衛(wèi)星定位理論與方法-第3次課

1、1 第第 3 3次課衛(wèi)星的運動次課衛(wèi)星的運動 測量與導航工程系 導航與定位教研室 陳明劍 2 本次課主要內容本次課主要內容 l重點：重點： 二體問題微分方程及其解二體問題微分方程及其解 l難點：難點： 二體問題微分方程推導二體問題微分方程推導 3 基礎知識基礎知識 lKepler第一定律橢圓率第一定律橢圓率 每個行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于每個行星沿橢圓軌道繞太陽運行，太陽位于 橢圓的一個焦點上。橢圓的一個焦點上。 lKepler第二定律面積率第二定律面積率 由太陽到行星的矢徑在相等的時間間隔內掃由太陽到行星的矢徑在相等的時間間隔內掃 過相等的面積過相等的面積 lKepler第三定律周期

2、律第三定律周期律 行星繞太陽公轉的周期行星繞太陽公轉的周期T的平方與橢圓軌道的平方與橢圓軌道 的長半徑的長半徑a的立方成正比的立方成正比 4 l牛頓第一運動定律牛頓第一運動定律 任一物體將保持其靜止或是勻速直線運動的狀態(tài)， 除非有作用在物體上的力迫使其改變這種狀態(tài)。 l牛頓第二運動定律牛頓第二運動定律 動量變化速率與作用力成正比，且與作用力的方向 相同 l牛頓第三運動定律牛頓第三運動定律 對每一個作用，總存在一個大小相等的反作用 () d Fmvmvmr dt 5 R jjj tCZZYYXX 222 )()()( 6 7 一、研究二體問題的目的意義 (The Purpose of Study

3、ing Two-Body Problem) 8 3 in gnni ni niin Gmm Fr r rrr 3 1 n j giji j ji j i m FGmr r g FFF 總其他 () d Fmvmvmr dt i i ii Fm rr mm 總 3 1 n j iji j ji ji m rGr r 2112 rrr 21 12 2121 333 3 2121 () () n jj j j jj rr G mm rrGm rrr 9 二體問題二體問題 在天文學中，根據(jù)牛頓萬有引力定在天文學中，根據(jù)牛頓萬有引力定 律研究空間兩個天體（看成質點）在相律研究空間兩個天體（看成質點）在相

4、 互引力作用下的運動規(guī)律問題。互引力作用下的運動規(guī)律問題。 10 如何確定衛(wèi)星位置（如何定軌）(How to Get the Satellite Position) l分析衛(wèi)星的受力情況分析衛(wèi)星的受力情況 l根據(jù)受力情況，列出運動的微分方程根據(jù)受力情況，列出運動的微分方程 m F X m F a 11 l解方程解方程 數(shù)值法：利用計算機，對微分方程進行數(shù)值積分，直 接解出某一時刻衛(wèi)星的位置和速度。 l優(yōu)點：便于實現(xiàn)，精度高，現(xiàn)已廣泛應用于精密定 軌； l缺點：不能給出解析解，不便于分析衛(wèi)星的運動規(guī) 律。 解析法：以衛(wèi)星的受力解析為基礎，依據(jù)牛頓第二定 律（或物體的微分運動方程），推導出與衛(wèi)星運

5、動相 關的參數(shù)，這是在計算機出現(xiàn)之前唯一的方法。 l優(yōu)點：便于分析衛(wèi)星的運動規(guī)律； l缺點：分工推導繁瑣，難以得到完整嚴密的運動方 程的解，精度不高。 12 1、衛(wèi)星的受力情況、衛(wèi)星的受力情況 地球的引力地球的引力 日月引力日月引力 潮汐力潮汐力 大氣阻力大氣阻力 光壓力光壓力 13 地球的引力分為兩部分地球的引力分為兩部分 均質球體引力均質球體引力 非均勻球形部分引力非均勻球形部分引力 14 l衛(wèi)星圍繞著地球運行，作二體問題研究，必須滿足以衛(wèi)星圍繞著地球運行，作二體問題研究，必須滿足以 下條件：下條件： 必須在慣性系下考慮問題。 衛(wèi)星作為質點。衛(wèi)星的體積小，與其到地球的距 離相比，可忽略不計

6、，即衛(wèi)星可作為質點計。 地球作為質點。地球可分成均質地球和非均質地 球兩部分。均質地球對外部點的引力等于球心的 質點的引力。因此，如果把非均質地球的引力作 為攝動力的話，均質地球可作為一個質點。 15 2、目的意義、目的意義 均質球體均質球體引力決定著衛(wèi)星運動的主要規(guī)律和特征，引力決定著衛(wèi)星運動的主要規(guī)律和特征， 它是衛(wèi)星運動的近似描述；它是衛(wèi)星運動的近似描述； 二體問題是惟一能得到嚴密解的問題，而多體問二體問題是惟一能得到嚴密解的問題，而多體問 題還不能得到嚴密解；題還不能得到嚴密解； 二體問題是精確研究衛(wèi)星運動的基礎。二體問題是精確研究衛(wèi)星運動的基礎。 16 3 r r r 0 0 0 3

7、 3 3 r Z Z r Y Y r X X 二、微分方程的解（面積積分）二、微分方程的解（面積積分） 17 3 r r r 3 r rr rr 0rr 0rr 0 )( 2 2 rrrr dt rd rr dt rd dt rrd 18 C B A h ZYX ZYX kji rr CYXYX BXZXZ AZYZY AX+BY+CZ=0 19 h ehh hC hB hA e h / / / C B A h ZYX ZYX kji rr 20 h e 3 arccos() h iXe arctan() A B 21 i i i iRR hC hB hA cos cossin sinsin

8、1 0 0 )()( / / / 13 h為單位時間矢徑所掃過面積的2倍 22 O d r drr r e r 23 24 二、二、 微分方程的解微分方程的解 l面積積分面積積分 ),(ih 的物理意義更明顯 ),(ih 三個積分常量確定了衛(wèi)星運行軌道是在三個積分常量確定了衛(wèi)星運行軌道是在 一個平面上一個平面上 ？這個軌道的形狀是什么，又這個軌道的形狀是什么，又 有什么特性。有什么特性。 25 2. 軌道積分（軌道橢圓參數(shù)）軌道積分（軌道橢圓參數(shù)） O Y X 軌道 V r V n V r nr VVV 26 O Y X 軌道 V r V n V r r dt d rVVV r dt dr V

9、VV nn rr sin cos 27 )()( 3 r r Vrrh rVr r )( 3 )( 3 Vrr r )()( 3 rrVVrr r cos 2 3 rVrVr r 2 3 rrrrr r 2 rrrr r )( r r dt d 高數(shù)矢量知識：高數(shù)矢量知識： cabba )( acbbcacba )()()( 28 )( r r dt d )()(Vh dt d rh dt d rh rh )()( r r dt d Vh dt d 0)( r r Vh dt d h為常量 29 0 r r Vh 0)()( rrr r Vhr 0)cos()( 2 rr r rVh 0cos

10、)(frrhh )()()(acbbaccba 30 2 )cos(hfr fe P f h r cos1 )cos1 ( 2 e h P; 2 0cos)(frrhh 31 A N：升交點 P S 1 2 3 :3 :1 f:2 橢園長軸線 當 o f0 e P rr 1 min ，此時r對應的點稱作近地點0f 。 為升交點至近地點之間的夾角，稱作近升角距。 32 l通過面積積分和軌道積分，共獲取了通過面積積分和軌道積分，共獲取了5個描述個描述 軌道狀態(tài)的參數(shù)軌道狀態(tài)的參數(shù) , i確定了軌道平面在地心坐標系中的位置 ea, 確定了軌道的形狀 確定了軌道中短半軸在坐標系中的指向 33 3.衛(wèi)星

11、的平均角速度衛(wèi)星的平均角速度 l衛(wèi)星在各個位置上的速度是不同的。在近地點衛(wèi)星在各個位置上的速度是不同的。在近地點 速度最大，在遠地點速度最小。速度最大，在遠地點速度最小。 h dt dA dt dA h 2 1 2 h ab T 2 22 22 1 12 ena T ea h T n 2 n 34 22 22 1 12 ena T ea h )1 ( 2 2 ea h P 32 an 給定的橢圓的長半軸,平均角速度是常量，不隨時間變化 35 4 .幾種近地點角的關系幾種近地點角的關系 輔助圓 軌道 QPA N O S S X Y 36 )cos1 ( sin1sinsin )(coscos 2

12、2 2 Eeayxr EeaEbfry eEafrx 輔助圓 軌道 QPA N O S S X Y Ee Ee f Ee eE f cos1 sin1 sin cos1 cos cos 2 37 2)1 ( )1 ( )cos1)(1 ( )cos1)(1 ( coscos1 coscos1 cos1 cos1 2 2 2 E tg e e Ee Ee eEEe eEEe f ff tg 2)1 ( )1 ( 2 E tg e ef tg 38 5.開普勒積分開普勒積分 hfr hr f 2 2 df h r dt 2 Ee eE r eEa f eEafr cos1 cos)(cos cos

13、 )(coscos 39 Ee eE r eEa f eEafr cos1 cos)(cos cos )(coscos dE Ee e df e Ee ea r f E Eeafr Ee EdEe fdf Ee EdEeeEEeEdE fdf cos1 1 1 cos1 1 sin sin sin1sin )cos1 ( sin)1 ( sin )cos1 ( sin)(cos)cos1 (sin sin 2 22 2 2 2 2 求導 40 dE n Ee dt dE Ee e ena Eea aneahEeardf h r dt )cos1 ( cos1 1 1 )cos1 ( ), )1

14、 (),cos1 ( , 2 22 22 322 2 dE Ee e df cos1 1 2 41 tE ndtdEEe 0 )cos1 ( MtnEeE)(sin 它給出了偏近地點E和時間t之間的關系，而偏近 地點E和衛(wèi)星的徑向距離r又有關系 。開普勒方程 也間接地給出了r和t之間的關系 )cos1 (Eear M以平均角速度以平均角速度 n隨時間隨時間t作線性作線性 變化，故稱之變化，故稱之 為平近地角為平近地角 42 6.開普勒方程的解開普勒方程的解 EeMEsin 迭代法迭代法 微分改正法微分改正法 43 迭代法迭代法 ii EeME EeME ME sin sin 1 01 0 ii

15、 EE 1 E和M都以弧度為單位 44 微分改正法微分改正法 當偏心率e較大時，迭代法的收斂速度就會很慢，此時可 考慮采用微分改正法，對開普勒方程取微分，可得： MEEe)sin1 ( Ee M E sin1 45 四、能量積分和活力積分四、能量積分和活力積分 1.速度關系速度關系 rr r rr 3 ) 2 ()( 2 1 )( 2 1 2 2 v dt d v dt d rr dt d rr dt dr rr dt d rr dt d rr)( 2 1 )( 2 1 2 46 )() 2 ( 23 2 rdt d r r dt dr r r v dt d rr K r v 2 2 積分 2

16、22 )( rrv ) 2 ()( 2 1 )( 2 1 2 2 v dt d v dt d rr dt d rr dt dr rr dt d rr dt d rr)( 2 1 )( 2 1 2 47 0 )1 ( 0 ear 0 )cos(1 )sin()1 ( 22 2 0 0 r h e eea dt d d dr r rr 取衛(wèi)星過近地點的位置，則有： )1 ( )1 ( )1 ( )1 ( )( 22 2 2 0 2 2 00 ea e ea ea r h r 48 a k ea e v 2 )1( )1( 2 0 ) 12 ( 2 ar v K r v 2 2 49 五、軌道根數(shù)的

17、物理意義 Z Y X O S r i N f 近地點 i ， a e 0 M 軌道平面傾角 升角點赤經(jīng) 軌道橢圓長半軸 軌道橢圓偏心率 近升距，即升 交點至近地點的角 距 衛(wèi)星過近 地點時刻 衛(wèi)星過近地點的角度 50 對于近圓軌道： M e e ia ,sin ,cos , 51 近點角與時間的關系近點角與時間的關系 )(tnMndtdM EeEMsin )cos1 (Eear dE a r dM )cos1 ( cos1 )1 ( 2 Eea fe ea dfe a r dE 2 1 fe fe E fe ef E Ee Ee f Ee eE f Eear Eeafry eEafrx cos

18、1 sin1 sin cos1 cos cos cos1 sin1 sin cos1 cos cos )cos1 ( sin1sin )(coscos 2 2 2 52 衛(wèi)星運動的基本關系式衛(wèi)星運動的基本關系式 fe ea r cos1 )1 ( 2 ) 12 ( 2 ar v 軌道方程 速度公式 )(sin 21 1 2 sin1sin )(coscos )cos1 ( 32 2 tnEeE an E tg e ef tg Eeafr eEafr Eear 幾何關系 53 l思考題：思考題： l根據(jù)上課內容推導出六個軌道參數(shù)。根據(jù)上課內容推導出六個軌道參數(shù)。 l推導活力公式。推導活力公式。

19、1.3. 推導真近點角和偏近點角關系推導真近點角和偏近點角關系 54 第二節(jié)第二節(jié) 二體問題的衛(wèi)星星歷計算二體問題的衛(wèi)星星歷計算 二體問題的星歷計算：二體問題的星歷計算： 已知衛(wèi)星的軌道根數(shù)，按二體問題公式計已知衛(wèi)星的軌道根數(shù)，按二體問題公式計 算任意時刻衛(wèi)星的位置。算任意時刻衛(wèi)星的位置。 55 一、衛(wèi)星的瞬時位置一、衛(wèi)星的瞬時位置 l在軌道直角坐標系中衛(wèi)星的位置在軌道直角坐標系中衛(wèi)星的位置 O S X Y r s f 0 sin)1 ( cos 0 sin cos 2 Ee eE af f r z y x EeMEsin 56 l天球坐標系中的位置天球坐標系中的位置 313 )()()( z

20、 y x RiRR z y x 0 sin)1 ( )(cos )()()( 2 Eea eEa RiRRr ZXZ 57 l衛(wèi)星在地球坐標系中的位置衛(wèi)星在地球坐標系中的位置 在精密定軌中，所求定的瞬時軌道根數(shù)目前在精密定軌中，所求定的瞬時軌道根數(shù)目前 均采用均采用J2000.0 慣性坐標系慣性坐標系 。 衛(wèi)星位置向量需先考慮歲差章動的影響先轉衛(wèi)星位置向量需先考慮歲差章動的影響先轉 換到瞬時真天球坐標系中換到瞬時真天球坐標系中 58 l但在實際應用中，由但在實際應用中，由GPS導航電文中一組軌道導航電文中一組軌道 根數(shù)，按上面公式求得的結果已相應于瞬時天根數(shù)，按上面公式求得的結果已相應于瞬時天

21、 球系中的位置向量，因此，為轉換到瞬時地球球系中的位置向量，因此，為轉換到瞬時地球 坐標系，只須繞坐標系，只須繞Z軸旋轉該時刻的軸旋轉該時刻的GAST(t)： z y x tGASTR Z Y X )( 3 59 l協(xié)議地球坐標系：協(xié)議地球坐標系： Z Y X yRxR Z Y X pp CTS )()( 12 60 二、衛(wèi)星的運行速度二、衛(wèi)星的運行速度 0 cos)1 ( sin 2 2 Ee E r na z y x 軌道直角坐標系中軌道直角坐標系中 r na Ee n E cos1 0 sin)1 ( cos 0 sin cos 2 Ee eE af f r z y x 61 l天球坐標

22、系中天球坐標系中 313 )()()( z y x RiRR z y x 62 l地球坐標系中地球坐標系中 z y x tGASTR z y x t tGASTR Z Y X )( )( 3 3 e WSTAG z y x tGASTR z y x tGASTtGAST tGASTtGAST )( 000 0)(sin)(cos 0)(cos)(sin 3= 63 二、軌道計算二、軌道計算 l由由 求取軌道根數(shù)求取軌道根數(shù) rr , 1計算計算 , i ih ih ih C B A rrh cos cossin sinsin )( )( 1 22 1 B A tg C BA tgi 64 l2

23、計算計算)(,Mea 由活力公式： ) 12 ( 2 ar v 1 1 2 2 2 rr r v r a 65 由方程)cos1 (Eear，得： a r Ee1cos a rr Ee r aEe r Enae r na Eae dt dE Eaer cos coscos cos cos 2 )cos( )sin( )cos()sin( 1 22 Ee Ee tgE EeEee 66 l進一步，有：進一步，有： n M t EeEM sin 67 l計算計算 ifr iffr iffr z y x r sin)sin( cos)sin(cos)cos(sin cos)sin(sin)cos(c

24、os f yx i z tg yx i z ftg sincos sin sincos sin )( 1 68 l由由 求取軌道根數(shù)求取軌道根數(shù) 21,r r 計算計算 )( , 12 ffi i i i ffrr hffrr C B A rr cos cossin sinsin )sin( )sin( 1221 0 1221 21 irr C ff B A tg C BA tgi cos )sin( )( )( 21 12 1 22 1 69 l用面積比法求半通徑用面積比法求半通徑P（扇形面積與三角形面（扇形面積與三角形面 積之比）積之比） 2 2 12 12 22 2 2 1 )( )(s

25、in y tt ffrr P 70 l計算計算fe, fe P r cos1 1)cos( 1)cos( 2 2 1 1 r P fe r P fe )sin( cos)sin(cos )sin( )sin(sin )sin( 12 2121 12 121 1 ff fefffe ff fffe fe 2 1 2 1 )cos()sin(fefee 71 l計算計算M, ifr iffr iffr z y x r sin)sin( cos)sin(cos)cos(sin cos)sin(sin)cos(cos f yx i z tg yx i z ftg sincos sin sincos s

26、in )( 1 72 ) 21 1 (2 1 f tg e e tgE n M t EeEM sin 73 l計算題：計算題： 已知衛(wèi)星軌道根數(shù)如下，計算衛(wèi)星在已知衛(wèi)星軌道根數(shù)如下，計算衛(wèi)星在ti 9：00 時的位置時的位置 a=9 600 000 000km e = 0.01 =100.000 000 0 =50.000 000 0 i=30.000 000 0 t0 = 8:00:00 GM=3.986005 x 1014 m3/s2 74 第三節(jié)衛(wèi)星的受攝運動第三節(jié)衛(wèi)星的受攝運動 l一、受攝運動及其微分方程一、受攝運動及其微分方程 實際上，衛(wèi)星在運動中所受到的力要 復雜的多：除了二體問題

27、所考慮的正 球引力外，還受到諸如地球引力的非 質心引力部分、大氣阻力、日月引力、 光幅射壓力和非慣性坐標系的慣性力 等 。 75 s z s z s y s y s x s x m f m F z m f m F y m f m F x 76 二、受攝運動的微分方程二、受攝運動的微分方程 1. 拉格朗日行星運動方程拉格朗日行星運動方程 z R z r z y R y r y x R x r x 3 3 3 77 參數(shù)變易法解得到以二體問題的橢圓軌道根數(shù)為基本參數(shù)變易法解得到以二體問題的橢圓軌道根數(shù)為基本 變量的受攝運動方程：變量的受攝運動方程： e R ena e a R nadt dM i

28、R ena ctgi e R na e dt d i R iena dt d R iena R ena ctgi dt di R ena e M R na e dt de M R nadt da 2 2 0 22 2 2 22 2222 2 2 0 2 2 0 12 1 1 sin1 1 sin1 1 1 11 2 78 2. UNW型（牛頓受攝運動方程）型（牛頓受攝運動方程） 沿衛(wèi)星運動方向的加速度沿衛(wèi)星運動方向的加速度U，沿主法線方向，沿主法線方向 的加速度的加速度N和沿與前二方向成右手系的方向的和沿與前二方向成右手系的方向的 加速度加速度W。 主要用于計算大氣阻力的攝動和光壓攝動。主要用于計算大氣阻力的攝動和光壓攝動。 79 三、攝動力表達式三、攝動力表達式 大地重力學知道，用球函數(shù)表示地球引力為大地重力學知道，用球函數(shù)表示地球引力為 ： )sincos()()(cos)( 212 n nm m nmnmnm ne n nn n