第十講 幾何軌跡與尺規(guī)作圖

1、幾何軌跡與尺規(guī)作圖 一、軌跡的定義 在幾何中，把具有某性質(zhì)的點(diǎn)P組成的集合 叫做具有這種性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡 L為適合條件的點(diǎn)的軌跡，F(xiàn)為某圖形，則 （1）適合條件的任一點(diǎn)都在圖形F上； （完備性或充分性） （2）圖形F上的任一點(diǎn)都適合條件；（純 粹性或必要性） 則圖形F是適合條件的點(diǎn)的軌跡。 雖然軌跡和幾何圖形都是點(diǎn)集，但兩者是 有區(qū)別的，一般來說，圖形是知其形而不 知其性，軌跡是知其性而不知其形。我們 研究軌跡問題，就是要探究適合一定條件 的點(diǎn)的集合形成什么樣的圖形，使形和性 得到完美統(tǒng)一。 二、軌跡命題的三種類型 、命題結(jié)論中明確說明了軌跡圖形的形 狀、大小和位置； 、命題結(jié)論中明確說明了軌跡

2、圖形的形 狀，但大小和位置不全； 、命題結(jié)論中只說求適合某條件的軌跡， 對(duì)形狀、大小和位置沒有說明； 前兩種為軌跡定理，后一種為軌跡問題 例： 距兩點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡，是該兩點(diǎn)連線段 的中垂線； 距兩點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是一條直線； 求距兩點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡 三、基本軌跡定理 1、和一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓 心，定長(zhǎng)為半徑的圓； 2、和兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是連結(jié)這兩個(gè)定點(diǎn) 的線段的中垂線； 3、和一條已知直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是平行 于已知直線且位于此直線兩側(cè)并和這直線的距離等于定長(zhǎng) 的兩條平行線； 4、與兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行 線距離相等的一

3、條平行線； 5、與相交兩直線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是分別平分兩已 知直線交角的互相垂直的兩條直線； 6、對(duì)已知線段的視角等于定角的點(diǎn)的軌跡,是以已知線 段為弦,所含圓周角等于的兩段弓形弧; 四、軌跡命題舉例 例1 設(shè)一點(diǎn)到矩形的一雙對(duì)頂?shù)木嚯x之和等 于到另一雙對(duì)頂?shù)木嚯x之和，則其軌跡為 矩形的兩條對(duì)稱軸。 假設(shè)ABCD是矩形，l和l是其對(duì)稱軸，p是適 合條件PA+PC=PB+PD的點(diǎn) 求證：p點(diǎn)的軌跡是直線l和l 例2 設(shè)一點(diǎn)與一定圓的距離等于圓半徑，則 該點(diǎn)的軌跡為該圓中心和一個(gè)半徑加倍的 同心圓的并。 假設(shè)：點(diǎn)P與定圓O（r）的距離PA= 半徑r 求證：點(diǎn)P的軌跡是點(diǎn)O和圓O（2r） 例3

4、給定直角XOY,一條定長(zhǎng)（記為a）的線 段AB兩端在角的兩邊上滑動(dòng)，則AB中點(diǎn)P 的軌跡是以O(shè)為中心，以a/2為半徑的圓被 角的兩邊所截的弧QR 例4 和兩定點(diǎn)距離之比等于定比(不為1)的 點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓周，稱為阿氏圓（阿波 羅尼奧斯圓 ） A,B為定點(diǎn)， MA/MB=m定數(shù) 例5 到兩定點(diǎn)距離的平方和為常量的點(diǎn)的軌 跡（倘若存在）為一圓（可能退縮為一點(diǎn)） 例6 到兩定點(diǎn)距離的平方差為常量的點(diǎn)的 軌跡，是垂直于這兩點(diǎn)連線的一條直線 例7 從已知半圓直徑AB延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)C作 切線CT和ACT的平分線，從圓心O作這 平分角線的垂線，求垂足M的軌跡 例8 定圓O內(nèi)有互垂直徑AA和BB，直徑端 點(diǎn)

5、A和圓上任一點(diǎn)P的連線交直線BB于點(diǎn)Q， 在P作圓的切線PR，過Q作BB的垂線QR， 求交點(diǎn)R的軌跡 例9 BC是給定等腰三角形ABC的底邊，求 合于條件APB= APC的點(diǎn)P的軌跡 尺規(guī)作圖 假設(shè)給了一些條件，而設(shè)法求作具備這些 條件的圖形，這便是作圖問題。完成作圖 以后，便可斷言具備某些條件的圖形存在。 或在什么情況下這樣的圖形存在，因而使 言之有物。這樣，解幾何作圖問題，在某 種意義上說，就是存在問題的證明。 完成一個(gè)作圖題，在學(xué)生頭腦里能把個(gè) 別的幾何事實(shí)具體化起來，將注意力從字 面上的幾何命題轉(zhuǎn)到這命題所含的現(xiàn)實(shí)幾 何關(guān)系上來。 幾何作圖可以提供題材，把所學(xué)的命題 用來解決某些具體問

6、題，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)以 致用。 幾何作圖的學(xué)習(xí)給制圖學(xué)提供理論基礎(chǔ)， 它在實(shí)踐上的意義是不可忽視的。 在解作圖題過程中，要運(yùn)用一系列相當(dāng) 復(fù)雜的邏輯思維。 在傳統(tǒng)的幾何作圖中，尺規(guī)作圖是指沒有 刻度的直尺和圓規(guī)兩件工具，并用有限次 步驟作出合乎預(yù)先約定條件的圖形，有時(shí) 也叫歐幾里得作圖。 所謂完成了一個(gè)尺規(guī)作圖，就是說能把問題 歸結(jié)為有限次的如下幾個(gè)認(rèn)可的簡(jiǎn)單作圖： 通過兩個(gè)已知點(diǎn)可作一條直線； 已知圓心和半徑可作一個(gè)圓； 若兩已知直線相交，或一已知直線和一 已知圓（或圓?。┫嘟?，或兩已知圓相交， 則可作出其交點(diǎn)。 解作圖題的步驟一般分為：寫出已知（詳 細(xì)寫出題設(shè)條件，并用相應(yīng)符號(hào)或圖形表 示）與

7、求作（說明要做的圖形是什么，以 及該圖形應(yīng)具有的題設(shè)條件），進(jìn)行分析 （尋求作圖線索），寫出作法，證明，并 進(jìn)行討論。 【練習(xí)1】給定不共線三點(diǎn)A、B、C，求過 C作一直線l使距AB等遠(yuǎn)。 【練習(xí)2】求作一三角形，已知其兩邊及其 中一邊的對(duì)角。 等分圓周 【例題】五等分圓周。 作法：在圓內(nèi)作互相 垂直的直徑PQ和AS， 平分OQ于M；以M為 中心以MA為半徑作弧， 交OP于點(diǎn)N。又以A為 中心以AN為半徑作弧， 交圓于B，則AB為內(nèi) 接正五邊形的一邊。 5 2 5 22 10 2 10 222222 2 1 2 5 aABaRaAB aRRMOMAMOMNON RPNOAONANAB 化圓為方

8、 三等分角 立方倍積 由于尺規(guī)作圖在理論上的限制，使得希臘幾 何留下兩項(xiàng)任務(wù)有待解決： 第一項(xiàng)是特殊任務(wù)，這就是三大幾何作圖問 題，它引起人們極大的興趣，雖然它的答 案是否定的，但至今還使一些人著迷。 第二項(xiàng)任務(wù)則具有普遍意義，即源于古希臘 人通過作圖來證明數(shù)學(xué)對(duì)象（尤其是幾何 對(duì)象）的存在性，然而僅用尺規(guī)顯然限制 過嚴(yán)，這就需要突破狹隘的幾何方法的束 縛，放寬存在性問題的準(zhǔn)則。 兩千多年來，幾十代人為三大問題絞盡腦汁，希 臘人的巧思，阿拉伯人的學(xué)識(shí)，文藝復(fù)興時(shí)期大 師們的睿智，都曾傾注于此，但在尺規(guī)作圖的嚴(yán) 格約束下，均以失敗告終。 于是人們開始懷疑它們的可解性，轉(zhuǎn)向不可作方 面的討論。這種考慮問題的“著眼點(diǎn)”的改變， 在數(shù)學(xué)發(fā)展中是非常重要的，然而，就三大問題 而言，在沒有給出尺規(guī)作圖可能或不可能的判別 準(zhǔn)則之前，要得到關(guān)于三大問題不可作的嚴(yán)格證 明是不可能的，這種明確的準(zhǔn)則，是借助于代數(shù) 方法完成的，事實(shí)證明，僅僅依靠歐氏幾何本身 是無能為力的。 直角等于鈍角？直角等于鈍角？ 矩形ABCD， FABA， R、N分別是中點(diǎn)。 可證： 角CDA角FAD 證：RO、MO各是 垂直平分線 DOAO， C