (2)利用單調(diào)有界的性質(zhì)。利用這種方法時(shí)一定要先證明單調(diào)性和有界性。例如 設(shè) 解:(i)顯然(ii)假設(shè)則,即。所以,是單調(diào)遞增數(shù)列,且有上界,收斂。設(shè),(顯然則,即。解方程并舍去負(fù)值得a=2.即 10.兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。 (i) 常用語(yǔ)含三角函數(shù)的“” 型未定式(ii),在“”型未定式中常用11.還有個(gè)非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)候不同函數(shù)趨近于無(wú)窮的速度是不一樣的,快于n!,n!快于指數(shù)型函數(shù)(b為常數(shù)),指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù),冪函數(shù)快于對(duì)數(shù)函數(shù)。當(dāng)x趨近無(wú)窮的時(shí)候,它們比值的極限就可一眼看出。12.換元法。這是一種技巧,對(duì)一道題目而言,不一定就只需要換元,但是換元會(huì)夾雜其中。例如:求極限。解:設(shè)。原式=13利用定積分求數(shù)列極限。例如:求極限。由于,所以14.利用導(dǎo)數(shù)的定義求“”型未定式極限。一般都是x0時(shí)候,分子上是“”的形式
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