第4章 圖像變換-2

1、小波變換及其應(yīng)用小波變換及其應(yīng)用 傅立葉理論指出，一個(gè)信號(hào)可表示成一系列正 弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式。用傅 立葉表示一個(gè)信號(hào)時(shí)，只有頻率分辨率而沒有 時(shí)間分辨率，這就意味我們可以確定信號(hào)中包 含的所有頻率，但不能確定具有這些頻率的信 號(hào)出現(xiàn)在什么時(shí)候。為了繼承傅立葉分析的優(yōu) 點(diǎn)，同時(shí)又克服它的缺點(diǎn)，人們找到新的方法 小波變換。 小波簡(jiǎn)史 20 世紀(jì)初，哈爾(Alfred Haar)對(duì)在函數(shù)空間中尋找一個(gè) 與傅立葉類似的基非常感興趣。1909 年他發(fā)現(xiàn)了小波 ，并被命名為哈爾小波(Haar wavelets)，他最早發(fā)現(xiàn)和 使用了小波。 20 世紀(jì)70 年代，當(dāng)時(shí)在法國石油公司工作的年

2、輕的地 球物理學(xué)家Jean Morlet 提出了小波變換WT(wavelet transform)的概念。 進(jìn)入20 世紀(jì)80 年代，法國的科學(xué)家Y.Meyer 和他的同 事開始為此開發(fā)系統(tǒng)的小波分析方法。Meyer 于1986 年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，他用 縮放(dilations)與平移(translations)均為2 j ( j =0 的整數(shù) )的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R) 空間的規(guī)范正交基，使小波得到 真正的發(fā)展。 小波簡(jiǎn)史 小波變換的主要算法則是由法國的科學(xué)家Stephane Mallat 在1988 年提出。他在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了 多分辨率的概念，從空間上形象地說

3、明了小波的多分 辨率的特性，提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法 ，叫做Mallat 算法。該算法統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交 小波基的所有方法，它的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換 在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。 Inrid Daubechies，Ronald Coifman 和Victor Wickerhauser 等著名科學(xué)家把這個(gè)小波理論引入到工程 應(yīng)用方面做出了極其重要的貢獻(xiàn)。 小波概念 小波是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數(shù)。 在眾多的小波中，選擇什么樣的小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析是 一個(gè)至關(guān)重要的問題。使用的小波不同，分析得到數(shù)據(jù) 也不同，這是關(guān)系到能否達(dá)到使用小波分析的目的問題 。如果沒有現(xiàn)成的小

4、波可用，那么還需要自己開發(fā)合用 的小波。 小波分析 信號(hào)分析一般是為了獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系。 傅立葉變換提供了有關(guān)頻率域的信息，但時(shí)間方面的局部 化信息卻基本丟失。 與傅立葉變換不同，小波變換通過平移母小波(mother wavelet)可獲得信號(hào)的時(shí)間信息，而通過縮放小波的寬度( 或者叫做尺度)可獲得信號(hào)的頻率特性。 對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波的系數(shù)，這些 系數(shù)代表小波和局部信號(hào)之間的相互關(guān)系。 小波分析 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 傅立葉分析是把一個(gè)信號(hào)分解成各種不同頻率的正弦波，因 此正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)。 小波分析是把一個(gè)信號(hào)分解成將原始小波經(jīng)過移位和縮放之

5、后的一系列小波，因此小波同樣可以用作表示一些函數(shù)的基 函數(shù)。 凡是能夠用傅立葉分析的函數(shù)都可以用小波分析，因此小波 變換也可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立 葉變換的正弦波。 連續(xù)小波變換 數(shù)學(xué)上傅立葉分析的過程實(shí)際上是用傅立葉變換表示， 傅立葉變換是信號(hào)f(t)與復(fù)數(shù)指 數(shù) 之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和。傅立葉變換的結(jié)果 是傅立葉系數(shù)F(w)，它是頻率w 的函數(shù)。 連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform，CWT )用下 式表示， 這個(gè)式子的含義就是，小波變換是信號(hào)f (t) 與被縮放和 平移的小波函數(shù) 之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和 。CWT 變

6、換的結(jié)果是 許多小波系數(shù)C ，這些系數(shù)是縮 放因子(scale)和位置(position)的函數(shù)。 j t e (cossin) j t etjt 連續(xù)小波變換 CWT 的變換過程可分成如下5 個(gè)步驟： 步驟1: 把小波y (t) 和原始信號(hào)f(t)的開始部分進(jìn)行比較。 步驟2: 計(jì)算系數(shù)C 。該系數(shù)表示該部分信號(hào)與小波的近似程度。 系數(shù)C 的值越高表示信號(hào)與小波越相似，因此系數(shù)C可以反映這 種波形的相關(guān)程度。 步驟3: 把小波向右移，距離為k ，得到的小波函數(shù)為y(t-k)，然后 重復(fù)步驟1 和2。再把小波向右移，得到小波y(t-2k)，重復(fù)步驟1 和2。按上述步驟一直進(jìn)行下去，直到信號(hào)f

7、(t) 結(jié)束。 步驟4: 擴(kuò)展小波y (t) ，例如開展一倍，得到的小波函數(shù)為y(t/2)。 步驟5: 重復(fù)步驟14。 連續(xù)小波變換 小波變換完成之后得到的系數(shù)是在不同的縮放因子下 由信號(hào)的不同部分產(chǎn)生的。這些小波系數(shù)、縮放因子 和時(shí)間之間的關(guān)系和它們的含義可以用下圖表示，該 圖是用MATLAB軟件繪制的，是用二維圖像表示的小 波變換分析圖，x 軸表示沿信號(hào)的時(shí)間方向上的位置， y 軸表示縮放因子，每個(gè)x-y 點(diǎn)的顏色表示小波系數(shù)C 的幅度大小。 連續(xù)小波變換 小波的縮放因子與信號(hào)頻率之間的關(guān)系可以這樣來理 解。 縮放因子小，表示小波比較窄，度量的是信號(hào)細(xì)節(jié)，表示頻 率w 比較高； 相反，縮放

8、因子大，表示小波比較寬，度量的是信號(hào)的粗糙 程度，表示頻率w 比較低。 小波分析 離散小波變換 在計(jì)算連續(xù)小波變換時(shí)，實(shí)際上也是用離散的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算 的，只是所用的縮放因子和平移參數(shù)比較小而已。不難想象 ，連續(xù)小波變換的計(jì)算量是驚人的。 為了解決計(jì)算量的問題，縮放因子和平移參數(shù)都選擇2j( j .0 的整數(shù))的倍數(shù)。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換 叫做雙尺度小波變換(dyadic wavelet transform)，它是離散小波 變換(discrete wavelet transform，DWT)的一種形式。 離散小波變換通常指的就是雙尺度小波變換。 離散小波變換 使用離散小波分析得

9、到的小波系數(shù)、縮放因子和時(shí)間 關(guān)系如下圖 所示。 圖(a)是20 世紀(jì)40 年代使用Gabor 開發(fā)的短時(shí)傅立葉變換(short time Fourier transform，STFT)得到的時(shí)間-頻率關(guān)系圖； 圖(b)是20 世紀(jì)80 年代使用Morlet 開發(fā)的小波變換得到的時(shí)間 -縮放因子(反映頻率)關(guān)系圖。 離散小波變換 用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如下圖 所示。圖中， S 表示原始的輸入信號(hào)，通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A 和 D 兩個(gè)信號(hào)，A 表示信號(hào)的近似值(approximations)，D 表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值(detail)。 在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表 示

10、信號(hào)的低頻分量。而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系 數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量。 離散小波變換 離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波 器組成的一棵樹。這種樹叫做小波分解樹(wavelet decomposition tree)。分解級(jí)數(shù)的多少取決于要被分析 的數(shù)據(jù)和用戶的需要。 離散小波變換 小波分解樹表示只對(duì)信號(hào)的低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解。 如果不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對(duì)高 頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率 較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高 頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree)，

11、這種樹是一個(gè)完整的二進(jìn) 制樹。 離散小波變換 降采樣 小波分析 小波重構(gòu) 離散小波變換可以用來分析或者叫做分解信號(hào)，這個(gè)過程叫 做分解或者叫做分析。 把分解的系數(shù)還原成原始信號(hào)的過程叫做小波重構(gòu)(wavelet reconstruction)或者叫做合成(synthesis)，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小 波變換(inverse discrete wavelet transform，IDWT)。 在使用濾波器做小波變換時(shí)包含濾波和降采樣兩個(gè)過程，在 小波重構(gòu)時(shí)要包含升采樣(upsampling)和濾波過程。 小波定義 在數(shù)學(xué)上，小波定義為對(duì)給定函數(shù)局部化的函數(shù)。小 波可由一個(gè)定義在有限區(qū)間的函數(shù) 來構(gòu)造

12、， 稱為母小波(mother wavelet)或者叫做基本小波。一組 小波基函數(shù) ,可通過縮放和平移基本小波 來生成 , 其中， a 為進(jìn)行縮放的縮放參數(shù)，反映特定基函數(shù)的 寬度(或者叫做尺度)； b 為進(jìn)行平移的平移參數(shù)，指定 沿x 軸平移的位置。 ( )x ( )x ( )x , ( ) a b x 當(dāng)a = 2j 和b= ia 的情況下，一維小波基函數(shù)序列定義 為 其中， i 為平移參數(shù)， j 為縮放因子。 一維哈爾小波變換 哈爾小波是小波系列中最簡(jiǎn)單的小波。 首先介紹如何使用哈爾小波分解一維函數(shù)， 然后描述實(shí)際的基函數(shù)， 最后介紹使用哈爾小波分解來壓縮數(shù)據(jù)的技術(shù)。 一維哈爾小波變換 哈

13、爾基函數(shù) 基函數(shù)是一組線性無關(guān)的函數(shù)，可以用來構(gòu)造任意給定的信 號(hào)，例如用基函數(shù)的加權(quán)和表示。 最簡(jiǎn)單的基函數(shù)是哈爾基函數(shù)(Haar basis function)。哈爾基函 數(shù)在1909 年提出，它是由一組分段常值函數(shù)(piecewise- constant function)組成的函數(shù)集。這個(gè)函數(shù)集定義在半開區(qū)間 0,1) 上，每一個(gè)分段常值函數(shù)的數(shù)值在一個(gè)小范圍里是“1” ，其他地方為“0”。 現(xiàn)以圖像為例并使用線性代數(shù)中的矢量空間來說明哈爾基函 數(shù)。 一維哈爾小波變換 如果一幅圖像僅由20 =1 個(gè)像素組成，這幅圖像在整個(gè) 0,1) 區(qū)間中就是一個(gè)常值函數(shù)。用 表示這個(gè)常值 函數(shù)，用V

14、0 表示由這個(gè)常值函數(shù)生成的矢量空間，即。 0 0 ( )x 我們可以按照這種方法繼續(xù)定義基函數(shù)和由它生成的 矢量空間?？偠灾?，為了表示矢量空間中的矢量， 每一個(gè)矢量空間Vj 都需要定義一個(gè)基(basis)。為生成矢 量空間Vj 而定義的基函數(shù)也叫做尺度函數(shù)(scaling function)，這種函數(shù)通常用符號(hào) 表示。 哈爾基函數(shù)定義為 哈爾基尺度函數(shù) 定義為 其中， j為尺度因子，改變j使函數(shù)圖形縮小或者放大 ；i為平移參數(shù)，改變i 函數(shù)沿x 軸方向平移。 矢量空間V j是嵌套的，即 ( ) j i x ( ) j i x 哈爾小波函數(shù) 小波函數(shù)通常用 表示。與框函數(shù)相對(duì)應(yīng)的小波稱 為基

15、本哈爾小波函數(shù)(Haar wavelet functions)，并由下 式定義， ( ) j i x 根據(jù)哈爾小波函數(shù)的定義，可以寫出生成W0 ，W1 和 W2 等矢量空間的小波函數(shù)。 函數(shù)規(guī)范化 哈爾基的結(jié)構(gòu) 使用哈爾基函數(shù)和哈爾小波函數(shù)生成的矢量空間V j 和 W j 具有下面的性質(zhì)， 哈爾小波變換 小波變換的基本思想是用一組小波函數(shù)或者基函數(shù)表 示一個(gè)函數(shù)或者信號(hào)。 什么是小波變換？ 用一個(gè)具體的例子來說明小波變換的過程。 哈爾小波變換 求有限信號(hào)的均值和差值求有限信號(hào)的均值和差值 例. 假設(shè)有一幅分辨率只有4 個(gè)像素p0 ,p1 ,p2 ,p3 的一維 圖像，對(duì)應(yīng)的像素值或者叫做圖像位

16、置的系數(shù)分別為 ：9 7 3 5 計(jì)算它的哈爾小波變換系數(shù)。 步驟1：求均值(averaging)。計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值 ，得到一幅分辨率比較低的新圖像，它的像素?cái)?shù)目變 成了2 個(gè)，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應(yīng)的 像素值為：8 4 步驟2：求差值(differencing) 原始圖像就可以用下面的兩個(gè)平均值和兩個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù) 表示，8 4 1 -1 哈爾小波變換 步驟3：重復(fù)第1，2 步，把由第一步分解得到的圖像進(jìn) 一步分解成分辨率更低的圖像和細(xì)節(jié)系數(shù)。在這個(gè)例 子中，分解到最后，就用一個(gè)像素的平均值6 和三個(gè)細(xì) 節(jié)系數(shù)2,1 和-1 表示整幅圖像 6 2 1 -1 哈爾小波變換 通過

17、上述分解就把由4 像素組成的一幅圖像用一個(gè)平均 像素值和三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示，這個(gè)過程就叫做哈爾小 波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解 (Haar wavelet decomposition)。這個(gè)概念可以推廣到使 用其他小波基的變換。 哈爾小波變換 用數(shù)學(xué)方法重新描述小波變換的過程用數(shù)學(xué)方法重新描述小波變換的過程 用V2 中的哈爾基表示 哈爾小波變換 用V1和W1 中的函數(shù)表示 哈爾小波變換 用V0,W0和W1中的函數(shù)表示 哈爾小波變換 例. 對(duì)函數(shù)f (x)= 2,5,8,9,7,4,-1,-1 作哈爾 小波變換。 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換 一幅圖

18、像可看成是由許多像素組成的一個(gè)大矩陣，在 進(jìn)行圖像壓縮時(shí)，為降低對(duì)存儲(chǔ)器的要求，人們通常 把它分成許多小塊，例如以88 個(gè)像素為一塊，并用 矩陣表示，然后分別對(duì)每一個(gè)圖像塊進(jìn)行處理。 二維小波變換舉例二維小波變換舉例 二維小波變換舉例 求均值與求差值求均值與求差值 R0: 64 2 3 61 60 6 7 57 N0: 33 32 33 32 31 -29 27 -25 N1: 32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25 N2: 32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25 其中，左上角的元素表示整個(gè)圖像塊的像素值的平均 值，其余是該圖像塊的細(xì)節(jié)系數(shù)。根據(jù)這個(gè)事實(shí)，如 果從矩陣中去掉表示圖像的某些細(xì)節(jié)系數(shù)，事實(shí)證明 重構(gòu)的圖像質(zhì)量仍然可以接受。 具體做法是設(shè)置一個(gè)閾值d ，例如d = 5的細(xì)節(jié)系數(shù)就 把它當(dāng)作“0”看待，這樣經(jīng)過變換之后的矩陣RC A 就變成， 使用線性代數(shù)使用線性代數(shù) 由于圖像可用矩陣表示，使用三個(gè)矩陣M1,M2和 M3 同 樣可以對(duì)矩陣A進(jìn)行求平均值和求差值。這三個(gè)矩陣分 別是第一、第二和第三次分