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1、數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及常用結(jié)論一、等差數(shù)列(1)等差數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式: (從第1項(xiàng)開始為等差) (從第m項(xiàng)開始為等差) 前項(xiàng)和公式:(2)證明等差數(shù)列的法方定義法:對任意的n,都有(d為常數(shù))為等差數(shù)列等差中項(xiàng)法:(n)為等差數(shù)列通項(xiàng)公式法:=pn+q (p,q為常數(shù)且p0) 為等差數(shù)列 即:通項(xiàng)公式位n的一次函數(shù),公差,首項(xiàng)前項(xiàng)和公式法: (p, q為常數(shù)) 為等差數(shù)列 即:關(guān)于n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)(3)常用結(jié)論若數(shù)列,為等差數(shù)列,則數(shù)列,(k, b為非零常數(shù))均為等差數(shù)列.若m+n=p+q (m,n,p,q),則=.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得=在等差數(shù)列中,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng),按原來
2、的順序排列,所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列,且公差為(k+1)d(例如:,仍為公差為3d的等差數(shù)列)若數(shù)列為等差數(shù)列,則記,則,仍成等差數(shù)列,且公差為d若為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列也為等差數(shù)列. 此性質(zhì)對任何一種數(shù)列都適用求最值的方法:I: 若0,公差d0,則當(dāng)時(shí),則有最大值,且最大; 若0,則當(dāng)時(shí),則有最小值,且最??;II:求前項(xiàng)和的對稱軸,再求出距離對稱軸最近的正整數(shù),當(dāng) 時(shí),為最值,是最大或最小,通過的開口來判斷。二、等比數(shù)列(1)等比數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式: (從第1項(xiàng)開始為等比) (從第m項(xiàng)開始為等差)前項(xiàng)和公式:,(2)證明等比數(shù)列的法方定義法:對任意的n,都有(q0) 為等比數(shù)列等比中
3、項(xiàng)法:(0)為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法:為等比數(shù)列(3)常用結(jié)論若數(shù)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非零常數(shù)) 均為等比數(shù)列.若m+n=p+q (m, n, p, q),則=.特別的,當(dāng)n+m=2k時(shí),得=在等比數(shù)列中,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng),按原來的順序排列,所得的數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為 (例如:,仍為公比的等比數(shù)列)若數(shù)列為等差數(shù)列,則記,則,仍成等比數(shù)列,且公差為三、求任意數(shù)列通項(xiàng)公式的方法(1)累加法:若滿足an+1=an+f(n)利用累加法求:例題:若,且,求:練習(xí)題:若數(shù)列滿足,且(2)累乘法:若滿足利用累乘法求: 例題:在數(shù)列an中,求:.練習(xí)題:在數(shù)列an中,且,求: (提示:)
4、(3)遞推公式中既有,又有,用逐差法 特別注意:該公式對一切數(shù)列都成立。(4)若滿足,則兩邊加:,在提公因式P,構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列,再出求:例題:已知數(shù)列,滿足:,且,求:習(xí)題1:已知數(shù)列滿足:且,求:習(xí)題2:已知數(shù)列滿足:,且,求:(5)若滿足,則兩邊同時(shí)除以:,構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列,再求出:例題:已知滿足:,求: 解:,既有: 所以:是首項(xiàng)為:,公差的等差數(shù)列 所以:習(xí)題1:已知且,求:習(xí)題2:已知且,求:(六)待定系數(shù)法:若滿足以下關(guān)系: 都可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個(gè)等比數(shù)列來:溫馨提示:提,對待定系數(shù)例題1:已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解:,與原式對應(yīng)得, 所以:是首項(xiàng),公比的等比數(shù)
5、列 既有:例題2:已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解:,與原式對應(yīng)得: 所以:是首項(xiàng)為:,公比的等比數(shù)列既有:(七)顛倒法:若滿足:,用顛倒法; 所以:,所以:是以首項(xiàng)為:,公差的等差數(shù)列例題1:已知,且,求:例題2:已知,且,求:(八)倒數(shù)換元法:若數(shù)列滿足:,則顛倒變成然后再用兩邊加:或者待定系數(shù)法既可求出,再顛倒就可得到:例題:若數(shù)列滿足:,且,求:解:,兩邊加:1得: ,所以:是首項(xiàng)為:,公比:的等比數(shù)列;既有:若用待定系數(shù)法: 與原式子對應(yīng)得,然后的方法同上;習(xí)題:已知且,求:四、求前n項(xiàng)和Sn的方法(1)錯(cuò)位相減求和 主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的數(shù)列的前n項(xiàng)和;或者是等差與等比的商的前n項(xiàng)和;(是商的時(shí)候,適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式)。既:設(shè)為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,求:或的前n項(xiàng)和常用此方法(都轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔e形式)例題1:已知數(shù)列,數(shù)列的前項(xiàng)和,求數(shù)列的前項(xiàng)和例題2:求數(shù)列的的前項(xiàng)和習(xí)題1:求:習(xí)題2:設(shè)數(shù)列,求的前n項(xiàng)和(2)裂項(xiàng)相消求和 適用于的形式,變形為:例題:求數(shù)列的前n項(xiàng)和習(xí)題1:求數(shù)列的前n項(xiàng)和 習(xí)題2:求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(3)、分組法求和:有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求,在進(jìn)行加減;例題:求的前和?習(xí)題1:已知是一個(gè)遞增的等差數(shù)列且,前n項(xiàng)和為數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求數(shù)
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