第6章：動力有限元法

1、STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué) Dynamics of Structures 武蘭河 QQ:281017372 TelSTDUDYNAMICS OF STRUCTURES Chapter 6 Finite Element Method 6-1 有限元法的基本概念 6-3 梁的彎曲振動 6-2 桿的縱向振動 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 6.1 有限元法的基本概念 有限元法(The finite element method)是20世紀五六十年代發(fā) 展起來的一種數(shù)值近似方法，最初用于求解飛機的應(yīng)力問題

2、特點:兼有集中質(zhì)量法和假設(shè)模態(tài)法的優(yōu)點 方法:將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分割為有限個單元(element)，單元的端點稱 為節(jié)點(node)，將節(jié)點的位移作為廣義坐標，并將單元的質(zhì)量 和剛度集中到節(jié)點上 每個單元作為彈性體，單元內(nèi)各點的位移用節(jié)點位移的插 值函數(shù)來表示，這種插值函數(shù)實際就是單元的假設(shè)模態(tài) STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 二. 有限元法的主要特點 1.以簡單逼近復(fù)雜 2.采用矩陣表達，便于編制計算機程序 3.比較容易處理邊界條件，可解決復(fù)雜域問題 4.適應(yīng)性強，應(yīng)用范圍廣泛 一. 有限元法的基本步驟 1.求解區(qū)域離散化 2.選擇插值函數(shù) 3.分析單元的力學(xué)特性（建立單元的動

3、力學(xué)方程） 4.集合各單元的平衡方程，建立結(jié)構(gòu)的平衡方程 5.求解結(jié)構(gòu)的平衡方程 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 6.2 桿的縱向振動 一. 結(jié)構(gòu)的離散化 將桿件劃分為多個單元 取出其中一個長度為l的單元 設(shè)單元兩端的節(jié)點位移為 1( ) u t 2( ) u t 和 用一個向量表示 e12 u T uu 12 T e FFF 相應(yīng)的兩端桿端力向量為 與多自由度系統(tǒng)類似，該單元的運動方程可以寫成 M u +K u =F eeeee STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 二. 位移插值 該單元內(nèi)x點處的位移表示為 2 1 ( , )( )( ) ii i u

4、 x tNx u t 12 ( ),( )NxNx稱為形函數(shù)(插值函數(shù)） 通常取一個節(jié)點坐標有單位位移而其余節(jié)點位移為零時單元的 靜變形函數(shù)為形函數(shù) 單元的假設(shè)模態(tài) 1( ) 1 x Nx l 2( ) x Nx l 顯然有 1(0) 1N 1( ) 0N l 2(0) 0N 2( ) 1Nl STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 1 ( , )( )( ) ii i u x tNx u t 代入式 構(gòu)成單元內(nèi)部連續(xù)的位移場 寫成矩陣形式 T e ( , )N uu x t 12 N T NN e12 u T uu 其中 形函數(shù)矩陣 單元位移列矩陣 三. 單元剛度矩陣和質(zhì)量

5、矩陣 因為軸力單元只有軸向變形，其微段的勢能為 2 11 d(d )d 22 e VESuuxESux 2 0 1 d 2 l e VESux 積分可以得到該單元的勢能 2T eee 0 11 du K u 22 l e VESux 將位移插值代入此式，整理后得到 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES T e 0 KN N d l ESx 其中單元剛度矩陣 N1 T xx ll 11 N T ll 單元剛度矩陣的各元素為 0 Kd l ijij ESN Nx 2 1 dd 2 e TSux 若單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),則有 e 11 K 11 ES l 類似地，單元微段的

6、動能為 積分可以得到該單元的動能 2 0 1 d 2 l e TSux STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2T eee 0 11 du M u 22 l e TSux T e 0 MNN d l Sx 單元質(zhì)量矩陣 e 21 M 612 Sl 將位移插值代入此式，整理后得到 其中 單元剛度矩陣的各元素為 0 d l ijij MSN Nx 若單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),則有 顯然，單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣均是對稱的 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 設(shè)單元上作用有分布力 ( , )f x t 計算其對虛位移 ( , )u x t 的虛功 0 ( , )

7、( , )d l Wf x tu x tx T ee F u T e 0 ( , ) (N u )d l f x tx T e 0 ( , )Nu d l f x tx T e 0 ( , )N du l f x tx l 0 ( , ) d e f x tx FN 與節(jié)點位移相對應(yīng)的單元廣義力向量 若單元上作用有分布力 ( , )f x t 為常數(shù) 則等效結(jié)點力為 /2 1 1F T e fl 如此可將單元上的力等效轉(zhuǎn)化到結(jié)點上 四. 單元動力平衡方程的建立 由Lagrange方程，可以建立單元的動力平衡方程 M u +K u =F eeeee STDUDYNAMICS OF STRUCTU

8、RES 五. 系統(tǒng)的動力平衡方程 lll ,ES 2 ,2ES 1 2 3 1 q 2 q 3 q 以圖所示的變截面桿的縱向振動 為例來說明綜合的一般規(guī)律 將桿劃分為三個單元 各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣 分別為 12 21 mm 312 Sl 3 21 m 612 Sl 12 112 KK 11 ES l 3 11 K 11 ES l 各單元的節(jié)點位移為 112 T uuu 234 T uuu 356 T uuu STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 組合為全部節(jié)點的位移列陣 123123456 Uuuu T T TTT uuuuuu 各節(jié)點位移之間有以下的約束關(guān)系 12345

9、 0,uuu uu 因此6個位移分量只有3個是獨立的 定義以下的獨立廣義結(jié)點位移 123 quu 245 quu 36 qu 123 q T qqq 并令結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移列陣 則單元的節(jié)點位移與結(jié)構(gòu)節(jié)點位移有如下關(guān)系 Uq 011000 000110 000001 其中 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 計算整個系統(tǒng)的動能 33 TTTT 11 111 u m uU MUq Mq 222 eeee ei TT 其中 1 2 3 m00 M =0m0 00m T M = M 整個系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣也可以直接由單元質(zhì)量矩陣組集而成 做法: 將各單元質(zhì)量矩陣 i m (

10、1,2,3)i 的各元素按照 (1,2,3) i q i 的下標編號,放入與編號相對應(yīng)的行和列 然后將各個位置的元素相疊加即得到 M 矩陣 對號入座 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 1 21 m 312 Sl 3 21 m 612 Sl 2 21 m 312 Sl 0 1 01 12 1 2 23 2 3 4420 M =2421 6 012 Sl 820 261 6 012 Sl 1 2 3 123 得到 類似地,整個系統(tǒng)的勢能 33 TTTT 11 111 u K uU KUq Kq 222 eeee ee VV STDUDYNAMICS OF STRUCTURES

11、其中 1 2 3 K00 K =0K0 00K T K = K 2220420 K =2211231 011011 ESES ll 整個系統(tǒng)的剛度矩陣 系統(tǒng)的剛度矩陣也可以直接由單元剛度矩陣組集而成 1 112 K 11 ES l 3 11 K 11 ES l 2 112 K 11 ES l 0 1 01 12 1 2 23 2 3 當(dāng)桿上有常值力f作用時 123 FFF/2 11 T fl 各單元的等效結(jié)點力為 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 將3個桿單元的廣義力組合為系統(tǒng)的廣義力F 123 T TTT FFFF 作用力的總虛功為 3 TT 1 F UQ q T ee

12、e WFu T Q F 與廣義位移q對應(yīng)的廣義力列陣 實際計算時,也可以由對號入座的方法,將各單元的結(jié)點力列 陣元素按總體編碼組集而得 1 1 F/2 1 fl 2 1 F/2 1 fl 3 1 F/2 1 fl 0 1 1 2 2 3 Q11111221 22 TTflfl 將整個系統(tǒng)的動能、勢能和虛功代入拉格郎日方程，得系 統(tǒng)的動力學(xué)方程 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 Q2 2 1 fl 420 K =231 011 ES l 820 M261 6 012 Sl Mq+Kq = Q 以上對桿的縱向振動的計算方法也完全適用于軸的扭轉(zhuǎn)振動等 同一類型的振動。對于梁的

13、彎曲振動，步驟完全相同，只是插 值函數(shù)不同，未節(jié)點位移數(shù)目不同而已，有興趣的同學(xué)請參照 課本自學(xué)，由于學(xué)時關(guān)系，這里就不講了 得到動力平衡方程之后，其他求解過程不須詳述 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 6.3 梁的彎曲振動 一. 結(jié)構(gòu)的離散化 將梁劃分為多個單元取出其中一個長度為l的單元 設(shè)單元兩端的節(jié)點位移為 1( ) u t 2( ) u t 用一個向量表示 e1234 u T uuuu 1234 T e FFFFF 相應(yīng)的桿端力向量為 3( ) u t 4( ) u t 其中 1( ) u t 3( ) u t 節(jié)點的橫向位移 2( ) u t 4( ) u t 節(jié)

14、點的截面轉(zhuǎn)角 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 二. 位移插值 該單元內(nèi)x點處的位移表示為 4 1 ( , )( )( ) ii i u x tNx u t ( )(1,2,3,4) i Nxi 稱為單元的形函數(shù)(插值函數(shù)） 單元的假設(shè)模態(tài) 通常取一個節(jié)點坐標有單位位移而其余節(jié)點位移為零時單元的 靜變形函數(shù)為形函數(shù) 單元形函數(shù)應(yīng)滿足的邊界條件： 111 (0)( )( )0NNlNl 23 0123 ( ) i Nxaa xa xa x 2(0) 1 N 1(0) 1N 22 ( )(0)0Nl N 2(0) 0N 33 (0)(0)0N N 3( ) 1Nl 3( ) 0

15、Nl 44 (0)(0)0N N 4( ) 0Nl 4( ) 1Nl STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 23 123 32 ( )1 xx Nx ll 滿足此邊界條件的形函數(shù)為： 23 22 2 ( ) xx Nxx ll 23 323 32 ( ) xx Nx ll 23 42 ( ) xx Nx ll 各形函數(shù)曲線如下圖： 1 x x x 1 ()Nx 2 ()Nx 4 ()Nx 3 ()Nx x STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 4 1 ( , )( )( ) ii i u x tNx u t 代入式 寫成矩陣形式得 4 T e 1 ( , )(

16、)( )N u ii i u x tNx u t 1234 N T NNNN e1234 u T uuuu 其中 形函數(shù)矩陣 單元位移列矩陣 三. 單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 因為只考慮彎曲變形，其微段的勢能為 21111 ddd(d )d 2222 e VMMuEIuuxEI ux 2 0 1 d 2 l e VEI ux 積分可以得到該單元的勢能 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 T eee 0 11 du K u 22 l e VEI ux 將位移插值代入此式，整理后得到 T e 0 KN Nd l EIx 其中 單元剛度矩陣 單元剛度矩陣的各元素為 若單元的材料常數(shù)

17、和橫截面積為常數(shù),則有 22 e3 22 126126 6462 K 126126 6264 ll llllEI lll llll 0 Kd l ijij EIN Nx STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 2 1 dd 2 e TSux 類似地，單元微段的動能為 積分可以得到該單元的動能 2 0 1 d 2 l e TSux 2T eee 0 11 du M u 22 l e TSux T e 0 MNN d l Sx 單元質(zhì)量矩陣 22 e 22 156225413 224133 M 420541315622 133224 ll llllSl ll llll 將位移插值代入

18、此式，整理后得到 其中 單元剛度矩陣的各元素為 0 d l ijij MSN Nx 若單元的材料常數(shù)和橫截面積為常數(shù),則有 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 設(shè)單元上作用有橫向分布力 ( , )f x t 計算其對虛位移 ( , )u x t 的虛功 0 ( , )( , )d l Wf x tu x tx T ee F u T e 0 ( , ) (N u )d l f x tx T e 0 ( , )Nu d l f x tx T e 0 ( , )N du l f x tx l 0 ( , ) d e f x tx FN 與節(jié)點位移相對應(yīng)的單元廣義力向量 四. 單元動力平衡方程的建立 STDUDYNAMICS OF STRUCTURES 若單元上作用有分布力 ( , )f x t為常數(shù) 則等效結(jié)點力為 /2 1/61/6 T e flllF 如此可將單元上的力等效轉(zhuǎn)化到結(jié)點上 由Lagrange方程，可以建立單元的動力平衡方程 M u +K u =F eeeee 五 系統(tǒng)的動力平衡方程 與桿的縱向振動類似，我們也可以組集得到整個結(jié) 構(gòu)的動力學(xué)平衡方程。這里我們只用直接剛度法， 將各單元的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣按照單元的定位向 量“對號入座”，形成結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣， 并得到結(jié)構(gòu)的動力方程。 Mq+