二次函數(shù)的解析式的幾種求法

1、二次函數(shù)的幾種解析二次函數(shù)的幾種解析 及求法及求法 分水中學(xué)九（分水中學(xué)九（5）班）班 二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi) 容之一，也是歷年中考的重點(diǎn)。這 部分知識命題形式比較靈活，既有 填空題、選擇題，又有解答題，而 且常與方程、幾何、三角等綜合在 一起，出現(xiàn)在壓軸題之中。 因此， 熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識，會 靈活運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式 求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng) 用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。 一、二次函數(shù)常用的幾種解析式的確定 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)三點(diǎn)的坐標(biāo)，通常選擇一般式。通常選擇一般式。 已知拋物線上頂點(diǎn)坐標(biāo)（對稱軸或最值），頂點(diǎn)坐標(biāo)（對稱軸或最值），通常選擇頂點(diǎn)式。通常選擇頂點(diǎn)式。 已知

2、拋物線與與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，選擇交點(diǎn)式選擇交點(diǎn)式。 1、一般式、一般式 2、頂點(diǎn)式、頂點(diǎn)式 3、交點(diǎn)式、交點(diǎn)式 4、平移式 將拋物線平移，函數(shù)解析式中發(fā)生變化的只有頂點(diǎn)坐頂點(diǎn)坐 標(biāo)標(biāo)， 可將原函數(shù)先化為頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式，再根據(jù)“左加右減，左加右減， 上加下減上加下減”的法則，即可得出所求新函數(shù)的解析式。 二、求二次函數(shù)解析式的思想方法 1、 求二次函數(shù)解析式的常用方法：求二次函數(shù)解析式的常用方法： 2、求二次函數(shù)解析式的、求二次函數(shù)解析式的 常用思想：常用思想： 3、二次函數(shù)解析式的最終形式：、二次函數(shù)解析式的最終形式： 待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結(jié)合等。 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想 : 解方程或方

3、程組解方程或方程組 無論采用哪一種解析式求解，最后無論采用哪一種解析式求解，最后 結(jié)果最好化為一般式。結(jié)果最好化為一般式。 例例1、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示，的圖像如圖所示， 求其解析式。求其解析式。 解法一：解法一： 一般式一般式 設(shè)解析式為 頂點(diǎn)C（1，4）， 對稱軸 x=1. A(-1,0)與 B關(guān)于 x=1對稱， B（3，0）。 A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在拋物線上， 即： 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 例例1、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示，的圖像如圖所示， 求其解析式。求其解析式。 解法二：頂點(diǎn)式解法二：頂點(diǎn)式 設(shè)解析式為 頂點(diǎn)C（1，4

4、） 又A(-1,0)在拋物線上， a = -1 即： h=1, k=4. 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 拋物線解析式拋物線解析式 拋物線與拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo) ( (x1,0),( ,0),( x2,0),0) y=2(2(x-1 1)()(x-3 3) ) y=3(3(x-2 2)()(x+1+1) ) y=-5(5(x+4+4)()(x+6+6) ) -x1- x2 求出下表中拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？ （1，0）（）（3，0） （2，0）（）（-1，0） （-4，0）（）（-6，0） ( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)

5、 y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0） 交點(diǎn)式交點(diǎn)式 觀察發(fā)現(xiàn)：觀察發(fā)現(xiàn)： 拋物線解析式拋物線解析式 拋物線與拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo) ( (x1,0),( ,0),( x2,0),0) -x1- x2 求出下表中拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？ （1，0）（）（3，0） （2，0）（）（-1，0） （-4，0）（）（-6，0） ( (x1,0),( ,0),( x2,0),0) y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0） 交點(diǎn)式交點(diǎn)式 y=a( (x-1)(1)(x-3)3)（a0 0） y=a( (x-2)()(x+1) )

6、（a0 0） y=a( (x+4)()(x+6) )（a0 0） 觀察發(fā)現(xiàn)：觀察發(fā)現(xiàn)： 解法三：交點(diǎn)式解法三：交點(diǎn)式 設(shè)解析式為 拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) 為 A (-1,0)、B（3，0） y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在拋物線上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3) 即： 例例1、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù) 的圖像如圖所示，的圖像如圖所示， 求其解析式。求其解析式。 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 評析：評析： 剛才采用一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解，剛才采用一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解， 通過對比可發(fā)現(xiàn)用頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解

7、比用通過對比可發(fā)現(xiàn)用頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式求解比用 一般式求解簡便。同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生一題多思、一般式求解簡便。同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生一題多思、 一題多解的能力，從不同角度進(jìn)行思維開放、一題多解的能力，從不同角度進(jìn)行思維開放、 解題方法開放的培養(yǎng)。注重解題技巧的養(yǎng)成解題方法開放的培養(yǎng)。注重解題技巧的養(yǎng)成 訓(xùn)練，可事半功倍。訓(xùn)練，可事半功倍。 2015年中考數(shù)學(xué)命題趨勢，貼近年中考數(shù)學(xué)命題趨勢，貼近 學(xué)生生活，聯(lián)系實(shí)際，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化學(xué)生生活，聯(lián)系實(shí)際，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化 為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決 問題的能力，增強(qiáng)學(xué)以致用的意識。問題的能力，增強(qiáng)學(xué)以致用的意識。 例例3、將拋

8、物線、將拋物線 向左平移向左平移4個(gè)單位，個(gè)單位， 再向下平移再向下平移3個(gè)單位，求平移后所得拋物線的解析式。個(gè)單位，求平移后所得拋物線的解析式。 解法：將二次函數(shù)的解析式 轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式得： (1)、由 向左平移4個(gè)單位得： （左加右減） （2）、再將 向下平移3個(gè)單位得 （上加下減） 即：所求的解析式為 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 1、已知二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，當(dāng)、已知二次函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，當(dāng)x=1時(shí)，時(shí)，y有最小值為有最小值為 -1，求其解析式。，求其解析式。 四、嘗試練習(xí) 解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為 x = 1, y= -1 , 頂點(diǎn)（1，-1）。 又（0，0）在拋物線上， a = 1 即：

9、 2、已知二次函數(shù)與、已知二次函數(shù)與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）, （1，0），點(diǎn)（），點(diǎn)（0，1）在圖像上，求其解析式。）在圖像上，求其解析式。 解：設(shè)所求的解析式為 拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（1，0） 又點(diǎn)（0，1）在圖像上， a = -1 即： 四、嘗試練習(xí) 一般式：cbxaxy 2 例例1求經(jīng)過有三點(diǎn)求經(jīng)過有三點(diǎn) A（-2，-3），），B（1，0）， C（2，5）的）的二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式. x y o -321 1 2 A B C 5 -3 分析分析 ：已知一般三點(diǎn)，用：已知一般三點(diǎn)，用 待定系數(shù)法設(shè)為一般式求待定系數(shù)法設(shè)為一般式求 其解析

10、式其解析式. . 頂點(diǎn)式：khxay 2 )( 例例2 已知拋物線的頂點(diǎn)為已知拋物線的頂點(diǎn)為 D(-1，-4)，又經(jīng)過點(diǎn)，又經(jīng)過點(diǎn) C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。 x y o -321 1 2 A B C 5 -3 -4 分析：設(shè)分析：設(shè)拋物線的解析式為拋物線的解析式為 ， 再根據(jù)再根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值。的值。 頂點(diǎn)式：4)1( 2 xay D 交點(diǎn)式交點(diǎn)式：)( 21 xxxxay 例例3 已知拋物線與已知拋物線與x軸的兩個(gè)交軸的兩個(gè)交 點(diǎn)為點(diǎn)為A(-3，0)、B(1，0)，又經(jīng)過，又經(jīng)過 點(diǎn)點(diǎn)C(2，5)，求其解析式。，求其解析式。 x y o -321 1 2 B

11、C 5 -3 A 分析：設(shè)拋物線的解析式為分析：設(shè)拋物線的解析式為 ， 再根據(jù)再根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值。的值。 交點(diǎn)式： )1)(3(xxay 充分利用條件 合理選用以上三式 例例4 已知拋物線的頂點(diǎn)為已知拋物線的頂點(diǎn)為 A(-1，-4)，又知它與，又知它與x 軸軸 的兩個(gè)交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)B、C間的距離間的距離 為為4，求其解析式。，求其解析式。 y x o -321 1 2 A B C 5 -3 -4 分析：先求出B、C兩點(diǎn) 的坐標(biāo)，然后選用頂點(diǎn) 式或交點(diǎn)式求解。 （南通市）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C 三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其圖象如圖所示。求拋物線的解析 式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

12、2 45 -3 A B C x y 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) 為圓心，以 為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)D、 E 若拋物線 經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，求拋 物線的解析式 ( 3,0)A2 3 2 1 3 yxbx c OA B D E y x C 例例2、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度 OB是是12米，當(dāng)水位是米，當(dāng)水位是2米時(shí)，測得水面寬度米時(shí)，測得水面寬度AC是是8米。米。 （1）求拱橋所在拋物線的解析式；（）求拱橋所在拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位是）當(dāng)水位是2.5米時(shí)，米時(shí)， 高高1.4米的船能否通過拱橋？請說明理由

13、（不考慮船的寬度。米的船能否通過拱橋？請說明理由（不考慮船的寬度。 船的高度指船在水面上的高度）。船的高度指船在水面上的高度）。 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 即： E E F a = -0.1 解：（1）、由圖可知：四邊形ACBO是等腰梯形 過A、C作OB的垂線，垂足為E、F點(diǎn)。 OE = BF =（12-8）2 = 2。 O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。 設(shè)解析式為 又 A（-2，2）點(diǎn)在圖像上， 三、應(yīng)用舉例 例例2、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度、已知：如圖，是某一拋物線形拱形橋，拱橋底面寬度 OB是是12米，當(dāng)水位是米，當(dāng)水位是2米時(shí)，測得水面寬度米時(shí)，測

14、得水面寬度AC是是8米。米。 （1）求拱橋所在拋物線的解析式；（）求拱橋所在拋物線的解析式；（2）當(dāng)水位是）當(dāng)水位是2.5米時(shí)，米時(shí)， 高高1.4米的船能否通過拱橋？請說明理由（不考慮船的寬度。米的船能否通過拱橋？請說明理由（不考慮船的寬度。 船的高度指船在水面上的高度）。船的高度指船在水面上的高度）。 P Q (2)、分析：船能否通過，只要看船在拱橋正中間時(shí)，、分析：船能否通過，只要看船在拱橋正中間時(shí)， 船及水位的高度是否超過拱橋頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。船及水位的高度是否超過拱橋頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。 y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6 解： 頂點(diǎn)（-6，3.6）, 當(dāng)水位為2.5米時(shí)，

15、船不能通過拱橋。 PQ是對稱軸。 3 3、如圖；有一個(gè)拋物線形的隧道橋拱，這個(gè)橋拱的最大、如圖；有一個(gè)拋物線形的隧道橋拱，這個(gè)橋拱的最大 高度為高度為3.6m3.6m，跨度為，跨度為7.2m7.2m一輛卡車車高一輛卡車車高3 3米，寬米，寬1.61.6米，米， 它能否通過隧道？它能否通過隧道？ 四、嘗試練習(xí) 即當(dāng)即當(dāng)x= OC=1.62=0.8米時(shí)，米時(shí)， 過過C點(diǎn)作點(diǎn)作CDAB交拋物線于交拋物線于D點(diǎn)，點(diǎn)， 若若y=CD3米，則卡車可以通過。米，則卡車可以通過。 分析：卡車能否通過，只要看卡分析：卡車能否通過，只要看卡 車在隧道正中間時(shí)，其車高車在隧道正中間時(shí)，其車高3米是否米是否 超過其位

16、置的拱高。超過其位置的拱高。 四、嘗試練習(xí) 3 3、如圖；有一個(gè)拋物線形的隧道橋拱，這個(gè)橋拱的最大、如圖；有一個(gè)拋物線形的隧道橋拱，這個(gè)橋拱的最大 高度為高度為3.6m3.6m，跨度為，跨度為7.2m7.2m一輛卡車車高一輛卡車車高3 3米，寬米，寬1.61.6米，米， 它能否通過隧道？它能否通過隧道？ 解：由圖知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。 又P（0，3.6）在圖像上， 當(dāng)x=OC=0.8時(shí)， 卡車能通過這個(gè)隧道。 四、嘗試練習(xí) 4、將二次函數(shù)、將二次函數(shù) 的圖像向右平移的圖像向右平移1個(gè)單位，個(gè)單位， 再向上平移再向上平移4個(gè)

17、單位，求其解析式。個(gè)單位，求其解析式。 解： 二次函數(shù)解析式為 （1）、由 向右平移1個(gè)單位得： （左加右減） （2）、再把 向上平移4個(gè)單位得： （上加下減） 即：所求的解析式為 劉煒跳投 5. 5. 劉煒在距離籃下劉煒在距離籃下4 4米處跳米處跳 起投籃起投籃, ,籃球運(yùn)行的路線是拋籃球運(yùn)行的路線是拋 物線物線, ,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為 2.52.5米時(shí)米時(shí), ,達(dá)到最高度達(dá)到最高度3.53.5米米, ,然然 后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐. .已知藍(lán)筐中已知藍(lán)筐中 心到地面距離為心到地面距離為3.053.05米米. .如果如果 劉煒的身高為劉煒的身高為1.91.9米米,

18、 ,在這次在這次 跳投中跳投中, ,球在頭頂上方球在頭頂上方0.150.15米米 處出手處出手, ,問求出手時(shí)問求出手時(shí), ,他跳離他跳離 地面的高度是多少地面的高度是多少? ? c 分析：要求出他跳離地面的高度，關(guān)鍵是分析：要求出他跳離地面的高度，關(guān)鍵是 1. 1.首先要求出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式首先要求出該拋物線的函數(shù)關(guān)系式 2. 2.由函數(shù)關(guān)系式求出由函數(shù)關(guān)系式求出C C點(diǎn)的坐標(biāo)，即求點(diǎn)的坐標(biāo)，即求 出點(diǎn)出點(diǎn)C C 離地面的高度離地面的高度h h， h-0.15h-0.15米米- -劉煒的身高即劉煒的身高即, ,他跳離地面的他跳離地面的 高度高度. . h 如圖，劉煒在距離籃下如圖，劉煒在

19、距離籃下4 4米處跳起投籃米處跳起投籃, ,籃球運(yùn)行籃球運(yùn)行 的路線是拋物線的路線是拋物線, ,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.52.5米時(shí)米時(shí), , 達(dá)到最高度達(dá)到最高度3.53.5米米, ,然后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐然后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐. .已知藍(lán)筐中已知藍(lán)筐中 心到地面距離為心到地面距離為3.053.05米米. .如果劉煒的身高為如果劉煒的身高為1.91.9米米, , 在這次跳投中在這次跳投中, ,球在頭頂上方球在頭頂上方0.150.15米處出手米處出手, ,問求問求 出手時(shí)出手時(shí), ,他跳離地面的高度是多少他跳離地面的高度是多少? ? 探索探索: : C y x o h 解：建立如圖所示

20、的直角坐標(biāo)系,則拋物線的頂 點(diǎn)A(0,3.5),藍(lán)筐中心點(diǎn)B(1.5,3.05) 所以，設(shè)所求的拋物線為y=ax3.5 又 拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1.5，3.05），得 a=-0.2 即所求拋物線為y=-0.2x3.5 當(dāng)x=-2.5時(shí),代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m 所以,他跳離地面的高度 為0.2m 6：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面A B的寬為的寬為20m，如，如 果水位上升果水位上升3米時(shí)，水面米時(shí)，水面CD的寬為的寬為10m （2）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式； A B CD O x y （1）建立如圖直角

21、坐標(biāo)系，）建立如圖直角坐標(biāo)系， 求點(diǎn)求點(diǎn)B、D的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 （3）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車，從甲出發(fā)需經(jīng)此橋開往乙，）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車，從甲出發(fā)需經(jīng)此橋開往乙， 已知甲距此橋已知甲距此橋 280km（橋長忽略不計(jì)）貨車以（橋長忽略不計(jì)）貨車以 40kmh的速度開的速度開 往乙；當(dāng)行駛往乙；當(dāng)行駛1小時(shí)，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以小時(shí)，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以 每小時(shí)每小時(shí)025m的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在CD處，處， 當(dāng)水位到達(dá)最高點(diǎn)當(dāng)水位到達(dá)最高點(diǎn)E時(shí)，禁止車輛通行）試問：如果貨車按原速時(shí)，禁止車輛通行）

22、試問：如果貨車按原速 行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由，若不能，要使貨行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由，若不能，要使貨 車安全通過此橋，速度應(yīng)不小于每小時(shí)多少千米？車安全通過此橋，速度應(yīng)不小于每小時(shí)多少千米？ 6：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面A B的寬為的寬為20m，如，如 果水位上升果水位上升3米時(shí)，水面米時(shí)，水面CD的寬為的寬為10m A B CD O x y E F 解：解：（1）B（10，0），），D（5，3） （2）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為)0( 2 acaxy 由題意可得：由題意可得： 325 01

23、00 ca ca 解得：解得： 4 25 1 c a 拋物線的函數(shù)解析式為：拋物線的函數(shù)解析式為：4 25 1 2 xy A B CD O x y A B CD O x y E F (3)解解: E(0，4) 拋物線的函數(shù)解析式拋物線的函數(shù)解析式 為：為：4 25 1 2 xy 又有題意可得：又有題意可得：F（0，3） EF1 水位有水位有CD上升到點(diǎn)上升到點(diǎn)E所用的時(shí)間為所用的時(shí)間為4小時(shí)。小時(shí)。 設(shè)貨車從接到通知到到達(dá)橋所用的時(shí)間為設(shè)貨車從接到通知到到達(dá)橋所用的時(shí)間為 t . 則則40（t1）280解得：解得：t64 故貨車按原速行駛，不能安全通過此橋。故貨車按原速行駛，不能安全通過此橋。

24、 設(shè)貨車速度為設(shè)貨車速度為x kmh，能安全通過此橋，能安全通過此橋. 則則4x+40280 解得解得x60 故速度不小于故速度不小于60kmh，貨車能安全通過此橋。，貨車能安全通過此橋。 （4）現(xiàn)有一艘載有救援物質(zhì)的貨船，從甲出發(fā)需經(jīng)此橋開往乙，）現(xiàn)有一艘載有救援物質(zhì)的貨船，從甲出發(fā)需經(jīng)此橋開往乙， 已知甲距此橋已知甲距此橋 280km，貨船以，貨船以 40kmh的速度開往乙；當(dāng)行駛的速度開往乙；當(dāng)行駛1 小時(shí)，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)小時(shí)，忽然接到通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)025m 的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在AB處

25、，當(dāng)水位到達(dá)處，當(dāng)水位到達(dá)CD 時(shí)，禁止船只通行）試問：如果貨船按原速行駛，能否安全通過時(shí)，禁止船只通行）試問：如果貨船按原速行駛，能否安全通過 此橋？若能，請說明理由，若不能，要使貨船安全通過此橋，速此橋？若能，請說明理由，若不能，要使貨船安全通過此橋，速 度應(yīng)不小于每小時(shí)多少千米？度應(yīng)不小于每小時(shí)多少千米？ 6：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面A B的寬為的寬為20m，如，如 果水位上升果水位上升3米時(shí)，水面米時(shí)，水面CD的寬為的寬為10m A B CD O x y 解：解： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c 由已知得：由已

26、知得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得：解方程得： 因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是： a=2, b=-3, c=5 y=2x2-3x+5 例例1 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，10）、）、 （1，4）、（）、（2，7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 求二次函數(shù)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是的解析式，關(guān)鍵是 求出待定系數(shù)求出待定系數(shù)a，b，c的值。的值。 由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)

27、的 坐標(biāo)）列出關(guān)于坐標(biāo)）列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出的方程組，并求出 a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式。就可以寫出二次函數(shù)的解析式。 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 解：設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為解：設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c 例例2 已知拋物線與已知拋物線與x軸交于軸交于A（1，0），），B（1,0） 并經(jīng)過點(diǎn)并經(jīng)過點(diǎn)M（0,1），求拋物線的解析式），求拋物線的解析式. 故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=x2+1 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 a-b+c=0 a+b+c=0 c=1

28、解得解得 a=-1, b=0, c=1 應(yīng)應(yīng) 用用 例例3 3 有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大 高度為高度為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系 里里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 解：設(shè)拋物線的解析式為解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2bxc， 根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點(diǎn)三點(diǎn) 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件 列出列出a、b、c的三元的三元 一次方程組，求出一次方程組，求出a、 b、c的值，從而確定的值，從而確定 函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式 過程較繁雜，過程較繁雜， 評價(jià)評價(jià) 設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-