中考專題--幾何最值問題(綜合)

1、幾何最值問題解法探討幾何最值問題解法探討 解決平面幾何最值問題的常用的方法有： （1）應(yīng)用兩點間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形 的三邊關(guān)系）求最值； （2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值； （3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值； （4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值； （5）應(yīng)用其它知識求最值。 例例1. （2012山東濟南山東濟南3分）分）如圖MON=90，矩形 ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊 ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD 的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程 中，點D到點O的最大距離為【 】 A B C 5D2.5 21 5 A （1）應(yīng)用兩點間線段最）應(yīng)用兩點間

2、線段最 短的公理（含應(yīng)用三角短的公理（含應(yīng)用三角 形的三邊關(guān)系）求最值形的三邊關(guān)系）求最值 分析：取AB的中點E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意 兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、D、E三點共線時，點D到點O的 距離最大，再根據(jù)勾股定理列式求出DE的長，根據(jù)直角三角形 斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得 解 解：如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD， ODOE+DE， 當(dāng)O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大， 此時，AB=2，BC=1， OE=AE=12AB=1， DE=AD2+AE2=12+12=2， OD的最大值為： 2 +1 故選A 例例2.（2012湖

3、北鄂州湖北鄂州3分）分）在銳角三角形 ABC中，BC= ，ABC=45，BD平分ABC， M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN 的最小值是 。 24 4 練習(xí)題：練習(xí)題： 1. 如圖，長方體的底面邊長分別為2 和4 ，高為5 .若一只螞蟻 從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最 短路徑長為【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2. 如圖，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高 BC=6cm，點P是母線BC上一點，且PC= 2/3BC一只螞蟻從A 點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm 6 (

4、4) 3 5 例例3.（2011四川涼山四川涼山5分）分）如圖，圓柱底面半 徑為 2cm，高為9 cm ，點A、B分別是圓柱兩 底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一 棉線從A順著圓柱側(cè)面 (1)繞1圈到B，求棉線 最短為 (2)繞3圈到B，求棉線最短為 15 3. 如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、 G分別為AB、AC、BC的中點，點P為線段EF上一個 動點，連接BP、GP，則BPG的周長的最小值 是 二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值： 例例1. （2012山東萊蕪山東萊蕪4分）分）在ABC中，AB AC5，BC6若點P在邊AC上移動，則BP

5、的最小值是 24 5 練習(xí)練習(xí)1. （2011浙江衢州浙江衢州3分）分）如圖，OP平分 MON，PAON于點A，點Q是射線OM上的一 個動點，若PA=2，則PQ的最小值為【 】 A、1B、2 C、3D、4 例例2.（2012四川廣元四川廣元3分）分） 如圖點A的坐標(biāo)為（-1， 0），點B在直線 y=x上運動，當(dāng)線段AB最短時，點 B的坐標(biāo)為【 】 A.（0，0） B.（ ， ） C.（ ， ） D.（ ， ） 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 B 例3如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45， AB=2 ，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑 畫 O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，

6、連接EF，則線段EF長 度的最小值為 。 2 3 例例4.（2012浙江臺州浙江臺州4分）分）如圖，菱形ABCD中， AB=2，A=120，點P，Q，K分別為線段BC，CD， BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】 A 1 B C 2 D 1 33 B 2.（2011浙江臺州浙江臺州4分）分）如圖， O的半徑為2，點 O到直線l的距離為3，點P是直線l上的一個動點， PQ切 O于點Q，則PQ的最小值為【 】 A B C3 D2 135 3.（2011河南省河南省3分）分）如圖，在四邊形ABCD中， A=90，AD=4，連接BD，BDCD， ADB=C若P是BC邊上一動點，則DP長的最

7、小值為 例例2. （2012甘肅蘭州甘肅蘭州4分）分）如圖，四邊形ABCD中， BAD120，BD90，在BC、CD上分別找 一點M、N，使AMN周長最小時，則AMN ANM的度數(shù)為【 】 A130 B120 C110 D100 B 例例5（2012福建南平福建南平14分）如圖，在分）如圖，在ABC中，點中，點D、E分別在邊分別在邊BC、 AC上，連接上，連接AD、DE，且，且1=B=C （1）由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：（要求不再添加其他字）由題設(shè)條件，請寫出三個正確結(jié)論：（要求不再添加其他字 母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔

8、助線不能出現(xiàn)在結(jié)論 中，不必證明）中，不必證明） 答：結(jié)論一：答：結(jié)論一： ；結(jié)論二：；結(jié)論二： ；結(jié)論三：；結(jié)論三： （2）若）若B=45，BC=2，當(dāng)點，當(dāng)點D在在BC上運動時（點上運動時（點D不與不與B、C重重 合），合）， 求求CE的最大值；的最大值； 若若ADE是等腰三角形，求此時是等腰三角形，求此時BD的長的長 （注意：在第（注意：在第（2）的求解過程中，若有運用（）的求解過程中，若有運用（1）中得出的結(jié)論，）中得出的結(jié)論， 須加以證明）須加以證明） 例例4. （2012四川攀枝花四川攀枝花4分）分）如圖，正方形ABCD中， AB=4，E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點， 則

9、PE+PB的最小值為 2 5 4.（2011遼寧本溪3分）如圖，正方形ABCD的邊長是4， DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上 的動點，則DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、2 D、4 5.（2011遼寧阜新3分）如圖，在矩形ABCD中，AB6， BC8，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當(dāng) AEF的周長最小時，則DF的長為【 】 A1 B2 C3 D4 2 2 例例5. （2012廣西貴港廣西貴港2分）分）如圖，MN為 O的直徑， A、B是O上的兩點，過A作ACMN于點C，過B作 BDMN于點D，P為DC上的任意一點，若MN20， AC8，BD6，則P

10、APB的最小值是。 14 2 6.（2011貴州六盤水貴州六盤水3分）如圖，在菱形分）如圖，在菱形ABCD中，對角線中，對角線AC=6， BD=8，點，點E、F分別是邊分別是邊AB、BC的中點，點的中點，點P在在AC上運動，上運動， 在運動過程中，存在在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是的最小值，則這個最小值是 【 】 A3 B4 C5 D6 7.（2011甘肅天水甘肅天水4分）如圖，在梯形分）如圖，在梯形ABCD中，中，ABCD， BAD=90，AB=6，對角線，對角線AC平分平分BAD，點，點E在在AB上，且上，且 AE=2（AEAD），點），點P是是AC上的動點，則上的動點，則PE+PB的最小值是的最小值是 四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值： 例例1. （2012四川自貢四川自貢4分）分）正方形ABCD的邊長為 1cm，M、N分別是BCCD上兩個動點，且始終 保持AMMN，當(dāng)BM= cm時，四邊形ABCN 的面積最大，最大面積為 cm2 五、應(yīng)用其它知識求最值：五、應(yīng)用其它知識求最值： 例例2.（2012廣西來賓廣西來賓3分）分）如圖，已知線段OA交 O于點B，且OB=AB，點P是 O上的一個動點， 那么OAP的最大值是【 】