第五章平面圖形的幾何性質(zhì)

1、 51 靜矩和靜矩和形心形心 52 極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑 53 平行移軸公式平行移軸公式 54 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式* 主慣性軸主慣性軸 主慣性矩主慣性矩 第五章第五章 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì) 5-1 5-1 靜矩和形心靜矩和形心 一、面積（對(duì)軸）矩：一、面積（對(duì)軸）矩：(與力矩類(lèi)似) 是面積與它到軸的距離之積（用S表示）。 yAS x dd xAS y dd AA yy AA xx AxSS AySS dd dd dA x y y x 微面積dA對(duì)X軸的靜矩 微面積dA對(duì)Y軸的靜矩 x y C yAS xAS x y oror 量鋼：

2、L3 如S=0 軸過(guò)形心 二、組合截面的靜矩與形心：二、組合截面的靜矩與形心： A Ay y A Ax x ii ii xAxAS yAyAS ii n i y ii n i x 1 1 整個(gè)圖形對(duì)某軸的靜矩， 等于圖形各部分對(duì)同軸靜矩的 代數(shù)和（由靜矩定義可知） 則 i n i AA 1 :如 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii 3 .20 108011010 1101035 21 21 21 AA AyAy A Ay y ii 例例1 試確定下圖的形心坐標(biāo)。 解 ： 1.用正面積法求解，圖形分割 及坐標(biāo)如圖(a) 80 120 10 10 x y C2 圖(a) C1 C

3、1(0,0) C2(-35,60) 7 .34 108011010 1101060 2.用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b) 3 .20 1107080120 )11070(5 圖(b) C1（0,0） C2（5,5） 21 21 21 AA AxAx A Ax x ii C2 負(fù)面積 C1 x y 3 .20 1107080120 )11070(5 y 驗(yàn)證：34.7 + 20.3 + 5 = 60 5-2 極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑 二、慣性矩：二、慣性矩： 是面積與它到軸的距離的平方之積。 A y A x AxI AyI d d 2 2 dA

4、 x y y x r 一、極慣性矩：一、極慣性矩：是面積對(duì)極點(diǎn)的二次矩。 yx A IIAId 2 r r 圖形對(duì)x軸的慣性矩: 圖形對(duì)y軸的慣性矩: 圖形對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩: 量鋼：L4 量鋼：L4 dA x y y x r 三、慣性積：三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。 A xy AxyId 如果如果 x 或或 y 是對(duì)稱軸，則是對(duì)稱軸，則Ixy =0 圖形對(duì)xy軸的慣性積: 量鋼：L4 圖形對(duì)x軸的慣性半徑: 圖形對(duì)y軸的慣性半徑: AIi AIi yy xx / / 四、慣性半徑四、慣性半徑 5-3 平行移軸公式平行移軸公式 一、平行移軸定理一、平行移軸定理： C C yby xax

5、以形心為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行 的坐標(biāo)軸如圖 0 CxC yAS AbbSI Abbyy Aby AyI xCxC C A C A C A x 2 22 2 2 2 d)2( d)( d AbII xCx 2 dA x y y x r a b C xC yC 注意注意: C點(diǎn)必須為形心點(diǎn)必須為形心 AbII xCx 2 AaII yCy 2 abAII xCyCxy AbaII C 2 )( rr 同理同理: 圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的慣性矩, 等于它對(duì)過(guò)形心且平行于該軸的坐 標(biāo)軸之慣性矩加上圖形面積與兩軸距離平方和的乘積. 例例2 求圖示圓對(duì)其切線AB的慣性矩。 解 ：求解此題有兩種方法： 一是按定

6、義直接積分； 二是用平行移軸定理等知識(shí)求。 B 建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對(duì)形 心軸的慣性矩。 642 4 dI II P yx 64 5 16642 444 2 ddd A d II xAB A d x y O xyx III d I2 32 4 r 圓 二、組合截面的慣性矩二、組合截面的慣性矩： 組合截面對(duì)某坐標(biāo)軸的慣性矩(積), 等于其中各部分對(duì) 同一坐標(biāo)軸慣性矩 (積)之和. xi n i x II 1 yi n i y II 1 xyi n i xy II 1 5-4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性軸主慣性軸 主慣性矩主慣性矩 cossin sincos 1 1 yxy yxx 一、一、 慣

7、性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理 dA x y y x x1 y1 x1 y1 2sin2cos 22 1 xy yxyx x I IIII I 2sin2cos 22 1 xy yxyx y I IIII I 2cos2sin 2 11 xy yx yx I II I yxyx IIII 11 二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩 1.主慣性軸和主慣性矩：如坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到= 0 時(shí)；恰好有 0)2cos2sin 2 ( 00 00 xy yx yx I II I 則與 0 對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x0 ,y0 稱為為主慣性軸主慣性軸。即平面圖形 對(duì)其慣性積為

8、零的一對(duì)坐標(biāo)軸. yx xy II I 2 2 tg: 0 主慣性軸位置 22 ) 2 ( 2 0 0 xy yxyx y x I IIII I I 主慣性矩： 平面圖形對(duì)主軸之慣性矩為主慣性矩為主慣性矩。 2.形心主軸和形心主慣性矩： yCxC yCxC II I 2 2tg 0 22 ) 2 ( 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I 形心主慣性矩： 若平面圖形有兩個(gè)對(duì)稱軸,此二軸均為形心主軸; 若平面圖形有一個(gè)對(duì)稱軸,則該軸為一形心主軸, 另一形心主軸 過(guò)形心, 且與該軸垂直. 主慣性軸過(guò)形心時(shí)，稱其為形心主軸形心主軸。 平面圖形對(duì)形心主軸之慣性矩，稱為

9、形心主慣性矩形心主慣性矩. 3.求截面形心主慣性矩的方法 建立坐標(biāo)系 計(jì)算面積和面積矩 求形心位置 建立形心坐標(biāo)系；求：IyC ， IxC ， IxCyC 求形心主軸方向 0 求形心主慣性矩 A Ay A S y A Ax A S x ii x iiy 22 ) 2 ( 2 0 0 xCyC yCxCyCxC yC xC I IIII I I yCxC xCyC II I 2 2tg 0 例例3 在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d) 解： 建立坐標(biāo)系如圖。 求形心位置。 建立形心坐標(biāo)系；求：IyC ， IxC ， I xCy d d d dd A Ay y AA Ax x ii ii 177.0 4 3 42 0 0 2 2 2 d b 2d x y O xC yC x1 d b 2d x y O xC yC x1 )5 . 0( 2 1 2 ydAIyAIIII xxxCxCxC 圓圓矩矩圓矩 42 24 22 3 685. 0)17