第四章三角函數(shù)、解三角形4.8

1、4.8解三角形應(yīng)用舉例 第四章三角函數(shù)、解三角形 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) A（文）（文） 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 題型題型分類分類深度深度剖析剖析 思想方法思想方法感悟感悟提高提高 練出高分練出高分 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型 測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、 航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等. 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理 2.實(shí)際問(wèn)題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角， 目標(biāo)視線在水平視線 叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線_ 叫俯角(如圖). 上方下方 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理 (2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平

2、角，如南偏東30，北 偏西45等. (3)方位角 指從 方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水 平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖). (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值. 正北 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理 3.解三角形應(yīng)用題的一般步驟 (1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知， 理清量與量之間的關(guān)系. (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題 的模型. (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解. (4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān) 單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等. 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理 u 思考辨析 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1

3、)如圖，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，可測(cè)量 數(shù)據(jù)a，b，進(jìn)行計(jì)算.() (2)如圖，B，C，D三點(diǎn)在地面同一直線上， DCa，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為和 ()，則可以求出A點(diǎn)距地面的高度AB.() 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)知識(shí)梳理 u 思考辨析 (3)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則， 的關(guān)系為180.() (4)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，.() (5)有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將 傾斜角改為10，則斜坡長(zhǎng)為2cos 10.() 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)考點(diǎn)自測(cè) 題號(hào)答案解析 1 2 3 4 A B 60 解析 解析 題型分類深度剖析 題型一測(cè)量距離題型一

4、測(cè)量距離問(wèn)題問(wèn)題 解析思維升華 題型分類深度剖析 解析思維升華 題型一測(cè)量距離題型一測(cè)量距離問(wèn)題問(wèn)題 題型分類深度剖析 解析思維升華 題型一測(cè)量距離題型一測(cè)量距離問(wèn)題問(wèn)題 題型分類深度剖析 解析思維升華 求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng) (1)首先選取適當(dāng)基線，畫(huà)出 示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成 三角形問(wèn)題.(2)明確所求的 距離在哪個(gè)三角形中，有幾 個(gè)已知元素.(3)確定使用正 弦定理或余弦定理解三角形. 題型一測(cè)量距離題型一測(cè)量距離問(wèn)題問(wèn)題 題型分類深度剖析 題型分類深度剖析 (2)已有A船在燈塔C北偏東80處，且A船到燈塔C的距離為 2 km，B船在燈塔C北偏西40處，A、B兩船間的距離為3 km，則B

5、船到燈塔C的距離為_(kāi)km. 解析如圖，由題意可得， ACB120，AC2，AB3. 設(shè)BCx，則由余弦定理可得： AB2BC2AC22BCACcos 120， 題型分類深度剖析 題型分類深度剖析 題型二測(cè)量高度、角度題型二測(cè)量高度、角度問(wèn)題問(wèn)題 例例2(1)如圖，測(cè)量河 對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以 選與塔底B在同一水平 面 內(nèi) 的 兩 個(gè) 測(cè) 點(diǎn) C 與 D ， 測(cè) 得 BCD15，BDC30， CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰 角為60，則塔高AB等于() 解析答案思維升華 題型分類深度剖析 題型二測(cè)量高度、角度題型二測(cè)量高度、角度問(wèn)題問(wèn)題 例例2(1)如圖，測(cè)量河 對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以 選與塔底

6、B在同一水平 面 內(nèi) 的 兩 個(gè) 測(cè) 點(diǎn) C 與 D ， 測(cè) 得 BCD15，BDC30， CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰 角為60，則塔高AB等于() 解析答案思維升華 題型分類深度剖析 題型二測(cè)量高度、角度題型二測(cè)量高度、角度問(wèn)題問(wèn)題 例例2(1)如圖，測(cè)量河 對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以 選與塔底B在同一水平 面 內(nèi) 的 兩 個(gè) 測(cè) 點(diǎn) C 與 D ， 測(cè) 得 BCD15，BDC30， CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰 角為60，則塔高AB等于() 解析答案思維升華 D 題型分類深度剖析 題型二測(cè)量高度、角度題型二測(cè)量高度、角度問(wèn)題問(wèn)題 例例2(1)如圖，測(cè)量河 對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以 選與塔底

7、B在同一水平 面 內(nèi) 的 兩 個(gè) 測(cè) 點(diǎn) C 與 D ， 測(cè) 得 BCD15，BDC30， CD30，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰 角為60，則塔高AB等于() 求解測(cè)量問(wèn)題的關(guān)鍵是把測(cè)量 目標(biāo)納入到一個(gè)可解三角形中， 三角形可解，則至少要知道這 個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng).解題中 注意各個(gè)角的含義，根據(jù)這些 角把需要的三角形的內(nèi)角表示 出來(lái)，注意不要把角的含義弄 錯(cuò)，不要把這些角與要求解的 三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯(cuò). 解析答案思維升華 D 題型分類深度剖析 例例2(2)一船自西向東勻速航行， 上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西 75且距燈塔68海里的M處，下午2 時(shí)到達(dá)這座燈塔東南方向的N處， 則這只船的

8、航行速度為() 解析答案思維升華 題型分類深度剖析 例例2(2)一船自西向東勻速航行， 上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西 75且距燈塔68海里的M處，下午2 時(shí)到達(dá)這座燈塔東南方向的N處， 則這只船的航行速度為() 解析答案思維升華 題型分類深度剖析 例例2(2)一船自西向東勻速航行， 上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西 75且距燈塔68海里的M處，下午2 時(shí)到達(dá)這座燈塔東南方向的N處， 則這只船的航行速度為()A 解析答案思維升華 題型分類深度剖析 求解測(cè)量問(wèn)題的關(guān)鍵是把測(cè)量 目標(biāo)納入到一個(gè)可解三角形中， 三角形可解，則至少要知道這 個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng).解題中 注意各個(gè)角的含義，根據(jù)這些 角把

9、需要的三角形的內(nèi)角表示 出來(lái)，注意不要把角的含義弄 錯(cuò)，不要把這些角與要求解的 三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯(cuò). 例例2(2)一船自西向東勻速航行， 上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西 75且距燈塔68海里的M處，下午2 時(shí)到達(dá)這座燈塔東南方向的N處， 則這只船的航行速度為()A 解析答案思維升華 題型分類深度剖析 題型分類深度剖析 (2)某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見(jiàn) 塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0，求塔高. 解如圖所示，某人在C處，AB為塔高， 他沿CD前進(jìn)，CD40，此時(shí)DBF45， 過(guò)點(diǎn)B作BECD于E，則AEB30， 在BCD中，CD40，BCD30，

10、DBC135，由正弦定理，得 題型分類深度剖析 題型分類深度剖析 題型三三角形中的綜合題型三三角形中的綜合問(wèn)題問(wèn)題 解析 思維升華 題型分類深度剖析 解析 思維升華 題型三三角形中的綜合題型三三角形中的綜合問(wèn)題問(wèn)題 題型分類深度剖析 解析 思維升華 題型三三角形中的綜合題型三三角形中的綜合問(wèn)題問(wèn)題 題型分類深度剖析 解析 思維升華 在三角形邊角關(guān)系相互制約的 問(wèn)題中，基本的解決思路有兩 種：一是根據(jù)正、余弦定理把 邊的關(guān)系都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系， 通過(guò)三角恒等變換解決問(wèn)題； 二是根據(jù)正、余弦定理把角的 關(guān)系都轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò) 代數(shù)變換解決問(wèn)題. 題型三三角形中的綜合題型三三角形中的綜合問(wèn)題問(wèn)題

11、題型分類深度剖析 解析 思維升華 題型分類深度剖析 解析 思維升華 題型分類深度剖析 解析 思維升華 題型分類深度剖析 解析 思維升華 在三角形邊角關(guān)系相互制約的 問(wèn)題中，基本的解決思路有兩 種：一是根據(jù)正、余弦定理把 邊的關(guān)系都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系， 通過(guò)三角恒等變換解決問(wèn)題； 二是根據(jù)正、余弦定理把角的 關(guān)系都轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò) 代數(shù)變換解決問(wèn)題. 題型分類深度剖析 跟蹤訓(xùn)練3 (2014陜西)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分 別為a，b，c. (1)若a，b，c成等差數(shù)列，證明sin Asin C2sin(AC)； 證明a，b，c成等差數(shù)列，ac2b. 由正弦定理得sin Asin C2si

12、n B. sin Bsin(AC)sin(AC)， sin Asin C2sin(AC). 題型分類深度剖析 題型分類深度剖析 思想與方法思想與方法系列系列6 6 函數(shù)函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用思想在解三角形中的應(yīng)用 典例：典例：(12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行 的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30且與該港口 相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻 速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛， 經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇. (1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng) 為多少？ 思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答

13、溫 馨 提 醒 題型分類深度剖析 (1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時(shí)間t的 函數(shù)，將原題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題； 思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒 題型分類深度剖析 解設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答 3分分 6分分 題型分類深度剖析 (1)三角形中的最值問(wèn)題，可利用正、余弦定理建立函 數(shù)模型(或三角函數(shù)模型)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題. 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答 題型分類深度剖析 (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè) 計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以最短時(shí)間與輪船相遇

14、，并說(shuō)明理由. 思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答溫 馨 提 醒 題型分類深度剖析 (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè) 計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由. (2)注意t的取值范圍. 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答 題型分類深度剖析 (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè) 計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由. 解設(shè)小艇與輪船在B處相遇. 則v2t2400900t222030tcos(90 30)， 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解

15、答 8分分 題型分類深度剖析 (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè) 計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由. 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答 題型分類深度剖析 (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè) 計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由. 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答 11 分分 12 分分 題型分類深度剖析 (2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè) 計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小 艇能以

16、最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由. (2)求最值時(shí)要注意自變量的范圍，要考慮問(wèn)題的實(shí)際意義. 溫 馨 提 醒思 維 點(diǎn) 撥規(guī) 范 解 答 思想方法感悟提高 方 法 與 技 巧 利用解三角形解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，(1)要理解題意，整 合題目條件，畫(huà)出示意圖，建立一個(gè)三角形模型； (2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念； (3)三角函數(shù)模型中，要確定相應(yīng)參數(shù)和自變量范圍， 最后還要檢驗(yàn)問(wèn)題的實(shí)際意義. 思想方法感悟提高 失 誤 與 防 范 1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形 內(nèi)角之間的關(guān)系弄混. 2.在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同 時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間

17、 圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不 容易搞錯(cuò). 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456789101 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456789101 1.若點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西30，則點(diǎn)B在點(diǎn)A的() A.北偏西30 B.北偏西60 C.南偏東30 D.東偏南30 解析如圖，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東30. C 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 34567 891012 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 34567 891012 解析如圖，在RtABM中， 過(guò)點(diǎn)A作ANCD于點(diǎn)N， 易知MANAMB15， 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 34567 891012 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 24567891013 練出

18、高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 24567891013 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23567891014 4.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的 高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則 從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角 CAD等于() A.30 B.45 C.60 D.75 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23567891014 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23567891014 又0CAD180， 所以CAD45， 所以從頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案B 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23467891015 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23467891015 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練

19、23457891016 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456891017 7.(2014課標(biāo)全國(guó))如圖，為測(cè)量山高 MN，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量 觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN 60，C點(diǎn)的仰角CAB45以及MAC75；從C 點(diǎn)測(cè)得MCA60.已知山高BC100 m，則山高M(jìn)N _ m. 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456891017 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456910178 8.如圖，在四邊形ABCD花圃中，已知ADCD， AD10 m，AB14 m，BDA60， BCD135，則BC的長(zhǎng)為_(kāi) m. 解析在ABD中，設(shè)BDx， 則BA2BD2AD22BDADcosBDA

20、， 即142x2102210 xcos 60， 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456910178 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456781019 9.在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂 上一建筑物頂端對(duì)于山坡的斜度為15， 如圖所示，向山頂前進(jìn)100 m后，又從B 點(diǎn)測(cè)得斜度為45，設(shè)建筑物的高為50 m.求此山對(duì)于地 平面的斜度的余弦值. 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456781019 解在ABC中，BAC15，CBA18045135， 所以ACB30. 又AB100 m， 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456781019 練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 23456789110 10.某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦 艇在A處獲悉后，立即測(cè)出該漁輪在方位角為45，距離 為10 n mile的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為105的方 向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海