第23講 拉普拉斯反變換的方法

1、第4章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析 拉普拉斯變換拉普拉斯變換是傅里葉變換的是傅里葉變換的廣義形式廣義形式， 通過拉普拉斯變換將通過拉普拉斯變換將微分方程微分方程轉換為轉換為代數(shù)方程代數(shù)方程， 同時將起始狀態(tài)和輸入信號一起考慮，一舉求得全響應。同時將起始狀態(tài)和輸入信號一起考慮，一舉求得全響應。 通過拉普拉斯變換引入通過拉普拉斯變換引入S域系統(tǒng)函數(shù)域系統(tǒng)函數(shù)，其零極點聯(lián)系了系統(tǒng)，其零極點聯(lián)系了系統(tǒng) 的時域和頻域特性，并可直觀判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。的時域和頻域特性，并可直觀判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第4章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析 本章導讀：本章導讀： 首先，介紹拉普拉斯變換的首先，介紹拉普拉斯變換的定義、性質和反變換定義

2、、性質和反變換方法。方法。 然后，介紹拉氏變換分析然后，介紹拉氏變換分析LTI系統(tǒng)的兩種方法：系統(tǒng)的兩種方法： 已知已知微分方程微分方程的的S域求解域求解 已知已知電路電路的的S域系統(tǒng)模型求解。域系統(tǒng)模型求解。 最后，給出最后，給出S域系統(tǒng)函數(shù)域系統(tǒng)函數(shù)的定義，通過系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布來的定義，通過系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布來 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第4章 主要內容 n4.1 4.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 n4.2 4.2 單邊拉普拉斯變換的性質單邊拉普拉斯變換的性質 n4.3 4.3 拉普拉斯反變換的方法拉普拉斯反變換的方法 n4.4 4.4 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的S

3、S域分析方法域分析方法 n4.5 4.5 S域系統(tǒng)函數(shù)及應用域系統(tǒng)函數(shù)及應用 n拉普拉斯反變換的方法拉普拉斯反變換的方法 第第 23 講講 j j 1 ( )( )d 0 2 j s t f tF s est 拉普拉斯反變換方法 直接利用定義直接利用定義求反變換求反變換-復變函數(shù)積分，比較困難。復變函數(shù)積分，比較困難。 通常的方法通常的方法: （1）查表法）查表法 （2）利用性質）利用性質 （3）部分分式展開）部分分式展開 01 1 1 01 1 1 . . )( )( )( asasas bsbsbsb sD sN sF n n n m m m m 若象函數(shù)若象函數(shù) F(s) 是是 s 的有

4、理分式：的有理分式： 若若mn，可用多項式除法將象函數(shù)，可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為分解為有理多項式有理多項式 P(s)與與有理真分式有理真分式之和。之和。 )( )( )()( sA sB sPsF 23 911 52 2 ss s s 例如：例如： 23 12 )( 2 23 ss ss sF )( )(1 ts nn L L 而而)(1 1 t L L 故多項式故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)及其各階導數(shù)構成。的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)及其各階導數(shù)構成。 式中 1. D( s ) = 0的根均為單實根 i )()( ii ss sFssk ( i = 1，2，n ) n

5、2 2 1 1 )( ss K ss K ss K sF n 則 tststs KKKtf n21 eee)( n21 例例 設 ，求f ( t )。 )2)(1( )( ss s sF 解解 11)2)(1( )( 21 s K s K ss s sF 其中 1)()1( 1 1 s sFsK 2)()2( 2 2 s sFsK 所以 1 2 1 1 )( ss sF 則 tt tf 2 e2e)( 2 2. D( s ) = 0有共軛復根 jj )( 21 s K s K sF 利用上法，得系數(shù) )cos(e2)( 11 tKtf t 設 j,j 21 ss 則 11 j 12 j 11

6、e,e KKKK 例例 設 ，求f ( t )。 22 2 )( 2 ss s sF 解解 ) j1() j1( )( 21 s K s K sF 其中 45j 1 2 2 2 1 j 2 1 eK 所以 45j 2 2 2 2 1 j 2 1 eK 0, )45cos(e2 ee)( 21 21 tt KKtf t tsts 3. D( s ) = 0含有重根 m 1) ( )( )( ss sN sF 1 1m 1m 1 12 m 1 11 )()( )( ss K ss K ss K sF 其中 設 則 1 )()( d d )!1( 1 m 1 1n 1n 1n ss sFss sn

7、k ( n = 1，2，m ) 例例 設 ，求f ( t )。 2 )1( 3 )( s s sF 解解 1)1( )( 12 2 11 s K s K sF 其中 2)()1( 1 2 11 s sFsK 1)3( d d 1 12 s s s K 則 0,ee2)( tttf tt 則：則：時時階重根階重根的根含有的根含有,m0)()2( 1 psD n n i i ps k ps k . 1 )( d d )!( 1 : 1 )( )( 1 ps m im im i pssF sim k 其其中中 則：則：，個單根個單根的根為的根為,.0)()1( 1ni pppnsD n n i i

8、ps k ps k ps k sF .)( 1 1 i ps ii pssFk )(:其其中中 我們主要討論象函數(shù)為我們主要討論象函數(shù)為有理真分式有理真分式的情形的情形 （mn）。）。 部分分式展開法部分分式展開法 ）（）（）（ 1 11 1 1 )1(1 1 1 . ps k ps k ps k m m m m )(sF 時：時：共軛復根共軛復根的根含有的根含有 j0)()3( ssD )j)(j( )( )( ss sB sF jj 21 s k s k 1 j ( ) (j) ( ) s B s ks A s j ( ) 2 j s B s 2 j ( ) (j) ( ) s B s k

9、s A s j ( ) 2 j s B s * 121 jjkABkkAB， jj )( 211 s k s k tfL L (j)(j) 12 j*j 11 ( ) ()( ) tt ttt k ek et ek ek et 2(cossin) ( ) t eAtBtt ? 6116 332 )( 23 2 sss ss sF )3)(2)(1( 332 )( 2 sss ss sF 321 321 s k s k s k 3 6 2 5 1 1 )( sss sF 23 ( )(56)( ) ttt f teeet 例例1: s te t 1 )(根根據(jù)據(jù) 【解解】 1 k 1 2 )1(

10、 )3)(2)(1( 332 s s sss ss 1 2 k 2 2 )3)(1( 332 s ss ss 5 6 3 k 例例2： 52 3 )( 2 ss s sF 3 ( ) 12 j12 j s Fs ss 【解解】 12 12 j12 j kk ss 1 12 j 3 12 j s s k s 1j 2 2 12 j 3 12 j s s k s 1j 2 1 j1 j(1 2j)(1 2j) 22 ( ) ( ) tt f teet )(2sin2costtte t 例例3： 3 )1)(2( 3 )( ss s sF 2 1 1 1 )1( 1 )1( 2 23 ssss )()( 22 teeteettf tttt 1 )( 1 n s )( ! te n t t n 【解解】 21)1()1( )( 211 2 12 3 13 s k s k s k s k sF 1 1 n s )( ! t n t n 所以：所以： 例例4： sss s sF 44 2 )( 23 4 【解解】 2 2 )2( 21612 4)( ss s